A METHOD OF VEHICLE S VIBRATION REDUCTION EMPLOYING INERTER

Transkrypt

1 Wiesław GRZESIKIEWICZ 1 Artur ZBICIAK 2 Inerter, tłumienie drgań, struktury relgiczne. ETODA TŁUIENIA DRGAŃ POJAZDU ZA POOCĄ INERTERA Inertem jest urządzeniem, któreg zasada działania jest zliŝna d tłumika dynamiczneg. Craz częściej rzwaŝa się mŝliwści zastswania inertera w zawieszeniu pjazdu w celu graniczenia drgań, ustailizwania nacisku kół na drgę lu d pprawy statecznści ruchu pjazdu. W pracy rzpatrzn prsty układ mechaniczny z inerterem, słuŝący d mdelwania jednwymiarwych drgań pjazdu. RzwaŜania skncentrwan na analizie przeiegu nacisku kła na drgę. Przedstawin wyniki liczeń kmputerwych, z których wynika, Ŝe amplituda zmian nacisku kła zmniejszy się, jeśli w układzie zstanie zastswany inerter. A ETHOD OF VEHICLE S VIBRATION REDUCTION EPLOYING INERTER An inerter is a mechanical device perating similarly as dynamic asrer. The pssiility f inerter s emplying within the vehicle s suspensin is taken int cnsideratin mre and mre frequently. It can reduce the viratins, stailize the tire pressure n pavement and imprve the staility f mtin. A simple mechanical system equipped with inerter suited fr ne-dimensinal viratin analysis was presented in the paper. The fcus was n the analysis f the wheel lad n rad. The results f cmputer simulatins demnstrated that using the inerter ne can reduce cnsideraly the amplitude f the wheel lad. 1. WPROWADZENIE W celu graniczenia drgań pjazdu są stswane róŝneg rdzaju urządzenia rzpraszające energię. Najczęściej są t tłumiki wisktyczne lu cierne, a czasami jak na przykład w samchdzie Citrën 2CV tłumiki dynamiczne. W niniejszej pracy zajmiemy się urządzeniem nazywanym inerterem, któreg zasada działania jest zliŝna d tłumika dynamiczneg. Schemat prsteg układu z inerterem pkazan na rys. 1. Przedstawiny tam iekt składa się z listwy zęatej, p której przetacza się kł ezwładnika. Tak dłączne urządzenie zwiększa inercję układu. Inne rzwiązania knstrukcyjne inertera pisan w pracy [4]. 1 Plitechnika Warszawska, Wydział Samchdów i aszyn Rczych; Warszawa; ul. Narutta 84. Tel: , Fax: , wgr@simr.pw.edu.pl 2 Plitechnika Warszawska, Wydział InŜynierii Lądwej; Warszawa; Al. Armii Ludwej 16. Tel: , Fax: , a.ziciak@il.pw.edu.pl

2 816 Wiesław GRZESIKIEWICZ, Artur ZBICIAK Rys.1. Schemat prsteg układu mechaniczneg z inerterem. Craz częściej rzwaŝa się mŝliwści zastswania inertera w zawieszeniu pjazdu w celu graniczenia drgań, ustailizwania nacisku kół na drgę lu d pprawy statecznści ruchu pjazdu [1, 2, 3]. Pinierem adań nad wpływem inertera na dynamikę samchdu jest prf. alclm C. Smith z Uniwersytetu w Camridge. W niniejszej pracy ędziemy krzystali w wyników adań.c. Smitha, zamieszcznych w pracach [1] i [2]. Zajmiemy się analizą stsunkw prsteg układu mechaniczneg zawierająceg inerter. Układ ten ędzie słuŝył d mdelwania jednwymiarwych drgań pjazdu. RzwaŜania skncentrujemy na analizie przeiegu nacisku kła na drgę. 2. OPIS ODELU POJAZDU Układ mechaniczny, który przyjęt d analizy drgań pjazdu, pkazan na rys. 2. W układzie tym znajdują się: ciał 1 masie m dwzrwujące ezwładnść nadwzia; ciał 2 masie m dwzrwujące ezwładnść kła i elementów zawieszenia pjazdu; element spręŝysty 3 sztywnści k dwzrwujący spręŝystść zawieszenia; element dyssypacyjny 4, charakteryzwany stałą c, ędący mdelem urządzeń rzpraszających energię; element spręŝysty 5 sztywnści k, dwzrwujący dkształcenia pny; struktura relgiczna inertera zaprpnwana w pracach [1] i [2], charakteryzwana parametrami m, k, k i c. Na schemacie mdelu zaznaczn współrzędne x, y, z, za pmcą których ędziemy pisywać ruch mdelu; a takŝe współrzędną ς pisującą nierównści drgi. Przedstawina struktura relgiczna inertera mŝe yć rzpatrywana w sześciu wariantach: 1) wszystkie parametry mają wartści ddatnie, 2) k = 0, 3) k = 0, 4) c = 0, 5) k = 0 i k = 0, 6) k = 0 i c = 0. Wszystkie charakterystyki elementów rzpatrywaneg mdelu są liniwe raz zakładamy, Ŝe w czasie drgań kła nie drywają się d drgi.

3 ETODA TŁUIENIA DRGAŃ POJAZDU 817 Rys.2. Schemat układu mechaniczneg z inerterem, słuŝąceg d mdelwania drgań pjazdu. 3. RÓWNANIA OPISUJĄCE DRGANIA UKŁADU Rzpatrujemy drgania wymuszne układu z rys. 2, wzudzane nierównścią pdłŝa. Równania drgań analizwaneg układu mają pstać gdzie: X - wektr współrzędnych, F - wektr siły, - macierz ezwładnści, C - macierz dyssypacji, K - macierz sztywnści. ( ) X& + CX& + KX = F t (1) x : = y z 0 F ; (2a) 0 X, ( t) : = kς ( t) m + m 0 m : = 0 m 0, m 0 m c c 0 C : = c c + c c ; (2) 0 c c

4 818 Wiesław GRZESIKIEWICZ, Artur ZBICIAK k + k k k K : = k k + k + k k (2c) k + k k k NaleŜy zaznaczyć, Ŝe współrzędne x, y, z pisują przemieszczenia stswnych punktów układu d płŝenia, w którym pjazd znajduje się w płŝeniu równwagi. W tej knfiguracji siły grawitacyjne równwaŝą się z siłami spręŝystści. PniewaŜ rzpatrywany układ jest liniwy, t w równaniach ruchu pisywanych pwyŝszymi współrzędnymi nie ma składników związanych z grawitacją [5]. Niech funkcja ξ pisuje nierównści pdłŝa w zaleŝnści d długści drgi s. Zakładamy, Ŝe prędkść pjazdu jest stała i wynsi v ; wtedy długść drgi i funkcja wymuszająca ς mają pstać vt ς t : = ξ vt. (3a) gdzie: s =, ( ) ( ) JeŜeli nierównść pdłŝa jest pisana funkcją harmniczną ξ - amplituda nierównści, L - długść fali nierównści, wtedy funkcja ς ma pstać gdzie: ω - częstść [rad/s], f = v / L - częsttliwść [Hz]. ξ 2π = (3) L ( s) ξ sin s : 3. ROZWIĄZANIE RÓWNANIA DRGAŃ 2π ς ( t) = ξ sin vt = ξ sin ( ω t) = ξ sin ( 2π f t) (4) L Rzwiązanie liniweg równania drgań (1), wzudzanych wymuszeniem harmnicznym mŝe yć rzłŝne na trzy składniki [5]. Dwa pierwsze wyznaczają prces przejściwy, czyli zanikające drgania swdne wywłane warunkami pczątkwymi i wymuszeniem, natmiast trzeci składnik wyznacza prces ustalny, czyli drgania harmniczne częstści równej częstści wymuszenia. Bardz częst analizuje się tylk trzecią część rzwiązania, czyli drgania ustalne, które pisuje funkcja harmniczna tej samej częstści c wymuszenie lecz przesunięta w fazie. W tym celu rzpatruje się zesplną pstać równania (1). Wektry współrzędnych i wymuszenia mają w takim przypadku pstać

5 ETODA TŁUIENIA DRGAŃ POJAZDU 819 i t X = X e ω, x X : = y, z i t F = F e ω, 0 F : = kξ, (5) 0 gdzie kreska nad zmienną znacza, Ŝe jest t wektr licz zesplnych, czyli X, X, F Z, a i jest jedynką urjną. Przy tak kreślnych zmiennych, zesplna pstać równania (1) jest następująca ( ) X = F Π ω, (6) jeśli N N Π Z jest nazywana zesplną macierzą sztywnści Π Rzwiązanie równania (6) ma pstać 2 ( ω) = ( K ω ) + iω C 1 ( Π( ) ). (7) X = ω F. (8) Dalej ędziemy rzpatrywać wyraŝenie, które wyznacza siłę nacisku kła na pdłŝe wg następującej zaleŝnści N : = k ( ς y) ; (9a) a pdczas drgań ustalnych mamy iω t ( ξ y ) e N : = k. (9) Zmienną wzrem 1 y Z liczamy na pdstawie rzwiązania równania (8), i pisujemy ( ω) iu ( ω) y = R +. (10) Ostatecznie wzór kreślający siłę nacisku ma pstać iω t [ ξ R( ω) iu ( ω) ] e N = k, (11a) al p przekształceniu i( ω t+ ϕ ) N = k A( ω) e, (11) gdzie 2 2 U A ( ω) = ( R( ω) ξ ) + U ( ω) ( ω), ϕ = arc tg. R ω ξ (11c) ( )

6 820 Wiesław GRZESIKIEWICZ, Artur ZBICIAK WyraŜenia A i ϕ kreślają amplitudwą i fazwą charakterystykę częstściwą siły nacisku. W przypadku nierównści drgi pisanej we wzrze (4), funkcję pisującą nacisk kła w czasie drgań ustalnych wyznaczamy ze wzrów (11) N ( t) = Im N = k A( ω ) sin ( ωt + ϕ) :. (12) Bardz isttną dynamiczną charakterystyką układu mechaniczneg jest zestaw częstści drgań swdnych ω, i = 1K N. Wartści tych częstści liczamy na pdstawie i wartści własnych λ i, i = 1K N, macierzy 1 K, kreślnych równaniem -1 ( K λ I) = 0 det. (13) NaleŜy ddać, Ŝe dla rzwaŝanych tu macierzy, wartści własne ddatnimi, a częstści drgań własnych wynszą 1 K są liczami 4. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY rad 1 ω i : = λ i, ω i : = λ i [ Hz]. (14) s 2π Rzpatrujemy prównanie charakterystyki amplitudw-częsttliwściwej siły N ω dla układu ez inertera raz z inerterem. Oliczenia wyknamy przy nacisku kła ( ) następujących danych pjazdu: m = 400 kg, k =16 kn/m, c =1012 Ns/m, m = 50 kg, k = 300 kn/m, raz dla inertera kreślneg parametrami: k = 0, m = 100 kg, k = 4k, c = 4c. Przyjmujemy, Ŝe nierównścią drgi jest kreślna funkcja ( x ) ξ sin ( 2π x / L) drgania ς ( t) ξ sin( ω t) ξ =, gdzie ξ = 0,003 m, L = 0,75 m, a stąd mamy funkcję wymuszającą =, gdzie ω = 2π v / L. Przyjmujemy przedział prędkści jazdy v [ 0, 270]km/h, a wynikający stąd przedział częstści wymuszenia wynsi ω 0, 100 Hz = 0, 628. [ ] [ ]rad/s Oliczny nacisk statyczny wynsi = ( m + m ) g N N st układ ez inertera i z inerterem zestawin w ta. 1. Nr Układ ez inertera 4415 Ta. 1. Częsttliwści drgań Częsttliwść [Hz] Układ z inerterem 1 0,98 0, ,65 4, ,02. Częsttliwści drgań

7 ETODA TŁUIENIA DRGAŃ POJAZDU 821 Wpływ inertera na charakterystykę amplitudw-częsttliwściwą ilustrują wykresy zamieszczne na rys. 3. Z prównania tych wykresów wynika, Ŝe amplituda zmian nacisku kła jest mniejsza w układzie z inerterem. Dzięki temu zwiększa się stpień wykrzystania przyczepnści pjazdu, wpływający na siłę napędu i hamwanie, a takŝe na ezpieczeństw pjazdu układ z inerterem układ ez inertera Nacisk [N] Częsttliwść [Hz] Rys.3. Charakterystyka amplitudw-częsttliwściwa układu z inerterem i ez inertera. 5. ZAKOŃCZENIE W pracy przedstawin prsty mdel pjazdu wypsaŝneg w inerter. Pkazan, Ŝe dzięki zastswaniu inertera mŝna ustailizwać nacisk kła na drgę. W dalszych rzwaŝaniach przewidujemy ptymalizację parametrów inertera, a takŝe analizę drgań pjazdu przy uŝyciu adekwatniejszeg mdelu. 6. BIBLIOGRAFIA [1] Smith.C., Wang F.C.: Perfrmance Benefits in Passive Vehicle Suspensins Emplying Inerters, Vehicle System Dynamics, 2004(42), 4, [2] Smith.C.: The Inerter Cncept and its Applicatin, SICE Annual Cnf., Fukui, Japan, 4 th August [3] Wang F.C., Lia.K.: The lateral staility f train suspensin systems emplying inerters, Vehicle System Dynamics, 2010(48), 5, [4] Вибрации в механике, но. 6, Москва, Машиностроение, [5] Grzesikiewicz W., Osiecki J., Pitrwski J.: Pdstawy dynamiki pjazdów szynwych, WPW, Warszawa 1974.