a) Ścianka jednowarstwowa (nieskończona

Transkrypt

1 Wymana cepła

2 a) Ścanka jenowastwowa (neskończona ścanka płaska) Ścanka ma owolne użą ługość szeokość natomast okeślona jest jej gubość wynos. Z jenej stony ścanka ma tempeatuę, a z ugej stony. Nech >. (w ukłaze ne stneją wewnętzne źóła cepła, czyl bak jest jakś efektów enegetycznych, któe mogłyby wpłynąć na ozkła tempeatuy) x

3 Ścanka jenowastwowa (neskończona ścanka płaska) Inteesuje nas tylko to co zeje sę pomęzy punktam (x = 0, = ) a (x =, = ) ozkła tempeatuy w ukłaze (w ścance) opsuje ównane Laplace'a: = 0 /y = 0 /z = 0 (pole jenowymaowe) ównane eukuje sę o ównana postac /x =0 a nawet, poneważ jest tu funkcją jenej zmennej: x { = (x)} to /x = 0 czyl /x(/x) Jest to (najpostsze z możlwych): ównane óżnczkowe zwyczajne zęu ugego Pzez poste całowane otzymujemy: = + ( - )x/ = + ( - )( - x/) lub = -( - )x/ = - ( - )( - x/)

4 Ścanka jenowastwowa (neskończona ścanka płaska) (x)= + ( - )x/ (x)= + ( - )( - x/) lub (x) = -( - )x/ (x)= - ( - )( - x/) Czyl pomęzy a x stneje zależność lnowa (tempeatua jest lnową funkcją współzęnej, lub naczej mówąc pole tempeatuowe ma chaakte lnowy)

5 Ścanka jenowastwowa (neskończona =0.m ścanka płaska) (x) = -( - )x/ x[0,] (x) = 0 7(x/0.) (x) = 0 70x x[0,0.]

6 wyznaczane welkośc ceplnych: Jeżel znamy watość współczynnka pzewonctwa ceplnego, to z pawa Fouea (q = - ga, tu q = - /x - pole jenowymaowe) otzymamy q = - ( - )/ lub naczej: q = ( - )/ Czyl w waunkach ustalonych la neskończonej ścank płaskej tak jest zwązek pomęzy gęstoścą stumena ceplnego q, a guboścą ścank tempeatuam po obu stonach ścank. Jeżel znana jest powezchna wymany cepła S to można znaleźć Q H - całkowty stumeń cepła pzechozącego pzez powezchnę S ozpatywanej ścank Q H = S( - )/ Natomast okeślając pzezał czasowy t, w któym zachoz wymana cepła, otzymujemy całkowtą lość wymenonego cepła Q Q = St( - )/

7 wyznaczane welkośc ceplnych: q = ( - )/ tu q = 0.8 7/0.=7 8=36W/m =0.m Q H = S( - )/=Sq tu Q H = 36W =0.8W/(mK) S=m

8

9 Pzypaek, gy współczynnk pzewozena cepła zależy o tempeatuy Co należy pzyjąć w ównanu za gy = ()???? Wychoz sę z pawa Fouea: q = - ga = - /x (tu) q = const, = () qx = - () całkując o (0, ) o (, ) otzymuje sę: jest to watość śena funkcj () w pzezale (, ) czyl q = ś ( - )/ to jest ostateczna foma tej ównośc. ( ) Okazuje sę, że zależność ta ma bazo wele zastosowań w óżnych ukłaach, a założene o takej ntepetacj jest słuszne la każej geomet ukłau.

10 = () cała stałe

11 = () gazy, cecze

12 b) ścanka welowastwowa n ścanek, każa ma gubość współczynnk pzewozena cepła... 3 n- n tempeatua na styku 3 n- n n- n n+

13 Dla każej pojeynczej ścank [q = / ( bezg bzeg )]: Czyl tu: q = / ( - + ) lub - + = q / n ównań - = q / - 3 = q / 3-4 = q 3 / 3... n- - n = q n- / n- n n+ = q n / n sumując je wszystke otzymujemy ostateczne n q n

14 n q czyl q n n n wpowaza sę pojęce opou ceplnego pzewozena: R = / /S n n ( qs) QH R S = Q H R - analog pawa Ohma R [K/W] Analogczne jak la pzypaku a) możemy znaleźć watość Q.

15 ścanka welowastwowa ozkła tempeatuy

16 c) Pzenkane cepła pzez ścankę neskończoną (jeno- lub welowastwową). Pzenkane pzewozene + obustonne wnkane jena lub wele ścanek A meum B meum A B

17 c) Pzenkane cepła pzez ścankę neskończoną (jeno- lub welowastwową) Nech: A > > > B Ponato zakłaa sę, że w ukłaze cepło ne jest pzenoszone na oze pomenowana. - o meum A o jenej stony ścank () - wnkane cepła, czyl pawo Newtona: q = A ( A - ) - pzez ścankę (pzewozene pzez ścankę): q - o ścank () o meum B wnkane cepła (pawo Newtona): q = B ( - B ) całkowty spaek tempeatuy A - B = : q

18 zenkane cepła pzez ścankę neskończoną (jeno- lub welowastwową) A - B = q(/ A + / + / B ) lub A - B = q(/ A + / + / B ) q A B A B q A B A B

19 zenkane cepła pzez ścankę neskończoną (jeno- lub welowastwową) zapsywane najczęścej w postac: q = k ( A - B ) lub k k A A B k - współczynnk pzenkana cepła z płynu A pzez ścankę - o płynu B (zapsane opoweno la ścank welowastwowej la ścank pojeynczej) B k - chaakteyzuje ntensywność pzepływu cepła z ośoka A o ośoka B pzez ozzelającą je ścankę; wymaem k jest [W/(m K)].

20 zenkane cepła pzez ścankę neskończoną (jeno- lub welowastwową) ypowe watośc wsp. pzenkana cepła k

21 Pzenkane cepła pzez ścankę neskończoną (jeno- lub welowastwową) ozkła tempeatuy

22 zenkane cepła pzez ścankę neskończoną (jeno- lub welowastwową) - opoy Poobne jak zefnowany jest opó pzewozena (R = / /S ) można zefnować opó wnkana cepła: R = /(S) poneważ (/ A + / + / B ) = /k S(/ A */S + / */s + / B */s) = /k S(R A + R + R B ) = /k R A + R + R B = /(ks) := R pzenkana chaakte połączena szeegowego Q H R pzenkana = A - B

23 Klka uwag o ustalonego pzewozena cepła pzez ścankę płaską

24 Watość lczbowa współczynnka pzenkana cepła uwaga Weźmy po uwagę najpostszy pzypaek pzenkana cepła k A Pytane bzm: jak sę ma watość lczbowa k w stosunku o watość lczbowej wsp. Czy a sę okeślć jenoznaczne elację pomęzy k a Co jest wększe a co mnejsze? B

25 /k = / A + / + / B /k > / A /k > / /k > / B nech A < B to oczywśce: /k > / A /k > / B /k > / Wnosek: czyl /k > / A k < A współczynnk pzenkana cepła jest zawsze mnejszy o mnejszego współczynnka wnkana cepła!!

26 pzenkane cepła pzez ścankę z uwzglęnenem pomenowana uwaga W zaganenach paktycznych często mamy o czynena ze złożonym uchem cepła. Może sę zazyć, że w stosunku o popzeno omawanego pzypaku tzn.: wnkane z płynu A o ścank, pzewozene pzez ścankę wnkane o ścank o płynu B, Mamy następującą moyfkację ukłau: Ruch cepła pomęzy ścanką a płynem obywa sę ne tylko na oze wnkana. Ruch ma chaakte bazej złożony obywa sę częścowo na oze wnkana a częścowo na oze pomenowana: A wnkane wnkane pomenowane pomenowane meum A meum B B

27 Dlatego stumeń cepła opowazonego o ścank () ozbja sę na wa człony: Q Hw = S( A - ) obejmujący wnkane (p. Newtona) obejmujący pomenowane (p. Stefana-Boltzmanna) S c Q A H A Analogczne stumeń cepła opowazonego o ścank (): Q Hw = S( - B ) obejmujący wnkane (p. Newtona) obejmujący pomenowane (p. Stefana-Boltzmanna) B B H S c Q

28 Jeną ze stosowanych w takm pzypaku meto postępowana jest załane następujące: efnuje sę tzw. zastępczy wspólczynnk uchu cepła pzez pomenowane : : c 0 A A S 00 Q S S A A H( A) wtey welkość stumena ceplnego pzenoszonego w wynku pomenowana aje sę zapsać w analogczny sposób jak wnkane cepła opsane p. Newtona. Mamy węc: Q Hw = S( A - ) Q H = S( A - )

29 czyl ównoczesny uch cepła pzez wnkane pomenowane aje sę opsać jako: q = ( + ) lub Q H = ( + )S poobne jak la pzewozena wnkana można zefnować opowene opoy ceplne, np.: opó pomenowana R =/( S) lub opó całkowty wnkana pomenowana: R S

30 Jeżel węc ukła jest okeślony w ten sposób, że mamy n ścanek pzewozących cepło o łącznym opoze R l = /S / ponato cepło jest opowazane o ścanek na oze pomenowana wnkana oaz obeane na oze pomenowana wnkana to ogólną zależność okeślającą gęstość stumena ceplnego można zapsać w postac: q A A B ( A, ) B (, B)

31 lub q = k( A B ) k A ( A, ) B (, B) gze k: jest współczynnkem pzenkana cepła z uwzglęnenem pomenowana.

32 Koncepcja opoów ceplnych mplkacje uwaga kolejna wpowaza sę pojęce opou ceplnego pzewozena: R = / /S = Q H R można zefnować opó wnkana cepła: R = /(S) = Q H R można weszce zefnować opó pzenkana cepła: R A + R + R B = /(ks) := R pzenkana Q H R pzenkana = A - B chaakte połączena szeegowego

33 Pzykła

34 Pzykła Szyby (szkło) powetze Okno zespolone

35 Pytane bzm czy poobne można analzować połączena ównoległe także stosować analoge z pawem Ohma???

36 Oczywśce tak!! 3

37 R, R o - opoy wnkana R 3 R opó pzewozena pzez elewację R R R R 4 R 6 R o R, R 3, R 4, R 5 opoy pzewozena pzez tynk zapawę pomęzy cegłam R 5 R 4 opó pzewozena pzez cegłę

38 o samo tochę naczej Lne (powezchne) aabatyczne

39 Oczywśce: Dla połączena szeegowego R total = S R Dla połączena ównoległego /R total = S /R

40 ścanka cylnyczna ustalone pzewozene cepła la moelu neskończonej ścank cylnycznej (ops matematyczny - ównane Laplace a) 0

41 wyma z jest neskończony (paktyczne z>>) ozchozene sę cepła następuje tylko w keunku. Cylne najlepej opsać we wspólzęnych walcowych, ma tu w ogólnym pzypaku następującą fomę: z 0 z Dlaczego tak?

42 Współzęne cylnyczne

43 0 0 0 z y x wypowazene 0 z

44 we wsp. katezjańskch pozostają x y: x y 0

45 Czyl wygonej tak nż w ukłaze współzęnych katezjańskch, gze x y z 0 bo (/z = 0 / = 0), czyl pozostaje zależność tylko o jenej zmennej 0 można to łatwo ozwązać, gyż: I alej 0 c const c c c czyl () = c ln + c c c stałe całkowana - chaakte logaytmczny zależnośc = ()

46 po uwzglęnenu waunków bzegowych [ =( ); =( )]: ( ) ln ( ) zależność logaytmczna ln Uwaga: Q H = - S / q=- / ~ / const gze: S ~ S=L Czyl Q H =qs=const L -wybana wysokość ścank cylnycznej

47 Wpowaza sę nową welkość; stumeń ceplny onesony o jenostk ługośc ścank cylnycznej Q H /L: Q H /L = - / Q H /L [W/m] ln ) ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( L Q H Q H /L - w anych waunkach (zaana temp. na ścankach, zaane ozmay geometyczne) jest welkoścą stałą: Q H /L = const ln ) ( L Q H

48 Dla ukłau n-ścanek cylnycznych można po analogcznym ozumowanu jak la n-ścanek płaskch pzestawć welkość stumena ceplnego na jenostkę ługośc jako: n H L Q ln gze: = - n+ bo H L Q ln czyl H L Q ln n H L Q ln n n c R R R ln ln c H R L Q Q H /L

49 f) Pzenkane cepła pzez ścankę cylnyczną ( pzewozene + obustonne wnkane)

50 Nech A > > > B la samego pzewozena: Q H L ln la pocesu wnkana cepła o płynu A o ścank o ścank o płynu B zgone z pawem Newtona: Q H = S ( A - ) = L ( A - ) Q H = S ( - B ) = L ( - B ) Po opowench pzekształcenach (poobne jak la ścank płaskej): A - B = = Q H /L / [/( ) + /() ln( / ) + /( )] lub Q H /L = k L ( A - B )

51 Q H /L = k L ( A - B ) gze k L ln [W/(mK)] k L - lnowy współczynnk pzenkana cepła, chaakteyzuje ntensywność uchu cepła o jenego ośoka o ugego pzez ozzelającą te ośok ścankę cylnyczną. Sens fzyczny: lnowy współczynnk pzenkana cepła jest lczbowo ówny lośc cepła pzechozącego pzez ścankę o jenostkowej ługośc w jenostce czasu pzy jenostkowej óżncy tempeatu. Dla ścank welokotnej: k L n ln A A B B

52 Opeuje sę często owotnoścą k L czyl lnowym opoem ceplnym pzenkana cepła: R L = / k L ; R L [mk/w] /k L = /( ) +/()ln( / ) +/( ) R L = R L + R L + R L zachowany jest chaakte połączena szeegowego Q H /L = ( A - B ) /R L Q H /L Q H /L = k L ( A - B )

53 Opeuje sę często owotnoścą k L czyl lnowym opoem ceplnym pzenkana cepła: R L = / k L ; R L [mk/w] R L = R L + R L + R L /k L = /( ) +S /( )ln( + / ) +/( ) zachowany jest chaakte połączena szeegowego Q H /L = ( A - B ) /R L Q H /L = k L ( A - B )

54 B A A A B B A /k = /( ) +S /( )ln( + / ) +/( ) R L = R L + R L + R L

55 Uzupełnene : Zwykłe współczynnk pzenkana cepła Chcąc oneść wypowazone elacje o gęstośc stumena ceplnego q (q:= Q H /S) należy wybać wzglęem któej powezchn ścank cylnycznej lczone bęze q. q = Q H /( L) = k L / ( A - B ) q = Q H /( L) = k L / ( A - B ) q q ównana te można zapsać naczej q = k ( A - B ) q = k ( A - B ) gze: k = k L / k = k L / [W/(m K)]

56 Współczynnk k, k chaakteyzują pzenkane cepła pzy onesenu stumena ceplnego o jenostk powezchn (analogczne jak la ścank płaskej). k L = k = k gze: k, k k ln lub k A A n A B B ln k ln lub k B A A B n B ln

57 k ln lub k n A A ln A B B k ln lub k n B B ln A A B jeżel teaz gubość ścank cylna jest mała (gze = ( - )/), czyl / to po ozwnęcu funkcj ln / szeeg potęgowy ozucenu wyazów wyższych zęów otzymamy: ln / / - = / Postawając tak oblczoną watość o ównań na k, k (+ oatkowo / ): entyczna zależność jak la ścank płaskej. k k k

58 stumeń ceplny Q H : Q H = k L ( A - B ) pzyblżone ównane stosowane często w oblczenach paktycznych gy / < Wzglęny błą pocentowy w wyznacznu Q H ne pownen być wększy nż 4%. Błą ten mnmalzuje sę wybeając właścwą powezchnę jako oblczenową: >> = << = =( + )/ Jako oblczenową należy wybeać tę powezchnę, o stony któej watość współczynnka wnkana cepła jest mnejsza. UWAGA:bezpeczna watość <.

59 Uzupełnene Kytyczna śenca ścank cylnycznej Właścwe zolowane uocągów!!!

60 z z u w u z w w z w z w z u z w z u - tempeatua płynu wewnątz uocągu - tempeatua na zewnątz - współczynnk wnkana cepła wewnątz uocągu - współczynnk wnkana cepła na zewnątz uocągu - współczynnk pzewozena cepła uocągu - współczynnk pzewozena cepła zolacj - pomeń wewnętzny - pomeń zewnętzny (uocąg + zolacja) - pomeń uocągu nezazolowanego (zewnętzny uy)

61 Aby zolacja spełnała swą funkcję mus być z << u. Maą stat cepła w ukłaze jest tu stumeń cepła opowazanego na zewnątz (tu Q H /L). Q H / L ( w z ) u z ln ln w w u Można spóbować opowezeć na następujące pytane: key staty ceplne w ukłaze bęą maksymalne? w z u z z MAX stat MAX(Q H /L) MIN(manownk wyażena na stumeń ceplny) MIN(opó ceplny) u z MIN ln ln ww u w z u z z Można spawzć czy na watość tego wyażena ma wpływ gubość nałożonej zolacj? Różnczkując to wyażene wzglęem z pzyównując o zea: z 0 z z z z z z

62 welkość / taktowany jest jako paamet nazywany śencą kytyczną uocągu zazolowanego: k : = / Pzy tej watośc śency uocągu waz z zolacją (co fomalne wykazalśmy) występuje maksmum stat ceplnych w ukłaze. jeżel z = k = / Q H /L = MAX Należy stwezć jak sę ma ta welkość o śency uocągu nezolowanego tu ( u ). Jeżel u > k to każa (nawet mnmalna) gubość wastwy zolacj powouje obnżene stat ceplnych. Jeżel u < k (co sę czasem zaza pzy cenkch pzewoach) to pokyce uocągu wastwą zolacyjną początkowo zwększy staty ceplne.

63 stum eń ceplny k gubość zolacj początek efektu zolacyjnego

64 Jeżel u > k to każa (nawet mnmalna) gubość wastwy zolacj powouje obnżene stat ceplnych. Jeżel u < k (co sę czasem zaza pzy cenkch pzewoach) to pokyce uocągu wastwą zolacyjną początkowo zwększy staty ceplne.

65 Uzupełnene 3 Kolejność zolacj na ścance cylnycznej A B

66 A B B A

67 A B B A

68 A B B A

69 A B B A

70 Wnosek: jeżel zatem A B B A ułożene nekozystne w sense skutecznośc zolacj ułożene kozystne

71 Pzewozene cepła pzez ścankę sfeyczną Równane Laplace a: > = 0

72 Dla symet sfeycznej ównane ma postać: ) (sn sn sn ) ( gze, okeślają kąty: - pomęzy zutem pomena na płaszczyznę XY a osą X - pomęzy pomenem a osą Z ctg sn lub

73 tu bak zależnośc o kątów, czyl: 0 0 ) ( 0 ) ( - entyczny typ ównana jak la ścan. pł. (la loczynu ) ) ( c c ) ( ) ( Q B A H n B A H Q ) ( ) ( ścanka welokotna 0, 0

74 Q Q H H A la pzenkana cepła ( A B ) ( ) n ( A B ) ( ) n Można zefnować opowen współczynnk pzenkana cepła k sfe : Q H = k sfe ( A - B ) Możlwy jest efekt śency kytycznej. kytyczne =4/

75 ścanka płaska ścanka cylnyczna ścanka sfeyczna Pole temp. = c x + c = c ln + c = c + c / jeżel: ln = (x ) = -( - )x/ ( ) = (x ) ( ) ln welokotna q = ( - )/ Q H = S( - )/ Q = St( - )/ q n Q Q q Q H H L Q H L ( ) ln L( ) ln ( ) ln L( ) t ln n ln Q H Q q Q H H Q n ( ) ( ) ( ) ( ) t ( / / )

76 ścanka płaska ścanka cylnyczna ścanka sfeyczna Pole temp. = c x + c = c ln + c = c + c / pzenkane cepła Q H /L = k L ( A - B ) Q H = k sf ( A - B ) k L k sf ln ( / / ) k k k L A A n ln q = k ( A - B ) q = k ( A - B ) q = k ( A - B ) k L = k = k k ln A B k ln A B k k A A B n A A ln A BB n B B ln B B k sf A A n ( ) q = k ( A - B ) q = k ( A - B ) k sf = 4k = 4k B B

77 Opoy ceplne efekt ś. kytycznej ścanka płaska ścanka cylnyczna ścanka sfeyczna = Q H R = Q H /LR/ = Q H R/ bak k = / k = 4/