Drgania i fale II rok Fizyk BC

Transkrypt

1 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem a siłą. Superpozycja sił wymuszających Ψ& + γ Ψ & F F + ω 0 Ψ = cos cos + m m Ogólnie α α ; istotne α α F = Ψ ; F = 0 0 Ψ Ψ = Ψ + - zasada superpozycji Ψ ( ωt + α ) + ( ωt α )

2 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Koherencja A ( α ) = A + A + A A cos α Dla F = F A = A A = A [ + cos( α α) ] Jeżeli ( α α ) zmieni się przypadkowo, średnia wartość ( α α ) 0 cos = Siły wymuszające nie są KOHERENTNE A A + = A - zwykła suma Koherencja stałe w czasie relacje fazowe A ( α ) = A + A + A A cos α ( A ) A + A A A A > A, A - superpozycja konstruktywna A < A, A - superpozycja destruktywna α α = ± π - całkowicie destruktywna α = α - całkowicie konstruktywna Niech F = F A = A A [ + cos( α )] = A α Zgromadzona energia = 4x energia każdego drgania z osobna.

3 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Superpozycja dwu drgań harmonicznych prostych:. Ten sam kierunek, ta sama częstość. x = A ( ω t + ); x = A ( ω t + ) cos α Wychylenie wypadkowe: x x + x cos α = ; x = A cos( ω t + α ) + A ( ω t + α ) cos Wychylenie w ruchu harmonicznym jako składowa x-owa wirującego wektora P 0. 0 P = δ = α α, 0 Kąt ( P ) Wektor 0 P, będący sumą 0P i 0P ma stałą długość i wiruje wokół 0 z prędkością kątową ω. x = Acos t ( ω +α ) ( A + A A A δ ) A = + ; cos tgα = A sinα A cosα + + A A sinα cosα 3

4 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc α = α δ = 0 A = A + A π π α = α + ; δ = A = A + A 4

5 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc α = α + π; δ = π A = A A Dla A = A 0. Ten sam kierunek, różne częstości. x = A ( ω t + ); x = A ( ω t + ) cos α cos α ( P,0P ) = t ω t = ( ω ) t = f ( t) P < ω 0 ma zmienną 0 ω długość i nie obraca się ze stałą prędkością kątową x = x + x nie jest prostym ruchem harmonicznym. 5

6 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc ( t) Amplituda : A = A + A + A A ( ω ω ) cos oscyluje pomiędzy A A + A A = dla ( ω ω ) = nπ + π A A = dla ( ω ω ) nπ t Amplituda jest zmodulowana z częstością Jeśli A = A ω ω ν = π ( cosω t + ω t) x = x + x = A cos = ν ν x = A cos ω ( ω ω ) t cos ( ω + )t ruch drgający o częstości ( ω + ω ) i amplitudzie A = A cos ( ω ω )t Dla ω t a = ω dudnienia z częstością ( ω ) ω (maleje gdy ω ω ) 6

7 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Zasada superpozycji obowiązuje także dla liczby drgań >. Szczególny przypadek dodawanie drgań o tym samym kierunku i o częstościach: ω (podstawowa lub pierwsza harmoniczna), ω (druga harmoniczna), 3ω, 4ω, itd., tzn. o okresach T, T, T 3, T 4 itd. Drgania wypadkowe, pochodzące ze złożenia takich drgań z dowolnymi amplitudami i fazami początkowymi drgania o okresie T, ale nieharmoniczne. Twierdzenie Fouriera: Niesinusoidalną funkcję periodyczną o częstości ω można wyrazić jako sumę algebraiczną stałej oraz funkcji sinusoidalnych o częstościach ω, ω, 3ω itd. dobierając odpowiednio ich liczbę, amplitudy i fazy. x = X X B + X 3 sin x = X + A sin( ω t + θ) + X sin( ω t + θ ) + ( 3ω t + θ3) +... sin( ωt ) + A sin( ω t) + A3 sin( 3ω t) +... cos( ωt ) + B cos( ω t) + B cos( 3ω t) +... Rozkład funkcji periodycznej na funkcje sinusoidalne analiza harmoniczna

8 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Im krzywa bardziej gładka, tym rola wyższych harmonik mniejsza. Z symetrii krzywej analizowanej wynika, że: jeśli wartość średnia funkcji jest zero, to człon stały znika jeśli funkcja jest symetryczna względem osi 0t, to człon stały znika i w rozwinięciu występują tylko harmoniki nieparzyste. jeśli funkcja jest symetryczna względem osi 0x, to współczynniki przy sinusach znikają jeśli funkcja jest symetryczna względem początku układu współrzędnych, to współczynniki przy cosinusach znikają. Ruchu nieperiodycznego nie da się przedstawić w postaci szeregu Fouriera dla nieciągłego rozkładu częstości ω ω, 3ω, itd. Może być on rozłożony na nieskończoną liczbę ruchów harmonicznych o sąsiednich częstościach nieskończenie bliskich i amplitudach nieskończenie małych. Ruch periodyczny widmo liniowe. Ruch aperiodyczny ciągły rozkład amplitud. Szerokość rozkładu zależy od stałej zaniku. 8

9 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc exp(-t)cos(50t) Wychylenie exp(-5t)cos(50t) Kąt exp(-5t)*cos(50t) Amplitude exp(-t)*cos(50t) Frequency (Hz) 9

10 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc 3. Kierunki prostopadłe a. ν = ν x = Acos( ω t), y = B cos( ω t + δ ) 0

11 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Niech δ = 0 B y = Bcos ( ω t) y = x - równanie prostej PQ A Przesunięcie wzdłuż PQ wynosi r = ( x + y ) = ( A + B ) cos( ω t) - ruch harmoniczny prosty o amplitudzie ( ) A + B Niech δ = π B y = Bcos ( ω t) y = x - równanie prostej RS A Złożenie dwu prostopadłych drgań harmonicznych prostych o tej samej częstości gdy δ = 0 lub π daje w wyniku drgania spolaryzowane ( uporządkowane ) liniowo. Niech δ = π ( ω t + π ) = Bsin( ωt) y = B cos ; x y + = - równanie elipsy o półosiach A i B. B A W jakim kierunku jest obiegana elipsa? Szukamy prędkości dla x = A cos ( ω t) =

12 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc dy ν y = = ω Bcos ( ω t) = ω B - zgodnie z ruchem dt wskazówek zegara. δ = lub ( π ) Dla 3π obiegu przeciwny. ta sama elipsa, ale kierunek Złożenie dwu prostopadłych drgań harmonicznych o tej samej π częstości gdy δ = ± daje w wyniku drgania spolaryzowane eliptycznie. Osie elipsy są równoległe do kierunków drgań. Dla A=B elipsa przechodzi w okrąg polaryzacja kołowa. Dla δ dowolnego drgania eliptyczne, osie elipsy obrócone względem X, Y (pomiar δ).

13 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc b. ν ν W ogólnym przypadku dla drgań prostopadłych o dowolnych częstościach i amplitudach ( ω t), y = A ( ω + δ ) x = A cos cos t krzywe Lissajous, o kształcie zależnym od ω ω, δ, A. A 3

14 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc x = A cosω t y = A cos t ( ω + δ ) 4

15 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Figury Lissajous Jeśli ω = ω ω małe ( ω ) ω t = ω t t + δ zmienne w czasie przesunięcie fazowe 5

16 :34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Złożenie dwu drgań kołowych daje w wyniku drganie spolaryzowane liniowo. Kierunek drgania wypadkowego odpowiada linii symetrii obu ruchów kolistych. 6