DRGANIA I FALE. Drganie harmoniczne

Transkrypt

1 DRGANIA I FALE Ruchem drgający ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje pwtarzalnść w czasie wartści wielkści fizycznych, kreślających ten ruch lub stan. Fale różneg rdzaju zaburzenia stanu materii lub pla rzchdzące się w przestrzeni. Wspólną cechą wszystkich zjawisk falwych jest zdlnść przenszenia energii. Drganie harmniczne Jeżeli układ, na który nie działają zmienne siły zewnętrzne, zstaje wprawiny w drgania na skutek jakiegklwiek pczątkweg dchylenia d płżenia równwagi, t takie drgania nazywamy swbdnymi. Ruch drgający nazywamy kreswym (peridycznym), jeżeli wartści wielkści fizycznych zmieniające się pdczas drgań, pwtarzają się w pewnych dstępach czasu. Dla drgań harmnicznych zależnść drgań wielkści fizycznej d czasu t pisujemy gdzie A amplituda, ο częstść kątwa, ϕ faza pczątkwa drgań, ο t + ϕ faza drgań w chwili czasu t. s Acs( t + φ ) (8.1)

2 Określne stany układu pwtarzają się w dstępie czasu T nazywanym kresem drgań, w którym faza drgań wzrasta π, t.j. t + T ) + φ ( t + φ ) + π ( stąd Częsttliwść drgań Prównując (8.) i (8.3) trzymujemy T π (8.) 1 ν (8.3) T π ν (8.4) Jednstką częsttliwści jest hertz (1Hz) jest t częsttliwść peridycznych drgań w których jeden cykl wyknywany jest w 1s. Pierwszą i druga pchdna p czasie wielkści s ds dt A sin( t + φ ) A cs t π + ϕ + (8.5) d dt s ( + ϕ π ) A cs( t + ϕ ) A cs t + (8.6)

3 s +A -A ds/dt t Faza prędkści (8.5) różni cię d fazy wychylenia π/, a faza przyśpieszenia π. W chwili czasu gdy s 0, ds/dt przyjmuje największą wartść; pdczas gdy s przyjmuje maksymalną ujemną wartść, t d s / dt przyjmuje największą ddatnią wartść (rys. 8.1). +A t Ze związku (8.6) wynika równanie różniczkwe drgań harmnicznych -A ds /dt d dt s + s 0 (8.7) +A t +A Rys Zależnść s, ds/dt i d s / dt d t dla drgań harmnicznych kresie T π /.

4 Metda wykresów fazwych Druga metda pisu drgań harmnicznych (liczby zesplne). i ( +ϕ ) s Ae t (8.8) Część rzeczywista teg wyrażenia Res Acs( t + ϕ ) s przedstawia drganie harmniczne. 0 ϕ s x Przyjmuje się, że drgająca wielkść s równa jest części rzeczywistej wyrażenia zesplneg (8.8), czyli i ( +ϕ ) s Ae t (8.9) Rys. 8.. Metda wykresów fazwych.

5 Mechaniczne drgania harmniczne Oscylatrem harmnicznym nazywamy układ pisywany równaniem (8.7). Przykłady scylatra harmniczneg: wahadł sprężynwe, fizyczne i matematyczne, drgające bwdy elektryczne. Wahadł sprężynwe wyknuje drgania harmniczne pd wpływem siły sprężystści F kx, gdzie k jest współczynnikiem sprężystści. Równanie ruchu dla wahadła d m dt x kx czyli + x 0 Prównując t wyrażenie d równania (8.7) wynika, że wahadł sprężynwe wyknuje drgania harmniczne x Acs( t + ϕ ) z częstścią kłwą i kresem T k m d x dt k m (8.10) k π (8.11) m Wzór (8.11) jest słuszny dla drgań sprężystych w których spełnine jest praw Hke'a, kiedy masa sprężyny jest mała w prównaniu z masą ciała.

6 Siła działająca na masę m wynsi F ma cs( t + ϕ ) m x i jest prprcjnalna d przesunięcia x z płżenia równwagi i skierwana w przeciwną strnę. Energia kinetyczna K Energia ptencjalna mv ma ma sin t 4 ( t + ϕ ) [ 1 cs ( + ϕ )] (8.1) czyli Energię całkwita U U i K zmieniają się z częstścią więc K U W. x m x ma Fdx cs ϕ 0 U ma t 4 W K [ 1+ cs ( + ϕ )] + U ma ( t + ) kx. Pnieważ wartści średnie sin α i α (8.13) cs są równe 1/,

7 Elektryczne drgania harmniczne (a) (b) (c) (d) t 0 t (1/4)T t (1/)T t (3/4)T +Q -Q -Q +Q W ( 1 C) Q W ( 1 ) LI W ( 1 C) Q W ( 1 ) LI Rys Przebieg drgań elektrycznych w bwdzie LC. Rzważmy bwód elektryczny RLC zawierający cewkę indukcyjnści L, kndensatr pjemnści C i rezystr rezystancji R. Z prawa Kirchffa mamy gdzie: IR napięcie na rezystrze, V c Q / C napięcie na kndensatrze, a E s LdI / dt SEM indukcji. IR + V c E s

8 Więc A pnieważ I dq/dt raz di L dt + IR + Q C 0 di / dt d Q / dt, trzymujemy d Q R dq Q dt L dt LC Jeżeli R 0 t trzymujemy równanie różniczkwe swbdnych drgań harmnicznych 0 (8.15) Ładunek wyknuje drgania harmniczne Q Częstść drgań własnych Okres drgań d dt Q 1 + Q LC 0 ( + ϕ ) Q cs t (8.16) 1 (8.17) LC T π LC (8.18)

9 Natężenie prądu gdzie I I dq / dt Q amplituda natężenia prądu. Napięcie na kndensatrze gdzie V Q / C amplituda napięcia. V π Q sin( t + ϕ ) I cs 0t + ϕ + (8.19) Q Q cs t C C ( t + ϕ ) V cs( + ϕ ) c (8.0) Z wyrażeń (8.16) i (8.19) wynika, że drgania prądu I wyprzedzają w fazie drgania ładunku Q π/: kiedy prąd siąga maksymalną wartść, ładunek (napięcie) przyjmuje zerwą wartść i na dwrót.

10 Składanie drgań harmnicznych równległych jednakwej częstści. Dudnienie O A ϕ ϕ 1 A ϕ A 1 ϕ 1 -ϕ x 1 x x x Rys Wektrwa metda składania drgań. Dknamy złżenia drgań harmnicznych jednakwych częsttliwściach ( + ) x1 A1 cs t ϕ1 ( + ) x A cs t ϕ Równanie drgania wypadkweg ma pstać x x + x A cs t ( + ϕ ) 1 (8.1) gdzie amplituda A i faza ϕ wyrażeniami 1 1 są kreślne ( ϕ ) A A + A + A A cs ϕ (8.) A1 sin ϕ1 + A sin ϕ tgϕ (8.3) A cs ϕ + A cs ϕ 1 1 1

11 Ciał birące udział w dwóch drganiach harmnicznych jednakwych kierunkach wyknuje także drgania harmniczne w tym kierunku i tej samej częsttliwści c drgania składwe. Amplituda drgania wypadkweg: gdy ϕ ϕ1 ± π m (m 0, 1,...), wówczas A A 1 + A gdy ϕ ϕ ± π( m +1) (m 0, 1,...), wówczas A A 1 + A Dudnienie 1 Rzważymy dwa ddawane drgania równległe nieznacznie różniące się częsttliwściami drgań. Niech amplitudy składanych drgań będą równe A, a ich częstści kłwe i + Δ przy czym Δ <<. Przyjmijmy, że fazy pczątkwe drgań są zerwe, wówczas Uwzględniając że Δ << x x /, znajdujemy x 1 A cs t Acs( + Δ )t Otrzymane wyrażenie jest ilczynem mdulwanej amplitudy Δ A cs t cs t (8.4) A ~ Δ A cs t (8.5)

12 kresie dudnień T π Δ i szybk zmieniająceg się człnu cst. ~ x, A A T π x A cs Δt cst t -A A ~ Δ A cs t T π Δ Rys Nałżenie się drgań harmnicznych zbliżnych częstściach kłwych daje w wyniku dudnienie.

13 Składanie drgań wzajemnie prstpadłych Rzważmy złżenie dwóch drgań harmnicznych jednakwej częstści, zachdzących w kierunkach wzajemnie prstpadłych wzdłuż si x i y. Dla prstty przyjmiemy, że faza pczątkwa pierwszeg drgania jest zerwa: x y Acs t Bcs( t+ ϕ ) (8.6) Zapisując drganie składwe w pstaci i uwzględniając, że x A cs t ; y B cs t csϕ sin t x 1 A trzymujemy p prstych przekształceniach równanie elipsy sin t sinϕ x A xy y + sin ϕ (8.7) AB B Otrzymaliśmy przypadek tak zwanych drgań eliptycznie splaryzwanych. Orientacja si elipsy i jej rzmiary zależą d amplitud drgań składwych i różnicy faz ϕ.

14 Rzpatrzymy niektóre szczególe przypadki: ϕ mπ ( m 0, ± 1, ±,... ) w tym przypadku elipsa degeneruje się d dcinka prstej B y ± x (8.8) A gdzie znak + dpwiada zeru i parzystym wartścim m (rys. 8.6a), a znak nieparzystym wartścim m (rys. 8.6b). Wypadkwe drganie stanwi drganie harmniczne częstści i amplitudzie 1 ( x A) ϕ arctg[ ( B / A) cs mπ ] zachdzące wzdłuż prstej nachylnej pd kątem. W tym przypadku mamy drgania liniw splaryzwane. m 0, ±, ± 4,... m ± 1, ± 3, ± 5,... y y y B ϕ ϕ x A x A -A A -A O x -B -B B B (a) (b) (c) Rys Superpzycja drgań harmnicznych wzajemnie prstpadłych różnych amplitudach i jednakwych częstściach.

15 ( m + 1) π ( m 0, ± 1, ±,... ) ϕ w tym przypadku trzymujemy x A + B y 1 (8.9) Jest t równanie elipsy, której sie pkrywają się z siami współrzędnych, a jej półsie są równe dpwiednim amplitudm (rys. 8.6c). Złżenie drgań harmnicznych różnych częstściach daje w wyniku skmplikwane krzywe, zwane krzywymi Lissajus. Kształt tych krzywych zależy d stsunku amplitud, częstści i pczątkwych faz drgań.

16 Krzywe Lissajus: przykład x A( sin 1 t + ϕ ) y A sin( t ) Pniżej zamieszczn przykłady krzywych Lissajus parametrach ϕ π/

17 Drgania swbdne tłumine Wszystkie rzeczywiste układy drgające są układami rzpraszającymi energię. W wielu przypadkach zanikania drgań mechanicznych siły tarcia są prprcjnalne d prędkści F t rv gdzie r jest współczynnikiem pru. Wówczas równanie ruchu d s m dt ks gdzie m jest masą ciała drgająceg, ks siłą zwrtną sprężyny a r(ds/dt) siłą tarcia. Otrzymujemy więc czyli d s dt d s dt r ds k + + s m dt m r ds + + s dt gdzie δ cnst jest współczynnikiem pchłaniania, częstścią nietłuminych drgań swbdnych układu (δ 0). ds dt 0 0 (8.30) δ (8.31)

18 Rzwiązaniem równania (8.31) jest s δt e u (8.3) P znalezieniu pierwszej i drugiej pchdnej wyrażenia (8.3) i pdstawieniu d (8.31) trzymujemy ( Kiedy ten współczynnik δ ) d dt u jest ddatni t rzwiązaniem równania (8.33) jest ( δ ) 0 + u u (8.33) ( δ ) (8.34) A cs t ( ) + ϕ Wbec teg rzwiązaniem równania (8.33) w przypadku małeg tłumienia ( ) δ < jest s A e δt cs( t+ ϕ ) (8.35) gdzie A δt A e (8.36) jest amplitudą drgań tłuminych, a A amplitudą pczątkwą. Okres czasu τ 1/ δ w ciągu któreg amplituda drgań tłuminych zmniejsza się e razy, nazywamy czasem relaksacji.

19 s, A s A e δt cs ( t + ϕ) A A 1 A A A e δt T A A exp δt Rys Drgania swbdne tłumine. Drgania tłumine nie są harmnicznymi, pnieważ drgania nie pwtarzają się. Dlateg wielkść mżemy tylk umwnie nazwać częstścią kłwą drgań tłuminych T π π δ

20 Jeżeli A(t) i A(t+T) są amplitudami dwóch klejnych drgań dpwiadających chwilm czasu różniących się umwny kres drgań, t stsunek A(t ) A(t + T ) e δt nazywamy dekrementem tłumienia, a jeg lgarytm Θ A(t ) T ln δt A(t + T ) τ (8.37) lgarytmicznym dekrementem tłumienia. W celu scharakteryzwania drgająceg układu wprwadzn pjęcie dbrci Q, która dla małych wartści lgarytmiczneg dekrementu tłumienia jest równa π π Q Θ δ T δ (8.38) Dla wahadła sprężynweg, prównując równanie (8.30) z równaniem (8.31) mamy r δ (8.39) m raz δt s Ae cs( t+ ϕ ) gdzie r 4m

21 Dbrć wahadła sprężynweg zgdnie z (8.38) wnsi Q Analgiczne wyrażenie mżemy trzymać dla swbdnych tłuminych drgań ładunku w bwdzie RLC. Równanie t ma pstać (8.15), w związku z tym współczynnik tłumienia km r R L r δ (8.40) Równanie różniczkwe (8.15) mżemy zapisać w spsób analgiczny d (8.31) Drgania ładunku zachdzą według prawa z częstścią kłwą d Q dq + δ + Q dt dt Q Q e δt cs 1 LC 0 ( t+ ϕ ) R (8.41) mniejszą d częstści drgań swbdnych (prównaj z (8.17)). Dla R 0 wyrażenie (8.41) przechdzi w (8.17). Dbrć bwdu drgająceg 4L

22 Q 1 R L C (8.4) δ przyjmuje wartść Gdy δ wzrasta, t kres drgań tłuminych również rśnie i przy nieskńczną, tj. ruch drgający przestaje być peridycznym. W tym przypadku wielkść drgająca asympttycznie zbliża się d zera, kiedy. Prces ten nazywamy aperidycznym. t

23 Drgania wymuszne Ażeby w układzie drgającym trzymać drgania nietłumine, należy kmpenswać straty energii. Czynnik wymuszający X X cs t W przypadku drgań mechanicznych rlę X(t) dgrywa siła wymuszająca F F cs t (8.43) Z uwzględnieniem siły (8.43) praw ruchu dla wahadła sprężynweg zapiszemy w pstaci d s ds m ks r + F cs t dt dt Stąd trzymujemy równanie w bardziej gólnej frmie d s dt + ds F δ + s cs t dt m (8.44) W przypadku elektryczneg bwdu drgająceg, t rlę X(t) dgrywa peridycznie zmieniająca się SEM lub zmienne napięcie V V cst.

24 Wówczas równanie (8.15) mżemy napisać w pstaci Stsując (8.17) i (8.40) trzymujemy d Q R dq 1 V + + Q cs t dt L dt LC L (8.45) d Q + dt dq V δ + Q cs t dt L (8.46) Drgania pwstające pd wpływem zewnętrznej, peridycznie zmieniającej się siły, lub pd wpływem peridycznie zmieniającej się SEM, nazywamy dpwiedni wymusznymi drganiami mechanicznymi lub elektrycznymi. Równania (8.44) i (8.46) mżna sprwadzić d liniweg niejednrdneg równania różniczkweg d s + dt ds δ + s x cs t dt (8.47) Rzwiązanie teg równania stanwi suma gólneg rzwiązania (8.35) równania jednrdneg (8.31) i szczególneg rzwiązania równania niejednrdneg. W celu rzwiązania równania (8.47), zamienimy prawą strnę równania na wielkść zesplną iηt s s e d s dt + ds dt it δ + s xe (8.48)

25 Szczególneg rzwiązania teg równania będziemy pszukiwać w pstaci Pdstawiając wyrażenia dla s i jeg pchdnych d równania (8.48), trzymujemy s s e iηt s s e iηt it ( η + iδη + ) x e Pnieważ równść ta musi być spełnina dla każdej chwili czasu, więc η. Z równania teg iδ, również mżna kreślić s. Mnżąc licznik i mianwnik wyrażenia s przez ( ) trzymujemy s ( ) ( ) iδ ( ) 4δ x x + iδ + T złżne wyrażenie wygdniej jest przedstawić w frmie gdzie raz s Ae iϕ ( ) + 4δ x A (8.49) ϕ δ arctg (8.50)

26 Tak więc rzwiązanie równania (8.48) w pstaci zesplnej ma pstać natmiast jeg rzeczywista część jest równa s i Ae ( t ϕ ) ( ϕ) s Acs t (8.51) Składwa gólneg rzwiązania równania (8.48) stanwiąca gólne rzwiązanie równania jednrdneg [patrz (8.31)] dgrywa isttną rlę tylk w pczątkwym stadium prcesu (przy ustalaniu się drgań) d chwili kiedy amplituda drgań wymusznych siąga wartść (8.49). W stanie ustalnym, drgania wymuszne przebiegają z częstścią i są drganiami harmnicznymi, a ich amplituda i faza kreślne są wzrami (8.49) i (8.50) zależnymi d. s t Drgania nieustalne Drgania ustalne Rys Drgania wymuszne

27 W przypadku drgań elektrmagnetycznych uwzględniając, że wyrażenia (8.49), (8.50) i (8.51) mają pstać Q 1 LC [zb. (8.17)] R L δ [zb. (8.40)] V 1 R + L C (8.5) Różniczkując R tgϕ (8.53) 1 /( C ) L Q Q cs t ( ) ϕ względem t, trzymamy natężenie prądu w bwdzie dla drgań ustalnych I Q sin ( t α ) I cs t α + (8.54) π

28 gdzie I V Q (8.55) 1 R + L C Wyrażenie (8.54) mżna zapisać w pstaci I I cs t ( ) ϕ gdzie ϕ α π / znacza przesunięcie fazwe pmiędzy prądem i napięciem. Zgdnie z wyrażeniem (8.53) ( C) π 1 L 1/ tgϕ tg α (8.56) tgα R Z wyrażenia (8.56) wynika, że prąd późniny jest w fazie względem napięcia (ϕ > 0) gdy L > 1/( C ) i wyprzedza napięcie (ϕ < 0) gdy L < 1/( C ).

29 Amplituda i faza drgań wymusznych. Reznans Z wyrażenia (8.49) wynika, że amplituda mże przyjąć pewną maksymalną wartść. Maksimum funkcji uzyskamy różniczkując t wyrażenie względem i przyrównując d zera Równść ta jest spełnina dla 4 ( ) + 8δ 0 0 i ± δ. Tak więc, częsttliwść reznanswa δ rez (8.57) Zjawisk silneg wzrastania amplitudy drgań wymusznych przy zbliżaniu się częstści siły wymuszającej d częstści nazywamy reznansem. Pdstawiając (8.57) d (8.49), trzymujemy rez x A (8.58) rez δ δ Jeżeli 0, t wszystkie krzywe przyjmują jedną wartść, różną d zera dchyleniem statycznym. x / nazywaną

30 A δ0 δ <δ <δ <δ x rez Rys Krzywe reznansu dla różnych wartści współczynnika tłumienia. Zjawisk reznansu mże być zjawiskiem pżytecznym jak i szkdliwym. Przykłady zastswań: akustyka (instrumenty) dbirniki radiwe i telewizyjne Katastrfy

31 Katastrfa mstu w Tacma (USA, 7 listpada 1940) Mst ten był mstem wiszącym, któreg główne przęsł miał 840 m długści, przy szerkści jedynie 1 m, c był pwdem jeg niebywałej witkści. Już w trakcie budwy, pracujący rbtnicy dznawali mdłści wynikających z dużych ugięć mstu. P ddaniu d eksplatacji, stał się n prawdziwą atrakcją turystyczną, ze względu na niesamwite wrażenia twarzyszące przejazdwi przez mst, tak iż nazwany zstał ptcznie "galpującą Gertie". P czterech miesiącach istnienia, ran 7 listpada 1940 r. huraganwy wiatr wiejący d ceanu (56-67 km/h), spwdwał wprwadzenie mstu w drgania, dpwiadające ruchwi falwemu. Pczątkw (gdz. 7:00), był t ruch pmstu w płaszczyźnie pinwej (pdnszenie i padanie amplitudzie k. 90 cm z częstścią 36 razy na minutę), później k. gdz. 10:00 rytmiczne wznszenie i padanie zamienił się w dwufalwy ruch skręcający 14 cykli na minutę z wychyleniem d 8,4 m, przy skręceniu dchdzącym d 45 stpni. Ok. 10:30 nastąpił pierwsze załamanie jednej z płyt pmstu, a k. 11:00 mst rzpadł się statecznie.

32 Prąd zmienny Rzważymy wymuszne drganie elektrmagnetyczne zachdzące w bwdzie RLC. Prąd zmienny mżna traktwać jak kwasistacjnarny, c znacza, że chwilwe wartści natężenia prądu we wszystkich przekrjach bwdu są praktycznie jednakwe; spełnine jest praw Ohma i prawa Kirchhffa. Napięcie zmienne V V cst (8.59) Obwód zawierający rezystancję (a) (b) I VRI Rys (a) schemat bwdu; (b) wykres fazwy. R V Prąd płynący przez rezystr kreślny jest prawem Ohma gdzie I V R V cs t I R I V R cs t Przesunięcie fazwe pmiędzy I i V jest zerwe.

33 SEM samindukcji Obwód zawierający indukcyjnść di E s L dt Wówczas praw Ohma dla rzważaneg bwdu ma pstać stąd Tak więc spadek napięcia na cewce indukcyjnej Z równania (8.60) wynika, że lub p scałkwaniu I di V cs t L dt L di V cs t dt 0 (8.60) V L dt di L (8.61) V di cs tdt L ( ) ( π ) t π I cs V V sint cs t L L (8.6)

34 (a) L gdzie I V L V Wielkść R L L (8.63) nazywamy reaktancją indukcyjną. (b) V LI L Pdstawiając V LI w wyrażenie (8.60) i uwzględniając (8.61), trzymujemy spadek napięcia na cewce indukcyjnej V L LI cs t (8.64) π/ Rys Obwód zawierający indukcyjnść: (a) schemat bwdu; (b) wykres fazwy. I Spadek napięcia V L wyprzedza w fazie prąd I płynący przez cewkę kąt π/, c pkazan na wykresie fazwym (rys. 8.11b).

35 Obwód zawierający pjemnść Jeżeli napięcie zmienne (8.59) przyłżymy d kndensatra, t z upływem czasu kndensatr będzie przeładwywał się a w bwdzie ppłynie prąd zmienny. (a) C Q Vc V cst C Natężenie prądu dq ( ) I CV π sin t I cs t + (8.65) dt V gdzie V I CV [ 1 / ( C) ] Wielkść (b) 1 π/ I R C C nazywamy reaktancją pjemnściwą. V 1 C C I Rys Obwód zawierający kndensatr: (a) schemat bwdu, (b) wykres fazwy. Dla prądu stałeg ( 0) R C, c znacza, że prąd stały nie płynie przez kndensatr. Spadek napięcia na kndensatrze 1 Vc I cs t (8.66) C Spadek napięcia V c późniny jest w fazie π/ w prównaniu z prądem I.

36 (a) R L C Obwód RLC Amplituda przyłżneg napięcia V jest równa sumie gemetrycznej amplitud tych spadków napięć. V Z rysunku wynika, że ( C) L 1/ tgϕ (8.67) R (b) Z trójkąta prstkątneg trzymujemy V V LI L 1 C C I ϕ V RI L 1 C I ( ) [( ) ] 1 RI + L I V C stąd amplituda prądu ma wartść I c jest zgdne z (8.55). V (8.68) ( ) R + L 1 C Rys Obwód RLC: (a) schemat bwdu; (b) wykres fazwy. Tak więc, jeżeli napięcie w bwdzie zmienia się według prawa V V cs t

37 t w bwdzie płynie prąd ( ϕ) gdzie ϕ i I kreślne są wzrami (8.67) i (8.68). Wielkść I I cs t (8.69) Z R + ( ) L R + ( ) R L R C C (8.70) 1 nazywamy impedancją bwdu, a wielkść X nazywamy reaktancją. R L R C L 1 C Zauważmy, że impedancja bwdu RLC siąga minimum, gdy L 1 0 C czyli gdy 1 (8.71) LC Częstść tę nazywamy reznanswą i znaczamy przez.

38 Mc wydzielana w bwdzie prądu zmienneg Chwilwa wartść mcy rzpraszanej w bwdzie ( t ) V ( t ) I( t ) P gdzie P V(t) V cst a I(t) I cs(t ϕ) ( t ) I V cs( t ϕ) cst I V ( cs t csϕ sint cst sinϕ) + Uwzględniając, że trzymamy cs t 1, sin t cst 0 Z wykresu fazweg (rys. 8.13) wynika, że V csϕ RI, dlateg, P IV csϕ 1 (8.7) Taką mc wydziela prąd stały I I P 1 RI

39 Wielkści I I ; V nazywamy dpwiedni wartściami skutecznymi prądu i napięcia. Uwzględniając t gdzie czynnik csϕ nazywamy współczynnikiem mcy. V P IV csϕ (8.73) Mc wydzielana w bwdzie prądu zmienneg zależy nie tylk d natężenia prądu i napięcia, ale również d przesunięcia fazweg między nimi.

40 Prcesy falwe Falami nazywamy różneg rdzaju rzchdzące się w przestrzeni zaburzenia stanu materii lub pla. Fale akustyczne drgania ciśnienia Fale elektrmagnetyczne drgania natężeń pla elektryczneg i magnetyczneg. Fale sprężyste mechaniczne zaburzenia (dkształcenia) rzchdzące się w śrdku sprężystym Fala sprężysta nazywa się pdłużną, jeżeli drgania cząstek śrdka są równległe d kierunku rzchdzenia się fal. Jeżeli cząsteczki śrdka drgają w płaszczyznach prstpadłych d kierunku rzchdzenia się fali, t fala taka nazywa się pprzeczną. Fale pprzeczne prpagują się tylk w śrdku który charakteryzuje się sprężystścią pstaci (ciała stałe). Fale pdłużne związane są z dkształceniem bjętściwym śrdka i dlateg mgą się rzchdzić zarówn w ciałach stałych, jak i w cieczach i gazach. Rzchdzenie się fal sprężystych nie jest związane z przenszeniem materii. Miejsce gemetryczne punktów d których dchdzą drgania w danej chwili t, nazywamy człem fali. Miejsce gemetryczne punktów drgających w jednakwej fazie nazywamy pwierzchnią falwą.

41 Pwierzchni falwych mżna przeprwadzić bardz duż, natmiast w danej chwili czasu jest t tylk jedn czł fali. Pwierzchnie falwe mgą mieć dwlne kształty: fala płaska, kulista.

42 Fale biegnące Falami biegnącymi nazywamy fale, które (w dróżnieniu d fal stjących) przenszą energię. Fala na strunie zakładamy, że ś x jest zgdna z kierunkiem prpagacji fali, pwierzchnie falwe są prstpadłe d si x, przemieszczenie y y(x, t). u Jeżeli drganie w płaszczyźnie x 0 piszemy funkcją y Acst, t drganie punktu P jest późnine czas τ x/u ptrzebny dla przemieszczenia fali. Wówczas równanie drgań cząstek leżących w dległści x ma pstać ( ) x y x,t A cs t (8.74) u Jest t równanie fali biegnącej. Jeżeli fala płaska prpaguje się w kierunku przeciwnym, t Rys Fala biegnąca p strunie. x y + u ( x,t ) Acs t

43 W gólnym przypadku równanie płaskiej sinusidalnej fali, ma pstać gdzie: A amplituda fali, częstść kłwa, ϕ faza pczątkwa, natmiast [(t x/u)+ϕ ] znacza całkwitą fazę fali. y x (8.75) u ( x,t ) Acs t + ϕ Liczba falwa Uwzględniając t W pstaci funkcji zesplnej y k π λ π ut u (8.76) ( x,t ) Acs( t kx + ϕ ) y (8.77) i ( t kx +ϕ ) ( x,t ) Ae gdzie sens fizyczny ma jedynie część rzeczywista.

44 Załóżmy, że w prcesie falwym faza jest stała, t jest Różniczkując t wyrażenie trzymujemy dt (1/u)dx 0, skąd x t + ϕ cnst (8.78) u dx u (8.79) dt Prędkść u prpagacji fali jak prędkścią przemieszczania się fazy fali. Z teg pwdu prędkść tę nazywamy prędkścią fazwą. Z wyrażenia (8.76) wynika, że u (8.80) k c znacza, że prędkść fal sinusidalnych zależy d ich częstści. T zjawisk nazywamy dyspersją fal, a śrdek w którym bserwwana jest dyspersja fal nazywamy śrdkiem dyspersyjnym.

45 y x T α α 1 T Δx Rys Siły działające na element Δx struny. Teraz znajdziemy relację kreślającą zależnść prędkści fali na strunie d T i μ. Dla małych kątów sinα α y/ x. Siła wypadkwa działająca na element struny w kierunku pinwym jest równa ilczynwi masy elementu struny μδx przez przyśpieszenie pinwe y / t. Wbec teg y F wyp Tα 1 Tα ( μδx) t y T Δ μ Δx α t Δ μ y Δx α T t

46 Pdstawiając α y/ x, trzymamy y x Jest t różniczkwe równanie falwe struny. μ y (8.81) T t Prędkść fali mżna kreślić pdstawiając w (8.81) dpwiednie pchdne funkcji y(x, t) kreślnej równaniem (8.77). y Ak cs( t kx + ϕ0 ) x y A cs( t kx + ϕ0 ) t Uwzględniając te wyrażenia w (8.81), mamy skąd znajdujemy k μ T Pdstawiając d równania (8.81) w miejsce wyrażenia μ/t parametr u T (8.8) μ 1/ u, trzymamy y 1 y (8.83) x u t Jest t równanie falwe. Jeg rzwiązaniem jest wyrażenie (8.77)

47 α T O v Przenszenie energii przez fale Energia dstarczna d jedneg kńca struny, przenszna z prędkścią fali mże być przyjęta i pchłnięta na drugim kńcu. Mc r r y P F v T sinα t y kładąc v y / t. Dla małeg kąta sinα y / x. Tak więc Kniec struny Rys Kniec struny dciągnięty d góry celem wzbudzenia fali biegnącej. Chwilwa mc przekazywana w chwili czasu t w punkcje x 0 x P TA u P y y T t x a pnieważ y A cs ( t x / u) sin t y t y x, więc A sin t A sin t u x u x u

48 Średnia wartść mcy jest dwukrtnie mniejsza ( sin t 1/ ) T u A P (8.84) Średnia wartść przensznej mcy nazywana jest natężeniem fali. Natężenie fali jest prprcjnalne d kwadratu jej amplitudy.

49 Paczka falwa. Prędkść grupwa Jeżeli śrdek jest liniwy, t spełnina jest zasada superpzycji (nakładania) fal: wypadkwe wzbudzenie w dwlnym punkcie śrdka liniweg przy jednczesnej prpagacji kilku fal jest równe sumie wzbudzeń wywłanych przez każdą z tych fal z sbna. (a) Acs t (b) Acs 1 t A(cs t + cs t) 1 Obwiednia Rys (a) Dwie fale mnchrmatyczne nieznacznie różniących się częstściach, będących w fazie w pczątku układu współrzędnych. (b) Suma dwóch fal mnchrmatycznych.

50 Ddawanie fal mnchrmatycznych różnych lecz zbliżnych częstściach. Z upływem czasu fale będą rzbiegać się fazw jedna względem drugiej. Przyjmijmy Wówczas suma S Wyrażenie t mżemy przekształcić S + Δ,. 1 1 ( t ) Acs( + Δ) t + Acs( Δ)t ( t ) A cs[ ( Δ ) t] cs t A( t ) cs t (8.85) gdzie A ( t ) Acs( Δ)t jest bwiednią, czyli funkcją mdelującą. Ddamy większą liczbę fal mnchrmatycznych nieznacznie różniących się częstściach. Pprzez dbór fal mnchrmatycznych zbliżnych częstściach mżna zbudwać paczkę falwą.

51 (a) t (b) G( ) Δ Rys (a) Suma trzech fal mnchrmatycznych. (b) Względny rzkład amplitud. Funkcja G ( ) charakteryzuje względne intensywnści trzech sumwanych fal mnchrmatycznych.

52 (a) t (b) G( ) Δ Rys (a) Suma pięciu fal mnchrmatycznych. (b) Względny rzkład amplitud.

53 W celu ufrmwania pjedynczej paczki falwej dknuje się sumwania nieskńczenie wielu fal mnchrmatycznych zbliżnych częstściach. (a) t (b) G( ) Rys (a) Suma nieskńcznej liczby fal mnchrmatycznych. (b) Względny rzkład amplitud. G ( ) - funkcja gausswska ze średnią wartścią i dchyleniem średnikwadratwym Δ. Funkcja gausswska ( ) mnchrmatycznych gdzie Δ G charakteryzuje względne amplitudy pjedynczych składwych ( ) ( Δ) Δ dchylenie średnikwadratwe rzrzut częstści. G ( ) exp (8.87)

54 Aby bliczyć całkę skrzystamy z tablic całek exp ( ϖ ) ( Δ) Jest t fala mnchrmatyczna ( ) cs td G (8.88) cstd Odchylenie średnikwadratwe dla tej funkcji nazywane jest szerkścią paczki falwej π exp t ( Δ) cst (8.89) [ ] cs t zmdulwana gausswską bwiednią exp ( t )( Δ ). 1 Δt (8.90) Δ Rzrzut częstści składwych mnchrmatycznych równy jest dwrtnści szerkści G nazywana jest transfrmatą (brazem) Furiera paczki falwej. paczki falwej. Funkcja ( ) Prędkść paczki falwej, czyli prędkść bwiedni, nazwana jest prędkścią grupwą. Prędkść grupwa mże znacznie różnić się d prędkści fazwej, z którą rzchdzą się składwe mnchrmatyczne.

55 y 1 y t 1 (y 1+y ) t t 3 t 4 Rys Dwie fale mnchrmatyczne y 1 i y pruszają się w praw z nieznacznie różniącymi się prędkściami. Obwiednia sumy y 1 i y przemieszcza się w praw z pdwójną prędkścią. Przytczn cztery klejne płżenia dpwiadające chwilm czasu t 1,...,t 4. Strzałkami zaznaczn płżenie grzbietów w różnych chwilach czasu.

56 Superpzycja dwóch fal biegnących gdzie y ( x,t ) Acs[ ( + Δ) t ( k + Δk ) x] + Acs[ ( Δ) t ( k Δk ) x] k π / λ jest średnią liczbą falwą. Stsując dla cs α + cs β trygnmetryczną frmę ddawania, Obwiednie mżemy pisać w pstaci Maksimum funkcji jest przyjmwane gdy y ( x,t ) Acs ( Δ) t ( Δk ) [ x] cs( t kx) A ( x,t ) Acs[ ( Δ) t ( Δk ) x]. ( Δ ) t ( Δk ) x 0 t jest przy x Δ t Δk Jest t prędkść przemieszczania się grzbietu bwiedni czyli prędkść grupwa. Jeżeli mamy zbiór fal mnchrmatycznych zbliżnych częstściach, przy czym ( k ) prędkść grupwa v g, t d (8.91) dk

57 v g ( uk ) d dk u + k du dk u + du dλ k dλ dk u + λ du k k dλ du v g u λ (8.9) d λ v mże być mniejsze jak i większe d u w zależnści d znaku du / dλ. g W śrdkach niedyspersyjnych du / dλ 0 i v g u. W terii względnści udwadnia się, że prędkść grupwa fazwej nie ma graniczenia. Przykłady rzchdzenia się fali z prędkścią grupwą: przechdzenie światła przez dielektryk, paczki falwe. v g c, pdczas gdy dla prędkści

58 Interferencja fal Fale nazywamy kherentnymi jeżeli różnica ich faz pzstaje stała w czasie. Superpzycja dwóch kherentnych fal sferycznych wzbudznych źródłami punktwymi. S 1 r 1 P r S Rys. 8.. Interferencja kherentnych fal sferycznych.

59 Równanie fali sferycznej S A (8.93) r ( r,t ) cs( t kr + ϕ ) Amplituda fali sferycznej maleje jak 1/r (gdy nie ma miejsca dysypacja energii). W wyniku superpzycji dwóch fal Amplituda fali wypadkwej w punkcie P S S A ( r,t ) cs( t kr + ) 1 1 ϕ1 r1 A ( r,t ) cs( t kr + ) ϕ r 1 1 A + + cs 1 1 r1 r r1r A [ k( r r ) + ( ϕ ϕ )] Dla źródeł kherentnych ϕ 1 ϕ cnst, więc wynik interferencji fal zależy d wielkści r1 r nazywanej różnicą dróg fal. Δ

60 W punktach gdzie ( r r ) ( ϕ ϕ ) mπ k (8.94) 1 1 ± (m 0, 1,,...) bserwuje się maksima interferencyjne, a amplituda wypadkwa wynsi A A A + r W punktach gdzie 1 r ( r r ) ( ϕ ϕ ) ± ( m ) π k 1 m 1,, (8.95) bserwuje się minima interferencyjne; amplituda wypadkwa A A A r1 r m 0, 1,,... nazywamy dpwiedni rzędem interferencyjneg maksimum lub minimum. Warunki (8.94) i (8.95) sprwadzają się d teg, że Jest t równanie hiperbli gniskach w punktach S 1 i S. r 1 r cnst (8.96)

61 Fale stjące Szczególnym przypadkiem interferencji są fale stjące. Dwie fale sinusidalne prpagujące się w przeciwnych kierunkach wzdłuż si x mają jednakwe amplitudy i częstści. y Acs t kx Ddając te równania, trzymamy y 1 ( ) ( t kx) y Acs + ( x / λ) cs t + y Acs kx cs t Acs π (8.97) 1 W każdym punkcie fali stjącej zachdzą drgania tej samej częstści z amplitudą A st Acs π x / λ. ( ) W punktach (strzałki) gdzie πx ± mπ λ amplituda fali stjącej siąga maksimum równe A. (m 0,1,,...) W punktach (węzły) gdzie πx λ ± m + 1 π (m 0,1,,...) amplituda fali stjącej jest zerwa.

62 tt 0 tt +T/4 0 s l 0 λ/ λ λ λ λ λ s 0 N N x x Współrzędne strzałek i węzłów λ x s ±m (m 0, 1,,...) 1 λ x w ± m + (m 0, 1,,...) s tt +T/ 0 0 N x s tt +3T/4 0 0 N x s tt +T 0 0 N x Rys Fala stjąca.

63 Zjawisk Dpplera Zmiana częstści wynikająca z wzajemneg ruchu bserwatra i źródła nazywa się zjawiskiem Dpplera. Typwy przykład: dźwięk gwizdka zbliżająceg się pciągu. (a) (b) λ v Z O Z v O z Rys Zjawisk Dpplera: a) źródł jest nieruchme (zbliżający się bserwatr dbiera fale większej częsttliwści), b) źródł zbliża się d bserwatra (fala ma mniejszą długść z przdu, a większą z tyłu).

64 Gdyby bserwatr nie pruszał się, t w ciągu czasu t rejestrwałby ut/λ fal. Pnieważ jednak prusza się w kierunku źródła z prędkścią v, t w tym samym czasie t dbiera n v /t ddatkwych fal. Z teg pwdu częsttliwść f dbierana przez bserwatra f' ( u + v ) ut vt 1 u + v f v + f + 1 λ λ t λ u u (8.98) Częsttliwść dbierana przez bserwatra jest większa d częsttliwści źródła. Gdy bserwatr ddala się, t we wzrze (8.98) należy zmienić znak prędkści v, c pwduje, że częsttliwść ulega zmniejszeniu. Gdy źródł prusza się względem nieruchmeg bserwatra, występuje efekt skrócenia długści fali w kierunku bserwatra raz wydłużenia długści fali w kierunku przeciwnym, c pkazan na rys. 8.4b. Jeżeli częsttliwść źródła jest f, a jeg prędkść v z, t w czasie jedneg kresu drgań źródł t przesuwa się dcinek v z /f i każda długść fali ulega skróceniu ten dcinek. Długść fali dchdzącej d bserwatra wynsi więc λ ' A stąd częsttliwść dbierana przez bserwatra f' u f' uf u v z u f v f f z 1 1 ( v u) z (8.99) Mamy więc efekt pdbny jak w przypadku ruchu bserwatra; zbliżanie się źródła pwduje wzrst częsttliwści, a ddalanie (v z < 0) zmniejszenie się częsttliwści.

65 W przypadku gdy prusza się zarówn źródł dźwięku jak i bserwatr, t należy traktwać, że ruch źródła dbywa się niezależnie d ruchu bserwatra. W przypadku fal akustycznych, stsunek prędkści bserwatra (lub źródła) d prędkści fazwej fali nazywa się liczbą Macha v m u Gdy źródł prusza się z prędkścią przewyższającą prędkść dźwięku, t wytwarza n falę uderzeniwą właściwściach dmiennych d pprzedni mawianych fal. Zjawisk Dpplera dla fal elektrmagnetycznych ma liczne praktyczne zastswania, np.: w fizyce atmwej, w astrnmii d kreślenia prędkści dległych świecących ciał niebieskich, w radilkacji d pmiaru prędkści i dległści ruchmych biektów.