Rodzaje drgań na przykładzie układu o jednym stopniu swobody

Transkrypt

1 Rdzaje drgań na przkładzie układu jednm stpniu swbd

2 Układ jednm stpniu swbd Ssin pt m k C m S sinpt Przkład układu jednm stpniu swbd Schemat układu jednm stpniu swbd

3 Zestawienie sił w układzie jednm stpniu swbd z harmniczną siłą wmuszającą S sinpt Ssin pt m B K Sił działające na układ: C harmniczna siła wmuszająca - siła sprężstści (sztwnść belki przeciwstawiająca się ruchwi) - siła tłumienia (tłumienie wisktczne materiałw-knstrukcjne) siła bezwładnści - B( t) m & d m dt S sin pt K k C c& c d dt

4 Równanie ruchu układu jednm stpniu swbd S sinpt tłumienie Siła wmuszająca (zmienna w czasie) B K m&& c& siła bezwładnści k S sin sztwnść pt C HkesLaw_pl.exe Drgania sprężn bez tłumienia

5 Siła bezwładnści m&& c& k S sin Siła bezwładnści jest t ddziałwanie na biekt, któr znajduje się w układzie (np. samchdzie) nieinercjalnm, inaczej mówiąc układzie, któr prusza się ruchem niejednstajnm czli nie ze stałą prędkścią. Siła bezwładnści jest równa ilcznwi mas i przśpieszenia (druga pchdna przesunięcia p czasie). B( t) m & d m dt pt

6 Siła bezwładnści - przkład Samchód jedzie ze stałą prędkścią V km/h. Jakie siła bezwładnści Zadziała na pasażera masie mkg, jeżeli samchód miał dbre hamulce i d mmentu rzpczęcia hamwania d zatrzmania się przejechał m. Zakładam, że pdczas hamwania późnienie bł cał czas stałe równe a. t t B ( t) m & ma cnst dv adt t dv d t a przspieszenie V at dt dt V t V at a d t t t V prędkść dt d Vdt atdt V at ( ) ( ) t. 5 at.5at.5a ( t ) ( ) t.5at.5v t

7 Siła bezwładnści - przkład Samchód jedzie ze stałą prędkścią V km/h. Jakie siła bezwładnści zadzia na pasażera masie mkg, jeżeli samchód miał dbre hamulce i d mmentu rzpczęcia hamwania d zatrzmania się przejechał m. Zakładam, że Pdczas hamwania późnienie bł cał czas stałe równe a. V at V t. 5 V at m.5 km / h t m.5 m /(36s) t t 7. s km / h a 3. 6s m /(36s) a 7. s a 3.9m / s Siła bezwładnści: B ma kg 3.9m / s 39N.39kN

8 Tłumienie m&& c& k S sin Siła tłumienia jest działaniem wewnątrz knstrukcji, które przeciwstawia się ruchwi. W knstrukcjach jest tłumienie materiałwe i knstrukcjne C c& d c dt pt Struktura materiału tarcie wewnętrznch składników wwłuje tłumienie materiałwe Współpraca pszczególnch elementów (płączenia) wwłuje tłumienie knstrukcjne

9 Zestawienie rdzajów drgań Drgania własne m& & k Drgania swbdne (drgania tłumine) Drgania wmuszne nie tłumine Drgania wmuszne tłumine m && c& k m && k S sin pt m && c& k S sin pt

10 Rzwiązwanie równań różniczkwch liniwch drugieg rzędu Równanie m && c& k S sin pt gdzie: ( t) P.Wielgs, Ocena skutecznści działania wielkrtnch, strjnch tłumików maswch w knstrukcjach budwlanch, Rzwiązanie jest sumą dwóch równań p gdzie: ο całka gólna, p całka szczególna

11 Wznaczanie całki gólnej Całka gólna dla równania m && c& t rzwiązanie równania k m && c& k S sin pt W celu rzwiązania teg równania wknuje się pdstawienie dla któreg rt e rt & re && r e rt

12 Wznaczanie całki gólnej Pdstawienie e rt rt & re && r e rt d równania m && c& k daje nam zależnść mr e rt cre P pdzieleniu równania przez e rt trzmujem równanie kwadratwe ze zmienną r mr rt cr k ke rt

13 Wznaczanie całki gólnej Rzwiązwane równanie kwadratwe: mr cr k Rzwiązanie zależ d parametru, któr jest równ lub p pdstawieniu ω c 4mk k m 4m ω c Liczba rzwiązań zależ cz jest mniejsza, większa lub równa.

14 Wznaczanie całki gólnej Rzwiązwane równanie kwadratwe i parametr : mr cr k > c 4m ω Przpadek dwa rzeczwiste rzwiązania zania r i r równania kwadratweg a całka gólna jest zapisana wzrem Przpadek pierwiastek pdwójn rr r a całka gólna jest zapisana wzrem < Przpadek 3 dwa zesplne rzwiązania r α βi i a całka gólna jest zapisana wzrem e αt rt rt C e Ce ( C x C ) e rt β r α i ( C ( βt) C sin( βt) ) cs

15 Drgania własne Rzwiązanie równania drgań własnch & m& k jest całką gólną równania, pisująceg drgania wmuszne nie tłumine czli m && k S sin Równanie drgań własnch p wknaniu pdstawienia (t)e rt ma frmę pt lub p pdstawieniu czli mr k ω m 4ω k r ω

16 r r Drgania własne Rzwiązanie równania drgań własnch m& & k lub p pdstawieniu ma rzwiązanie z 4ω < czli z dwma pierwiastkami zesplnmi b 4ω 4i ω r iω a b 4ω 4i ω r iω a Rzwiązanie ma pstać a p pdstawieniu α i β trzmujem C e αt r ω r α βi r α βi ( ωt) C sin( ωt) cs α β ω ( C ( βt) C sin( βt) ) cs

17 Drgania własne wznaczenie stałch Rzwiązanie równania drgań własnch m& & k ma frmę C ( ωt) C sin( ωt) cs z niewiadmmi, które wznaczam na pdstawie warunków pczątkwch czli dla czasu t. Zakładam, że dla t przesunięcie mas, gdzie C ωt a prędkść mas (wmuszną), & V gdzie ( ) C sin( ωt) cs & C ωsin ( ωt) C ω cs( ωt)

18 Drgania własne wznaczenie stałch Zakładam, że dla t przesunięcie mas, gdzie czli C cs ω C cs( ωt) C sin( ωt) ( ) C sin( ) C C ω a prędkść mas (wmuszną), & V gdzie & C ω ωt Czli V C ω ( ω ) C ω cs( ω ) V Rzwiązanie C ( ) C ω cs( ωt) sin sin Cω Cω V ω V V cs ωt sin ωt sin ωt A sin ωt ω ω C ( ) ( ) ( ) ( )

19 Drgania własne Rzwiązanie równania drgań własnch m& & k ma frmę C ( ω t ) C sin ( ω t ) cs A p uwzględnieniu warunków pczątkwch: A sin ( ωt) gdzie: ω częstść drgań własnch, A amplituda drgań własnch zależna d warunków pczątkwch A d V dt dv a dt sin drgania.exe ( ωt) A ω cs ( ωt) A ω sin s ( ωt)

20 Drgania swbdne układu Drgania swbdne są t drgania układu rzeczwisteg z tłumieniem jakie mżna bserwwać p wstępnm wmuszeniu ruchu, a następnie pzstawieniu knstrukcji bez ddatkwch bciążeń zmiennch. Rzwiązanie równania drgań swbdnch m && c& k m && c& k jest całką gólną równania, pisująceg drgania wmuszne tłumine czli S sin pt

21 Drgania swbdne układu Rzwiązanie równania drgań swbdnch, trzmujem na pdstawie równania mr cr k które uzskujem p pdstawieniu wzru: rt e Rzwiązanie równania zależ d parametru równania kwadratweg: c 4m ω

22 Drgania swbdne układu Analizę prblemu wknuje się dla równania w prstszej frmie, którą uzskuje się p pdzieleniu bu strn równania przez m mr cr k / m czli r γr ω gdzie: ω częstść drgań własnch, γ współcznnik tłumienia. c γ ω k m Delta równania kwadratweg wnsi: i przbiera prstszą frmę 4γ 4ω

23 Drgania swbdne układu Rzwiązanie równania drgań swbdnch zależ d wzajemnej relacji ω i γ czli mam trz przpadki: Przpadek - Duże tłumienie γ>ω czli > Przpadek -Tłumienie krtczne γ ω czli Stuacja najczęściej sptkana w knstrukcjach Przpadek 3 - Małe tłumienie γ<ω czli <

24 Drgania swbdne układu Przpadek - Duże tłumienie γ>ω > Pierwiastki równania kwadratweg γ ω r γr ω r γ γ ω r γ γ ω Rzwiązanie równania różniczkweg: rt C e C e r t && γ& ω

25 Drgania swbdne układu Przpadek - Wznaczenie stałch Warunki pczątkwe: t,, & v v Równanie ruchu (rzwiązanie równania) rt rt C e Ce i p uwzględnieniu warunków pczątkwch C C Równanie prędkści p zróżniczkwaniu równania ruchu względem czasu r t r t & C re C r e i p uwzględnieniu warunków pczątkwch v C r Cr

26 Drgania swbdne układu Przpadek - Wznaczenie stałch Stałe wznaczam z układu równań: C C v C r C r i są ne pisane wzrami: C C v v gdzie: γ r γ γ ω r γ ω γ γ γ ω γ γ γ ω ω ω

27 Drgania swbdne układu Przpadek - Przkład Ssin pt m Dane: Pczątkwe wchlenie.5m, Pczątkwa prędkść v m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s.

28 Drgania swbdne układu Przpadek - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie.5m, Pczątkwa prędkść v m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. Szukam wielkści z równania: rt rt C e Ce r γ γ ω r γ γ ω r r [ rad/s] [ rad/s]

29 Drgania swbdne układu Przpadek - Przkład C Dane: Pczątkwe wchlenie.5m, Pczątkwa prędkść v m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. C v v γ γ γ ω ω γ ω m/s.5m rad/s.5m C rad/s γ γ ω Szukam wielkści z równania: rt rt C e Ce rad/s C m/s.5m rad/s.5m rad/s rad/s.64m.94m

30 Drgania swbdne układu Przpadek - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie.5m,.6 Pczątkwa prędkść v m/s,.4 Tłumienie układu γ rad/s,. Częstść drgań własnch układu ω rad/s..8 Rzwiązanie:.64m e [m].8 Wkres zmian przemieszczenia w czasie. Ruch jest nie drgając i zanikając w czasie rad/st t [s].94m e.6795rad/st

31 Drgania swbdne układu Przpadek - Tłumienie krtczne γω Pierwiastki równania kwadratweg r γr ω r r r γ Rzwiązanie równania różniczkweg: && γ& ω ( C t C ) e rt ( C t C ) e t γ

32 Drgania swbdne układu Przpadek - Tłumienie krtczne γω Warunki pczątkwe: t,, & v v, Równanie ruchu (rzwiązanie równania) i p uwzględnieniu warunków pczątkwch ( C t C ) e t C γ Równanie prędkści p zróżniczkwaniu równania ruchu względem czasu i p uwzględnieniu warunków pczątkwch & v C C γ ( ) γt t t e C re C γ γ

33 Drgania swbdne układu Przpadek - Wznaczenie stałch Stałe wznaczam z układu równań: ( C t C ) e t γ C v C C γ r γ i są ne pisane wzrami: gdzie: C C v γ

34 Drgania swbdne układu Przpadek - Przkład Ssin pt m Dane: Pczątkwe wchlenie.5m, Pczątkwa prędkść v m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s.

35 Drgania swbdne układu Przpadek - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie.5m, Pczątkwa prędkść v m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. C t C Szukam wielkści z równania: ( ) rt r C γ v γ r rad/s C 9.95m/s e C C.5m

36 Drgania swbdne układu Przpadek - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie.5m, Pczątkwa prędkść v m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s Wkres zmian przemieszczenia w czasie. Ruch jest nie drgając i zanikając w czasie..5 Rzwiązanie: [m].5.5 ( ) rad/st 9.95m/s t.5m e t [s]

37 Drgania swbdne układu Przpadek 3 - Małe tłumienie γ<ω < Urjne pierwiastki równania kwadratweg r i γ γ ω γ i γ ω, r i γ ω r γr ω r α βi r α βi Rzwiązanie równania różniczkweg: e αt ( C ( βt) C sin( βt) ) cs gdzie: α γ ω częstść drgań swbdnch && γ& ω β ω γ ω

38 Drgania swbdne układu Przpadek 3 - Wznaczenie stałch Warunki pczątkwe: t,, Równanie ruchu (rzwiązanie równania) & v i p uwzględnieniu warunków pczątkwch e αt v ( C ( βt) C sin( βt) ) cs C Równanie prędkści p zróżniczkwaniu równania ruchu względem czasu & αe αt αt ( C ( βt) C sin( βt) ) e ( βc sin( βt) βc cs( βt) ) cs i p uwzględnieniu warunków pczątkwch v γc C ω γ

39 Drgania swbdne układu Przpadek 3 - Wznaczenie stałch αt e Stałe wznaczam z układu równań: C ( C ( βt) C sin( βt) ) cs,, v γ C C ω γ i są ne pisane wzrami: C C v γ ω γ

40 Drgania swbdne układu Przpadek 3 - Zmiana frm zapisu równania ruchu Parametr drgań swbdnch z małm tłumieniem: Składwa rzeczwista: Składwa urjna: Pczątkwa amplituda drgań: x e αt C cs ( βt) α t e C sin ( β t ) x A C C Faza drgań: Równanie ruchu ϕ arctan C C αt Ae sin ( ω t ϕ )

41 Drgania swbdne układu Przpadek 3 - Przkład Ssin pt m Dane: Pczątkwe wchlenie.5m, Pczątkwa prędkść v m/s, Tłumienie układu γ.5 rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s.

42 Drgania swbdne układu Przpadek 3 - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie.5m, Pczątkwa prędkść v m/s, Tłumienie układu γ.5 rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. Szukam wielkści z równania: α γ β ω γ C C v γ ω γ ω α.5rad/s α t e ( C cs ( β t ) C sin ( β t ) ) cs β.5 ω C.5m C.5758 m.866 [ rad/s]

43 Drgania swbdne układu Przpadek 3 - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie.5m, Pczątkwa prędkść v m/s, Tłumienie układu γ.5 rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. Parametr drgań swbdnch z małm tłumieniem: A C ϕ arctan C C C.43 A.5759m

44 Drgania swbdne układu Przpadek 3 - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie.5m, Pczątkwa prędkść v m/s, Tłumienie układu γ.5 rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. [m m] Wkres zmian przemieszczenia w czasie. Ruch drgając i zanikając w czasie. Rzwiązanie: t [s].5rad/st e (.5m cs(.866rad/st).5758m sin(.866rad/st) ).5rad/s t.5759m e sin(.866rad/s t.43)

45 Drgania swbdne układu Przpadek 3 - Parametr tłumienia [m] A m && c& k c współcznnik prprcjnalnści tłumienia d prędkści γ współcznnik tłumienia m & γ& k Na pdstawie stsunku amplitud wznacza się lgartmiczn dekrement tłumienia ln A A n n γt lub ln ( t) ( ) t T γt T kres swbdnch drgań tłuminch A A Równanie krzwej przerwanej t [s] A e γt

46 Drgania swbdne układu - prównanie Wkres zmian przemieszczenia w czasie dla: [m] t [s] [m] t [s] [m] t [s] Przpadek Przpadek Przpadek 3 Duże tłumienie γ>ω Tłumienie krtczne Małe tłumienie γ<ω czli > γ>ω czli czli < Drgania wahadła tłumine drgania.exe

47 Drgania wmuszne Drgania wmuszne nie tłumine m && k S sin pt Drgania wmuszne tłumine m && c& k S sin pt Rzwiązanie (suma całki gólnej i szczególnej) p P.Wielgs, Ocena skutecznści działania wielkrtnch, strjnch tłumików maswch w knstrukcjach budwlanch,

48 Wznaczenie całki szczególnej Rzwiązanie równania różniczkweg m && k S sin pt Całka szczególna, przjęta jest na pdstawie załżenia, że zmiana przesunięcia w czasie musi mieć pdbną frmę d zmian w czasie funkcji wmuszającej czli prgnzwane rzwiązanie ma frmę p A sin( pt) A cs( pt) a jej pchdne & p A p cs( pt) A p sin( pt) && p A p sin ( pt) A p cs( pt)

49 Wznaczenie całki szczególnej Rzwiązanie równania różniczkweg m && k S sin pt P pdstawieniu równań z prgnzwanm rzwiązaniem mam ma p sin pt ma p cs pt ka sin pt ka cs pt S sin pt ( ) ( ) ( ) ( ) Wraz p lewej i prawej strnie równania muszą mieć te same współcznniki czli ma p ka S ma p ka k a p pdstawieniu ω m ( ) S A p ω ( A ) ω p m

50 Drgania wmuszne nie tłumine Rzwiązanie równania różniczkweg m&& k jest równanie p A sin( pt) A cs( pt) gdzie ( ) S A p m A ω p S A m ω p A ω ( ) S sin Całka szczególna, przjęta na pdstawie załżenia, że zmiana przesunięcia w czasie musi mieć pdbną frmę d zmian w czasie funkcji wmuszającej i statecznie ma frmę gdzie: A p p A S m p ( ) sin ( pt) ( ω p ) pt

51 Drgania wmuszne nie tłumine Równanie różniczkwe m && k S sin Całka gólna, która jest rzwiązaniem równania ma frmę Całka szczególna pt m& & k A sin ωt Rzwiązanie, które jest sumą całki gólnej i szczególnej A p p A p ( pt) A sin( ωt) sin sin ( ) ( pt)

52 Drgania wmuszne tłumine Rzwiązanie równania różniczkweg Całka szczególna gdzie: A p p S m A sin pt γp ϕ arctan ω p p m&& c& ( ) ϕ ( ) ω p 4γ p k S sin γ pt DrivenSHM_pl.exe c m ω k m

53 Drgania wmuszne tłumine Równanie różniczkwe m&& c& k S sin pt Rzwiązanie, które jest sumą całek gólnej i szczególnej A e γt ( ω t ϕ ) A sin( pt ϕ) sin p

54 Współcznnik dnamiczn Współcznnik dnamiczn jest t stsunek: amplitud drgań wwłanch siłą zmienną w czasie z amplitudą sił S d przemieszczenia statczneg wwłaneg siłą S - st SS sin(pt) A(t) SS sin(pt) A p A(t) S st

55 Współcznnik dnamiczn drgań wmusznch nie tłuminch Maksmalna amplituda drgań wmusznch nie tłuminch układ drgając SS sin(pt) A p S m ( ω p ) A(t) SS sin(pt) A p A(t) Przemieszczenie punktu knstrukcji sztwnści k - Brak drgań st S k S st

56 Współcznnik dnamiczn drgań wmusznch nie tłuminch mω S st Z definicji częstści drgań własnch wnika: mω k czli ( ) p m S A p ω mω ( ) ω ω ω ω ω β p p m S p m S st p A β

57 Współcznnik dnamiczn drgań wmusznch tłuminch A p Amplituda drgań wmusznch tłuminch S m ( ) ω p 4γ p Przemieszczenie punktu knstrukcji sztwnści k st S k st S mω

58 Współcznnik dnamiczn drgań wmusznch tłuminch st p A β ( ) 4 γ ω β S p p m S m ω 4 ω γ ω β p p

59 Reznans drgań Współcznnik dnamiczn dla drgań wmusznch tłuminch β Jeżeli, t ω p 4 ω γ ω β p p γ β

60 Reznans drgań Współcznnik dnamiczn dla drgań wmusznch nie tłuminch ω p Jeżeli eli, t β β p ω W przpadku wmuszania drgań z częstścią zbliżną d częstści drgań własnch następuje znacząc wzrst amplitud drgań. W przpadku braku tłumienia amplituda dąż d nieskńcznści.

61 Reznans drgań µ - amplituda b γ ω Link d reznansu: Z. Dląg i in., Mechanika budwli.

62 drgania.exe Kniec Drgania własne drgania.exe Drgania wahadła tłumine