Drgania układów mechanicznych
|
|
- Judyta Filipiak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapznanie się z właściwściami układów drgających raz metdami pmiaru i analizy drgań Ćwiczenie składa się z dwóch części ierwsza część ćwiczenia dtyczy drgań układów ciągłych, druga bejmuje pmiary drgań układu stpniu swbdy I Drgania układów ciągłych Układ pmiarwy badany układ drgający, - wzbudnica drgań, 3 - wzmacniacz mcy, 4 - generatr, 5 - częstścimierz, 6 - strbskp Zadania labratryjne Zmierzyć częsttliwści pprzecznych drgań własnych (mdów) belek róŝnych długściach i przekrjach pprzecznych, wyknanych z róŝnych materiałów Wyznaczyć trzy pierwsze spsby (mdy) drgań pprzecznych belek 3 Otrzymane wyniki zamieścić w tabeli wg wzru (tabela 3) i prównać z wynikami teretycznymi krzystając z zaleŝnści pdanych w Ddatku A i danych materiałwych pdanych w tabelach i 4 Wyznaczyć figury Chladnieg na drgających płytach róŝnych kształtach 5 Obserwacja fal rzchdzących się na pwierzchni wdy 3 Zagadnienia d przygtwania 3 Drgania strun, prętów, belek i płyt 3 Częsttliwści drgań własnych (mdów) Literatura [] Dbrucki A, dstawy akustyki Skrypt Wr,Wrcław 987 [] Januszajtis A, Fizyka dla litechnik, Tm III Fale, 5 WN W-wa 99 [3] śyszkwski Z, dstawy elektrakustyki, wyd3 WNT W-wa 984, rzdz 6
2 Tabela Dane materiałwe Materiał Współczynnik spręŝystści pdłuŝnej (mduł Yunga) E [N/m ] Gęstść ρ [kg/m 3 ] rędkść fali pdłuŝnej (dźwięku) cl = E / ρ [m/s] Stal, Msiądz, Duraluminium 0, lexiglas 4, Tabela Mmenty bezwładnści przekrjów róŝnych kształtach Kształt przekrju przeczneg Mment bezwładnści przekrju [m 4 ] rstkątny (a x b) Kłwy ( r ) a 3 b/ πr 4 /4 Trójkąt równbczny ( a ) 3 a 96 4
3 Tabela 3 Wyniki pmiarów i bliczeń Materiał arametry gemetryczne l = a = b = r = n f n, zm (Hz) f n, bl (Hz) δ f (%) 3 m x nm, zm (mm) x nm, bl (mm) δ x (%) S = I = l = a = b = r = S = I = 3 l = a = b = r = S = I = 3 Uwaga: δ f = (f n, zm - f n, bl )/ f n, bl x 00 %; δ x = (x n, zm - x n, bl )/ x n, bl x 00 %; l długść [m]; a grubść [m]; b szerkść [m]; r prmień [m]; S ple pwierzchni przekrju [m ]; I mment bezwładnści przekrju [m 4 ]; n numer mdu drgań; m numer węzła drgań 3
4 Ddatek A DRGANIA RĘTÓW RzwaŜamy pręt jednstajnym przekrju pprzecznym S [m ], wyknany z materiału gęstści ρ [kg/m 3 ] i współczynniku spręŝystści pdłuŝnej materiału (mduł Yunga) E [N/m ] W przeciwieństwie d strun nie uwzględnia się zupełnie naciągu rzyjmuje się, Ŝe całkwita siła zwracająca pręt d płŝenia równwagi pchdzi jedynie d jeg spręŝystści własnej ręt mŝe drgać pdłuŝnie, pprzecznie i skrętnie (wirw) I DRGANIA ODŁUśNE RĘTÓW Rys Drgania pdłuŝne pręta d wpływem działającej siły F [N] dległść ξ dległść między dwma dwlnymi ξ przekrjami wzrsła dξ = dx, zatem względne wydłuŝenie pręta w tym bszarze wynsi x ξ ε = i zgdnie z prawem Hke a jest prprcjnalna d napręŝenia σ x : x σ F ε = x =, F = ES E E S ε Siła działająca na prawy przekrój jest F x F + dx = F + ES dx, x x 4
5 czyli, Ŝe wypadkwa siła działająca na dcinek pręta dξ wynsi: x df = ES dx x Jest t siła spręŝystści d wpływem tej siły masa dcinka pręta dx równa dm = Sρdx, dznaje przyspieszenia ξ Zatem na pdstawie II prawa Newtn a trzymujemy równanie: t (I) ξ t ξ, x = c L w którym cl = E / ρ [m/s] jest prędkścią fali pdłuŝnej (dźwięku) w pręcie Jest t równanie falwe, jednwymiarwe (fali dźwiękwej w pręcie) Spełnia je dwlna ξ x ± ct funkcja typu ( ) Dla wyznaczenia drgań własnych pręta pstępuje się pdbnie jak dla struny, tj metdą rzdzielenia zmiennych szukuje się rzwiązania równania (I) w pstaci ilczynu dwóch funkcji, z których jedna zaleŝy tylk d x, a druga tylk d t ξ ( x, t) = X ( x) T ( t) Ostatecznie, rzwiązanie równania falweg ma pstać: nπ ( x, t) C cs t C sin t sin x n n n n, n = 0,,, n l (I) ξ = ( ω + ω ) gdzie stałe C n, C n wyznacza się z warunków pczątkwych, natmiast częstści drgań własnych (mdów) są równe: (I3) nπ E ωn =, [rad/s] l ρ NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe częstści pdłuŝnych drgań własnych pręta są, pdbnie jak struny, harmniczne w stsunku d częstści pdstawwej ω (n = ) 5
6 II DRGANIA ORZECZNE RĘTÓW Rys Drgania pprzeczne pręta Drgania pprzeczne pręta stałym przekrju S i gęstści ρ wzdłuŝ długści l pisuje równanie róŝniczkwe: (II) z z ρs t x x + EI 0 =, gdzie wyraŝenie w nawiasie jest mmentem zginającym, natmiast I jest mmentem bezwładnści przekrju pprzeczneg pręta I = z ds S Równanie (II) nie jest równaniem falwym JeŜeli pdstawimy d (II) rzwiązanie z( x, t) = Z exp j( ωt kx), t trzymamy związek dyspersyjny falwe np w pstaci ( ) (dyspersja - zjawisk w którym prędkść fali zaleŝy d częsttliwści): EI ω = k, ρs przy czym k = π/λ jest liczbą falwą, λ długścią fali pprzecznej Z zaleŝnści tej wynika, Ŝe prędkść przemieszczania się pwierzchni stałej fazy, czyli prędkść fazwa drgań pprzecznych, jest równa: ω I c = = ωcl ω k S Ze względów fizycznych jest t niemŝliwe, zatem równanie (II) nie jest ścisłe Jednak dla małych częsttliwści, dla których długść fali pprzecznej λ jest znacznie większa d wymiarów liniwych przekrju pprzeczneg pręta (a/λ < 0), równanie (II) jest wystarczając dkładne dla zastswań technicznych dstawiając d równania (II): z( x, t) Z( x)exp( jωt ) =, trzymamy: (II) ( ) 4 dx 4 d Z x ρs EI 4 4 µ Z( x) = 0, µ = ω 6
7 Ogólne rzwiązanie równania (II) mŝna przedstawić w pstaci: (II3) µ x µ x jµ x jµ x Z( x) = A e + Ae + A3e + A4e = = B csh µ x + B sinh µ x + B cs µ x + B sin µ x 3 4 Rzwiązanie (II3) zawiera cztery stałe d wyznaczenia których ptrzebne są cztery warunki brzegwe, p dwa na kaŝdy kniec pręta II ręt zaciśnięty na jednym kńcu i swbdny na drugim Dla x = 0 wychylenie i nachylenie pręta muszą być równe zer: Stąd B = -B 3 raz B = -B 4 dz( x) Z(0) = 0 i x= 0 = 0 dx Dla x = l mment zginający i siła ścinająca na swbdnym kńcu pręt muszą być równe zer: Stąd przy czym 3 d Z ( x) d Z( x) 0 i 0 x= l = 3 x= l = dx dx sin µ l sinh µ l cs µ l + csh µ l B = B = B, cs µ l + csh µ l sin µ l + sinh µ l ( ) + = cs µ l csh µ l sinh µ l sin µ l, csh µ l cs µ l = Wartści własne statnieg równania wynszą: µ l = 875, µ l = 46946, µ 3l = 78548, µ 4l = 09957, Dla tych wartści µ n, n=,,, trzymuje się ze wzru (II) częsttliwści pprzecznych drgań własnych pręta: (II4) EI = 4 ω n µ n ρs Na rysunku 3 pkazan cztery pierwsze mdy drgań pprzecznych pręta zaciśnięteg na jednym kńcu 7
8 Rys 3 Cztery pierwsze spsby (mdy) drgań pprzecznych pręta zaciśnięteg na jednym kńcu częsttliwściach: f = EI l ρs, [Hz] f f = 668 f, = 7548 f, 3 f = f 4 8
9 III DRGANIA SKRĘTNE RĘTÓW Rys 4 Drgania skrętne pręta Gdy pręt jest pbudzany mmentem skręcającym pwstają drgania skrętne (wirwe) ręt przenszący mmenty skręcające nazywany jest wałem Częsttliwść pdstawwa drgań własnych skrętnych jest kreślna wzrem: E (III) f =, [Hz], l ρ( + σ ) gdzie σ jest liczbą issna Częsttliwści drgań wyŝszych mdów są harmniczne w stsunku d częsttliwści pdstawwej f 9
10 II miary drgań układu stpniu swbdy Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapznanie się z właściwściami układów drgających raz metdami pmiaru i analizy drgań Układ pmiarwy - wzbudnica drgań typ 076 RFT, - czujniki drgań typ KD 3 RFT, 3 - układy całkujące typ SM 0 RFT, 4 - wzmacniacze napięciwe 607 B&K, 5 - wzmacniacz mcy typ 706 B&K, 6 kmputer C + prgram WINOMI Zadania labratryjne łączyć układ wg schematu blkweg Uruchmić prgram d pmiarów elektrakustycznych Winmi 3 W prgramie Winmi dknać następujących nastaw: Typ kienka: rstkątne Długść FFT: 89 Sygnał pmiarwy: Chirp Liczba uśrednień: 3 Ilść cykli bez pmiaru: Napięcie wyjściwe: 0V Częsttliwść próbkwania: 4 khz Tryb pracy: dwa kanały Zaznaczyć kienk autskalwanie Zakres napięć wejściwych karty pmiarwej wynsi ± 0 V NaleŜy wyregulwać pzim sygnału pdawaneg na wzbudnicę drgań (regulatr wzmcnienia wzmacniacza mcy), jak teŝ wzmcnienia przedwzmacniaczy czujników drgań i wzmacniaczy pmiarwych Sprawdzenie napięć sygnałów pdawanych na kartę mŝna dknać w prgramie Winmi wybierając: miar Analiza sygnału Analizy rzebieg czaswy i uruchamiając miar 4 Dla zadanej masy bciąŝającej spręŝynę (m ) zmierzyć charakterystykę częsttliwściwą przyspieszenia drgań układu stpniu swbdy W tym celu naleŝy w prgramie Winmi wybrać: miar Transmitancja 0
11 Analizy Mduł transmitancji Tryb pracy: stsunek A/B i uruchmić miar Otrzymany wykres mdułu transmitancji zdkumentwać p wstępnym dbraniu zakresów zmian pzimu i częsttliwści rzy pmcy kursra dczytać bardz dkładnie częsttliwść drgań swbdnych jednwymiarweg scylatra harmniczneg W tym celu naleŝy graniczyć wykres d zakresu częsttliwści bliskich częsttliwści reznanswej, jak teŝ zmienić skalę częsttliwści na liniwą Odczytać równieŝ wartści częsttliwści dla spadku pzimu sygnału względem pzimu w reznansie 3 db Odczytać wartść przesunięcia fazweg funkcji transmitancji dla częsttliwści reznanswej W tym celu naleŝy w prgramie Winmi wybrać: Analizy Faza transmitancji 5 Zmieniając masę bciąŝającą spręŝynę (m ) pwtórzyć pmiary pisane w punkcie 4 6 Znając masy m i m i dpwiadające im częsttliwści reznanswe f i f, wyznaczyć masę i pdatnść spręŝyny w układzie drgającym stpniu swbdy krzystając z zaleŝnści pdanej w Ddatku B 7 Określić dbrć układu róŝnych masach 3 Zagadnienia d przygtwania 3Kinematyczne wymuszenie drgań układu stpniu swbdy 3 Drgania własne i wymuszne układu z tłumieniem Literatura [] Dbrucki A, dstawy akustyki Skrypt Wr, Wrcław 987 [] Januszajtis A, Fizyka dla litechnik, Tm III Fale, 5 WN Warszawa 99 [3] Kucharski T, Drgania mechaniczne Rzdz 4,6 WNT Warszawa 004
12 Tabela Wyniki pmiarów arametr m (g) Wartść zmierzna f (Hz) f (-3 db) (Hz) ϕ (rad) m (g) f (Hz) f (-3 db) (Hz) ϕ (rad) Tabela Wyniki bliczeń arametr Wartść bliczna m s (g) k (N/m) Q Q
13 Ddatek B WROWADZENIE Ciała lub układy wyknujące drgania nszą nazwę scylatrów W gólnym przypadku scylatry nie muszą się pruszać, wystarczy, Ŝe wielkści charakteryzujące ich stan zmieniają się kresw JeŜeli przebieg zmiennści jakiejś wielkści mŝna pisać funkcją sin lub cs, t drgania nazywa się harmnicznymi RzróŜnia się scylatry nie tylk ze względu na rdzaj drgającej wielkści, ale przede wszystkim ze względu na zakres częsttliwści: - mechaniczne, drgające z częsttliwścią akustyczną d k 0 5 Hz, - elektryczne, z częsttliwścią radiwą: Hz, - atmwe, z częsttliwścią ptyczną Hz, - jądrwe, z częsttliwścią d 0 Hz i więcej Aby układ mógł wyknywać drgania, muszą być spełnine następujące warunki: Istnieje płŝenie równwagi i przywracająca je siła zwrtna Układ ma bezwładnść 3 Opry ruchu nie są zbyt duŝe Ad łŝenie równwagi i siła zwrtna W gólnym przypadku energia ptencjalna scylatra zaleŝy d wielkści q, E = E ( q) łŝenia (lub stany) równwagi dpwiadają minimum energii ptencjalnej Wychyleniu, czyli dejściu d stanu równwagi twarzyszy pjawienie się siły przywracającej równwagę W scylatrze mechanicznym wielkść q znacza wychylenie, a siłą przywracającą równwagę jest siła zwrtna, przeciwnie skierwana d wychylenia, której wartść rśnie wraz z wychyleniem: () F( q) = grad E ( q) = E, de lub w przypadku jednwymiarwym: F( x) = Wychylenie x mierzy się d płŝenia dx równwagi Gdy zachdzi (), t ple sił F jest plem zachwawczym, w którym suma energii kinetycznej i ptencjalnej jest wielkścią stałą (zasada zachwania energii) W dalszych rzwaŝaniach będziemy mieli d czynienia z siłami zachwawczymi i będziemy pmijać siły pru, które są siłami niezachwawczymi W jednym wymiarze wszystkie siły, zaleŝne jedynie d x (siły tarcia pmijamy), są autmatycznie zachwawcze, pniewaŝ istnieje tylk jedna jednznaczna drga między dwma punktami, a mianwicie linia prsta Krzywa zaleŝnści energii ptencjalnej d płŝenia mŝe mieć róŝny przebieg JeŜeli przebieg E ( x ) jest taki, jak na rys, t ruch dpwiadający energii E będzie zawsze ruchem peridycznym, niekniecznie jednak harmnicznym Krzywa zaleŝnści energii ptencjalnej d płŝenia mŝe być pewną skmplikwaną funkcją, trudną d pisu analityczneg Jednym z najczęściej stswanych przybliŝeń w fizyce teretycznej jest przybliŝenie harmniczne W ramach teg przybliŝenia funkcję E x rzwijamy w szereg ptęgwy Taylra: ( ) 3
14 Rys Ruch kreswy między punktami a i b dla wartści energii ptencjalnej lkalneg maksimum energii E pniŝej d E n E ( x) = ( x x ) = a ξ n n n 0 n, n= 0 n! dx x= x n= 0 0 w którym x znacza płŝenie, x jest płŝenie równwagi w którym ξ = x x jest wychylenie z płŝenia równwagi de Uwzględniając, Ŝe w płŝeniu równwagi = 0, dx x=x 0 E = min, a raz Ŝe dla małych wychyleń wln pminąć dalsze wyrazy (dla n 3) szereg Taylra mŝna zapisać w pstaci (przybliŝenie harmniczne): Stąd i z () siła zwrtna jest równa: d E E ( x) = E ( x0) + ξ dx x=x0 () F de d E = = ξ = kξ, d ξ dx x= x0 przy czym stałą k (współczynnik spręŝystści lub sztywnści) znajduje się dświadczalnie F jak stsunek siły d wychylenia (praw Hke'a): k =, [N/m] ξ ZaleŜnść () znacza, Ŝe przy małym wychyleniu z płŝenia równwagi, siła zwrtna jest wprst prprcjnalna d wartści wychylenia Siły takie nazywa się quasi-spręŝyste Energia ptencjalna w przybliŝeniu harmnicznym ma zatem pstać: E x E x kξ ( ) = ( ) + rzy małych wychyleniach ξ ruch jest harmniczny (siły quasi-spręŝyste) Dla energii E pniŝej lkalneg maksimum ruch między punktami a i b jest zawsze kreswy, ale nie musi być harmniczny 4
15 Rys Aprksymacja krzywej energii ptencjalnej parablą czątek układu współrzędnych mŝna przyjąć w płŝeniu równwagi (x 0 = 0, x = ξ) Rys3 Zwrt siły F wynika ze znaku pchdnej energii ptencjalnej Wówczas wzór na energię ptencjalną w przybliŝeniu harmnicznym mŝna zapisać w pstaci: (3) E ( x) = E (0) + kx, raz F = kx W przypadku trójwymiarwym wychylenie x zastępujemy wektrem r F = grade = kr Ad Bezwładnść Gdyby nie był bezwładnści, siła zwrtna przywróciłaby stan równwagi i ruch na tym by się zakńczył Bezwładnść pwduje, Ŝe p przejściu płŝenia równwagi następuje wychylenie w przeciwną strnę wstaje przy tym siła zwrtna skierwana w strnę płŝenia równwagi, która ją przywraca (pr rys ), ale bezwładnść znwu nie pzwala na zatrzymanie w tym miejscu, itp Miarą bezwładnści w scylatrach mechanicznych jest masa m ciała drgająceg, która jest wielkścią fizyczną niezaleŝną d prędkści 5
16 Ad3 Opry ruchu W kaŝdym ruchu mamy d czynienia z prami ruchu, czyli siłami przeciwnie skierwanymi d prędkści, których praca jest zawsze ujemna NaleŜą d nich tarcie i lepkść Są t siły niezachwawcze, które niedwracalnie zmniejszają energię układu Ich główny efekt działania plega na zmniejszeniu amplitudy, która z czasem znika JeŜeli pry są zbyt duŝe, czas zaniku jest mniejszy, niŝ kres drgań i w góle nie dchdzi d drgań Bardziej dkładna analiza zstanie pdana przy mawianiu drgań tłuminych RUCH SWOBODNY JEDNOWYMIAROWEGO OSCYLATORA HARMONICZNEGO jęcie scylatra harmniczneg pjawia się we wszystkich dziełach fizyki teretycznej i zagadnieniach technicznych, np scylujący prąd elektryczny w cewce (energia kinetyczna) i kndensatrze (energia ptencjalna); pór elektryczny (praw Ohma) dgrywa w tym przypadku rlę tarcia RUCH SWOBODNY OSCYLATORA BEZ TARCIA Drgania swbdne układu są t drgania pdczas których ich energia nie jest ani rzpraszana ani nie rśnie Jak przykład drgań swbdnych rzwaŝmy cięŝarek m drgający na spręŝynie masie m s Długść swbdna spręŝyny (niebciąŝnej) jest l 0, a bciąŝnej l (pr rys ) Rys CięŜarek na waŝkiej spręŝynie Wychylenie x z płŝenia równwagi wytwarza siłę zwrtną kx przeciwnie skierwaną d wychylenia rzy niezbyt duŝym bciąŝeniu mg skrócenie spręŝyny jest d nieg prprcjnalne (praw Hke a): mg = k l l, ( ) gdzie k jest sztywnścią spręŝyny [N/m], g przyspieszenie grawitacyjne ObciąŜna spręŝyna pzstaje w równwadze rzy wychyleniu x z płŝenia równwagi skrócenie spręŝyny wynsi l l + x, a związana z nim siła spręŝystści jest k l l x k l l równwaŝy cięŝar mg równa ( + ) z czeg ( ) RóŜnica sił: F = mg k( l l + x) = kx, 0 jest wprst prprcjnalna i przeciwnie skierwana d wychylenia i działa jak siła zwrtna 6
17 Element długści spręŝyny dξ dległy ξ d zamcwaneg kńca ma masę: dξ dms = ms l rzemieszczenie elementu spręŝyny dξ jest wprst prprcjnalne d jeg dległści ξ d punktu zamcwania W punkcie zamcwania spręŝyny (ξ = 0), przemieszczenie elementu spręŝyny dξ jest równe zeru rzy wzrście ξ przemieszczenie rśnie, a na kńcu spręŝyny ξ = jest równe wychyleniu x cięŝarka z płŝenia równwagi, dξ = x Zatem w dległści l ξ ξ przemieszczenie elementu spręŝyny dξ jest równe dξ = x chdna przemieszczenia p l czasie znacza jeg prędkść ξ x &, a energia kinetyczna elementu spręŝyny wynsi: l ξ m sx& deks = dms ( l x& ) = ξ dξ, 3 l stąd energia kinetyczna całej spręŝyny jest równa: l l m sx& ks = ks = ξ ξ 3 6 s l = 0 0 E de d m x& Ddając energię kinetyczną cięŝarka mx& trzymamy: () E k = m + m x 3 s & Zatem efektywna masa spręŝyny, która bierze udział w ruchu drgającym układu wynsi m 3 s Z wychyleniem x (nie za duŝym) masy m jest związana energia ptencjalna: () E p = kx Z równania ruchu Eulera-Lagrange a: d E (3) k E p 0 dt + = x, & x raz na pdstawie () i () trzymujemy następujące równanie ruchu dla scylatra bez tarcia (nietłumineg): (4) ( ) m + m && x + kx = 3 s 0 Równanie t jest przykładem liniweg równania róŝniczkweg zwyczajneg, drugieg rzędu, stałych współczynnikach Jest n liniwe, b nie zawiera x w ptędze wyŝszej niŝ 7
18 pierwsza raz współczynniki m + m i k nie zaleŝą d czasu t Równania teg typu mają 3 s jφ rzwiązania gólne w pstaci zesplnych funkcji trygnmetrycznych: e = csφ + j sinφ Sens fizyczny ma część rzeczywista tych rzwiązań Zgdnie z tym pszukujemy rzwiązania w pstaci zesplnej, metdą pdstawienia: pdstawieniu d (4) trzymujemy: ( ) = = ( ) = ω jωt jφ jϖ t x t Xe, X X e, && x t Xe, ω ( m + m ) j t 0 3 s + k Xe ω = Równść musi zachdzić dla kaŝdej wartści t, zatem ω ( m + m ) + k = 0 3 s Stąd pulsacja drgań swbdnych scylatra bez tarcia ω 0 jest równa: (5) k ω = m + m 3 s Ruch masy m jest więc ruchem harmnicznym: jωt (6) { } x( t) = Re Xe = X cs( ω t + φ), przy czym amplitudę X i fazę ϕ drgań wyznaczamy z warunków pczątkwych RUCH SWOBODNY OSCYLATORA Z TARCIEM W fizyce teretycznej przyjmuje się zwykle (niekniecznie zgdnie z rzeczywistścią), Ŝe siły tarcia są prprcjnalne d prędkści Zakładamy więc, Ŝe siła tarcia w scylatrze ma dx pstać r, gdzie stałą r [kg/s] nazywamy rezystancją mechaniczną scylatra dt Aby móc krzystać z równań Eulera-Lagrange a wprwadza się funkcję pisującą rzpraszanie energii w czasie, tzw funkcję dyssypacji, która jest mcą tracna w układzie scylatra na skutek działania siły tarcia lepkieg, prprcjnalną d prędkści: = rx& = Rx&, gdzie R = rx& jest siłą tarcia Funkcja dyssypacji jest miarą szybkści zmian energii w układzie scylatra d ( E k + E p ) =, dt która jest zawsze ujemna, c interpretuje się jak ubywanie energii z układu Równanie ruchu Eulera-Lagrange a scylatra tłumineg jednym stpniu swbdy jest zatem następujące: 8
19 (7) d E k E p dt x + = & x x&, przy czym energia kinetyczna E k, energia ptencjalna E p i mc tracna w układzie scylatra są równe: Ek = mx&, E p = kx, = rx& pdstawieniu trzymamy, tak jak pprzedni, liniwe równanie róŝniczkwe zwyczajne drugieg rzędu, stałych współczynnikach: dstawiając k m r k && x + x& x 0 m + m = = ω, gdzie ω jest pulsacją drgań swbdnych scylatra bez tarcia, raz r α =, gdzie α jest dekrementem tłumienia, trzymuje się równanie ruchu scylatra m jednym stpniu swbdy w pstaci: (8) && x + x& + x = α ω 0 Rzwiązania teg równania pszukujemy równieŝ w pstaci zesplnej, metdą pdstawienia: j t j( t ) x t = Xe ω = X e ω + θ, przy czym ( ) ( ) ω ( ) = ω x& t = j Xe && x t Xe pdstawieniu d równania ruchu (8) trzymamy: ( ω jω α ω ) jωt, jωt + + Xe jωt = 0 Równanie t musi być spełnine dla kaŝdeg t, zatem musi zachdzić równść: (9) ω + jωα + ω = 0 Jest t równanie charakterystyczne, kwadratwe, któreg pierwiastkami są: (0) ω = jα ± ω α, Oznaczając pulsację drgań swbdnych tłuminych układu przez rzwaŝyć trzy przypadki w zaleŝnści d α Ω = ω α, naleŝy Ruch swbdny peridyczny 9
20 JeŜeli α < ω, t pulsacja drgań swbdnych tłuminych układu Ω jest rzeczywista Rzwiązanie równania ruchu w pstaci zesplnej: jωt αt () x( t) = Xe = X e exp j ( Ω t + φ ), mŝna interpretwać gemetrycznie jak fazr malejącej długści (amplitudzie) αt αt ( ) A t = X e = A e, wirujący w płaszczyźnie Gaussa z prędkścią kątwą Ω i nachylny w chwili t pd kątem Ωt + φ d si rzeczywistej Kniec fazra zakreśla spiralę lgarytmiczną (patrz rys ) Rzwiązanie rzeczywiste jest zatem rzutem fazra na jedną z si: na ś rzeczywistą αt (a) x( t) = { x( t) } = A e cs( Ωt + ϕ ) lub ś urjną Re, αt (b) y( t) = { x( t) } = A e sin( Ωt + ϕ ) Im Łatw sprawdzić, Ŝe bydwa rzwiązania spełniają równanie ruchu (8) Rys Tłumine scylacje masy m scylatra; przypadek peridyczny, gdy α < ω Lgarytmiczny dekrement tłumienia Czynnik e -αt we wzrach (a) i (b) wyraŝa zanik amplitudy drgań masy scylatra w czasie Jeg wartść w ciągu kresu T = π/ω wynsi e -αt, przy czym 0
21 () α δ = αt = π ω α jest lgarytmicznym dekrementem tłumienia Birąc lgarytm naturalny ze stsunku amplitud dla dstępu czasu nt, n =,, trzymamy: ln αt A( t) A e ln ( t+ nt ) ( + ) = = nαt = nδ α A t nt A e niewaŝ dekrement tłumienia jest równy α = r/m, zatem A( t ) ( + ) m r = mα = ln nt A t nt c pzwala wyznaczyć rezystancję mechaniczną scylatra, jeŝeli znamy masę układu m, kres T i zmierzymy stsunek amplitud drgań rzy słabym tłumieniu układu, tj gdy α << ω, częstść drgań tłuminych Ω jest taka sama jak drgań swbdnych nietłuminych ω, zatem α r δ π = π ω km Tak więc, im większe k i m tym mniejsze δ i tym szybszy zanik amplitudy drgań Czas relaksacji Czas relaksacji τ ma kreślny sens fizyczny Jest t czas p którym amplituda drgań tłuminych maleje e razy, tj 0lge = 868 db αt A( t ) A e α ( t+ τ ) ( + τ ) A e A t Stąd czas relaksacji amplitudy drgań tłuminych: ατ = = e = e, (3) T τ = α = δ Mc lub energia maleje przy tym tak, jak kwadrat amplitudy: zatem czas relaksacji energii jest równy: (3a) τ e = = τ α αt Ae ατ e α ( t+ τ ) = = A e e, Energia ruchu Wychylenie i prędkść masy scylatra w ruchu peridycznym są wg (a) równe:
22 Energia kinetyczna: ( ) ( ) α { } t ( φ ) ( ) ( φ ) x t = Re x t = A e cs Ω t + = A t cs Ω t +, ( ) da t x& ( t) = cs( Ω t + φ ) A( t) sin ( Ω t + φ ) dt ( ) da t da t ( ) ( ) ( ) ( ) cs Ω t + φ ΩA t cs Ω t + φ sin Ω t + φ + Ek ( t) = mx& ( t) = m dt dt + ( ΩA( t) sin ( Ω t + φ )) ( ) Energia ptencjalna: E ( ) ( ) ( ) cs( ) p t = kx t = mω A t Ω t + φ Suma tych energii jest całkwitą energią mechaniczną scylatra: ( ) ( ) ( ) E t = E t + E t = k p ( ) ( ) ( ) da t = m Ω A t ΩA t Ω t + + Ω t + dt ( ) da t sin ( φ ) cs ( φ ) dt Uśredniając za czas T = π/ω, drugi wyraz zawierający sin ( Ω t + ϕ) znika JeŜeli A(t) d zmienia się wln, t pchdna A ( t ) dt zawierający ( ) jest mała w prównaniu z ΩA(t), zatem trzeci wyraz d A t mŝna pminąć dt Ostatecznie całkwita energia scylatra jest w przybliŝeniu równa: t E t mω A t = mω A e α (4) ( ) ( ) Jest t energia scylatra, którą mŝna dzyskać ( free energy ) i nie jest energią niedwłalnie tracną na ciepł Szybkść zmian całkwitej energii scylatra jest mcą tracną w układzie scylatra na skutek działania siły tarcia lepkieg: ( ) d E t αt = αmω A e = α E ( t) dt Stąd i na pdstawie (3a), średnia za czas T = π/ω, energia drgań swbdnych scylatra tłumineg jest ilczynem średniej mcy tracnej w układzie i czasu relaksacji energii:
23 E = τ e Ruch swbdny scylatra silnie tłumineg JeŜeli α > ω, t równanie charakterystyczne (9) ma pierwiastki czyst urjne: (5) ω = jα ± j α ω,, zatem pulsacja drgań swbdnych tłuminych scylatra nie ma części rzeczywistej Ω i ruch masy dbywa się w spsób nadtłuminy, tj mamy d czynienia z czyst wykładniczym zanikiem ruchu, bwiem rzwiązania szczególne równania ruchu (8) mają pstać: x, t Xe A e exp t jω,t jφ ( ) = = ( α ± α ω ) Zarówn część rzeczywista i urjna spełniają równanie ruchu scylatra (8), zatem zgdnie z zasadą superpzycji rzwiązanie gólne αt (6) x( t) = e A exp ( α ω ) + A exp ( α ω ), jest kmbinacją wyrazów wykładniczych i ruch masy jest aperidyczny, przy czym stałe A i A zaleŝą d warunków pczątkwych W szczególnym przypadku mŝe djść d maksimum wychylenia w jedną strnę i d drgań nie dchdzi Występuje c najwyŝej jedn przejście przez zer szczególne wyrazy w (6) zanikają z róŝną szybkścią Wyraz z wykładnikiem wykładnikiem ddatnim rśnie α ω znika najwlniej, a z Rys 3 Aperidyczny zanik wychylenia masy scylatra w ruchu silnie tłuminym 3 Ruch swbdny scylatra przy tłumieniu krytycznym 3
24 Tak zwany aperidyczny przypadek graniczny, gdy α = ω, jest dść skmplikwany matematycznie ( degeneracja ) Wówczas ω, = jα, Ω = 0 i prócz rzwiązania ω, ( ) Re{ } j t αt x t = Xe = A e, istnieje jeszcze rzwiązanie ( ) x t = A te αt Zgdnie z zasadą superpzycji rzwiązanie gólne jest sumą: x t = A + A t e αt, (7) ( ) ( ) gdzie A, A znajdujemy z zadanych warunków pczątkwych równując (6) i (7) mŝna zauwaŝyć, Ŝe zanik wychylenia masy jest w przypadku tłumienia krytyczneg (α = ω ) szybszy niŝ w przypadku ruchu silnie tłumineg, gdy α > ω Jest t równieŝ ruch aperidyczny (pr rys 3) 4
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad8 011/01, zima 1 Własnści sprężyste ciał stałych naprężenie rzciągające naprężenie ścinające naprężenie bjętściwe Względne dkształcenie ciała zależy d naprężenia naprężenie
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ SWOBODNYCH I DRGAŃ WYMUSZONYCH
BADANIE DRGAŃ SWOBODNYH I DRGAŃ WYMUSZONYH I. el ćwiczenia: wyznaczanie współczynnika spręŝystści drgającej spręŝyny; wyznaczenie krzywej reznanswej natęŝenia prądu w bwdzie R; zapznanie się z zagadnieniami
Bardziej szczegółowoCZAS ZDERZENIA KUL SPRAWDZENIE WZORU HERTZA
Ćwiczenie Nr CZAS ZDRZNIA KUL SPRAWDZNI WZORU HRTZA Literatura: Opracwanie d ćwiczenia Nr, czytelnia FiM LDLandau, MLifszic Kurs fizyki teretycznej, tm 7, Teria sprężystści, 9 (dstępna w biblitece FiM,
Bardziej szczegółowonie wyraŝa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŝ podane w jego przeznaczeniu występujące wybranym punkcie przekroju normalnego do osi z
Wprwadzenie nr 4* d ćwiczeń z przedmitu Wytrzymałść materiałów przeznaczne dla studentów II rku studiów dziennych I stpnia w kierunku Energetyka na wydz. Energetyki i Paliw, w semestrze zimwym 0/03. Zakres
Bardziej szczegółowoDrgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca
Bardziej szczegółowoR o z d z i a ł 6 RUCH DRGAJĄCY I FALOWY
R z d z i a ł 6 RUCH DRGAJĄCY I FALOWY 6.1. Ruch drgający harmniczny Ruch w przyrdzie jest zjawiskiem pwszechnym. Wszystkie bserwwane w przyrdzie ruchy dzielimy na cztery klasy: ruch pstępwy ruch brtwy
Bardziej szczegółowoA METHOD OF VEHICLE S VIBRATION REDUCTION EMPLOYING INERTER
Wiesław GRZESIKIEWICZ 1 Artur ZBICIAK 2 Inerter, tłumienie drgań, struktury relgiczne. ETODA TŁUIENIA DRGAŃ POJAZDU ZA POOCĄ INERTERA Inertem jest urządzeniem, któreg zasada działania jest zliŝna d tłumika
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoRodzaje drgań na przykładzie układu o jednym stopniu swobody
Rdzaje drgań na rzkładzie układu jednm stniu swbd Układ jednm stniu swbd Ssin t m k C m S sint Przkład układu jednm stniu swbd Schemat układu jednm stniu swbd Zestawienie sił w układzie jednm stniu swbd
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoBADANIE PODŁUŻNYCH FAL DŹWIĘKOWYCH W PRĘTACH
Ćwiczenie 4 BADANIE PODŁUŻNYCH FAL DŹWIĘKOWYCH W PRĘTACH 4.1. Wiadomości ogólne 4.1.1. Równanie podłużnej fali dźwiękowej i jej prędkość w prętach Rozważmy pręt o powierzchni A kołowego przekroju poprzecznego.
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoZESTAW 1. A) 2 B) 3 C) 5 D) 7
ZESTAW Zadanie Punkty A = (,) i B = (, ) są klejnymi wierzchłkami kwadratu. Obwód teg kwadratu jest równy A) 4 6 B) 6 C) 4 4 D) 4 6 Zadanie Zbirem rzwiązań nierównści x + 5 > jest zbiór A) ( 7, ) B) (,
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoProjektowanie generatorów sinusoidalnych z użyciem wzmacniaczy operacyjnych
Instytut Autmatyki Prjektwanie generatrów sinusidalnych z użyciem wzmacniaczy peracyjnych. Generatr z mstkiem Wiena. ysunek przedstawia układ generatra sinusidalneg z mstkiem Wiena. Jeżeli przerwiemy sprzężenie
Bardziej szczegółowoRys Ruch harmoniczny jako rzut ruchu po okręgu
3. DRGANIA I FALE 3.1. Ruch harmoniczny W szkole poznajemy ruch harmoniczny w trakcie analizy ruchu jednostajnego po okręgu jako rzut na prostą (rys. 3.1). Tak jest w istocie, poniewaŝ ruch po okręgu to
Bardziej szczegółowoZespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu
Zespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu Elektrtechnika i Elektrnika Materiały Dydaktyczne Mc w bwdach prądu zmienneg. Opracwał: mgr inż. Marcin Jabłński mgr inż. Marcin Jabłński
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoPrzekroje efektywne wyboczenia lokalnego 61,88 28,4 0,81 4 =1,34>0,673. = 28,4 ε k. ρ,, = λ 0,22 λ = 1,34 0,22 1,34 =0,62. = =59,39,
Przekrój efektywny stalweg dźwigara z zastępczymi płytami rttrpwymi klasy 4 W bustrnnie sztywn umcwanym dźwigarze skrzynkwym długści 15,0 m ze stali S355 usztywnin pasy i śrdniki żebrami pdłużnymi (rys.
Bardziej szczegółowoZJAWISKO TERMOEMISJI ELEKTRONÓW
ĆWICZENIE N 49 ZJAWISKO EMOEMISJI ELEKONÓW I. Zestaw przyrządów 1. Zasilacz Z-980-1 d zasilania katdy lampy wlframwej 2. Zasilacz Z-980-4 d zasilania bwdu andweg lampy z katdą wlframwą 3. Zasilacz LIF-04-222-2
Bardziej szczegółowoRodzaje drgań na przykładzie układu o jednym stopniu swobody
Rdzaje drgań na przkładzie układu jednm stpniu swbd Układ jednm stpniu swbd Ssin pt m k C m S sinpt Przkład układu jednm stpniu swbd Schemat układu jednm stpniu swbd Zestawienie sił w układzie jednm stpniu
Bardziej szczegółowoT R Y G O N O M E T R I A
T R Y G O N O M E T R I A Lekcja 8-9 Temat: Pwtórzenie trójkąty prstkątne. Str. 56-57. Teria Twierdzenie Pitagrasa i dwrtne Suma kątów w trójkącie Wyskść Obwód i ple Zad.,,,, 5, 6 str. 56 Zad. 7, 8, 9,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 2. Rozwiąż nierówności: na przedziale x < 2; 3. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji f ( x)
FUNKCJA KWADRATOWA. Rzwiąż równanie: a) 0 +,5 0 b) ( + )( ) 0. Rzwiąż nierównści: < ( )( ) > 0 a) b). Wyznacz wartść najmniejszą i największą funkcji na przedziale < ; 5 >. Przekształć z pstaci gólnej
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej
LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody
Bardziej szczegółowoWIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów
LABORATORIUM DRGANIA I WIBROAUSTYA MASZYN Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów Ćwiczenie nr WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów
Bardziej szczegółowoWykłady z Hydrauliki- dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD 8
WYKŁAD 8 8. RUCH WÓD GRUNTOWYCH 8.1. Właściwści gruntu, praw Darcy Ruch wód gruntwych w śrdku prwatym nazywamy filtracją. D śrdków prwatych zaliczamy grunt, skały, betn itp. Wda zawarta w gruncie występuje
Bardziej szczegółowo( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.
Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr
Bardziej szczegółowoa = (2.1.3) = (2.1.4)
. DRGANIA Fundamentalną ideą drgań są drgania harmoniczne proste. Termin harmoniczne ma informować, Ŝe funkcja opisująca drgania to funkcja typu sinus/cosinus, natomiast słowo proste Ŝe drgania nie są
Bardziej szczegółowoPROPAGACJA BŁĘDU. Dane: c = 1 ± 0,01 M S o = 7,3 ± 0,1 g Cl 2 /1000g H 2 O S = 6,1 ± 0,1 g Cl 2 /1000g H 2 O. Szukane : k = k =?
PROPAGACJA BŁĘDU Zad 1. Rzpuszczalnść gazów w rztwrach elektrlitów pisuje równanie Seczenwa: S ln = k c S Gdzie S i S t rzpuszczalnści gazu w czystym rzpuszczalniku i w rztwrze elektrlitu stężeniu c. Obliczy
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowo6. POWIERZCHNIOWE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI
6. POWERZCHNOWE MOMENTY BEZWŁADNOŚC Zadanie 6. Dla figury przedstawinej na rysunku 6.. wyznaczyć płżenie głównh centralnh si bezwładnści i kreślić względem nich główne centralne mmenty bezwładnści. Rys.6..
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Plitechnika Gdańska Wydział Elektrtechniki i Autmatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterwania MODELOWANIE I IDENTYFIKACJA Studia niestacjnarne Systemy ciągłe budwa mdeli fenmenlgicznych z praw zachwania.
Bardziej szczegółowoM. Guminiak - Analiza płyt cienkich metodą elementów brzegowych... 44
M. Guminiak Analiza płyt cienkich metdą elementów brzegwych... 44 Mment zginający w śrdku [M x /pa 2 10 4 ] Mment zginający w śrdku [M y /pa 2 10 4 ] 600 500 400 300 200 100 0 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5
Bardziej szczegółowoTest 2. Mierzone wielkości fizyczne wysokość masa. masa walizki. temperatura powietrza. Użyte przyrządy waga taśma miernicza
Test 2 1. (3 p.) W tabeli zamieszczn przykłady spsbów przekazywania ciepła w życiu cdziennym i nazwy prcesów przekazywania ciepła. Dpasuj d wymieninych przykładów dpwiednie nazwy prcesów, wstawiając znak
Bardziej szczegółowoW celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,
Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoDRGANIA I FALE. Drganie harmoniczne
DRGANIA I FALE Ruchem drgający ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje pwtarzalnść w czasie wartści wielkści fizycznych, kreślających ten ruch lub stan. Fale różneg rdzaju zaburzenia stanu materii
Bardziej szczegółowogdzie A = amplituda ω = częstość k = liczba falowa
x(t, z) A cs(ωt kz) gdzie A amplituda ω częstść k licza falwa Rys. 3... Fala iegnąca - dkształcenie śrdka w zaleŝnści d dległści i czasu. (t,z) x A cs(ωt kz) (3.2.) (t,z) A cs(ωt k(-z)) + x 2 x(t, z) (3.2.2)
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA ZAKŁAD CHEMII FIZYCZNEJ ĆWICZENIA PRACOWNI CHEMII FIZYCZNEJ. ( i) E( 0) str. 1 WYZNACZANIE NADPOTENCJAŁU RÓWNANIE TAFELA
WYZNACZANIE NADPOTENCJAŁU RÓWNANIE TAFELA Różnica pmiędzy wartścią ptencjału elektrdy mierzneg przy przepływie prądu E(i) a wartścią ptencjału spczynkweg E(0), nsi nazwę nadptencjału (nadnapięcia), η.
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Z FIZYKI
Projekt Plan rozwoju Politechniki Częstochowskiej współfinansowany ze środków UNII EUROPEJSKIEJ w ramach EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Numer Projektu: POKL.4.1.1--59/8 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁINśYNIERII
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowoRodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów
Wykład VI Fale t t + Dt Rodzaje fal 1. Fale mechaniczne 2. Fale elektromagnetyczne 3. Fale materii dyfrakcja elektronów Fala podłużna v Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo) są równoległe
Bardziej szczegółowoLaboratorium systemów wizualizacji informacji
Labratrium systemów wizualizacji infrmacji Badanie charakterystyk statycznych i dynamicznych raz pmiar przestrzenneg rzkładu kntrastu wskaźników ciekłkrystalicznych. Katedra Optelektrniki i Systemów Elektrnicznych,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoZależność oporności przewodników metalicznych i półprzewodników od temperatury. Wyznaczanie szerokości przerwy energetycznej.
Zależnść prnści przewdników metalicznych i półprzewdników d temperatury. Wyznaczanie szerkści przerwy energetycznej. I. Cel ćwiczenia: badanie wpływu temperatury na prnść metali, stpów i termistrów raz
Bardziej szczegółowo( t) I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-3 ANALIZA HAMONICZNA I. Cel ćwiczenia: zapznać z zagadnieniem reznansu w bwdzie szeregwym LC i zagadnieniem analizy harmnicznej. II. Przyrządy: bwód reznanswy, generatr funkcyjny impedancji
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM OBRÓBKI SKRAWANIEM
AKADEMIA TECHNICZNO-HUMANISTYCZNA w Bielsku-Białej Katedra Technlgii Maszyn i Autmatyzacji Ćwiczenie wyknan: dnia:... Wyknał:... Wydział:... Kierunek:... Rk akadem.:... Semestr:... Ćwiczenie zaliczn: dnia:
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoPSO matematyka I gimnazjum Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny
PSO matematyka I gimnazjum Szczegółwe wymagania edukacyjne na pszczególne ceny POZIOM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K knieczny cena dpuszczająca spsób zakrąglania liczb klejnść wyknywania działań pjęcie liczb
Bardziej szczegółowo, to: Energia całkowita w ruchu harmonicznym prostym jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 4 Podstawiając to do wzoru na energię kinetyczną: K = ma sin t + ( δ ) Podstawiając = k / m K = ka sin t ( + δ ) -5 Energia kinetyczna w ruchu harmonicznym prostym Energia
Bardziej szczegółowoRuch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Bardziej szczegółowoPlanimetria, zakres podstawowy test wiedzy i kompetencji ZADANIA ZAMKNIĘTE. [ m] 2 cm dłuższa od. Nr pytania Odpowiedź
Planimetria, zakres pdstawwy test wiedzy i kmpetencji. Imię i nazwisk, klasa.. data ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach d 1-4 wybierz i zapisz czytelnie jedną prawidłwą dpwiedź. Nieczytelnie zapisana dpwiedź
Bardziej szczegółowoRuch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.
Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna
Bardziej szczegółowoIX POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH W POGONI ZA INDEKSEM ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI rok szkolny 2017/2018
rk szklny 017/018 1. Niech pierwsza sba dstanie 1, druga następni dpwiedni 3, 4 aż d n mnet. Więc 1++3+4+.+n 017, n( n 1) 017 n(n+1) 4034, gdzie n(n+1) t ilczyn klejnych liczb naturalnych. Warunek spełnia
Bardziej szczegółowoMAJ LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2013 klasa druga. MATEMATYKA - poziom podstawowy. Czas pracy: 170 minut. Instrukcja dla zdającego
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 03 klasa druga MATEMATYKA - pzim pdstawwy MAJ 03 Instrukcja dla zdająceg. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 strn.. Rzwiązania zadań i dpwiedzi zamieść w miejscu na t przeznacznym.
Bardziej szczegółowo!Twoje imię i nazwisko... Numer Twojego Gimnazjum.. Tę tabelę wypełnia Komisja sprawdzająca pracę. Nazwisko Twojego nauczyciela...
XVIII KONKURS MTEMTYCZNY im. ks. dra F. Jakóbczyka 15 marca 01 r. wersja!twje imię i nazwisk... Numer Twjeg Gimnazjum.. Tę tabelę wypełnia Kmisja sprawdzająca pracę. Nazwisk Twjeg nauczyciela... Nr zad.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE
Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 1 /18 ÓWNANIE ÓśNICZKOWE INIOWE Pod względem matematycznym szukana odpowiedź układu liniowego o znanych stałych parametrach k, k, C k w k - tej gałęzi przy
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 1 DWÓJNIK ŹRÓDŁOWY PRĄDU STAŁEGO
ĆWCZENE DWÓJNK ŹÓDŁOWY ĄD STŁEGO Cel ćiczenia: spradzenie zasady rónażnści dla dójnika źródłeg (tierdzenie Thevenina, tierdzenie Nrtna), spradzenie arunku dpasania dbirnika d źródła... dstay teretyczne
Bardziej szczegółowo3.DRGANIA SWOBODNE MODELU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY(JSS)
3.DRGANIA SWOBODNE MODELU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY(JSS) 3.1. DRGANIA TRANSLACYJNE I SKRĘTNE WYMUSZME SIŁOWO I KINEMATYCZNIE W poprzednim punkcie o modelowaniu doszliśmy do przekonania, że wielokrotnie
Bardziej szczegółowoSiła elektromotoryczna
Wykład 5 Siła elektromotoryczna Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego końcami pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej. Energia zamieniana
Bardziej szczegółowoLaboratorium wytrzymałości materiałów
Plitechnika Lubelka MECHANIKA Labratrium wytrzymałści materiałów Ćwiczenie 4 - Swbdne kręcanie prętów kłwych Przygtwał: Andrzej Teter (d użytku wewnętrzneg) Swbdne kręcanie prętów kłwych Jednym z prtych
Bardziej szczegółowoWIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów
LABORATORIUM WIBROAUSTYI MASZYN Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów Ćwiczenie nr WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoM. Guminiak - Analiza płyt cienkich metodą elementów brzegowych Moment zginający w punkcie B [M xb /pl ]
M. Guminiak Analiza płyt cienkich metdą elementów brzegwych... 44 600 500 400 300 200 100 Mment zginający w punkcie B [M xb /pl 2 10 4 ] 700 600 500 400 300 200 100 Mment zginający w punkcie B [M yb /pl
Bardziej szczegółowoPSO matematyka III gimnazjum. Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny
PSO matematyka III gimnazjum Szczegółwe wymagania edukacyjne na pszczególne ceny POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K knieczny cena dpuszczająca DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE pjęcie liczby naturalnej,
Bardziej szczegółowoZintegrowany system obsługi przedsiębiorstwa. Migracja do Firebird 2.x
Zintegrwany system bsługi przedsiębirstwa Migracja d Firebird 2.x Wersja 01.00 z dnia 02.12.2008 Spis treści Spis treści... 2 I. Wstęp.... 3 II. Przejście z Firebird 1.5.x na Firebird 2.x... 3 III. Zalecana
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH
...... kd pracy ucznia pieczątka nagłówkwa szkły KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH ETAP SZKOLNY Drgi Uczniu, witaj na I etapie knkursu matematyczneg. Przeczytaj uważnie instrukcję i
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoFale mechaniczne i akustyka
Fale mechaniczne i akustyka Wstęp: siła jako element decydujący o rodzaju ruchu Na pierwszym wykładzie, dynamiki Newtona omawiając II zasadę dr d r F r,, t = m dt dt powiedzieliśmy, że o tym, jakim ruchem
Bardziej szczegółowoPodstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera.
W-1 (Jaroszewicz) 14 slajdów Podstawy Akustyki Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: prędkość grupowa, dyspersja fal, superpozycja Fouriera, paczka falowa Fale akustyczne w powietrzu
Bardziej szczegółowoZajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 3 dr M.Gzik-Szumiata
Prjekt Inżynier mehanik zawód z przyszłśią współfinanswany ze śrdków Unii Eurpejskiej w ramah Eurpejskieg Funduszu Spłezneg Zajęia wyrównawze z fizyki -Zestaw 3 dr M.Gzik-Szumiata Kinematyka,z.. Ruhy dwuwymiarwe:
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 7
Podstawy fizyki wykład 7 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Drgania Drgania i fale Drgania harmoniczne Siła sprężysta Energia drgań Składanie drgań Drgania tłumione i wymuszone Fale
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoCZERWIEC MATEMATYKA - poziom podstawowy. Czas pracy: 170 minut. Instrukcja dla zdającego
MATEMATYKA - pzim pdstawwy CZERWIEC 014 Instrukcja dla zdająceg 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 strn.. Rzwiązania zadań i dpwiedzi zamieść w miejscu na t przeznacznym.. W zadaniach d 1 d są pdane 4 dpwiedzi:
Bardziej szczegółowoLaboratorium elektroniki i miernictwa
Ełk 24-03-2007 Wyższa Szkła Finansów i Zarządzania w Białymstku Filia w Ełku Wydział Nauk Technicznych Kierunek : Infrmatyka Ćwiczenie Nr 3 Labratrium elektrniki i miernictwa Temat: Badanie pdstawwych
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko studenta... nr grupy..
Imię i nazwisk studenta... nr grupy.. Pdpis asystenta... Data... Enzymy Perksydaza chrzanwa: denaturacja i kinetyka enzymatyczna: wyznaczanie stałych katalitycznych (Km, kkat i skutecznści) dla reakcji
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółowoWOJEWÓDZKI KONKURS PRZEDMIOTOWY z FIZYKI dla uczniów gimnazjum woj. łódzkiego w roku szkolnym 2016/2017 zadania eliminacji wojewódzkich.
ŁÓDZKIE CENTRUM DOSKONALENIA NAUCZYCIELI I KSZTAŁCENIA PRAKTYCZNEGO Wypełnia Przewdniczący Wjewódzkiej Kmisji Knkurswej kd pracy Imię i nazwisk ucznia... Punkty uzyskane Prcent max. liczby pkt...... Zad
Bardziej szczegółowoPomiar wielkości nieelektrycznych: temperatury, przemieszczenia i prędkości.
Zakład Napędów Wieloźródłowych Instytut Maszyn Roboczych CięŜkich PW Laboratorium Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie E3 - protokół Pomiar wielkości nieelektrycznych: temperatury, przemieszczenia i
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY ROZKŁADU MATERIAŁU Z FIZYKI DLA KLASY III MODUŁ 4 Dział: X,XI - Fale elektromagnetyczne, optyka, elementy fizyki atomu i kosmologii.
Knteksty 1. Fale elektrmagnetyczne w telekmunikacji. 2.Światł i jeg właściwści. - c t jest fala elektrmagnetyczna - jakie są rdzaje fal - elektrmagnetycznych - jakie jest zastswanie fal elektrmagnetycznych
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad8 2012/2013, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 10 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoRównania kwadratowe. Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m równanie mx 2 + 2x + m 2 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze
Równania kwadratowe Zad : Dany jest wielomian W(x) = x mx + m m + a) Dla jakich wartości parametru m wielomian ten ma dwa pierwiastki, których suma jest o jeden większa od ich iloczynu? *b) Przyjmij, Ŝe
Bardziej szczegółowoKryteria przyznawania ocen z matematyki uczniom klas III Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich
Kryteria przyznawania cen z matematyki ucznim klas III Publiczneg Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Oplskich Na cenę dpuszczającą uczeń: zna pjęcie ntacji wykładniczej zna spsób zakrąglania liczb rzumie ptrzebę
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowo4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)
Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)185 4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu
Bardziej szczegółowoVII. Drgania układów nieliniowych
VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku
Bardziej szczegółowoPrzykład 2.1. Wyznaczanie prędkości i przyśpieszenia w ruchu bryły
Przykłd 1 Wyzncznie prędkści i przyśpieszeni w ruchu bryły Stżek kącie rzwrci twrzących i pdstwie, której prmień wynsi tczy się bez pślizgu p płszczyźnie Wektr prędkści śrdk pdstwy m stłą długść równą
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 2: ZaleŜność okresu drgań wahadła od amplitudy
Wydział PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH Imię i nazwisko 1. 2. Temat: Rok Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wykonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 2: ZaleŜność okresu
Bardziej szczegółowo