Transport zanieczyszczeń w rzece z uwzględnieniem dyfuzji dwukierunkowej

Transkrypt

1 InŜnieria i Ochrona Środowiska 1, t. 1, nr 3, s Andrej BIELSKI Politechnika Krakowska, Wdiał Inżnierii Środowiska ul. Warsawska 4, 31-1 Kraków abielski@riad.usk.pk.edu.pl Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej W prac apreentowano metodę analitcnego rowiąwania równania róŝnickowego opisującego adwekcjn transport mas dwukierunkową dfują w płascźnie normalnej do prepłwu w stanach nieustalonch. W metodie tej funkcję stęŝenia apisano w postaci ilocnu trech funkcji dotcącch casu ora dwóch współrędnch liniowch. Taki sposób repreentacji funkcji stęŝenia umoŝliwia predstawienie równania transportu mas w postaci trech równań róŝnickowch, odnosącch się tlko do jednej współrędnej. Rowiąanie równania transportu mas odnosi się do prpadku równomiernego, prostokątnego rokładu stęŝeń aniecsceń w prekroju reki. Rowiąanie umoŝliwia określenie rokładu stęŝeń aniecsceń w prekroju reki. Podano równieŝ rowiąania dla prpadku wpłwu aniecsceń nieskońcenie małego otworu ora nieskońcenie wąskiej pionowej lub poiomej scelin. Sformułowano prbliŝone aleŝności, umoŝliwiające wnacenie casu premiescenia maksmalnego stęŝenia prekroju do naroŝa prekroju prostokątnego korta reki ora casu wstąpienia stęŝenia maksmalnego, jakie w ogóle pojawi się w naroŝu prekroju. Opisano własności otrmanch rowiąań. Określono wględne moment wstąpienia maksmalnch mian stęŝenia w casie w wbranm miejscu prekroju korta reki. W prpadku korta reki o prekroju prostokątnm maksmalne mian stęŝeń pojawiają się w prbliŝeniu w około 1/47 casu wstąpienia maksmalnego stęŝenia w naroŝu prekroju lub w chwili wstąpienia stęŝenia stanowiącego 1/3 stęŝenia maksmalnego, jakie pojawi się w tm naroŝu. W prpadku ośrodka nieograniconego maksmalne mian stęŝeń pojawiają się wceśniej, to jest w 1/34 casu wstąpienia maksmalnego stęŝenia w tm samm miejscu co w ośrodku ograniconm. W prpadku ośrodka nieograniconego maksmalne mian stęŝeń pojawiają się w chwili wstąpienia stęŝenia stanowiącego 1/33 stęŝenia maksmalnego, jakie pojawi się w tm samm miejscu co w ośrodku ograniconm. Ułamek 1/33 wnacon dla ośrodka nieograniconego jest bliŝon do ułamka 1/3 wnaconego dla ośrodka ograniconego (reka). Onaca to, Ŝe prebieg mian stęŝeń w casie w tm samm punkcie w obu ośrodkach ma ten sam charakter, a krwe predstawiające mian stęŝeń są podobne. Słowa klucowe: aniecscenia, woda, reka, adwekcja, dwukierunkowa dfuja, stan nieustalone Onacenia Alfabet łaciński: a - odległość od bregu reki do źródła aniecsceń w kierunku, m b - odległość od dna reki do źródła aniecsceń w kierunku, m C - stałe c - stęŝenie aniecsceń, g/m 3 c - stęŝenie aniecsceń w prekroju pocątkowm, g/m 3

2 38 A. Bielski c śrd - średnie stęŝenie aniecsceń, g/m 3 c rd - stęŝenie aniecsceń w strumieniu wpłwającm e źródła aniecsceń, g/m 3 D x, D, D - współcnniki dfuji w kierunkach: x,,, m /s H - głębokość kanału, średnia głębokość reki, m k - stała sbkości procesu, s 1 m - indeks M - maksmalna wartość dla m M S - masa substancji, g n - indeks N - maksmalna wartość dla n Q rd - wpłw e źródła aniecsceń, m 3 /s r(c) - sbkość procesu chemicnego lub biochemicnego, g/(m 3 s) S - serokości reki, m t, t 1 - cas, s t m - cas miesania, s V t m - cas miesania w kierunku pionowm, s th t m - cas miesania w kierunku poiomm poprecnm, s t max, t max - cas wstąpienia maksmalnego stęŝenia, s t max,p - cas wstąpienia maksmalnego stęŝenia w prekroju, s t max,f - faktcn cas wstąpienia maksmalnego stęŝenia, s t * - cas wstąpienia maksmalnej mian stęŝenia, s V x, V, V - składowe prędkości prepłwu w kierunkach: x,,, m/s Y, Z, T - funkcje składowe dla stęŝenia aniecsceń x - współrędna poioma w kierunku prepłwu reki, m x 1 - współrędna ruchoma, m, 1 - współrędna poioma w kierunku prostopadłm do osi x, m, 1 - współrędna pionowa, m Alfabet grecki: α..., β..., γ... - parametr t - cas trwania emisji aniecscenia, s x - droga premiescenia aniecscenia w casie t, m δ (...) - funkcja delta - Diraca, m 1 ξ o, ζ o - współrędne punktu dla źródła aniecsceń, m ξ - serokość stref dopłwającch aniecsceń, m ζ - wsokość stref dopłwającch aniecsceń, m

3 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 39 Wprowadenie Substancje obecne w środowisku wodnm ulegają roprestrenieniu w wniku achodenia róŝnch procesów, takich jak: adwekcja, dfuja molekularna, dfuja turbulentna. Dodatkowm efektem wpłwającm na roprosenie aniecsceń w środowisku jest efekt dspersji mas będąc efektem nierównomiernego rokładu prędkości w płascźnie prostopadłej do kierunku ruchu wod. Równaniem uwględniającm wmienione proces jest równanie adwekcji - dfuji w stanach nieustalonch [1-6]. Rowiąanie takiego równania w prpadku ogólnm jest moŝliwe tlko metodami numercnmi. W wielu jednak stuacjach wstarcającą informację o sposobie roprestreniania się aniecsceń moŝna uskać analitcnch rowiąań takiego równania dla pewnch scególnch prpadków rokładu stęŝeń w casie i prestreni i prostej geometrii ośrodka, w którm wstępuje prepłw. Rowiąania analitcne umoŝliwiają sbkie uskanie prbliŝonej informacji o casie wstąpienia określonej wartości stęŝenia w określonm prekroju kontrolno-pomiarowm, osacowanie casu trwania stę- Ŝeń prewŝsającch wartość unaną a bepiecną, wnacenie stopnia wmiesania aniecsceń wodami cieku itp. W artkule preanaliowan ostanie prpadek adwekcjnego transportu aniecsceń uwględnieniem dwukierunkowej dspersji poprecnej w rece o korcie prostokątnm. Wniki uskane metodami numercnmi prenaconmi do rowiąwania równań róŝnickowch mogą bć obciąŝone wieloma błędami numercnmi. Rowiąanie analitcne równania transportu mas, co prawda uskane tlko dla pewnch prpadków propagacji aniecsceń, pobawione jest jednak takich błędów i moŝe bć dodatkowo wkorstane do ocen jakości wników uskiwanch metodami numercnmi. 1. Model transportu mas W niniejsej prac analiowan jest transport aniecsceń w środowisku wodnm wwołan adwekcją wdłuŝną (wdłuŝ cieku lub kanału) ora dfują w płascźnie normalnej do kierunku prepłwu. Model takiego transportu moŝe bć opisan następującm równaniem róŝnickowm [1-3, 7-]: (1.1) Równanie (1.1) uwględnia sbkość procesu aniku aniecscenia. Sbkość procesu opisano mechanimem jednocąsteckowm pierwsego rędu r c = kc [1, 4, 1, 6]. ( ) c c c c +Vx = D + D r c t x ( ) ( ) Rowiąanie scególne równania (1.1) moŝe bć wkorstane międ innmi do wnacenia stopnia wmiesania aniecsceń wodami odbiornika [] ( )

4 31 A. Bielski lub śledenia premiescania się aniecsceń w płascźnie prostopadłej do kierunku prepłwu upłwem casu.. Rowiąanie równania transportu aniecsceń Pred prstąpieniem do rowiąania równania (1.1) naleŝ dokonać jego prekstałcenia do postaci niealeŝnej od współrędnej x. W tm celu wprowadona ostanie tw. współrędna ruchoma x 1 dana worem: x = x V t 1 x (.1) ora nowe współrędne: t 1, 1, 1 takie, Ŝe: t 1 = t (.) 1= (.3) 1= (.4) W wiąku tm pochodne stęŝenia c(,,t) w równaniu (1.1) wględem nowch miennch: t 1, x 1, 1, 1 będą następujące: c c t c x1 c 1 c 1 = = t t t x t t t c c c c c c = 1 + ( V ) + + = V t x t x x x (.) c c t1 c x 1 c 1 c 1 = x t x x x x x c c c c c = = t x x = (.6) c c t1 c x1 c 1 c 1 = t x c c c c c = = t x = (.7)

5 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 311 c c t1 c x1 c 1 c 1 = t x c c c c c = = t x c c 1 c c = ===== 1 = = (.8) (.9) c c 1 c c = ===== 1 = (.1) Podstawiając nowe postacie pochodnch r.: (.), (.6) do równania (1.1) ora korstając równości (.9), (.1), otrmujem nową postać równania róŝnickowego: c c c = D + D kc t (.11) Cas t w tm równaniu odnosi się do stęŝenia w prekroju x = Vx t (transport adwekcjn). Predstawm całkę ogólną równania (.11) a pomocą ilocnu trech funkcji: ( ) ( ) ( ) c = Y Z T t (.1) (Y(), Z(), Y(t) - funkcje aleŝne tlko od jednej współrędnej, odpowiednio od:,, t). Pr takiej postaci całki ogólnej równanie (.11) prjmie następującą formę: 1 T 1 Y 1 Z + k = D + D T t Y Z (.13) Prjmijm, Ŝe kaŝd e składników tego równania jest równ innej ujemnej licbie i wted: 1 T + k = α T t (.14) 1 Y D = β Y (.1)

6 31 A. Bielski Stąd wiąek międ licbami jest następując: 1 Z D = γ Z α = β + γ (.16) (.17) Równanie (.14) odpowiedialne jest a mian stęŝeń w casie t, (.1) - a dfujn transport w kierunku (w poiomie, po serokości reki), (.16) - a dfujn transport w kierunku (w pionie, po głębokości reki). Napisanie całki ogólnej równania (.11) wmagać więc będie rowiąania trech niealeŝnch równań róŝnickowch: (.14), (.1), (.16). Równania: (.14), (.1), (.16) są wcajnmi równaniami róŝnickowmi pierwsego (r.(.14) lub drugiego stopnia (r.:(.1), (.16)) o stałch współcnnikach. Ich rowiąania są następujące [7-9]: α ( ) ( ) T = C exp kt exp α t (.18) β β Y = C cos + C sin β,1 β, D D γ γ Z = C cos + C sin γ,1 γ, D D (.19) (.) W celu wnacenia całki scególnej równania (.11) koniecne jest podanie: - warunku pocątkowego w prkładowej postaci: c(,,t ) = dla t =, x, <;S>, <;H> (.1) - warunku bregowego w prkładowej postaci: c(,,t ) = c (, ) dla t = lub t, x =, <;S>, <;H> (.) ora warunków dla pochodnch stęŝenia: c/, c/ na granic ośrodków woda - powierchnia korta reki. W prpadku korta o prekroju prostokątnm (rs. 1): c = dla = { ±S, }, t, x, < ;H > (.3)

7 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 313 c = dla = { ±H, }, t, x, < ;S > (.4) Prjęcie warunków (.3), (.4) onaca, Ŝe granica ośrodków woda - powierchnia korta reki jest dla aniecsceń dfujnie nieprenikliwa., γ Y,Z, Wartości licb ( β ) moŝna wnacć a pomocą pochodnch funkcji ( ) korstając warunków (.3) i (.4). W wiąku tm: Y β β β β = Cβ,1 sin + Cβ, cos = dla = ±S, D D D D { } Z γ γ γ γ = Cγ,1 sin + Cγ, cos = dla = ±H, D D D D { } (.) (.6) + H ξ A c c ζ S b, a + S c c H Rs. 1. Schemat prekroju poprecnego reki (korto prostokątne) anaconm rokładem. StęŜenie c (, ). StęŜenie c ma stałą wartość w obsare prostokąta o wmiarach ( ξ, ζ ). Na ewnątr prostokąta c =. Prostokąt presunięt jest na odległość a od lewego bregu reki ora najduje się na wsokości b nad dnem reki. Recwista reka o serokości S ora głębokości H repreentowana jest pre ćwiartkę A układu współrędnch

8 314 A. Bielski Spełnienie warunków (.), (.6) dla = jest moŝliwe tlko wted, gd: C β, =, C γ, =, poniewaŝ funkcja cos() = 1. W tej stuacji: β D β Cβ,1sin = dla = ±S D (.7) γ D γ Cγ,1sin = dla = ±H D (.8) Z równań (.7) i (.8) wnika, Ŝe licb (, γ) β jest nieskońcenie wiele i ich wartość aleŝ od wielokrotności kąta π, a więc: nπ D β n = dla n =, ±1, ±, ±3 S (.9) mπ D γ n = dla m =, ±1, ±, ±3 H (.3) Nieskońcenie wiele jest równieŝ licbα, co wnika e wiąku (.17). W tej stuacji rowiąanie równania (.11) dla korta prostokątnego jest kombinacją liniową ilocnów funkcji: (.18), (.19), (.) (w prpadku liniowch równań róŝnickowch liniowa kombinacja rowiąań scególnch jest równieŝ rowiąaniem równania róŝnickowego). Postać tego rowiąania jest następująca: n = + m = + nπ mπ nπ D mπ D c(,, t ) = Cm,n cos cos exp ( kt ) exp + t n = m = S H 4S 4H (.31) PoniewaŜ funkcja cosinus jest parsta, więc sumowanie w równaniu (.31) moŝe się preprowadone w akresie < ;+ ) tm, Ŝe współcnniki C m,n naleŝ traktować jako dwukrotnie więkse, wjątkiem stuacji, gd m =, a współcnnik n jest dowoln lub gd n =, a współcnnik m jest dowoln. Pr takim ałoŝeniu: n=+ m=+ nπ mπ nπd mπd c(,,t ) = Cm,ncos cos exp ( kt) exp + t n= m = S H 4S 4H (.3)

9 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 31 Z uwagi na parstość funkcji cosinus wnacenie współcnników C m,n będie wmagało preprowadenia obliceń dla wsstkich cterech ćwiartek układu współrędnch (rs. 1), mimo Ŝe recwista reka repreentowana jest tlko pre ćwiartkę A układu współrędnch. Gdb ałoŝć, Ŝe poa ćwiartką A w poostałch ćwiartkach stęŝenie jest erowe, to wnacone współcnniki C m,n błb takie same, inne natomiast błb ilocn skalarne i kwadrat norm ciągu nπ mπ ortogonalnego cos cos S H, wstępującego w rowiąaniach: (.31), (.3). W celu wnacenia wartości współcnników C m,n naleŝ skorstać seregu ortogonalnego [1] wnikającego rowiąania (3.3) dla casu t =, aproksmującego rokład stęŝeń predstawionch na rsunku 1, a więc: n = + m = + nπ mπ c,, t = = Cm,ncos cos = c, S H ( ) ( ) n = m = (.33) nπ mπ Ciąg cos cos S H jest ortogonaln, poniewaŝ dla dwóch róŝnch wartości: m, n ilocn skalarn jest równ eru [3] - moŝna to wkaać bepośred- nim rachunkiem. Korstając twierdenia o najlepsej aproksmacji kwadratowej [3], współ- c, i ciągu or- cnniki C m,n moŝna wnacć ilorau: ilocnu skalarnego ( ) togonalnego ora kwadratu norm ciągu ortogonalnego, a więc: nπ mπ c (, ), cos cos S H C m,n = nπ mπ cos cos S H (.34)... - onacenie kwadratu norm, (...) - onacenie ilocnu skalarnego. W aleŝności od wartości: m, n kwadrat norm są następujące (patr rs. 1): +S +H nπ mπ cos cos = 1 1dd = 16SH S H m =,n = S H (.3)

10 316 A. Bielski +S +H nπ mπ mπ cos cos = cos dd = 8SH S H H m 1,n = S H (.36) +S +H nπ mπ nπ cos cos = cos dd = 8SH S H S m=,n 1 S H (.37) +S +H nπ mπ nπ mπ cos cos = cos cos dd = 4SH S H S H m 1, n 1 S H (.38) W aleŝności od wartości: m, n ilocn skalarne mają postać (patr rs. 1): +S +H nπ mπ c (, ), cos cos = c (, ) 1dd = 16cξζ S H m =,n = S H (.39) +S +H nπ mπ mπ c (, ), cos cos = c (, ) cos dd = S H H m 1,n = S H 3H mπ( b +ζ) mπζ (.4) = c ξcos sin mπ H H ( ) +S +H nπ mπ nπ c (, ), cos cos = c (,) cos dd = S H S m =,n 1 S H 3S nπ a+ξ nπξ = c ζcos sin nπ S S +S +H m, n S H ( ) nπ( a+ξ) (.41) nπ mπ nπ mπ c (, ), cos cos = c (, ) cos cos dd = S H S H 64SH mπ b+ζ mπζ nπξ = c cos sin cos sin mnπ H H S S (.4)

11 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 317 Ostatecnie, na podstawie woru (.34), współcnniki C m,n dane są następującmi worami: C r.:(.39), (.3) ξζ ========= c SH m =, n = (.43a) ( ) r.:(.4),(.36) 4ξ mπ b+ζ mπζ C m 1, n = ========= c cos sin Smπ H H ( ) r.:(.41), (.37) 4ζ nπ a+ξ nπξ C m =,n 1 ========= c cos sin Hnπ S S (.43b) (.43c) ( ) nπ( a+ξ) r.:(.4), (. 38) 16 mπ b+ζ mπζ nπξ C m, n ========= c cos sin cos sin mnπ H H S S (.43d) Dsponując współcnnikami C m,n rowiąanie (.3), dla rokładu stęŝeń predstawionch na rsunku 1 prjmuje postać: ξζ c(,, t ) = c + SH m = + ( ) 4ξ mπ b+ζ mπζ mπ m π D + c cos sin cos exp t + m=1 Smπ H H H 4H ( ) n = + 4ζ nπ a+ξ nπξ nπ n π D + c cos sin cos exp t + n=1 Hnπ S S S 4S ( ) ( ) n = + m = + 16 mπ b+ζ mπζ nπ a+ξ nπξ + c cos sin cos sin mnπ n = 1 m = 1 H H S S nπ mπ n π D m π D cos cos exp + t exp ( kt) S H 4S 4H (.44) Równanie (.44) wkorstano do obliceń rokładu stęŝeń w róŝnch prekrojach reki, którch lokaliację określa cas t.

12 318 A. Bielski StęŜenie c w równaniu (.44) moŝe bć wraŝone a pomocą strumienia aniecscenia wprowadonego pre źródło aniecscenia. Pr ałoŝeniu, Ŝe prepłw w rece jest o wiele więks od wpłwu e źródła, stęŝenie: Q rd c = V x c rd ξ ζ (.4) 3. Wpłw aniecsceń nieskońcenie małego otworu Rokład stęŝeń aniecsceń, w prekroju pocątkowm, podcas wpłwu otworu o nieskońcenie małch romiarach moŝe bć opisan a pomocą strumienia wprowadanch aniecsceń i funkcji delta - Diraca dla wmiarów liniowch. W tej stuacji wmiar: ξ, ζ prjmują wartości erowe (rs. 1) i wted współrędne źródeł są następujące: (a, b), ( a, b), ( a, b), (a, b). Rokład stęŝeń jest więc sumą cterech funkcji (warunek bregow): Qrdc rd t c(,, t ) = c (, ) = ( δ( a ) δ( b ) +δ( a ) δ( b ) + x + δ a δ b +δ a δ b = ( ) ( ) ( ) ( )) Q c V ( ( ) ( ) ( ) ( ) rd rd = δ a δ b +δ a δ b + x ( ) ( ) ( ) ( )) + δ a δ b +δ a δ b dla t = lub t, x =, < ;S >, < ;H> (3.1) Równanie (3.1) odnosi się do stuacji, w której aniecscenia wprowadane są impulsowo w casie t i premiescą się wdłuŝ reki na drode x lub dopłwają w sposób ciągł i premiescą się wdłuŝ reki prędkością v x. W aleŝności od wartości: m, n ilocn skalarne, dla c (, ) opisanego formułą (3.1), mają w tm prpadku postać: +S +H nπ mπ Qrdc c (, ), cos cos = c (, ) 1dd = 4 S H Vx m =,n = S H +S +H nπ mπ mπ c (, ), cos cos = c (, ) cos dd = S H H m 1,n = S H Q c mπ V H rd rd = 4 cos b x rd (3.) (3.3)

13 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 319 x +S +H nπ mπ nπ c (, ), cos cos = c (, ) cos dd = S H S m =,n 1 S H Q (3.4) rdcrd nπ = 4 cos a V S +S +H nπ mπ nπ mπ c (, ), cos cos = c (, ) cos cos dd = S H S H m, n S H Q c mπ nπ V H S rd rd = 4 cos a cos b x (3.) Dla róŝnch wartości: m, n kwadrat norm poostają be mian (r.: (.3), (.36), (.37), (.38). Ostatecnie, na podstawie woru (.34), współcnniki C m, n dane są następującmi worami: r.:(3.), (.3) Qrdcrd 1 C m =, n = ========= V 4SH x (3.6) Q c 1 mπ r.:(3.3), (.36) rd rd C m 1, n = ========= cos b Vx SH H Q c 1 nπ r.:(3.4), (.37) rd rd C m =,n 1 ========= cos a Vx SH S (3.7) (3.8) Q c 1 mπ nπ r.:(3.), (.38) rd rd C m, n ========= cos b cos a Vx SH H S (3.9) Dsponując współcnnikami C m,n, rowiąanie (.3), dla rokładu stęŝeń opisanch a pomocą formuł (3.1), prjmuje postać: m = + Qrdcrd 1 1 mπ mπ m π D c(,, t ) = + cos bcos exp t + Vx 4SH m = 1 SH H H 4H n = + 1 nπ nπ n π D + cos acos exp t + n = 1 SH S S 4S n = + m = + 1 mπ nπ + cos bcos a n = 1 m = 1 SH H S nπ mπ n π D m π D cos cos exp + t exp kt S H 4S 4H ( ) (3.1)

14 3 A. Bielski 4. Wpłw aniecsceń nieskońcenie wąskiej pionowej lub poiomej scelin Rokład stęŝeń aniecsceń, w prekroju pocątkowm, podcas wpłwu pionowej scelin nieskońcenie wąskiej moŝe bć opisan a pomocą strumienia wprowadanch aniecsceń i funkcji delta - Diraca dla wmiarów liniowch. W tej stuacji wmiar: ξ prjmuje wartość ero, natomiast ζ = H (rs. 1) i wted współrędne źródeł są następujące: a, a dla <, H > ora < H, >. Rokład stęŝeń jest więc sumą cterech funkcji (warunek bregow): Qrdcrd t c(,, t ) = c (, ) = (( δ( a ) + δ( a )) = x H (4.1) Qrdcrd = ( δ( a ) +δ( a ) ) Vx H dla t = lub t, x =, < ;S>, < ;H > W aleŝności od wartości: m, n ilocn skalarne, dla c (, ) opisanego formułą (.1), mają w tm prpadku postać: +S +H nπ mπ Qrdc c (, ), cos cos = c (, ) 1dd = 8 S H Vx m =, n = S H (4.) +S +H nπ mπ mπ c (, ), cos cos = c (, ) cos dd = S H H m 1, n = S H (4.3) +S +H nπ mπ nπ c (, ), cos cos = c (, ) cos dd = S H S m =, n 1 S H (4.4) Qrdcrd nπ = 8 cos a V S x +S +H nπ mπ nπ mπ c (, ), cos cos = c (, ) cos cos dd = S H S H m,n S H (4.) Dla róŝnch wartości: m, n kwadrat norm poostają be mian (r.: (.3), (.36), (.37), (.38). Ostatecnie, na podstawie woru (.34), współcnniki C m,n dane są następującmi worami: rd

15 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 31 m =, n = r.:(4.), (.3) C ========= Qrdcrd 1 V SH x (4.6) m 1, n = r.:(4.3), (.36) C ========= Q c 1 nπ r.:(4.4), (.37) rd rd C m =, n 1 ========= cos a Vx SH S m,n r.:(4.), (.38) C ========= (4.7) (4.8) (4.9) Dsponując współcnnikami C m,n, rowiąanie (.3), dla rokładu stęŝeń opisanch a pomocą formuł (4.1), prjmuje postać: ( ) Q c 1 V SH rd rd c,,t = + x n = + 1 nπ nπ n π D + cos acos exp t exp kt n = 1 SH S S 4S ( ) (4.1) Równanie (4.1) opisuje rokład stęŝeń po serokości reki dla dowolnej wartości <, H>. W prpadku wpłwu poiomej, nieskońcenie wąskiej scelin o serokości S odsuniętej od osi Y na odległość: b, b (rs. 1) rowiąanie równania (.3) jest podobne do (4.1) tm, Ŝe koniecne jest dokonanie w tm równaniu następującch podstawień: n m, a b,, S H, D D prowadącch do następującej formuł: ( ) Q c 1 V SH rd rd c,,t = + x m = + 1 mπ mπ m π D + cos bcos exp t exp kt m = 1 SH H H 4H ( ) (4.11) Równanie (4.11) opisuje rokład stęŝeń po głębokości reki dla dowolnej wartości <, S >.. Własności rowiąania dla źródła o skońconch romiarach W celu graficnego obraowania prkładowego rokładu stęŝenia prestreni (, ) preprowadono oblicenia wkorstaniem równania (.44) dla następującch danch: c = 1 g/m 3, a = m, ξ = m, S = m, b =, m, ζ =, m,

16 3 A. Bielski H = 1, m, D =, m /s, D =, m /s, M = 4, N = 4, k =. Rokład stęŝeń po casie 1 sekund propagacji aniecscenia predstawiono na rsunku. Z wceśniejsch badań [1, 4, 3] wnika, Ŝe maksimum stęŝenia aniecscenia wprowadonego ekscentrcnie w prekroju wkauje tendencję premiescania się do bliŝsch krawędi prekroju reki (bliŝsego bregu ora dna lub powierchni wierciadła wod). W ropatrwanm prpadku maksmalne stęŝenia prekrojów, tn. w kolejnch chwilach, premiescać się będą do punktu o współrędnch ( =, = ) (rs. -4) [m] [m] Rs.. Rokład stęŝeń w prekroju poprecnm reki w chwili t = 1 s 3... [m] [m] Rs. 3. Rokład stęŝeń w prekroju poprecnm reki w chwili t = s

17 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej [m] [m] Rs. 4. Rokład stęŝeń w prekroju poprecnm reki w chwili t = 6 s 3... [m] [m] Rs.. Rokład stęŝeń w prekroju poprecnm reki w chwili t = 7 s NaleŜ jednak wrócić uwagę, Ŝe cas, po którm maksmalne stęŝenie prekroju (w odniesieniu do całego prekroju) wstąpi w naroŝu prekroju (w tm wpadku w punkcie o współrędnch =, = ), róŝni się od casu wstąpienia maksmalnego stęŝenia w naroŝu prekroju. Maksmalne stęŝenie w naroŝu prekroju pojawia się wceśniej pred wstąpieniem w tm miejscu maksmalnego

18 34 A. Bielski stęŝenia prekroju. Ponadto maksmalne stęŝenie, jakie pojawi się w naroŝu prekroju, jest więkse od, obserwowanej w tm miejscu, wartości maksmalnego stę- Ŝenia prekroju. Maksmalne stęŝenie prekroju o wartości 6,63 g/m 3 w punkcie o współrędnch: =, = wstąpi po casie około 6 sekund (rs. 4). Później stęŝenia w naroŝu ( =, = ) będą maleć (rs. ). Maksmalna wartość stę- Ŝenia prekroju po casie 7 sekund wnosi 6,496 g/m 3. Maksmalne stęŝenie, jakie w ogóle wstąpi w naroŝu, jest więkse od maksmalnego stęŝenia prekroju i wnosi 6,791 g/m 3 (rs. 6). Pojawi się jednak wceśniej, tj. w chwili 4 sekund (rs. 6). MoŜliwe jest osacowanie casu wstąpienia maksmalnego stęŝenia prekroju w naroŝu i maksmalnego stęŝenia w naroŝu. Rowiąanie równania adwekcji uwględnieniem dfuji w płascźnie prostopadłej do kierunku prepłwu dla wmusenia impulsowego w obsare nieograniconm ma postać: c(,, t) =.8 1 ( π t ) D D M ( ξ ) ( ζ ) exp H 4Dt 4Dt ( ) S (.1) C/C, =, =, C = 1g/m Rs. 6. Prebieg bewmiarowch stęŝeń C/C w casie w naroŝu prekroju ( =, = ) t [s] Współrędne połoŝenia cąstki wprowadonej substancji moŝna traktować jak mienne losowe. Porównując wór (.1) dwuwmiarowm rokładem normalnm, mającm średnie: ( ξ, ζ ) i wariancje: (σ, σ ) o miennch nieskorelowanch, w postaci: f(, ) = 1 πσ σ σ σ ( ξ ) ( ζ ) exp (.) roprosenie cąstek substancji wokół punktu o współrędnch ( ξ, ζ ) moŝe bć prbliŝone następującmi relacjami:

19 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 3 σ = D t σ = D t (.3) (.4) W prpadku ośrodka ograniconego (rs. 1) roprosenie: σ a + ξ σ b + ζ (.) (.6) W wiąku tm cas t max, p premiescenia maksmalnego stęŝenia prekroju do naroŝa prekroju moŝe bć osacowan aleŝności: ( a+ξ) ( b+ζ) t max, p = max, D (.7) W tm w prpadku dla: a = m, ξ = m, b =, m, ζ =, m, D =, m /s, D =, m /s cas t max,p = 6 s, co jest godne wnikami obliceń uskanmi równania (.44) (rs. 4). Analia charakteru premiescania się maksmalnego stęŝenia prekroju (rs., 4) pokauje, Ŝe premiesceniu w pionie (kierunek ) nie towarsło premiescenie w poiomie (kierunek ). Świadc to o nieskorelowaniu roprosenia cąstek substancji w kierunkach wajemnie prostopadłch. Osacowanie casu wstąpienia stęŝenia maksmalnego, jakie w ogóle pojawi się w naroŝu, jest trudniejse. Roprasanie cąstek substancji w kierunku ora naleŝałob traktować jak proces losow o miennch skorelowanch. PrbliŜone cas premiesceń cąstek substancji w kierunku poiomm (t ) i pionowm (t ) moŝna oblicć e worów: D t = t = ( a+ξ) D ( b+ζ) D (.8) (.9) JeŜeli cas t t, to moŝna prjmować, Ŝe w casie t cąstecki substancji premieścił się w kierunku na drode t D, a więc poostała droga do naroŝa w tm kierunku wnosi a+ξ t D. W wiąku tm cas tmax wstąpienia maksmalnego stęŝenia w naroŝu moŝna osacować e woru: t = t + max ( a+ξ t ) D D (.1)

20 36 A. Bielski W ropatrwanm prpadku uskan e woru (.1) cas t max = 3 s, podcas gd faktcnie ten cas jest równ 4 s (rs. 6). Cas t max jest mniejs od faktcnego, a popełnion błąd wględn wnosi więc około %. Preprowadono sereg obliceń dla róŝnch kombinacji wartości: a, ξ, S, b, ζ, H, D, D (tab. 1); (podcas prrównwania pochodnch stęŝenia wględem casu do era wartości: S, H nie mają nacenia). Dla innch wartości parametrów modelu propagacji aniecsceń (tab. 1) błąd ten bł mniejs. Scegółowa analia wników obliceń wskauje jednak (tab. 1, kol.: 9, 13, 14, 1), Ŝe faktcn cas t max,f wstąpienia maksmalnego stęŝenia w naroŝu awart jest w prediale t, t i dokładniejse jego osacowanie jest następujące: max,p max ( ) t =. t + t max, f max,p max (.11) Oblicenia mian stęŝeń w casie dla parametrów modelu awartch w tabeli 1 umoŝliwił sporądenie wkresów predstawiającch prebieg pochodnej d(c/c )/dt wględem casu t w naroŝu prekroju ( =, = ) lub wględem bewmiarowego stęŝenia C/C. Prkładowe wkres dla wbranch wartości parametrów: a, ξ, S, b, ζ, H, D, D predstawiono na rsunkach 7 i 8. Na podstawie wielu tego tpu wkresów wnacono chwilę wstąpienia maksmalnch mian stęŝeń d(c/c )/dt max. Maksmalne mian stęŝeń pojawiają się w prbliŝeniu (tab. 1, kol. 1) w 1/47 casu wstąpienia maksmalnego stęŝenia w naroŝu prekroju ( =, = ) (w prpadku wkresów na rsunkach 6 i 7 ułamek ten wnosi 1/4) lub w chwili wstąpienia stęŝenia (tab. 1, kol. 1) stanowiącego 1/3 stęŝenia maksmalnego, jakie pojawi się w naroŝu prekroju ( =, = ) (w prpadku wkresu 8 ułamek ten wnosi 1/31)..E- d(c/c)/dt, =, =, C = 1g/m 3 4.E- 3.E-.E- 1.E-.E+ -1.E t [s] Rs. 7. Prebieg pochodnej d(c/c )/dt w casie w naroŝu prekroju ( =, = ), (a = m, ξ = m, S = m, b =, m, ζ =, m, H = 1, m, D =, m /s, D =, m /s)

21 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 37.E- 4.E- 4.E- 3.E- 3.E-.E-.E- E- 1.E-.E-6.E+ -.E d(c/co)/dt, =, =, C = 1g/m3 C/Co Rs. 8. Prebieg pochodnej d(c/c )/dt wględem bewmiarowego stęŝenia C/C w naroŝu prekroju ( =, = ), (a = m, ξ = m, S = m, b =, m, ζ =, m, H = 1,m, D =, m /s, D =, m /s) Gdb substancja roprestreniała się w ośrodku nieograniconm, to w prpadku wmusenia impulsowego cas t max wstąpienia stęŝenia maksmalnego c w punkcie ( =, = ) moŝna oblicć warunku = wkorstaniem równania (.1) i wted: max (ξ ) (ζ ) t = + 4D 4D t (.1) (w tm prpadku prjmujem, Ŝe: ξ = a + ξ, ζ = b + ζ ) Chwilę t * wstąpienia maksmalnej mian stęŝenia w punkcie ( =, = ) moŝna oblicć warunku c = wkorstaniem równania (.1) i wted: t * (ξ ) (ζ ) 1 max 1 t = + 1 = t 1 4D 4D (.13) W tej stuacji, w ośrodku nieograniconm, maksmalnm mianom stęŝeń odpowiadać będie ilora casów: * t 1 1 = 1 max t 34 (.14)

22 38 A. Bielski Tabela 1 Wniki obliceń dotcącch maksmalnego stęŝenia ora maksmalnej mianstęŝenia w casie w naroŝu prekroju ( =, = ) dla róŝnch parametrów: a, ξ, S,b, ζ, H, D, D.(tmax,p + tmax) tmax r.(6.1) tmax,p r.(6.7) PołoŜenie (dc/dt)max w odniesieniu do casu t 1 1/38 1/ 1/ 1/ 1/ 1/3 1/8 1/4 1/48 1/48 1/3 1/48 1/3 1/6 1/38 1/ 1/36 1/4 1/3 1/3 1/3 1/1 1/4 1/1 1/1 1/1 t[(dc/dt)max] PołoŜenie (dc/dt)max w odniesieniu do stęŝenia c 1 1/31 1/3 1/3 1/3 1/3 1/33 1/3 1/31 1/33 1/3 1/33 1/3 1/33 1/3 1/3 1/3 1/31 1/31 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/33 1/34 1/33 t(cmax) D 8 E-4 E-4 E-3 E- E-1 E-1 E-1 E-4 E-4 E-3 E- E- E-3 E- E- E-1 E-3 E E- E-3 E-3 1E-3 1E- D 7 E-1 E-4 E-4 E-4 E-4 E-3 E-1 E- E-3 E- E-3 E- E-3 E-1 E- E- E-1 E E- 1E- 1E-4 3E-3 1E- H ζ b S ξ a Lp

23 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 39 Ilora 1/33 jest więks od 1/47, co onaca, Ŝe maksmalne stęŝenie w punkcie ( =, = ) w prpadku ośrodka ograniconego (bregi reki) pojawi się wceśniej niŝ w prpadku ośrodka nieograniconego. Obecność bregu prcnia się więc do prspiesenia efektów wiąanch roprestrenianiem mas badanej substancji. Maksmalne stęŝenie w punkcie ( =, = ) w chwili t max jest następujące (r.: (.1), (.1)): 1 M ( ) max S c exp 1 max ( π t ) D ( H) D (.1) StęŜenie c *, któremu odpowiada maksmalna miana stęŝenia w punkcie ( =, = ), w chwili t * opisuje formuła (r.: (.1), (.13), (.14)): 1 M 1 exp ( H) * S c = max π t 1 DD (.16) W tej stuacji ilora stęŝeń, charakterującch moment wstąpienia maksmalnej mian stęŝenia w punkcie ( =, = ), dan jest worem: * c 1 1 = exp max c (.17) Ułamek 1/33 wnacon dla ośrodka nieograniconego jest bliŝon do ułamka 1/3 wnaconego dla ośrodka ograniconego (bregi reki). Onaca to, Ŝe prebieg mian stęŝeń w casie w punkcie ( =, = ) w obu ośrodkach ma ten sam charakter, a krwe predstawiające mian stęŝeń są podobne. Podsumowanie i wnioski Predstawione rowiąanie (.11), dla prostokątnego rokładu stęŝeń w prekroju pocątkowm, w postaci formuł (.44) umoŝliwia wnacenie rokładu stęŝeń aniecsceń w prekrojach poprecnch reki. Korstając twierdenia o najlepsej aproksmacji kwadratowej, określono postać rowiąań (.11) w prpadku wpłwu aniecsceń nieskońcenie małego otworu lub nieskońcenie wąskiej pionowej lub poiomej scelin. Rowiąania takie są prdatne, gd nie jest roponan rokład stęŝeń anie-

24 33 A. Bielski csceń w prekroju pocątkowm, nan jest natomiast strumień aniecsceń wprowadanch do reki. Maksima stęŝeń, w cora dalsch prekrojach, premiescają się awse w kierunku bliŝsch krawędi prekroju poprecnego reki. Taka stuacja moŝe aistnieć tlko wted, gd aniecscenia nie są wprowadane w środku smetrii prekroju. W wiąku tm próbki do pomiarów maksmalnch stęŝeń aniecsceń w prekrojach reki powinn bć pobierane w pobliŝu miejsc wstąpienia maksmalnch stęŝeń określonch a pomocą równania (.44). Pobór próbki w niewłaściwm miejscu moŝe prowadić do błędnego wniosku o wielkości stęŝenia aniecscenia, a tm samm do błędnch decji dotcącch arądania jakością wód powierchniowch. Analia sbkości premiescania się maksimów stęŝeń w kierunku naroŝa prekroju umoŝliwiła sformułowanie prbliŝonch aleŝności umoŝliwiającch oblicenie casu premiescenia maksmalnego stęŝenia prekroju do naroŝa prekroju (r.(.7)) ora casu wstąpienia stęŝenia maksmalnego, jakie w ogóle pojawi się w naroŝu (r.(.1)). Badanie prebiegu rokładu stęŝeń w naroŝu prekroju, do którego premiescają się maksima stęŝeń, umoŝliwiło sformułowanie następującch wniosków ogólnch: 1. Maksmalne mian stęŝeń pojawiają się w prbliŝeniu w około 1/47 casu wstąpienia maksmalnego stęŝenia w naroŝu prekroju.. Maksmalne mian stęŝeń pojawiają się w chwili wstąpienia stęŝenia stanowiącego 1/3 stęŝenia maksmalnego, jakie pojawi się w naroŝu prekroju. 3. W prpadku ośrodka nieograniconego maksmalne mian stęŝeń pojawiają się wceśniej, to jest w 1/34 casu wstąpienia maksmalnego stęŝenia w odległości ξ = a + ξ, ζ = b + ζ od osi źródła aniecscenia. 4. W prpadku ośrodka nieograniconego maksmalne mian stęŝeń pojawiają się w chwili wstąpienia stęŝenia stanowiącego 1/33 stęŝenia maksmalnego, jakie pojawi się w odległości ξ = a + ξ, ζ = b + ζ od osi źródła aniecscenia. Ułamek 1/33 wnacon dla ośrodka nieograniconego jest bliŝon do ułamka 1/3 wnaconego dla ośrodka ograniconego (bregi reki). Onaca to, Ŝe prebieg mian stęŝeń w casie w punkcie ( =, = ) w obu ośrodkach ma ten sam charakter, a krwe predstawiające mian stęŝeń są podobne. Dsponując rokładem stęŝeń w prekrojach poprecnch reki, moŝna określić aleŝność współcnnika mienności od casu. UmoŜliwia to wnacenie casu niebędnego do wmiesania aniecsceń wodami reki na odpowiednim poiomie. Wniki obliceń uskane a pomocą woru (.44) moŝna wkorstać do testowania jakości wników otrmanch a pomocą algortmów numercnch i jakości samch algortmów. Z uwagi na liniową postać równania transportu mas (1.1) rokład stęŝeń aniecsceń pochodącch kilku źródeł moŝna uskać, sumując rokład stęŝeń dla poscególnch źródeł.

25 Transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej 331 Literatura [1] Bielski A., Gońka A., Wnacanie drogi miesania aniecsceń w ciekach wodnch, Archiwum Ochron Środowiska 1, 7, 1, [] Boeker E., Rienk van Grondelle, Fika środowiska, WN PWN, Warsawa. [3] Rup K., Proces prenosenia aniecsceń w środowisku naturalnm, Wdawnictwo Naukowo-Technicne, Warsawa 6. [4] Bielski A., Adwekcja dwukierunkową dspersją aniecsceń w stanach nieustalonch w środowisku wodnm, Casopismo Technicne Z. 7, Wdawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 3. [] Bielski A., Modelling of mass transport in watercourses considering mass transfer between phases in unstead states. Part I. Mass transfer process for periodic and aperiodic changes of concentration, Environment Protection Engineering, 11, (), 3-1. [6] Bielski A., Modelling of mass transport in watercourses considering mass transfer between phases in unstead states. Part II. Mass transport during absorption and adsorption processes, Environment Protection Engineering 11, (4), [7] Cernusenko W., Roprestrenianie się aniecsceń w rekach i kanałach, Insttut Meteorologii i Gospodarki Wodnej, Warsawa [8] Cernusenko W., Naturalne miesanie w rekach, Archiwum Hdrotechniki,. 1-, PWN, Warsawa [9] Kembłowski Z., Michałowski S., Strumiłło G., Zarcki R., Podstaw teoretcne inŝnierii chemicnej i procesowej, Wdawnictwo Naukowo-Technicne, Warsawa 198. [1] Pohorecki R., Wroński S., Kinetka i termodnamika procesów inŝnierii chemicnej, Wdawnictwa Naukowo-Technicne, Warsawa [11] Rarabotka mietodow prognoirowanija kacestwa wod wodnch obiektow pri sbrose w nich stocnch wod, Idateskij Otdieł Uprawlenija Diełami Siekrietariata SEW (Sowiet Ekonomiceskoj Waimopomosci), Moskwa [1] Sawicki J.M., Migracja aniecsceń, Wdawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 3. [13] Bowie G.L., Mills W.B., Porcella D.B., Campbell C.L., Pagenkopf J.R., Rupp G.L., Johnson K.M., Chan P.W.H., Gherini S.A., Rates, constans and kinetics formulations in surface water qualit modeling, Environmental Protection Agenc, June 198. [14] Vedat Batu, Applied Flow and Solute Transport Modeling in Aquifers, Talor & Francis Group, 6. [1] Zoppou C., Knight J.H., Analtical solution of a spatiall variable coefficient advection - diffusion equation in up to three dimensions, Applied Mathematical Modelling 1999, 3, [16] Drago M., Cescon B., Iovenitti L., A three-dimensional numerical model for eutrophication and pollutant transport, Ecological Modelling 1, 14, [17] Martin J.L., McCutcheon S.C., Hdrodnamics and Transport for Water Qualit Modeling, CRC Press, [18] Chapra S.C., Surface Water Qualit Modeling, Waveland Press, 8. [19] Wesseling P., Principles of Computational Fluid Dnamics, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1. [] Ninghu Su, Generalisation of various hdrological and environmental transport models using the Fokker-Planck equation, Environmental Modelling & Software 19, 4, [1] Rowiński P.M., Modelowanie transportu aniecsceń w rekach na prkładie reki Narwi, Insttut Geofiki Polskiej Akademii Nauk, Warsawa. Narew_Rowinski/Rowinski_Politechnika.pdf [] Bouche J., Lajeunesse E., Gaillarde J., France-Lanordc Ch., Dutra-Maia P., Maurice L., Gualtieri C., Discussion -Turbulent mixing in the Amaon River: The isotopic memor of con-

26 33 A. Bielski fluences, Earth and Planetar Science Letters, (1) 9, 37-43, Earth and Planetar Science Letters, 11, [3] Bouche J., Lajeunesse E., Gaillardet J., France-Lanord Ch., Dutra-Maia P., Maurice L., Turbulent mixing in the Amaon River: The isotopic memor of confluences, Earth and Planetar Science Letters, 11, [4] Ramaswami A., Milford J.B., Small MJ., Integrated Environmental Modeling Pollutant Transport, Fate, and Risk in the Environment, Wile, New Jerse. [] Bielski A., Adwekcjn transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej w płascźnie prostopadłej do kierunku prepłwu, Ochrona Środowiska, 1,, [6] Sarawara J., Skrpek J., Podstaw inŝnierii reaktorów chemicnch, Wdawnictwa Naukowo-Technicne, Warsawa 198. [7] Leitner R., Zars matematki wŝsej c.: I, II, III, Wdawnictwa Naukowo-Technicne, Warsawa [8] Bronstejn I.N., Siemiendiajew K.A., Matematka. Poradnik encklopedcn, PWN, Warsawa [9] Korn G.A., Korn T.M., Matematka dla pracowników naukowch i inŝnierów, cęść II, PWN, Warsawa [3] śakowski W., Kołodiej W., Matematka, Wdawnictwa Naukowo-Technicne, Warsawa [31] Bielski A., Adwekcjn transport aniecsceń w rece uwględnieniem dfuji dwukierunkowej w płascźnie prostopadłej do kierunku prepłwu, Ochrona Środowiska, Environmental Pollution Control 1, 34,. Transport of Pollutants in a the River with Bi-directional Diffusion The paper presents an analtical method for solving the differential equation describing the advection mass transport with bi-directional diffusion in the plane perpendicular to the flow in the unstead state. In this method, a function of concentration is represented through the products of three functions related to coordinates of time and two linears. This manner allows the presentation of the mass transport equation in the form of three differential equations relating to a single coordinate. The solution of mass transport equation refers to the case of uniform, rectangular concentration distribution of pollutants in the river section. The solution allows to specif the distribution of pollutants concentrations in the river section. It also gives solutions for the discharge of pollutants from the infinitel small hole and the infinitel narrow horiontal or vertical gap. It presents formulas to determine the approximate time displacement of peak concentration of section to a corner of a rectangular cross-section of the river and the time of the maximum concentration at all appears in the corner of the section. In the paper there were described the properties of obtained solutions. The relative moments of appearance of the maximum changes of concentration with time at a specific location in the river cross-section were described. In the case of rectangular riverbed maximum concentration changes occur approximatel at about 1/47 of time of to maximum concentration in a corner section or at the time of the concentration being 1/3 of the maximum concentration that will appear in the corner. In the unlimited space maximum changes of concentration occur earlier at 1/34 time to maximum concentration in the same place thanas in the limited space (river). In the unlimited space maximum concentrations occur at the time when concentration is 1/33 of the maximum concentration which will be in the same place as in the limited space. Fraction 1/33 set for unlimited space is close to the fraction 1/3 obtained for limited space (river). This means that the changes of the concentrations at the same point in the two spaces are the same in nature, and the curves of changes in concentration are similar. Kewords: pollutants, water, river, advection, two-wa diffusion, unstead state