1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1"

Transkrypt

1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y, otrzymujemy y = x +1. Wstawiając teraz do równania drugiego, dostajemy ( ) x +1 = x 1. Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy x 4 +x +1 = x 1 4 x 4 +x +1 = 8x 4 x 4 +x 8x+5 = 0. Suma współczynników wielomianu stojącego po lewej stronie równania jest równa 0, więc liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Zatem otrzymane równanie możemy zapisać w postaci (x 1)(x 3 +x +3x 5) = 0. Również pierwiastkiem wielomianu w drugim nawiasie jest x = 1, zatem (x 1) (x +x+5) = 0. Jednocześnie x + x + 5 = (x + 1) > 0, więc jedynym rozwiązaniem jest x = 1, a stąd y = 1, czyli rozwiązaniem danego układu jest para (x,y) = (1,1). Uwaga 1. Metoda podstawiania jest metodą przekształceń równoważnych, więc nie musimy dokonywać sprawdzenia. Uwaga. Tę metodę trudno polecać w gimnazjum. Sposób. Dodając stronami równania danego układu, otrzymujemy x x+1+y y +1 = 0 x +y = y 1+x 1 (x 1) +(y 1) = 0. Suma liczb nieujemnych jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy każda z nich jest równa zero, stąd x = y = 1, czyli rozwiązaniem tego układu może być para (x,y) = (1,1). Bezpośrednim podstawieniem sprawdzamy, że tak jest istotnie. W tej metodzie musimy dokonać sprawdzenia, ponieważ dodawanie równań stronami nie jest przekształceniem równoważnym.

2 Sposób 3. W tym sposobie odejmiemy równania stronami. Otrzymujemy wtedy skąd x y = 0 lub x+y + = 0. Jeśli x y = 0, czyli x = y, to x y = y 1 x+1 (x y)(x+y) = (x y) (x y)(x+y +) = 0, x = x 1 x x+1 = 0 (x 1) = 0, stąd x = 1. Zatem rozwiązaniem może być para (x,y) = (1,1). Jeżeli natomiast x+y + = 0, czyli y = x, to x +x+1 = 4 x = ( x ) 1 (x+1) = 4. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że ten przypadek zachodzić nie może. Bezpośrednim podstawieniem sprawdzamy, że para (x,y)=(1,1) spełnia dany w zadaniu układ równań. Sposób 4. Zapisując dany układ równoważnie y = x +1 x = y +1, zauważamy, że x > 0 i y > 0. Stosując zależność między średnią arytmetyczną a geometryczną dla dwóch liczb dodatnich, dostajemy y = x +1 x = x. Analogicznie x y. Zatem z nierówności y x y otrzymujemy, że x=y, a stąd x =x 1, czyli x = 1. Zatem m jest para (x,y) = (1,1).. /VI OMG, zawody I stopnia/ Rozwiązać układ równań { x +x(y 4) = y +y(x 4) =. Wymnażając nawiasy w równaniach, dostajemy { x +xy 4x = (1) y +xy 4y =.

3 Odejmując teraz równania stronami, otrzymujemy a stąd y = x lub y = x+4. Jeżeli y = x, to x y 4(x y) = 0 (x y)(x+y) 4(x y) = 0 (x y)(x+y 4) = 0, x +x(x 4) = x 4x+ = 0 (x 1) = 0, czyli x = 1. Zatem rozwiązaniem może być para (x,y) = (1,1). Bezpośrednim podstawieniem sprawdzamy, że jest to rozwiązanie danego układu równań. Jeżeli natomiast y = x+4, to x +x( x+4 4) = 0 =. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że w tym przypadku układ (1) nie ma rozwiązań. Sposób. Dodając stronami równania układu (1), otrzymujemy skąd y = x+. Wtedy x +y +xy 4x 4y = 4 (x+y) 4(x+y)+4 = 0 (x+y ) 0, x +x( x+ 4) = x x x =, skąd x = 1. Zatem y = 1 + = 1. Czyli rozwiązaniem może być para (x,y) = (1,1). Bezpośrednio sprawdzamy, że tak jest istotnie. 3. Rozwiązać układ równań x 7 = y +z 7 y 7 = z +t 7 z 7 = t +x 7 t 7 = x +y 7. Dodając stronami równania danego układu, otrzymujemy x 7 +y 7 +z 7 +t 7 = x +y +z +t +x 7 +y 7 +z 7 +t 7, skąd x + y + y + z = 0. Suma liczb nieujemnych jest równa zero tylko wtedy, gdy każda z tych liczb jest równa zero. Zatem rozwiązaniem tego układu może być tylko (x,y,z,t) = (0,0,0,0). Łatwo sprawdzić, że otrzymana czwórka spełnia dany układ.

4 4. Rozwiązać układ równań x 7 = y +y 7 y 7 = z +z 7 Po dodaniu równań stronami, dostajemy skąd z 7 = t+t 7 t 7 = x+x 7. x 7 +y 7 +z 7 +t 7 = x+y +z +t+x 7 +y 7 +z 7 +t 7, (1) x+y +z +t = 0. Zauważmy, że różne od zera liczby a i a 7 są tego samego znaku. Rzeczywiście, jeśli a jest liczbą dodatnią, to również a 7 jest liczbą dodatnią, a jeżeli a jest liczbą ujemną, to również liczbą ujemną jest a 7. Przyjmijmy, że jedna z liczb spełniających dany układ jest dodatnia, np. x > 0. Wtedy t 7 = x+x 7 > 0, skąd t > 0. Kontynuując to rozumowanie, dostaniemy, że liczby x, y, z, t są dodatnie. Zatem x+y +z +t > 0. Uzyskaliśmy sprzeczność z (1), więc żadna z liczb nie może być dodatnia. Analogicznie wykazujemy, że żadna z liczb spełniających układ nie może być ujemna. Zatem jedynym rozwiązaniem może być (x,y,z,t) = (0,0,0,0). Bezpośrednim podstawieniem sprawdzamy, że tak jest istotnie. 5. /I OMG, zawody I stopnia/ Rozwiązać układ równań 5x +9y = 1yz 9y +4z = 0xz 4z +5x = 30xy. Dodając stronami wszystkie trzy równania układu, otrzymujemy czyli 50x +18y +8z = 1yz +0xz +30xy, (5x 30xy +9y )+(5x 0xz +4z )+(9y 1yz +4z ) = 0. Wykorzystując wzory skróconego mnożenia, dostajemy (5x 3y) +(5x z) +(3y z) = 0. Zatem, jeśli trójka (x,y,z) jest rozwiązaniem danego układu, to 5x=3y=z. Przyjmując x=t, obliczamy y= 5 3 t, z= 5 t. Bezpośrednie podstawienie pokazuje, że wszystkie trójki (x,y,z) = (t, 5 3 t, 5 ) t, gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą, spełniają dany układ równań.

5 6. Rozwiązać układ równań 30x +10y = 1yz 8y +5z = 0xz 3z +0x = 30xy. Dodając stronami wszystkie trzy równania układu, otrzymujemy czyli 50x +18y +8z = 1yz +0xz +30xy, (5x 30xy +9y )+(5x 0xz +4z )+(9y 1yz +4z ) = 0. Wykorzystując wzory skróconego mnożenia, dostajemy (5x 3y) +(5x z) +(3y z) = 0. Zatem, jeśli trójka (x,y,z) jest rozwiązaniem danego układu, to 5x=3y=z. Przyjmując x = t, obliczamy y = 5 3 t, z = 5 t. Podstawienie tych zależności do równania pierwszego daje ( 30t 5 ) t 5 = 1 3 t 5 t, skąd 30t t = 50t, czyli t = 0. Stąd rozwiązaniem może być trójka (x,y,z) = (0,0,0). Bezpośrednie podstawienie potwierdza, że jest to rozwiązanie danego układu równań. 7. Wyznacz wszystkie trójki (x, y, z) liczb rzeczywistych spełniające układ równań { x +y +z = 33 x+3y +5z = 34. Mnożąc drugie równanie układu przez, otrzymujemy { x +y +z = 33 x 6y = 10z = 68. Dodając równania otrzymanego układu równań, dostajemy kolejno x x+y 6y +z 10z = 35 x x+1+y 6y +9+z 10z +5 = 0 (x 1) +(y 3) +(z 5) = 0. Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest równy zero. Stąd możliwe rozwiązanie danego w zadaniu układu równań to (x,y,z)= (1,3,5). Jednak = 35 33, więc dany układ nie ma rozwiązania.

6 Sposób. W tym sposobie wykorzystamy nierówność Schwarza: Dla dowolnych liczb rzeczywistych x 1, x,..., x n oraz y 1, y,..., y n prawdziwa jest nierówność (1) x 1 y 1 +x y + +x n y n x 1 +x + +x n y1 +y + +y n. Nierówność (1) można zapisać w sposób równoważny () (x 1 y 1 +x y + +x n y n ) (x 1 +x + +x n ) (y 1 +y + +y n ). Uwaga. O nierówności Schwarza można przeczytać np. w: II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, Kraków 009. Stosując nierówność () dla liczb: 1, 3, 5 oraz x, y, z, otrzymujemy Stąd Jednak (x+3y +5z) ( )(x +y +z ) = (34+1) (34 1) = 34 1 < 34. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że dany w zadaniu układ nie ma rozwiązania. 8. Rozwiązać układ równań x 1 +4 = 3x 1 +x x +4 = 3x +x 3 x 3 +4 = 3x 3 +x 4 x 4 +4 = 3x 4 +x 5 x 5 +4 = 3x 5 +x 1. Dodając stronami wszystkie równania układu i przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę, otrzymujemy x 1 +x + +x (x 1 +x + +x 5 ) (x 1 +x + +x 5 ) = 0 x 1 +x + +x 5 4(x 1 +x + +x 5 )+5 4 = 0 (x 1 4x 1 +4)+(x 4x +4)+ +(x 5 4x 5 +4) = 0 (x 1 ) +(x ) + +(x 5 ) = 0. Suma kwadratów jest równa zero, stąd każdy składnik tej sumy jest równy zero, zatem (x 1,x,x 4,x 5 ) = (,,,,). Bezpośrednio podstawiając do układu stwierdzamy, że jest to jego rozwiązanie. Sposób. Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest nierówność (1) a +4 4a, bo jest ona równoważna nierówności (a ) 0. Zatem, na podstawie (1), dostajemy a stąd x x 1. Analogicznie 3x 1 +x = x x 1, x 3 x, x 4 x 3, x 5 x 4 i x 1 x 5,

7 czyli x 1 x 5 x 4 x 3 x x 1, skąd x 1 = x = x 3 = x 4 = x 5. Wstawiając tę zależność do jednego z równań układu, otrzymujemy x 1 +4 = 4x 1 x 1 4x 1 +4 = 0 (x 1 ) = 0, a stąd x 1 = x = x 3 = x 4 = x 5 =. Zatem rozwiązaniem może być tylko (x 1,x,x 4,x 5 ) = (,,,,). Łatwo sprawdzamy, że jest to rozwiązanie danego układu. 9. /II OMG, zawody III stopnia/ Rozwiązać układ równań ab = a+b bc = b+c ca = c+a. Odejmując stronami równania pierwsze i drugie danego układu, uzyskujemy ab bc = a c b(a c) (a c) = 0 (b 1)(a c) = 0. Stąd b=1 lub a=c. Nie może być b=1, bo wtedy z równania pierwszego mamy sprzeczność a = a + 1. Wobec tego a = c. Rozpatrując równania drugie i trzecie, otrzymujemy analogicznie, że b=a. Zatem a=b=c. Wstawiając tę zależność do równania pierwszego, dostajemy a = a wówczas a = 0 lub a =. Stąd a a = 0 a(a ) = 0, (a,b,c) {(0,0,0), (,,)}. Bezpośrednim podstawieniem sprawdzamy, że obie trójki spełniają dany układ równań. Sposób. Dla b = 1 pierwsze równanie przyjmuje postać a = a+1, co nie może zachodzić. Zatem b 1. Przekształcając równanie pierwsze, otrzymujemy a = b b 1. Podobnie z drugiego równania c= b skąd wniosek, że a=c. Analogicznie wykazujemy, b 1 że a = b i w konsekwencji a = b = c. Dalszy ciąg rozwiązania jak w sposobie 1. Sposób 3. Zauważmy, że ab = a+b ab a b+1 = 1 (a 1)(b 1) = 1.

8 Zatem dany w zadaniu układ możemy zapisać w postaci (a 1)(b 1) = 1 (1) (b 1)(c 1) = 1 (c 1)(a 1) = 1. Mnożąc stronami równania otrzymanego układu, dostajemy a stąd ((a 1)(b 1)(c 1)) = 1, (a 1)(b 1)(c 1) = 1 lub (a 1)(b 1)(c 1) = 1. Jeżeli (a 1)(b 1)(c 1) = 1, to wykorzystując równania układu (1), dostajemy, że (a,b,c) = (,,). Jeśli natomiast (a 1)(b 1)(c 1) = 1, to (a,b,c) = (0,0,0). Należy jeszcze sprawdzić, że wyznaczone trójki spełniają dany układ równań. 10. Rozwiązać układ równań: (a+b) = 4c (b+c) = 4a (c+a) = 4b. Zauważmy, że liczby a, b i c muszą być nieujemne. Odejmując stronami równanie drugie od pierwszego, otrzymujemy (a+b) (b+c) = 4c 4a a +ab+b b bc c = 4c 4a a c +ab bc+4a 4c = 0 (a c)(a+c+b+4) = 0. Ponieważ liczby a, b i c są nieujemne, więc wyrażenie w drugim nawiasie jest dodatnie, stąd a = c. Analogicznie dostajemy, że b = c, więc a = b = c. Wstawiając tę zależność do pierwszego z równań, otrzymujemy (a) = 4a 4a = 4a 4a(a 1) = 0, skąd a = 0 lub a = 1. Zatem rozwiązaniami danego układu (co można sprawdzić bezpośrednio) są trójki: (a,b,c) {(0,0,0), (1,1,1)}. Sposób. Zauważmy, że liczby a, b, c są liczbami nieujemnymi. Dany układ możemy zapisać w postaci równoważnej a+b = c b+c = a c+a = b.

9 Wybierzmy spośród liczb a, b, c tę, która jest nie mniejsza od pozostałych. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że jest liczba c, czyli c a i c b. Jeżeli a > b, to a > b = a+c a = a, czyli a > a. Uzyskaliśmy sprzeczność. Analogicznie wykazujemy, że nie może być a < b. Zatem może być tylko a=b. Wtedy c= a+b = a =a, czyli ostatecznie a=b=c. Dalsza część rozwiązania jak w sposobie /V OMG, zawody I stopnia/ Liczby całkowite a, b, c, d spełniają układ równań { a+b+c+d = 101 ab+cd = 00. Wykazać, że dokładnie jedna z tych liczb jest nieparzysta. Niech liczby całkowite a, b, c, d spełniają podany układ równań. Jeżeli suma czterech liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą, to wśród nich jest dokładnie jedna liczba nieparzysta lub są dokładnie trzy liczby nieparzyste w przeciwnym przypadku ich suma byłaby liczbą parzystą. Jeżeli wśród czterech liczb całkowitych dokładnie trzy są nieparzyste, to przy każdym podziale na dwie grupy po dwie liczby, w jednej będą dwie liczby nieparzyste, a w drugiej jedna parzysta i jedna nieparzysta. Zatem suma iloczynów liczb tych dwóch grup będzie liczbą nieparzystą. Ten przypadek nie może więc zachodzić. Stąd wśród liczb a, b, c, d jest dokładnie jedna liczba nieparzysta. 1. Liczby a, b, c spełniają układ równań abc = 1 1 a + 1 b + 1 c = a+b+c. Wykazać, że co najmniej jedna z liczb a, b, c jest równa 1. Liczby a, b, c spełniające układ równań są różne od zera. Możemy więc pomnożyć drugie równanie układu przez abc = 1. Wtedy ab+bc+ca = a+b+c. Wykorzystując jeszcze raz równanie pierwsze, dostajemy albo równoważnie 1+ab+bc+ca = abc+a+b+c, abc ab bc ca+a+b+c 1 = 0. Grupując wyrażenia po lewej stronie równości, otrzymujemy Stąd a = 1 lub b = 1, lub c = 1. ab(c 1) b(c 1) a(c 1)+(c 1) = 0 (c 1)(ab a b+1) = 0 (c 1)(a(b 1) (b 1)) = 0 (c 1)(b 1)(a 1) = 0.

10 13. Rozwiązać układ równań: x 1 1+x 1 x 1+x = x = x 3 x 3 1+x 3 = x 1. Zauważmy, że trójka (x 1,x ) = (0,0,0) jest rozwiązaniem danego układu. Jeżeli natomiast x 1 0, to wtedy z równania pierwszego x 0, a w konsekwencji, z równania drugiego, również x 3 0. W tym drugim przypadku możemy dany układ zapisać równoważnie 1+x 1 x = 1 1 x 1+x (1) x = 1 x 3 1+x 3 x = 1. 3 x 1 Układ (1) rozwiążemy dwoma sposobami. Po pomnożeniu obustronnie każdego równania układu (1) przez, otrzymujemy a stąd 1 x 1 1 x 1 x 3 1+x 1 x 1 1+x x 1+x 3 x 3 = x = x 3 = x 1, x +1 = 0 x 3 +1 = 0 x 1 +1 = 0. Dodając stronami wszystkie równania otrzymanego układu, dostajemy ( 1 ) ( ) ( ) +1 = 0, x 1 x x 3 albo równoważnie x 1 x x 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = 0. x 1 x x 3 Suma kwadratów jest równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest równy zero, czyli x 1 = 1, x = 1, x 3 = 1. Stąd drugim rozwiązaniem układu (co sprawdzamy bezpośrednim podstawieniem) jest trójka (x 1,x ) = (1,1,1).

11 Sposób. W tym sposobie wykorzystamy nierówność a +b ab, która jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b. Zauważmy ponadto, że liczby x 1, x, x 3 są dodatnie. Z pierwszego równania układu (1) dostajemy Zatem 1+x 1 x 1 = 1+x 1 1 x 1 1 x = 1+x 1 x 1 x 1 1 x 1, 1 x 1 = 1 x 1. czyli x x 1. Analogicznie, wykorzystując pozostałe równania układu (1), otrzymujemy, że x 3 x i x 1 x 3, a w konsekwencji x 1 = x = x 3. Wstawiając tę zależność np. do równania pierwszego, otrzymujemy 1+x 1 x = 1, 1 x 1 skąd x 1 = 1. Zatem drugim rozwiązaniem układu (co sprawdzamy bezpośrednim podstawieniem) jest trójka (x 1,x ) = (1,1,1). 14. Rozwiązać układ równań: x 1 + x 1 = x x + x = x 3 x 3 + = x x 1. 3 Zauważmy, że jeśli x 1 >0, to również x >0 i x 3 >0. Ponadto, jeśli trójka (x 1,x ) jest rozwiązaniem układu, to równieź trójka ( x 1, x, x 3 ) jest jego rozwiązaniem. Zatem wystarczy na początku szukać rozwiązań w zbiorze liczb dodatnich. Na podstawie nierówności a+ a, która jest prawdziwa dla dowolnej liczby a > 0, otrzymujemy x 1 = x 3 + x 3, skąd x 1. Analogicznie x oraz x 3. Dodając stronami równania danego układu, dostajemy x 1 +x +x 3 + x 1 + x + x 3 = x 1 +x +x 3, a stąd x 1 + x + x 3 = x 1 +x +x 3. Łatwo sprawdzić, że trójka (x 1,x ) = (,, ) spełnia warunki zadania. Gdyby przynajmniej jedna z niewiadomych, np. x 1, była większa od, to mielibyśmy x 1 +x +x 3 > 3 oraz + + < 3, x 1 x x 3

12 ponieważ dla x 1 > mamy x 1 < =. Zatem (na podstawie uwagi na początku zadania) rozwiązaniem układu są trójki (x 1,x ) = (,, ) oraz (x 1,x ) = (,, ). 15. Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera. Znaleźć wszystkie funkcje f:r R, które dla dowolnej liczby x R spełniają równanie ( ) 1 f(x)+f = 3x. x Załóżmy, że taka funkcja istnieje. Ponieważ równość jest spełniona przez każdą liczbę x różną od zera, więc możemy dokonać zamiany zmiennej x na 1/x. Dane równanie przyjmuje wtedy postać ( ) 1 f +f(x) 3 x x. Zatem dla dowolnej różnej od zera liczby x spełnione są równania ( ) 1 f(x)+f = 3x x ( ) 1 f +f(x) = 3 x x. Rozwiązując ten układ, w którym przyjmujemy f(x) za niewiadomą, otrzymujemy f(x) = x 1 x. Musimy jeszcze dokonać sprawdzenia, że wyznaczona funkcja spełnia równanie dane w zadaniu (założyliśmy, że taka funkcja istnieje nie wiedząc czy tak jest istotnie). Tak jest ponieważ ( ) ( 1 f(x)+f = x 1 ) + x x x x = 4x x + x = 3x. x Zatem istnieje dokładnie jedna funkcja spełniająca warunki zadania. 16. Znaleźć wszystkie funkcje f:r R, które dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniają równanie f(x)+f(1 x) = x. Tak jak w zadaniu poprzednim, przyjmijmy, że taka funkcja istnieje. Ponieważ równość jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x, więc możemy dokonać zamiany zmiennej x na 1 x. Dane równanie przyjmuje wtedy postać f(1 x)+f(x) = (1 x). Dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełnione są równania { f(x)+f(1 x) = x f(1 x)+f(x) = (1 x). Z równania pierwszego mamy f(1 x) = x f(x) co po wstawieniu do równania drugiego daje (x f(x))+f(x) = (1 x).

13 Wyznaczając z tego równania f(x), dostajemy f(x) = 1 3 x + 3 x 1 3. Sprawdzamy, że ta funkcja spełnia warunki zadania ( 1 f(x)+f(1 x) = 3 x + 3 x 1 ) ( (1 x) + 3 (1 x) 1 ) = 3 = 3 x x x+ 1 3 x x 1 3 = x. 17. /LXII OM, zawody II stopnia/ Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań { (x y)(x 3 +y 3 ) = 7 (x+y)(x 3 y 3 ) = 3. Na podstawie wzorów na sumę i różnicę sześcianów otrzymujemy (x y)(x+y)(x xy +y ) = 7 oraz (x+y)(x y)(x +xy +y ) = 3. Lewe strony tych równań nie mogą być równe zero (bo różne od zera są prawe strony równań), więc można je podzielić stronami. Wtedy skąd czyli x xy +y x +xy +y = 7 3, 7(x +xy +y ) = 3(x xy +y ), x +5xy +y = 0. Ostatnią równość możemy zapisać w postaci z której y = x lub x = y. x +5xy +y = (x+y)(x+y) = 0, Dla y = x pierwsze równanie układu przyjmuje postać 3x ( 7x 3 ) = 7, czyli x 4 = 1 3. Zatem w tym przypadku układ nie ma rozwiązania. Dla x = y równanie pierwsze przyjmie postać 3y ( 7y 3 ) = 7, skąd y 4 = 1 3. Stąd dostajemy dwie możliwe pary rozwiązań danego układu (x,y) = ( 4 1 ), 3 4 ( oraz (x,y) = 3 4, ). 3 Łatwo sprawdzić, że obie pary spełniają podany układ równań.

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU

O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Autor: Edward Stachowski Materiały konferencyjne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

matematyka liceum dawniej i dziœ

matematyka liceum dawniej i dziœ Zawody matematyczne im. Mariana Rejewskiego Relacje z jubileuszowej dziesi¹tej edycji konkursu dla szkó³ pomdgimnazjalnych województwa kujawskopomorskiego. n MARIUSZ AAMCZAK Wminionym roku szkolnym odby³a

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2013 WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ;

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ; 1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A

Bardziej szczegółowo

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi 5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R.

REGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R. REGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R. Termin: 13 kwietnia 2013 r. godz. 10:45 15:45 Miejsce: WiMBP im. Zbigniewa

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI. Z WYKORZYSTANIEM METOD AKTYWIZUJĄCYCH w klasie I gimnazjum. TEMAT: Działania łączne na liczbach wymiernych

KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI. Z WYKORZYSTANIEM METOD AKTYWIZUJĄCYCH w klasie I gimnazjum. TEMAT: Działania łączne na liczbach wymiernych KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI Z WYKORZYSTANIEM METOD AKTYWIZUJĄCYCH w klasie I gimnazjum TEMAT: Działania łączne na liczbach wymiernych Cele lekcji: Cel ogólny: - utrwalenie wiadomościiumiejętności z działu

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Zadania z parametrem

Zadania z parametrem Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Nierówności dla początkujących olimpijczyków Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk wwwomgedupl Warszawa

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Zbudujmy z klocków prostopadłościan

Zbudujmy z klocków prostopadłościan Zapewne niemal każdy z młodszych Czytelników miał okazję w dzieciństwie bawić się klockami Lego. Zbudujmy z klocków prostopadłościan Michał KIEZA, Warszawa Wprowadzenie Zazwyczaj za wielomino (ang. polymino)

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD : GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Schemat gry. Początek gry. 2. Ciąg kolejnych posunięć

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie

Bardziej szczegółowo

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz

Bardziej szczegółowo

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6 XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla odwa nych

Matematyka dla odwa nych Jan Kowolik, Tomasz Szwed Matematyka dla odwa nych Zbiór zadañ konkursowych dla uczniów uzdolnionych matematycznie Szko³a ponadgimnazjalna i nie tylko Opole 010 1 Spis treœci Wstêp...5 Rozdzia³ I. W³asnoœci

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

Dwa do nieskończoności DominikKWIETNIAK,Kraków

Dwa do nieskończoności DominikKWIETNIAK,Kraków Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XXXVIII Szkole Matematyki Poglądowej, Nieskończoność, styczeń 2007, i nagrodzonego Medalem Filca. Rys. 1. Wykres przekształcenia namiotowego T. Rys. 2. Odczytanie

Bardziej szczegółowo

PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy

PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Warszawa, dnia 03 marca 2016 r. RZECZPOSPOLITA POLSKA MINISTER FINANSÓW PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Działając na podstawie art.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 1 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Granice funkcji Zadanie 1 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (1) Zadanie

Bardziej szczegółowo

Projektowanie bazy danych

Projektowanie bazy danych Projektowanie bazy danych Pierwszą fazą tworzenia projektu bazy danych jest postawienie definicji celu, założeo wstępnych i określenie podstawowych funkcji aplikacji. Każda baza danych jest projektowana

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. 2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze

Bardziej szczegółowo

40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA

40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 1/11 Spis treści Rozdział 1. Zagadnienie transportowe................... 5 1.1.

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy.

1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy. Granice funkcji Definicja (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f() w punkcie = a, co zapisujemy f() = g (.) a jeżeli dla każdego ε > 0 można wskazać taką liczbę (istnieje

Bardziej szczegółowo

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci 56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹

Bardziej szczegółowo

Tytuł. Autor. Dział. Innowacyjne cele edukacyjne. Czas. Przebieg. Etap 1 - Wprowadzenie z rysem historycznym i dyskusją

Tytuł. Autor. Dział. Innowacyjne cele edukacyjne. Czas. Przebieg. Etap 1 - Wprowadzenie z rysem historycznym i dyskusją Tytuł Sztuka szybkiego liczenia Cz. I Autor Dariusz Kulma Dział Liczby wymierne Innowacyjne cele edukacyjne Techniki szybkiego liczenia w pamięci niestosowane na lekcjach matematyki Wybrane elementu systemu

Bardziej szczegółowo

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 4 Zadanie 1 Dane są punkty A = ( 1, 1) oraz B = (3, 2). Jaką długość ma odcinek AB? Wybierz odpowiedź

Bardziej szczegółowo

ANALIZA OBWODÓW RZĘDU ZEROWEGO PROSTE I SIECIOWE METODY ANALIZY OBWODÓW

ANALIZA OBWODÓW RZĘDU ZEROWEGO PROSTE I SIECIOWE METODY ANALIZY OBWODÓW ANALIZA OBWODÓW RZĘDU ZEROWEGO PROSTE I SIECIOWE METODY ANALIZY OBWODÓW Rezystancja zastępcza dwójnika bezźródłowego (m.b. i=0 i u=0) Równoważność dotyczy zewnętrznego zachowania się układów, lecz nie

Bardziej szczegółowo

Umowa o pracę zawarta na czas nieokreślony

Umowa o pracę zawarta na czas nieokreślony Umowa o pracę zawarta na czas nieokreślony Uwagi ogólne Definicja umowy Umowa o pracę stanowi dokument stwierdzający zatrudnienie w ramach stosunku pracy. Według ustawowej definicji jest to zgodne oświadczenie

Bardziej szczegółowo

TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań

TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań Poziom nauczania: Gimnazjum, klasa II Przedmiot: Matematyka Dział: Równania i układy równań Czas trwania: 45 minut Wykonała: Joanna Klimeczko TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań Liczba punktów za

Bardziej szczegółowo

Metoda LBL (ang. Layer by Layer, pol. Warstwa Po Warstwie). Jest ona metodą najprostszą.

Metoda LBL (ang. Layer by Layer, pol. Warstwa Po Warstwie). Jest ona metodą najprostszą. Metoda LBL (ang. Layer by Layer, pol. Warstwa Po Warstwie). Jest ona metodą najprostszą. Po pierwsze - notacja - trzymasz swoją kostkę w rękach? Widzisz ścianki, którymi można ruszać? Notacja to oznaczenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Analiza CVP koszty wolumen - zysk

Analiza CVP koszty wolumen - zysk Analiza CVP koszty wolumen - zysk Na podstawie: W.F. Samuelson, S.G. Marks, Ekonomia Menedżerska, PWE, Warszawa 2009 1 Próg rentowności model w ujęciu księgowym 2 Analiza koszty wolumen zysk- CVP Cost

Bardziej szczegółowo

Egzamin na tłumacza przysięgłego: kryteria oceny

Egzamin na tłumacza przysięgłego: kryteria oceny Egzamin na tłumacza przysięgłego: kryteria oceny Każdy z czterech tekstów na egzaminie oceniany jest w oparciu o następujące kryteria: 1) wierność tłumaczenia (10 punktów) 2) terminologia i frazeologia

Bardziej szczegółowo

XIX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2010/2011

XIX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2010/2011 XIX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2010/2011 Etap III Klasa IV Z 24 patyczków jednakowej długości ułożono 9 małych kwadratów tworzących jeden duży kwadrat 3 3. Ile

Bardziej szczegółowo

Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem

Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem Analiza I Potrzebujesz pomocy? Wypełnij formularz Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem różnicującym oglądalność w TV meczów piłkarskich. W tym celu zastosujemy test

Bardziej szczegółowo

Jak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach.

Jak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach. Jak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach. 1 PROJEKTY KOSZTOWE 2 PROJEKTY PRZYCHODOWE 3 PODZIAŁ PROJEKTÓW ZE WZGLĘDU

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATUR MAJ 2012 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK

INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK Akcje Akcje są papierem wartościowym reprezentującym odpowiedni

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Marzena Kococik Olga Kuśmierczyk Szkoła Podstawowa im. Marii Konopnickiej w Krzemieniewicach Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Konkursy wyzwalają aktywność

Bardziej szczegółowo

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Równanie x2 3x+2 = 0 ma: x 2 4 A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki ZADANIE 2 (1 PKT) Liczba b jest 3 razy większa od liczby a. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Rok 2010 wyznaczył datę powrotu do obowiązkowego egzaminu maturalnego z matematyki. Umiejętności, które są sprawdzane na maturze z matematyki,

Rok 2010 wyznaczył datę powrotu do obowiązkowego egzaminu maturalnego z matematyki. Umiejętności, które są sprawdzane na maturze z matematyki, Skrypt bezpłatny. Opracowany i wydrukowany w ramach projektu W drodze do kariery z Politechniką Świętokrzyską szanse na lepszą przyszłość uczniów szkół ponadgimnazjalnych, współfinansowanego ze środków

Bardziej szczegółowo

KLAUZULE ARBITRAŻOWE

KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE arbitrażowe ICC Zalecane jest, aby strony chcące w swych kontraktach zawrzeć odniesienie do arbitrażu ICC, skorzystały ze standardowych klauzul, wskazanych poniżej. Standardowa

Bardziej szczegółowo

Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07

Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07 Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07 2 Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowo-wytwórczej) Podatek przemysłowy (lokalny podatek

Bardziej szczegółowo

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa

Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa Zamawiający: Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej 00-662 Warszawa, ul. Koszykowa 75 Przedmiot zamówienia: Produkcja Interaktywnej gry matematycznej Nr postępowania: WMiNI-39/44/AM/13

Bardziej szczegółowo

POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM. Vademecum doradztwa edukacyjno-zawodowego. Akademia

POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM. Vademecum doradztwa edukacyjno-zawodowego. Akademia POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM PLANOWANIE DZIAŁAŃ Określanie drogi zawodowej to szereg różnych decyzji. Dobrze zaplanowana droga pozwala dojechać do określonego miejsca w sposób, który Ci

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie metod statystycznych do problemu ujednoznaczniania struktury zdania w języku polskim

Zastosowanie metod statystycznych do problemu ujednoznaczniania struktury zdania w języku polskim Motywacja Zastosowanie metod statystycznych do problemu ujednoznaczniania struktury zdania w języku polskim Seminarium IPI PAN, 03.01.2011 Outline Motywacja 1 Motywacja Poziomy anotacji Równoważność dystrybucyjna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 2008 Czas pracy 180 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Przedmiot: Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Nr ćwiczenia: 2 Temat: Problem transportowy Cel ćwiczenia: Nabycie umiejętności formułowania zagadnienia transportowego

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN W KLASIE SZÓSTEJ SZKOŁY PODSTAWOWEJ OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015

SPRAWDZIAN W KLASIE SZÓSTEJ SZKOŁY PODSTAWOWEJ OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 Centralna Komisja Egzaminacyjna ul. J. Lewartowskiego 6, 00-190 Warszawa www.cke.edu.pl sekret.cke@cke.edu.pl SPRAWDZIAN W KLASIE SZÓSTEJ SZKOŁY PODSTAWOWEJ OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 Cześć! W kwietniu

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak

Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak Zasady zaliczenia Zajęcia są obowiązkowe, wolno opuścić 4 godziny. W semestrze 2 kolokwia po 50 punktów. Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Joanna Kisielińska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Joanna Kisielińska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie 1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Kisielińska Szkoła Główna

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr

Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr I. Wyrażenia wymierne: funkcja wymierna - Dziedzina wyrażenia wymiernego. - Skarcenie

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Ile róŝnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez moŝna zapisać za pomocą cyfr :,,,4, Na ile sposobów moŝna ustawić na półce sześć ksiąŝek tak, aby dwie wybrane

Bardziej szczegółowo