Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów"

Transkrypt

1 Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009

2 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana w procedurach caªkowania numerycznego), Wykorzystywana w naukach do±wiadczalnych, gdy dysponujemy niewielk liczb danych, Deterministyczna metoda opisu zjawisk (w opozycji do podej±cia statystycznego). Graka komputerowa (szczególnie 3D)

3 Interpolacja - idea Mniej formalna denicja Rozwi» zadanie interpolacji tzn. odkryj zale»no± która pozwala wytªumaczy warto±ci obserwowane w danych.

4 Interpolacja - idea Mniej formalna denicja Rozwi» zadanie interpolacji tzn. odkryj zale»no± która pozwala wytªumaczy warto±ci obserwowane w danych.

5 Interpolacja - denicja Denicja matematyczna Maj c zbiór danych w postaci n + 1 tzw. w zªów {x i, y i } n i=0, nale»y wyznaczy przybli»one warto±ci w punktach nieb d cych w zªami interpolacji oraz oszacowa bª dy takiego przybli»enia. x i - w zªy interpolacji, punkty y i - warto±ci dla w zªów (punktów) Maj c dan klas funkcji G szukamy takiego g(x, a 0, a 1,..., a n ) G aby g(x i, a 0,..., a n ) = y i,, i = 0, 1,..., n

6 Interpolacja - idea y n g y 2 y 1 y 0 x 0 x 1 x 2 x n

7 Interpolacja - przykªad Dane: Gªówny Urz d Statystyczny Lata Liczba rozwodów

8 Interpolacja - przykªad Jak powinna wygl da krzywa opisuj ce dane?

9 Interpolacja - przykªad... tak

10 Interpolacja - przykªad a mo»e tak?

11 Interpolacja - przykªad a mo»e jednak tak?

12 Rodzaje interpolacji Nieparmetryczne(bazuj ce na danych): algorytm najbli»szego s siada Parametryczne(niezb dna identykacja parametryczna) liniowa (g(x i, a 0,..., a n ) = a 0 + a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 (x) a n g n (x)) wielomianowa (w tym w. liniowa, w. kwadratowa,...): g i (x) = x i trygonometryczna: g i (x) = e jix, nieliniowa np. wymierna: j = 1 g(x, a 0,..., a n, b 0,..., b m) = a0 + a1x + a2x a nx n b 0 + b 1x + b 2x b mx m funkcjami sklejanymi (ang. spline): w zªy interpolacji dziel przedziaª interpolacji na podprzedziaªy; w ka»dym podprzedziale przybli»amy funkcje interpolowan wielomianem niskiego stopnia, np. n=3 (najpro±ciej - interpolacja liniowa - dla n=1)

13 Rodzaje interpolacji Nieparmetryczne(bazuj ce na danych): algorytm najbli»szego s siada Parametryczne(niezb dna identykacja parametryczna) liniowa (g(x i, a 0,..., a n ) = a 0 + a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 (x) a n g n (x)) wielomianowa (w tym w. liniowa, w. kwadratowa,...): g i (x) = x i trygonometryczna: g i (x) = e jix, nieliniowa np. wymierna: j = 1 g(x, a 0,..., a n, b 0,..., b m) = a0 + a1x + a2x a nx n b 0 + b 1x + b 2x b mx m funkcjami sklejanymi (ang. spline): w zªy interpolacji dziel przedziaª interpolacji na podprzedziaªy; w ka»dym podprzedziale przybli»amy funkcje interpolowan wielomianem niskiego stopnia, np. n=3 (najpro±ciej - interpolacja liniowa - dla n=1)

14 Interpolacja - Matlab Polecenie x - w zªy interpolacji, y - warto±ci w w zªach, yi = interp1(x,y,xi,metoda); xi - punkty, w których chcemy wyznaczy warto±ci po wykonaniu interpolacji, yi - warto±ci w punktach xi, Metoda - dost pne: nearest, linear,spline,pchip,cubic,v5cubic

15 Algorytm najbli»szego s siada Zasada post powania Je±li chcemy wyznaczy warto± y w nowym (nieb d cym w zªem interpolacji) punkcie x, to znajd¹ najbli»szy mu punkt w danych i przyjmij jego warto±. Wady i zalety nie trzeba budowa modelu - maªy nakªad obliczeniowy wykorzystywana w przypadku interpolacji wielowymiarowej maªo realistyczne zaªo»enie o lokalnej niezmienno±ci zjawisk

16 Algorytm najbli»szego s siada Zasada post powania Je±li chcemy wyznaczy warto± y w nowym (nieb d cym w zªem interpolacji) punkcie x, to znajd¹ najbli»szy mu punkt w danych i przyjmij jego warto±. Wady i zalety nie trzeba budowa modelu - maªy nakªad obliczeniowy wykorzystywana w przypadku interpolacji wielowymiarowej maªo realistyczne zaªo»enie o lokalnej niezmienno±ci zjawisk

17 Interpolacja metod najbli»szego s siada

18 Interpolacja liniowa Zasada post powania Warto± y punkcie x le»y na prostej ª cz cej warto±ci w w zªach, pomi dzy którymi le»y x. Denicja matematyczna dla x a x x b y = y a + (x x a )(y b y a ) x b x a

19 Interpolacja liniowa Zasada post powania Warto± y punkcie x le»y na prostej ª cz cej warto±ci w w zªach, pomi dzy którymi le»y x. Denicja matematyczna dla x a x x b y = y a + (x x a )(y b y a ) x b x a

20 Interpolacja liniowa

21 Interpolacja liniowa Wady i zalety najprostszy z grupy modeli wielomianowych nie trzeba estymowa parametrów - bardzo szybkie obliczenia nieró»niczkowalno± funkcji interpoluj cej w w zªach interpolacji zwykle powoduje du»e bª dy

22 Bª dy interpolacji - interpolacja liniowa Zaªó»my,»e istnieje zale»no± pomi dzy zmiennymi {x i, y i }, któr mo»na opisa za pomoc funkcji g : R R, tzn. y i = g(x i ), a która to funkcja posiada ci gª drug pochodn. Je±li mamy dane dwa s siednie w zªy interpolacji y a = g(x a ) oraz y b = g(x b ), bª d jaki mo»emy popeªni, chc c oszacowa warto± funkcji g( ) w punkcie x (x a, x b ) wynosi: gdzie C = 1/8 max g (x) x (x a,x b ) Wnioski y g(x ) C(x b x a ) 2, czym wi ksza odlegªo± mi dzy w zªami, tym wi kszy bª d (zale»no± kwadratowa)!!!

23 Bª dy interpolacji - interpolacja liniowa Zaªó»my,»e istnieje zale»no± pomi dzy zmiennymi {x i, y i }, któr mo»na opisa za pomoc funkcji g : R R, tzn. y i = g(x i ), a która to funkcja posiada ci gª drug pochodn. Je±li mamy dane dwa s siednie w zªy interpolacji y a = g(x a ) oraz y b = g(x b ), bª d jaki mo»emy popeªni, chc c oszacowa warto± funkcji g( ) w punkcie x (x a, x b ) wynosi: gdzie C = 1/8 max g (x) x (x a,x b ) Wnioski y g(x ) C(x b x a ) 2, czym wi ksza odlegªo± mi dzy w zªami, tym wi kszy bª d (zale»no± kwadratowa)!!!

24 Szacowanie bª du interpolacji liniowej Przykªad funkcja g(x) = x 2, g (x) = 2 w zªy interpolacji x a = 0, x b = 2, (y a = 0,y b = 4) Maksymalny bª d interpolacji liniowej wynosi zatem: C = 1 8 max x (x a,x b ) g (x) = 1 4 a wi c maksymalny bª d wynosi: y g(x) C(x b x a ) 2 = 1

25 Szacowanie bª du interpolacji liniowej wezly interpolacji Funkcja interpolowana Interpolacja liniowa Blad interpolacji

26 Interpolacja wielomianowa Sformuªowanie problemu Maj c dane w zªy x 0, x 1,..., x n oraz odpowiadaj ce im warto±ci y 0, y 1,..., y n, znale¹ wielomian W m (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a m x m, taki»e W m (x i ) = y i, dla i = 0, 1,..., n. Twierdzenie (o jednoznaczno±ci interpolacji wielomianowej) Istnieje dokªadnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwy»ej n, który w punktach x 0, x 1,..., x n przyjmuje warto±ci y 0, y 1,..., y n.

27 Interpolacja wielomianowa Sformuªowanie problemu Maj c dane w zªy x 0, x 1,..., x n oraz odpowiadaj ce im warto±ci y 0, y 1,..., y n, znale¹ wielomian W m (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a m x m, taki»e W m (x i ) = y i, dla i = 0, 1,..., n. Twierdzenie (o jednoznaczno±ci interpolacji wielomianowej) Istnieje dokªadnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwy»ej n, który w punktach x 0, x 1,..., x n przyjmuje warto±ci y 0, y 1,..., y n.

28 Interpolacja wielomianowa - przykªad Przykªad Spróbujmy dopasowa wielomian stopnia pi tego, tj. do danych: W 5 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5, i x i y i

29 Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d. Przykªad c.d. Jak wyznaczy wspóªczynniki wielomianu {a i } 5 i=0? - wielomian musi przechodzi, przez dane punkty, czyli: a 0 + a a a a a = 1537 a 0 + a a a a a = 1546 a 0 + a a a a a = 1479 a 0 + a a a a a = 1552 a 0 + a a a a a = 1968 a 0 + a a a a a = 2567, tzw. macierz Vandermonde'a.

30 Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d. Przykªad c.d. Problem sprowadza si do rozwi zania ukªadu równa«liniowych, t.j. Xa = y, gdzie: X = 1 x 0 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 1 x x 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 x x 3 x 2 3 x 3 3 x 4 3 x x 4 x 2 4 x 3 4 x 4 4 x x 5 x 2 5 x 3 5 x 4 5 x 5 5 a = a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 y = y 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5

31 Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d. - rozwi zanie Przykªad c.d. Ogólny sposób rozwi zywania ukªadów równa«liniowych: a = X 1 y, Matlab: X = vander(x); a = inv(x) * y; Rozwi zanie: a =

32 Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d. - wyniki

33 Interpolacja Lagrange'a Wprowadzenie Wielomian W n (x) mo»na przedstawi w alternatywnej postaci: W n (x) = y 0 Φ 0 (x) + y 1 Φ 1 (x) y n Φ n (x), gdzie Φ j (x) s wielomianami stopnia co najwy»ej n. Rozwi zanie Φ j (x i ) = { 0, gdy j i 1, gdy j = i Inaczej: Φ j (x) = (x x 0)(x x 1 )... (x x j 1 )(x x j+1 )... (x x n ) (x j x 0 )(x j x 1 )... (x j x j 1 )(x j x j+1 )... (x j x n ), L n (x) = n y j Φ j (x) = j=0 n j=0 y j n i = 0 i j x x i x j x i

34 Interpolacja Lagrange'a Wprowadzenie Wielomian W n (x) mo»na przedstawi w alternatywnej postaci: W n (x) = y 0 Φ 0 (x) + y 1 Φ 1 (x) y n Φ n (x), gdzie Φ j (x) s wielomianami stopnia co najwy»ej n. Rozwi zanie Φ j (x i ) = { 0, gdy j i 1, gdy j = i Inaczej: Φ j (x) = (x x 0)(x x 1 )... (x x j 1 )(x x j+1 )... (x x n ) (x j x 0 )(x j x 1 )... (x j x j 1 )(x j x j+1 )... (x j x n ), L n (x) = n y j Φ j (x) = j=0 n j=0 y j n i = 0 i j x x i x j x i

35 Interpolacja Lagrange'a Wprowadzenie Wielomian W n (x) mo»na przedstawi w alternatywnej postaci: W n (x) = y 0 Φ 0 (x) + y 1 Φ 1 (x) y n Φ n (x), gdzie Φ j (x) s wielomianami stopnia co najwy»ej n. Rozwi zanie Φ j (x i ) = { 0, gdy j i 1, gdy j = i Inaczej: Φ j (x) = (x x 0)(x x 1 )... (x x j 1 )(x x j+1 )... (x x n ) (x j x 0 )(x j x 1 )... (x j x j 1 )(x j x j+1 )... (x j x n ), L n (x) = n y j Φ j (x) = j=0 n j=0 y j n i = 0 i j x x i x j x i

36 Interpolacja Lagrange'a - przykªad Znale¹ wielomian interpolacyjny Lagrange'a dla danych: Zgodnie ze wzorem mamy: L 2 (x) = 2 y j Φ j (x) = j=0 2 j=0 i x i y i y j 2 i = 0 i j 2 x 1 2 x x } {{ } (j=0) 1 2 x2 x x x i x j x i = x 3 2 } {{ } (j=1) + 2 x x 1 2 } {{ } (j=2) =

37 Wzór interpolacyjny Newtona Iloraz ró»nicowy 1-go rz du: Iloraz ró»nicowy k-go rz du: f [x i, x i+1 ] = f (x i+1) f (x i ) x i+1 x i f [x i, x i+1,..., x i+k ] = f [x i+1, x i+2,..., x i+k ] f [x i, x i+1,..., x i+k 1 ] x i+k x i Ci g ilorazów ró»nicowych: x 0 f (x 0 ) f [x 0, x 1 ] x 1 f (x 1 ) f [x 0, x 1, x 2 ] f [x 1, x 2 ] x 2 f (x 2 )

38 Wzór interpolacyjny Newtona Wielomian interpolacyjny Newtona Q n (x) =f (x 0 ) + n j=1 j 1 f [x 0,..., x j ] (x x k ) = k=0 n 1 Q n 1 (x) + f [x 0,..., x n ] (x x k ) k=0 Przykªad - znale¹ wielomian interpolacyjny Newtona dla danych: i x i y i

39 Wzór interpolacyjny Newtona Wielomian interpolacyjny Newtona Q n (x) =f (x 0 ) + n j=1 j 1 f [x 0,..., x j ] (x x k ) = k=0 n 1 Q n 1 (x) + f [x 0,..., x n ] (x x k ) k=0 Przykªad - znale¹ wielomian interpolacyjny Newtona dla danych: i x i y i

40 Wielomian interpolacyjny Newtona - przykªad Zgodnie ze wzorem mamy: Q 2 (x) =f (x 0 ) + Ilorazy ró»nicowe: 2 j=1 j 1 f [x 0,..., x j ] (x x k ) = k=0 f (x 0 ) + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) Zatem: f [x 0, x 1 ] = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 = = 1 f [x 1, x 2 ] = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 = = 1 f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 0 = = 1 2 Q 2 (x) = 2 1(x + 1) 1 2 (x + 1)(x 1) = 1 2 x2 x + 1 2

41 Wielomian interpolacyjny Newtona - przykªad Wersja iteracyjna: 1 Q 2 (x) = Q 1 (x) + f [x 0, x 1, x 2 ] (x x k ) = k=0 Q 1 (x) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) 0 Q 1 (x) = Q 0 (x) + f [x 0, x 1 ] (x x k ) = k=0 Q 0 (x) + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) Q 0 (x) = f (x 0 ) = 2 Zatem po podstawieniu: Q 1 (x) = 2 1(x + 1) = 1 x Q 2 (x) = (1 x) (x 1)(x + 1) = 1 2 x2 x Zaleta: po dodaniu nowego w zªa (x 3, f (x 3 )) mo»na wykorzysta Q 2 (x) 2 wystarczy doliczy f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] (x x k ) k=0

42 Wielomian interpolacyjny Newtona - przykªad Wersja iteracyjna: 1 Q 2 (x) = Q 1 (x) + f [x 0, x 1, x 2 ] (x x k ) = k=0 Q 1 (x) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) 0 Q 1 (x) = Q 0 (x) + f [x 0, x 1 ] (x x k ) = k=0 Q 0 (x) + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) Q 0 (x) = f (x 0 ) = 2 Zatem po podstawieniu: Q 1 (x) = 2 1(x + 1) = 1 x Q 2 (x) = (1 x) (x 1)(x + 1) = 1 2 x2 x Zaleta: po dodaniu nowego w zªa (x 3, f (x 3 )) mo»na wykorzysta Q 2 (x) 2 wystarczy doliczy f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] (x x k ) k=0

43 Bª dy interpolacji - interpolacja wielomianowa Zaªó»my,»e warto±ci y 0, y 1,..., y n dla w zªów interpolacji x 0, x 1,..., x n (z przedziaªu < a, b >) bior si z pewnej funkcji g : R R, t.j. g(x i ) = y i. Pytanie: jak dobrze wielomian interpolacyjny W n (x) przybli»a funkcj g(x) w przedziale < a, b >? Odpowied¹: g(x) W n (x) M n+1 ω n (x), gdzie M n+1 = sup g (n+1) (x), oraz ω n (x) = n (x x i ) x (x a,x b ) Bª d interpolacji - komentarz i=0 zale»y od postaci pochodnej interpolowanej funkcji, zale»y od funkcji ω n (x), czyli od rozmieszczenia w zªów interpolacji

44 Bª dy interpolacji - interpolacja wielomianowa Zaªó»my,»e warto±ci y 0, y 1,..., y n dla w zªów interpolacji x 0, x 1,..., x n (z przedziaªu < a, b >) bior si z pewnej funkcji g : R R, t.j. g(x i ) = y i. Pytanie: jak dobrze wielomian interpolacyjny W n (x) przybli»a funkcj g(x) w przedziale < a, b >? Odpowied¹: g(x) W n (x) M n+1 ω n (x), gdzie M n+1 = sup g (n+1) (x), oraz ω n (x) = n (x x i ) x (x a,x b ) Bª d interpolacji - komentarz i=0 zale»y od postaci pochodnej interpolowanej funkcji, zale»y od funkcji ω n (x), czyli od rozmieszczenia w zªów interpolacji

45 Bª dy interpolacji - interpolacja wielomianowa Zaªó»my,»e warto±ci y 0, y 1,..., y n dla w zªów interpolacji x 0, x 1,..., x n (z przedziaªu < a, b >) bior si z pewnej funkcji g : R R, t.j. g(x i ) = y i. Pytanie: jak dobrze wielomian interpolacyjny W n (x) przybli»a funkcj g(x) w przedziale < a, b >? Odpowied¹: g(x) W n (x) M n+1 ω n (x), gdzie M n+1 = sup g (n+1) (x), oraz ω n (x) = n (x x i ) x (x a,x b ) Bª d interpolacji - komentarz i=0 zale»y od postaci pochodnej interpolowanej funkcji, zale»y od funkcji ω n (x), czyli od rozmieszczenia w zªów interpolacji

46 Bª dy interpolacji wielomianowej Przykªad Z jak dokªadno±ci mo»na oszacowa warto± sin(1.885) maj c dane sin(0) = 0, sin(0.6283) = , sin(2.3562) = ). Mamy dane: czyli: n = 2, < a, b >=< 0, > funkcja interpolowana g(x) = sin(x), g (3) (x) = cos(x), zatem M n+1 = 1 ω n (x) = (x 0)(x )(x ) ω n (1.885) = W 2 (1.885) sin(1.885) =

47 Bª dy interpolacji wielomianowej Przykªad Z jak dokªadno±ci mo»na oszacowa warto± sin(1.885) maj c dane sin(0) = 0, sin(0.6283) = , sin(2.3562) = ). Mamy dane: czyli: n = 2, < a, b >=< 0, > funkcja interpolowana g(x) = sin(x), g (3) (x) = cos(x), zatem M n+1 = 1 ω n (x) = (x 0)(x )(x ) ω n (1.885) = W 2 (1.885) sin(1.885) =

48 Bª dy interpolacji wielomianowej - przykªad Bª d w rzeczywisto±ci W 2 (1.885) sin(1.885) = wezly interpolacji szukana wartosc wielomian interpolacyjny blad interpolacji

49 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Interpolacja za pomoc wielomianów: rz d wielomianu interpolacyjnego zazwyczaj musi by równy liczbie w zªów co dla du»ej ilo±ci w zªów (wysokich stopni wielomianu interpolacyjnego) prowadzi mo»e do du»ych bªedów macierz Vandermonada zwykle ¹le uwarunkowana wielomiany nie nadaj si do szacowania warto±ci poza granicami przedziaªu z którego pochodz w zªy interpolacyjne. Pytanie: czy nie mo»na inaczej? Funkcje sklejane - idea Zamiast stosowa wielomian wysokiego rz du do interpolacji punktów, mo»na zastosowa kilka wielomianów stopnia ni»szego.

50 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Interpolacja za pomoc wielomianów: rz d wielomianu interpolacyjnego zazwyczaj musi by równy liczbie w zªów co dla du»ej ilo±ci w zªów (wysokich stopni wielomianu interpolacyjnego) prowadzi mo»e do du»ych bªedów macierz Vandermonada zwykle ¹le uwarunkowana wielomiany nie nadaj si do szacowania warto±ci poza granicami przedziaªu z którego pochodz w zªy interpolacyjne. Pytanie: czy nie mo»na inaczej? Funkcje sklejane - idea Zamiast stosowa wielomian wysokiego rz du do interpolacji punktów, mo»na zastosowa kilka wielomianów stopnia ni»szego.

51 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Interpolacja za pomoc wielomianów: rz d wielomianu interpolacyjnego zazwyczaj musi by równy liczbie w zªów co dla du»ej ilo±ci w zªów (wysokich stopni wielomianu interpolacyjnego) prowadzi mo»e do du»ych bªedów macierz Vandermonada zwykle ¹le uwarunkowana wielomiany nie nadaj si do szacowania warto±ci poza granicami przedziaªu z którego pochodz w zªy interpolacyjne. Pytanie: czy nie mo»na inaczej? Funkcje sklejane - idea Zamiast stosowa wielomian wysokiego rz du do interpolacji punktów, mo»na zastosowa kilka wielomianów stopnia ni»szego.

52 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Denicja funkcji sklejanej Nie b dzie dany przedziaª < a, b > oraz zestaw punktów x 0, x 1,..., x n, takich»e: a = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Oznaczmy przez n podziaª ustanowiony przez punkty {x i } n i=0. Funkcj s(x) = s(x, n ) nazywamy funkcj sklejan stopnia m 1, je±li: 1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwy»ej m w ka»dym podprzedziale (x i, x i+1 ), i = 0, 1,..., n 1, 2) s(x) C m 1 dla x < a, b >.

53 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Denicja funkcji sklejanej Nie b dzie dany przedziaª < a, b > oraz zestaw punktów x 0, x 1,..., x n, takich»e: a = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Oznaczmy przez n podziaª ustanowiony przez punkty {x i } n i=0. Funkcj s(x) = s(x, n ) nazywamy funkcj sklejan stopnia m 1, je±li: 1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwy»ej m w ka»dym podprzedziale (x i, x i+1 ), i = 0, 1,..., n 1, 2) s(x) C m 1 dla x < a, b >.

54 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Denicja funkcji sklejanej Nie b dzie dany przedziaª < a, b > oraz zestaw punktów x 0, x 1,..., x n, takich»e: a = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Oznaczmy przez n podziaª ustanowiony przez punkty {x i } n i=0. Funkcj s(x) = s(x, n ) nazywamy funkcj sklejan stopnia m 1, je±li: 1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwy»ej m w ka»dym podprzedziale (x i, x i+1 ), i = 0, 1,..., n 1, 2) s(x) C m 1 dla x < a, b >.

55 Funkcje sklejane stopnia trzeciego (m = 3) s 0 (x) = c 0,3 x 3 + c 0,2 x 2 + c 0,1 x + c 0,0 s 1 (x) = c 1,3 x 3 + c 1,2 x 2 + c 1,1 x + c 1,0 s 2 (x) = c 2,3 x 3 + c 2,2 x 2 + c 2,1 x + c 2,0 s 3 (x) = c 3,3 x 3 + c 3,2 x 2 + c 3,1 x + c 3,0

56 Funkcje sklejane stopnia trzeciego (m = 3) Komentarz 1 Mamy dokªadnie n(m + 1) = 4n parametrów opisuj cych krzyw. Komentarz 2 Warunek w denicji funkcji sklejanej: s(x) C 2 dla x < a, b >, Oznacza to,»e druga pochodna funkcji s(x) musi by funkcj liniow w ka»dym podprzedziale < x i, x i+1 >, i = 0, 1,..., n 1.

57 Funkcje sklejane stopnia trzeciego (m = 3) Wyznaczanie parametrów warto±ci w w zªach zewn trznych speªniaj warunek interpolacji: s 0 (x 0 ) = f (x 0 ), s n 1 (x n ) = f (x n ) warto±ci 2-gich pochodnych w w zªach zewn trznych speªniaj warunek naturalno±ci: s 0 (x 0 ) = s n 1(x n ) = 0 w w zªach wewn trznych warto±ci funkcji s równe: s i 1 (x i ) = s i (x i ) = f (x i ), i = 1, 2,..., n 1 w w zªach wewn trznych warto±ci pierwszych pochodnych s równe: s i 1(x i ) = s i (x i ), i = 1, 2,..., n 1 w w zªach wewn trznych warto±ci drugich pochodnych s równe: Š cznie mamy 4n równa«s i 1(x i ) = s i (x i ), i = 1, 2,..., n 1

58 Funkcje sklejane - przykªad Dokona interpolacji funkcjami sklejanymi stopnia 3 dla danych: i x i y i

59 Funkcje sklejane - przykªad - wyniki y x

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

DOPASOWYWANIE KRZYWYCH

DOPASOWYWANIE KRZYWYCH DOPASOWYWANIE KRZYWYCH Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Motywacje Przykład 1. Dane o przyroście światowej populacji są aktualizowane co każde 10 lat, celem szacowania średniego przyrostu rocznego.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Interpolacja metoda funkcji sklejanych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA

LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA Za zadanie do±wiadczalne mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Rozgrzane wolframowe wªókno»arówki o temperaturze bezwzgl dnej T emituje

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

Interpolacja funkcji

Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,

Bardziej szczegółowo

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie

DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część modelowanie, drgania swobodne Poniższe materiały

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Aproksymacja cz. II, wielomiany ortogonalne zastosowania PWSZ Gªogów, 2009 Iloczyn skalarny Funkcja okre±lona na przestrzeni liniowej (, ) R iloczyn skalarny wektorów

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna 1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer. METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Bardzo łatwa lista powtórkowa

Bardzo łatwa lista powtórkowa Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj.

III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. III. INTERPOLACJA 3.1. Ogólne zadanie interpolacji Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. Definicja 3.1. Zadanie interpolacji polega na okreœleniu parametrów tak, eby dla n +

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAT1317

Analiza Matematyczna MAT1317 Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego Ekonometria Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER 22 maja 2016 Karolina Konopczak Instytut Rozwoju Gospodarczego Problem diety Aby ±niadanie byªo peªnowarto±ciowe powinno dostarczy

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1?

2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1? 2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1? Definicja ilorazu różnicowego: [x l,x l+1,...,x l+k ;f]= l+k l+k i=l j=l j i

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Bazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15

Bazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15 Bazy danych Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15 Przechowywanie danych Wykorzystanie systemu plików, dostępu do plików za pośrednictwem systemu operacyjnego

Bardziej szczegółowo

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami). 1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. 2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone

Bardziej szczegółowo

Modelowanie obiektów 3D

Modelowanie obiektów 3D Synteza i obróbka obrazu Modelowanie obiektów 3D Modelowanie Modelowanie opisanie kształtu obiektu. Najczęściej stosuje się reprezentację powierzchniową opis powierzchni obiektu. Najczęstsza reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

Współczesne nowoczesne budownictwo pozwala na wyrażenie indywidualnego stylu domu..

Współczesne nowoczesne budownictwo pozwala na wyrażenie indywidualnego stylu domu.. Współczesne nowoczesne budownictwo pozwala na wyrażenie indywidualnego stylu domu.. w którym będziemy mieszkać. Coraz więcej osób, korzystających ze standardowych projektów, decyduje się nadać swojemu

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe i nieliniowe

Równania liniowe i nieliniowe ( ) Lech Sławik Podstawy Maximy 11 Równania.wxmx 1 / 8 Równania liniowe i nieliniowe 1 Symboliczne rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 1.1 solve -- Funkcja: solve() MENU: "Równania->Rozwiąż..."

Bardziej szczegółowo

Elementarna analiza statystyczna

Elementarna analiza statystyczna MatLab część V 1 Elementarna analiza statystyczna W standardowym pakiecie MatLab-a istnieją jedynie podstawowe funkcje analizy statystycznej. Bardziej zaawansowane znajdują się w pakiecie statystycznym

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 1 grudnia 2007 Komentarze s pisane kursyw. 1. Doktoranci s dzieleni na kategorie pod wzgl

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

2. Generatory liczb (pseudo)losowych

2. Generatory liczb (pseudo)losowych http://www.kaims.pl/~robert/miss/ Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Niech X będzie zmienną losową, tj. funkcją odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω w zbiór liczb

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n )

x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n ) *** Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n ) p, x = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p n x n cena koszyka x Zbiór wszystkich koszyków, na jakie sta

Bardziej szczegółowo

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka 7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka Oczekiwane przygotowanie informatyczne absolwenta gimnazjum Zbieranie i opracowywanie danych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Uczeń: wypełnia komórki

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

Techniki animacji komputerowej

Techniki animacji komputerowej Techniki animacji komputerowej 1 Animacja filmowa Pojęcie animacji pochodzi od ożywiania i ruchu. Animować oznacza dawać czemuś życie. Słowem animacja określa się czasami film animowany jako taki. Animacja

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód

Bardziej szczegółowo

Interpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji

Interpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji 27 styczeń 2009 SciLab w obliczeniach numerycznych - część 3 Slajd 1 Interpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji 27 styczeń 2009 SciLab w obliczeniach numerycznych - część 3 Slajd 2 Plan zajęć

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Prosz sprawdzi, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron. Ewentualny brak nale

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia - równania nieliniowe

Zagadnienia - równania nieliniowe Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo