Rodzaje drgań na przykładzie układu o jednym stopniu swobody

Transkrypt

1 Rdzaje drgań na rzkładzie układu jednm stniu swbd

2 Układ jednm stniu swbd Ssin t m k C m S sint Przkład układu jednm stniu swbd Schemat układu jednm stniu swbd

3 Zestawienie sił w układzie jednm stniu swbd z harmniczną siłą wmuszającą S sint Ssin t m B K Sił działające na układ: C harmniczna siła wmuszająca - S sin t siła srężstści (sztwnść belki rzeciwstawiająca się ruchwi) - siła tłumienia (tłumienie wisktczne materiałw-knstrukcjne) K k C cɺ siła bezwładnści - B m ɺɺ

4 Równanie ruchu układu jednm stniu swbd S sint B K C tłumienie m ɺɺ+ cɺ + k S sin t siła bezwładnści sztwnść Siła wmuszająca (zmienna w czasie)

5 Zestawienie rdzajów drgań Drgania własne m ɺɺ+ k 0 Drgania swbdne (drgania tłumine) m ɺɺ+ cɺ + k Drgania wmuszne nie tłumine m ɺɺ+ k S sin t Drgania wmuszne tłumine 0 m ɺɺ+ cɺ + k S sin t

6 Drgania własne Rzwiązanie równania drgań własnch m ɺɺ+ k 0 jest całką gólną równania, isująceg drgania wmuszne nie tłumine czli m ɺɺ+ k S sin t

7 Drgania własne Rzwiązanie równania drgań własnch C ( ωt) C sin( ωt) cs + P uwzględnieniu warunków czątkwch: A sin ( ωt) gdzie ω częstść drgań własnch, A amlituda drgań własnch zależna d warunków czątkwch

8 Drgania swbdne układu Drgania swbdne są t drgania układu rzeczwisteg z tłumieniem jakie mżna bserwwać wstęnm wmuszeniu ruchu, a nastęnie zstawieniu knstrukcji bez ddatkwch bciążeń zmiennch. Rzwiązanie równania drgań swbdnch m ɺɺ+ cɺ + k jest całką gólną równania, isująceg drgania wmuszne tłumine czli m ɺɺ+ cɺ + k S sin t 0

9 Drgania swbdne układu Rzwiązanie równania drgań swbdnch, trzmujem na dstawie równania mr + cr + k 0 które uzskujem dstawieniu wzru: rt e Rzwiązanie równania zależ d arametru równania kwadratweg: c 4m ω

10 Drgania swbdne układu Analizę rblemu wknuje się dla równania w rstszej frmie, którą uzskuje się dzieleniu bu strn równania rzez m mr + cr + k 0 / m czli r + γr + ω gdzie: ω częstść drgań własnch, γ wsółcznnik tłumienia. 0 Delta równania kwadratweg wnsi: i rzbiera rstszą frmę 4γ 4ω

11 Drgania swbdne układu Rzwiązanie równania drgań swbdnch zależ d wzajemnej relacji ω i γ czli mam trz rzadki: Przadek - Duże tłumienie γ>ω czli > 0 Przadek -Tłumienie krtczne γ ω czli 0 Stuacja najczęściej stkana w knstrukcjach Przadek 3 - Małe tłumienie γ<ω czli < 0

12 Drgania swbdne układu Przadek - Duże tłumienie γ>ω > 0 Pierwiastki równania kwadratweg γ ω r + γr + ω 0 r γ γ ω r + γ γ ω Rzwiązanie równania różniczkweg: rt + C e C e r t ɺɺ + γ ɺ + ω 0

13 Drgania swbdne układu Przadek - Wznaczenie stałch Warunki czątkwe: t0,, ɺ v v Równanie ruchu (rzwiązanie równania) rt rt C e + Ce i uwzględnieniu warunków czątkwch C + C Równanie rędkści zróżniczkwaniu równania ruchu względem czasu r t r t ɺ C r e + C r e i uwzględnieniu warunków czątkwch v C r + Cr

14 Drgania swbdne układu Przadek - Wznaczenie stałch Stałe wznaczam z układu równań: C + C v C r + Cr i są ne isane wzrami: C C v v + + gdzie: γ 0 γ γ ω γ + γ γ ω r γ γ ω r ω ω + γ γ ω

15 Drgania swbdne układu Przadek - Przkład Ssin t m Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s.

16 Drgania swbdne układu Przadek - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. Szukam wielkści z równania: rt rt C e + Ce r γ γ ω r + γ γ ω r r [ rad/s] [ rad/s]

17 Drgania swbdne układu Przadek - Przkład C Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. C v v + γ 0 Szukam wielkści z równania: rt rt C e + Ce rad/s C γ γ ω ω γ ω 0m/s m rad/s 0.05m C rad/s + γ + γ ω 0m/s m rad/s m rad/s rad/s 0.64m.94m

18 Drgania swbdne układu Przadek - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. Rzwiązanie: 0.64m e [m] rad/st Wkres zmian rzemieszczenia w czasie. Ruch jest nie drgając i zanikając w czasie t [s] +.94m e rad/st

19 Drgania swbdne układu Przadek - Tłumienie krtczne γω 0 Pierwiastki równania kwadratweg 0 r + γr + ω 0 r r r γ Rzwiązanie równania różniczkweg: ( C t C ) e rt + ɺɺ + γ ɺ + ω 0

20 Drgania swbdne układu Przadek - Tłumienie krtczne γω Warunki czątkwe: t0,, ɺ v v, Równanie ruchu (rzwiązanie równania) i uwzględnieniu warunków czątkwch ( C t C ) e rt + C Równanie rędkści zróżniczkwaniu równania ruchu względem czasu rt rt ɺ C tr+ e + C re ( ) i uwzględnieniu warunków czątkwch v C + C γ

21 Drgania swbdne układu Przadek - Wznaczenie stałch Stałe wznaczam z układu równań: ( C t C ) e rt + C v C + C γ r γ i są ne isane wzrami: gdzie: C v γ C

22 Drgania swbdne układu Przadek - Przkład Ssin t m Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s.

23 Drgania swbdne układu Przadek - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. C t + C Szukam wielkści z równania: ( ) rt r C γ v γ r rad/s C 9.95m/s e C C 0.05m

24 Drgania swbdne układu Przadek - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s Wkres zmian rzemieszczenia w czasie. Ruch jest nie drgając i zanikając w czasie..5 Rzwiązanie: [m] ( ) rad/st 9.95m/s t m e t [s]

25 Drgania swbdne układu Przadek 3 - Małe tłumienie γ<ω, < 0 Urjne ierwiastki równania kwadratweg r i γ γ ω γ + i γ ω r Rzwiązanie równania różniczkweg: e αt ( C ( βt) C sin( βt) ) cs gdzie: α γ + i γ ω r + γr + ω 0 r α βi r α + βi ɺɺ + γ ɺ + ω 0 β ω γ ω ω częstść drgań swbdnch

26 Drgania swbdne układu Przadek 3 - Wznaczenie stałch Warunki czątkwe: t0,, Równanie ruchu (rzwiązanie równania) ɺ v v i uwzględnieniu warunków czątkwch Równanie rędkści zróżniczkwaniu równania ruchu względem czasu ɺ i uwzględnieniu warunków czątkwch e αt ( C ( βt) C sin( βt) ) cs + C αt ( cs( ) sin( )) sin( ) cs( ) ( ) αt αe C βt + C βt + e βc βt + βc βt v γc + C ω γ

27 Drgania swbdne układu Przadek 3 - Wznaczenie stałch Stałe wznaczam z układu równań: C e αt ( C ( βt) C sin( βt) ) cs +,, v γc + C ω γ i są ne isane wzrami: C C v + γ ω γ

28 Drgania swbdne układu Przadek 3 - Zmiana frm zaisu równania ruchu Parametr drgań swbdnch z małm tłumieniem: Składwa rzeczwista: Składwa urjna: Pczątkwa amlituda drgań: x e αt C cs ( βt) ) αt e C sin( βt x A + C C Faza drgań: Równanie ruchu ϕ arctan C C αt Ae sin ( ω t + ϕ )

29 Drgania swbdne układu Przadek 3 - Przkład Ssin t m Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ0.5 rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s.

30 Drgania swbdne układu Przadek 3 - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ0.5 rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. Szukam wielkści z równania: α γ β ω γ C C v + γ ω γ ω e αt α 0.5rad/s ( C ( βt) C sin( βt) ) cs + β 0.5 ω C 0.05m C.5758 m [ rad/s]

31 Drgania swbdne układu Przadek 3 - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ0.5 rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. Parametr drgań swbdnch z małm tłumieniem: A + C ϕ arctan C C C A.5759m

32 Drgania swbdne układu Przadek 3 - Przkład Dane: Pczątkwe wchlenie 0.05m, Pczątkwa rędkść v 0m/s, Tłumienie układu γ0.5 rad/s, Częstść drgań własnch układu ω rad/s. [m] Wkres zmian rzemieszczenia w czasie. Ruch drgając i zanikając w czasie. Rzwiązanie: t [s] 0.5rad/st e ( 0.05m cs( 0.866rad/st) m sin( 0.866rad/st) ) 0.5rad/s t.5759m e sin( 0.866rad/s t )

33 Drgania swbdne układu Przadek 3 - Parametr tłumienia [m] A γ wsółcznnik tłumienia m ɺɺ+ cɺ + k c wsółcznnik rrcjnalnści tłumienia d rędkści Na dstawie stsunku amlitud wznacza się lgartmiczn dekrement tłumienia ln A A n n γt lub ln ( t) 0 ( ) t + T γt T kres swbdnch drgań tłuminch 0 A A t [s] Równanie krzwej rzerwanej A e γt

34 Drgania wmuszne Drgania wmuszne nie tłumine m ɺɺ+ k S sin t Drgania wmuszne tłumine m ɺɺ+ cɺ + k S sin t Rzwiązanie (suma całki gólnej i szczególnej) +

35 Drgania wmuszne nie tłumine Rzwiązanie równania różniczkweg m ɺɺ+ k S sin t Całka szczególna A sin ( t) gdzie: A S m ( ω )

36 Drgania wmuszne nie tłumine Równanie różniczkwe m ɺɺ+ k S sin t Rzwiązanie A ( t) A sin( ωt) sin +

37 Drgania wmuszne tłumine Rzwiązanie równania różniczkweg m ɺɺ+ cɺ + k S sin t Całka szczególna gdzie: A S m A sin t γ ϕ arctan ω ( ) ϕ ( ) ω + 4γ

38 Drgania wmuszne tłumine Równanie różniczkwe m ɺɺ+ cɺ + k S sin t Rzwiązanie A e γt ( ω t + ϕ ) + A sin( t ϕ) sin

39 Wsółcznnik dnamiczn Wsółcznnik dnamiczn jest t stsunek: amlitud drgań wwłanch siłą zmienną w czasie z amlitudą sił S d rzemieszczenia statczneg wwłaneg siłą S - st

40 Wsółcznnik dnamiczn drgań wmusznch nie tłuminch Amlituda drgań wmusznch nie tłuminch A S m ( ω ) Przemieszczenie unktu knstrukcji sztwnści k st S k

41 Wsółcznnik dnamiczn drgań wmusznch nie tłuminch ( ) m S A ω mω S st Z definicji częstści drgań własnch wnika: mω k czli ( ) ω ω ω ω ω β m S m S st A β

42 Wsółcznnik dnamiczn drgań wmusznch tłuminch A Amlituda drgań wmusznch tłuminch S m ( ) ω + 4γ Przemieszczenie unktu knstrukcji sztwnści k st S k st S mω

43 Wsółcznnik dnamiczn drgań wmusznch tłuminch st A β ( ) 4 ω γ ω β m S m S ω γ ω β

44 Reznans drgań Jeżeli, t ω Wsółcznnik dnamiczn dla drgań wmusznch tłuminch 4 + ω γ ω β γ β

45 Reznans drgań Wsółcznnik dnamiczn dla drgań wmusznch nie tłuminch Jeżeli ω, t β β ω W rzadku wmuszania drgań z częstścią zbliżną d częstści drgań własnch nastęuje znacząc wzrst amlitud drgań. W rzadku braku tłumienia amlituda dąż d nieskńcznści.

46 Reznans drgań µ - amlituda γ b ω Z. Dląg i in., Mechanika budwli.

47 Kniec