BADANIE DRGAŃ SWOBODNYCH I DRGAŃ WYMUSZONYCH

Transkrypt

1 BADANIE DRGAŃ SWOBODNYH I DRGAŃ WYMUSZONYH I. el ćwiczenia: wyznaczanie współczynnika spręŝystści drgającej spręŝyny; wyznaczenie krzywej reznanswej natęŝenia prądu w bwdzie R; zapznanie się z zagadnieniami drgań swbdnych, drgań wymusznych i reznansu. II. Przyrządy: spręŝyna, zestaw cięŝarków, sekundmierz, prnik dekadwy, indukcyjnść dekadwa, kndensatr dekadwy, generatr małej impedancji wyjściwej, wltmierz cyfrwy. III. iteratura:.kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman Mechanika., PWN Warszawa 969 IV. Wprwadzenie. IV. Terminlgia. Drganiami swbdnymi nazywamy drgania układu fizyczneg, wychylneg z płŝenia równwagi trwałej, ile nie działają nań Ŝadne inne siły, pza tymi, które kreślają płŝenie równwagi. JeŜeli pna wypadkwa tych sił jest prprcjnalna d wielkści wychylenia, t drgania tych takie nazywamy drganiami harmnicznymi. Wiele róŝnrdnych układów fizycznych mŝna uwaŝać za scylatry harmniczne, jeŝeli wychylenia z płŝenia równwagi są bardz małe, a siła pru stawiana drganim jest równieŝ bardz mała. Drganiami tłuminymi nazywamy drgania zachdzące w układzie, w którym występują siły pru, a tym samym i straty energii drgań. Szczególnym przypadkiem drgań tłuminych są drgania harmniczne ekspnencjalnie malejącej wraz z upływem czasu amplitudzie - nszą ne nazwę drgań harmnicznych tłuminych. Drgania wymuszne t drgania zachdzące pd wpływem zmiennej w czasie siły zewnętrznej. Zjawisk pbudzania układu fizyczneg d drgań, których amplituda i energia mgą być niewspółmiernie wielkie w stsunku d mcy czynnika wymuszająceg nsi nazwę reznansu. zęstść drgań, dla której amplituda i energia siągają maksimum, nazywamy częstścią reznanswą. zęstść reznanswa jest bliska bądź równa częstści drgań swbdnych czyli częstści własnej układu. IV. Drgania swbdne. Najprstszym przypadkiem mechanicznych drgań swbdnych są drgania masy m, zawiesznej na spręŝynie i wprawinej w ruch w warunkach, w których siły pru śrdka są znikm małe. JeŜeli maksymalne wychylenie z płŝenia równwagi x max = x mieści się w granicach dkształcenia spręŝysteg, t siła wymuszająca ruch w kierunku płŝenia równwagi jest prprcjnalna d wielkści wychylenia F = k x ( ) gdzie stałą k nazywamy współczynnikiem spręŝystści. Na mcy II zasady dynamiki równanie ruchu masy m ma wówczas pstać I PRAOWNIA FIZYZNA

2 w którym wielkść d x x = 0 ( ) ω k = ( 3 ) m jest stałą niezaleŝną d wielkści wychylenia. Rzwiązaniem szczególnym równania ( ) jest funkcja ( ) x( t) = x sin ω t + ϕ ( 4 ) Z pstaci tej funkcji wynika, iŝ masa m wyknuje ruch drgający stałych, niezaleŝnych d amplitudy x wartściach częstści kątwej (kłwej) ω k =, ( 5 ) m częstści f = ω π i kresu T =. f Rys. Wychyleniem z płŝenia równwagi inicjującym drgania w bwdzie (rys.) jest wprwadzenie ładunku Q na kładki kndensatra pjemnści, c pwduje pwstanie róŝnicy ptencjałów U = Q /. Pd wpływem napięcia U w bwdzie zaczyna płynąć prąd natęŝeniu I i na indukcyjnści pjawia się napięcie U = di/. PniewaŜ algebraiczna suma spadków ptencjału w bwdzie zamkniętym jest równa zeru, t di Q + = 0. ( 6 ) P zróŝniczkwaniu teg równania względem czasu, uwzględnieniu definicji natęŝenia prądu I = dq/ i wprwadzeniu nwej stałej = ( 7 ) ω trzymujemy równanie identycznej pstaci matematycznej, jak równanie (): I PRAOWNIA FIZYZNA

3 d Q Q = 0. ( 8 ) Prównując dpwiednie równania stwierdzamy, iŝ dpwiednikiem współrzędnej płŝenia x masy m jest ładunek Q zgrmadzny na kładkach kndensatra, stałej spręŝystści k dpwiada dwrtnść pjemnści kndensatra /, a masie (bezwładnści) m - współczynnik samindukcji (indukcyjnść). NatęŜenie prądu I = dq/ jest dpwiednikiem prędkści przemieszczania się masy v = dx/. Równanie pisujące zmianę natęŝenia prądu w czasie ma pstać d I( t) I( t) = 0 ( 8a ) zęstść drgań swbdnych ładunku i natęŝenia prądu pisane są wzrem: IV.3 Drgania tłumine. f =. ( 9 ) π JeŜeli drganim mechanicznym twarzyszy siła pru śrdka prprcjnalna d prędkści t równanie drgań przybiera pstać F c v c dx t = =, ( 0 ) d x dx + δ x = 0, ( ) w którym δ = c/m jest współczynnikiem tłumienia (pru), a ω - kątwą (kłwą) częstścią drgań swbdnych. Oprwi mechanicznemu dpwiada w bwdzie elektrycznym pór elektryczny (prnść rzeczywista) R. Równanie drgań swbdnych np. natęŝenia prądu ma pstać d I di + δ I = 0 ( ) gdzie δ = R. ( a ) Dla R < rzwiązaniem szczególnym równania () jest funkcja t I( t) = I( t) cs( t) = Ie δ ω cs( ω t) ( 3 ) Funkcja ta pisuje drgania harmniczne tłumine malejącej w miarę upływu czasu amplitudzie I exp( δ t) i częstści kątwej ω = ω δ ( 3a ) tym mniejszej d częstści drgań swbdnych, im większą wartść psiada współczynnik tłumienia. IV.4 Współczynnik dbrci układu. Energia drgań harmnicznych jest prprcjnalna d kwadratu ich amplitudy. Skr zaś amplituda harmnicznych drgań tłuminych jest prprcjnalna d czynnika exp( -δt), t energia 3 I PRAOWNIA FIZYZNA

4 zmniejsza się e - krtnie p czasie t e = /(δ). Współczynnikiem dbrci Q d alb dbrcią układu drgająceg nazywamy wartść takieg kąta ω t e, gdzie ω jest częstścią kątwą drgań swbdnych, który dpwiada e - krtnemu zmniejszeniu się energii drgań: Q ω = ω t = = δ d e R ( 4 ) IV.5 Drgania wymuszne i reznans. Rys. JeŜeli w bwód R (rys.) włączymy źródł zmiennej w czasie siły elektrmtrycznej (SEM) E = E sin( ω t), E = cnst. ( 5 ) t suma chwilwych wartści spadków ptencjału w bwdzie jest w kaŝdej chwili równa chwilwej wartści SEM di Q + R I + = E sin( ω t) ( 6 ) skąd mŝemy ( pr. z (8a) i () ) trzymać równanie drgań wymusznych natęŝenia prądu któreg rzwiązaniem jest funkcja d I di ωe + δ I = cs( ω t) ( 7 ) I( t) = I ( ω)cs( ωt + ϕ ) ( 8 ) złŝna z dwu czynników. Pierwszy z nich, niezaleŝny d czasu, pisuje zaleŝnść amplitudy d częstści kątwej zmian SEM I ( ω) = ω E ω A = ( ω ω ) + 4δ ω ( B ω ) + Zω ( 9 ) gdzie A = E / ( 9a ) B = ω ( 9b ) Z = (R/) ( 9c ) Jak stąd wynika amplituda natęŝenia prądu jest trójparametrwą ( A, B, Z ) funkcją jednej zmiennej ω, siągającą maksimum I r = E /R (stan reznansu!) dla częstści kątwej równej czę- 4 I PRAOWNIA FIZYZNA

5 stści kątwej drgań swbdnych.mŝna wykazać, iŝ amplituda zmian ładunku na kndensatrze, a tym samym i wartść napięcia siąga wartść maksymalną dla częstści kątwej ω = ω δ, q mniejszej d częstści drgań swbdnych. Amplituda napięcia na indukcyjnści staje się z klei maksymalną, gdy częstść kątwa ma wartść ω = ω ω ( ω δ ) > ω IV.6 Szerkść krzywej reznanswej, a wartść współczynnika dbrci. Zmniejszeniu amplitudy drgań d wartści maksymalnej w stanie reznansu I (ω ) = I r = E /R d wartści I r / dpwiada spadek energii drgań d płwy wartści maksymalnej. MŜna udwdnić, iŝ częstści kątwe ω, ω takie, iŝ ( rys. 3 ) I Ir ( ω ) = I( ω ) = ( 0 ) spełniają w przybliŝeniu związek Rys. 3 Krzywa reznanswa natęŝenia prądu. ω ω δ = = ω ω Q d ( 0a ) Wzór ten daje dbrą wartść współczynnika dbrci Q d, ile częstści ω i ω niewiele się róŝnią d ω. Dla bwdu duŝej wartści współczynnika Q d amplitudy spadku ptencjału na indukcyjnści U i na pjemnści U spełniają następujące wzry przybliŝne: U Q d E i U Q d E, gdzie E jest amplitudą siły elektrmtrycznej. V. Pmiary. V. Drgania quasi-swbdne. Wyznaczyć zaleŝnść kresu drgań cięŝarka zawieszneg na spręŝynie d jeg masy. V. Drgania wymuszne.. Płączyć przyrządy wg. schematu przedstawineg na rys.4. 5 I PRAOWNIA FIZYZNA

6 . Nastawić prnik dekadwy na wartść R v = 00Ω, indukcyjnść dekadwą na = H, kndensatr dekadwy na = nf. 3. Wyznaczyć zaleŝnść napięcia na prniku dekadwym d częstści w takim przedziale częstści, aby mŝliwe był wrzenie krzywej reznanswej i wyznaczenie współczynnika dbrci Q d z szerkści krzywej reznanswej. 4. Rzłączyć bwód nie wyłączając generatra ani nie zmieniając jeg napięcia wyjściweg. Zmierzyć napięcie na wyjściu generatra w celu szacwania jeg siły elektrmtrycznej E sk (wltmierz cyfrwy wyświetla wartść skuteczną mierzneg napięcia!). 5. Zmierzyć mmierzem cyfrwym prnść rzeczywistą R indukcyjnści dekadwej. Rys. 4 VI. Opracwanie wyników pmiarów.. Wyniki pmiarów zaleŝnści kresu T drgań cięŝarka d jeg masy m przedstawić na wykresie w pstaci zaleŝnści kwadratu kresu T d masy m. Ocenić, czy zaleŝnść dświadczalna jest zgdna z przewidywaniami teretycznymi.. Wyznaczyć współczynnik(stałą) spręŝystści k metdą najmniejszych kwadratów, a prstą dpaswaną d punktów dświadczalnych wykreślić na rysunku wspmnianym w punkcie VI.. 3. Na pdstawie wybranych wartści i bliczyć czekiwane wartści kątwej częstści reznanswej ω r = i częstści reznanswej f r = ω /π. Oblicz czekiwaną wartść całkwitej prnści rzeczywistej R bwdu równą sumie prnści prnika dekadweg, indukcyjnści dekadwej i generatra. Oszacwać czekiwaną wartść współczynnika dbrci Q = R raz czekiwane wartści parametrów krzywej reznanswej A = E sk /, B = ω r i Z = (R/). Oszacwać błędy względne parametrów A, B, Z przyjmując, iŝ dkładnść ceny wartści i jest rzędu %, R i E sk - rzędu 5%. 4. Dpaswać teretyczną krzywą reznanswą natęŝenia prądu d danych dświadczalnych za pmcą prgramu REZONANS.EXE, napisaneg na kmputer sbisty IBM. Danymi wejściwymi teg prgramu są ceny wartści parametrów A, B, Z raz pdwjnej wartści błędów względnych tych wartści. Pna d pamięci kmputera naleŝy wprwadzić wyniki pmiarów wartści skutecznych napięcia na prniku dekadwym, wartść częstści i wartść prnści prnika dekadweg. Pczątkwa liczba iteracji (krków dpaswania) pwinna być rzędu I PRAOWNIA FIZYZNA

7 5. Wykreślić na jednym rysunku zaleŝnści: - wartści skutecznej natęŝenia prądu I d [ma] d częstści f[hz], trzymaną dświadczalnie; - wartści skutecznej natęŝenia prądu I t [ma] d częstści f[hz], czekiwaną na pdstawie szacwań parametrów A, B, Z; - wartści skutecznej natęŝenia prądu d częstści, uzyskaną w wyniku dpaswania krzywej reznanswej d danych dświadczalnych. 6. Z szerkści dświadczalnej krzywej reznanswej bliczyć wartść współczynnika dbrci Q d, a uzyskaną wartść prównać z wartścią bliczną bezpśredni ze wzru Qd = R. 7. Oszacwać wartść częstści reznanswej f r z przebiegu dświadczalnej krzywej reznanswej i prównać ją z wartściami, blicznymi ze wzrów: f r = π i fr = B π, gdzie B jest parametrem uzyskanym w wyniku minimalizacji chi-kwadrat. VII.Prgram REZONANS. Prgram pszukuje takich wartści A min, B min, Z min, aby wartść sumy chi-kwadrat była jak najmniejsza chi-kwadrat = n [ Iti ( Amin, Bmin, Zmin, ω i ) Idi ] i = I ( A, B, Z, ω ) ti min min min W pwyŝszym wzrze I di jest wynikiem pmiaru natęŝenia prądu dla częstści kątwej ω i, a I ti jest wartścią bliczną ze wzru krzywej reznanswej dla aktualnych wartści parametrów A, B, Z. Metda ta nsi nazwę metdy minimalizacji chi-kwadrat Na pczątku prgramu za A min, B min, Z min przyjmwane są wartści szacwane ze wzrów A = E sk /, B = ω, Z = (R/). Następnie bliczane są wartści elementów t ijk macierzy T wymiarze 3x3x3 : t ijk = n l = i, j, k =, 0+ i [ Itl ( Amin + i da, Bmin + j db, Zmin + k dz, ω l ) Idl ] gdzie da, db, dz są krkami zmian wartści parametrów A, B, Z, wynszącymi na pczątku przebiegu prgramu; da = A A A db = B B B dz = Z Z Z, przy czym A/A, B/B, ( ), ( ), ( ) Z/Z są błędami względnymi A, B, Z. Spśród elementów t ijk wybierany jest element najmniejszej wartści t imin, jmin, kmin. Jeśli imin = jmin = kmin = 0, t krki zmian wartści parametrów krzywej reznanswej I t zstają zmniejszne płwę ( da: = da/, db: = db/, dz: = dz/ ) i bliczenia nwych elementów macierzy T są wyknywane dla tych samych wartści A min, B min, Z min. Jeśli warunek ten nie jest spełniny, t parametry A, B, Z ulegają zmianie: Amin: = Amin + i min da, Bmin: = Bmin + j min db, Zmin: = Zmin + k min dz i pnwnie pszukiwany jest element macierzy T minimalnej wartści. P wyknaniu kreślnej przez uŝytkwnika prgramu liczbie takich cykli (iteracji) na ekran mnitra wyprwadzane są wyniki dpaswania. Jeśli jakść dpaswania nie jest zadawalająca, t bliczenia mgą być kntynuwane dla aktualnych lub zmieninych wartści A, B, Z, da, db, dz. I tl 7 I PRAOWNIA FIZYZNA