Częstość względna f i / n f 1 / n f 2 / n... f k / n

Transkrypt

1 Rodzae badań statstczch Wróża sę badaa : Pełe ( całkowte Częścowe Badaa pełe częścowe mogą bć : Cągłe ( p reestraca urodzeń, zgoów, małżeństw, tp Okresowe ( p sps ludośc, role, przemsłu 3 Doraźe ( p klęsk żwołowch Wśród badań częścowch wróża sę : Badaa reprezetace ( są bardzo wartoścowe, bo pozwalaą z dużm prawdopodobeństwem uogólć wk uzskae ze zborowośc próbe a całą populacę geeralą, są tańsze od badań całkowtch Badaa moografcze ( obemuą obserwacę grup społecze, ws, masta, przkładem badaa moografczego est badae waruków żca ludośc w meśce Rzeszowe w pewm momece lub w okrese 3 Badaa aketowe ( dość często wkorzstwaa metoda badań, sprowadza sę główe do zberaa formac perwotch, ważm problemem est wkształcee umeętośc dobrego opracowaa aket, zestaw ptań w kwestoarusz aketowm powe bć umeęte sformułowa W Polsce badaam aketowm zamuą sę take sttuce ak : OBOP, CBOS, PPENTOR oraz e ośrodk aukowe Procedur dobru prób W badaach statstczch w praktce posługuem sę próbą Próba mała gd 3, gd >3 to mam do czea z próbą dużą Od prób wmaga sę, ab bła reprezetatwa Na reprezetatwość prób maą wpłw dwa czk : Sposób doboru prób Lczebość prób Wróża sę dwe procedur doboru prób : Dobór celow ( sprowadza sę do tego, że o wborze edostek decdue badacz, operaąc sę a mertorcze zaomośc problematk badawcze, próba ta e podlega prawu welkch lczb Dobór losow ( zgod est z zasadam doboru według metod reprezetace, umożlwa zastosowae metod statstk matematcze do woskowaa, próba ma charakter losow, gd każda edostka populac z edakowm prawdopodobeństwem różm od zera może sę w e zaleźć Wodręboa próba podlega dzałau prawa welkch lczb, co ozacza że wraz ze wzrostem lczebośc prób losowe ( rośe stopeń e reprezetatwośc Przed pobraem prób waże est określee edostk losowaa Idwduala edostka losowaa pokrwa sę z edostką badaa, a zespołową edostką losowaa, gd e pokrwa sę z edostką badaa ( p losue sę meszkaa a bada sę ch osob w ch zameldowae Losowae prób określa sę ako operat losowaa, przez któr rozume sę wkaz edostek uwzględoch prz losowau z możlwoścą ch detfkac Na przkład, takm operatem losowaa dla populac meszkańców Rzeszowa est sps ( poumerowa wszstkch meszkańców tego masta Sposób postępowaa prz doborze prób losowe określa sę maem schematu losowaa Podstawowe schemat losowaa to: losowae dwduale losowae eograczoe ze zwracaem ( zwae acze ezależm lub zwrotm 3 losowae eograczoe bez zwracaa ( acze określae ako zależe 4 losowae warstwowe 5 losowae sstematcze 6 losowae grupowe

2 Klasfkaca cech statstczch Cech statstcze moża podzelć a: loścowe ( merzale, kwattatwe moża e zmerzć wrazć za pomocą odpowedch edostek fzczch ( p kg, m, szt, t akoścowe ( kwaltatwe zwkle są określae słowe p płeć, stadard meszkaa, pochodzee społecze, rodza kredtu tp Cech loścowe określa sę ako zmee, które moża podzelć a : skokowe ( dskrete cągłe Cecha skokowa przmue skończo przelczal zbór wartośc a dae skal lczbowe, prz czm est to aczęśce zbór lczb całkowtch euemch ( p lczba dzec w rodze, lczba usterek w kokretm produkce, welkość gospodarstwa domowego tp Cecha cągła przmue wszstke lczb rzeczwste z określoego przedzału lczbowego < a, b >, prz czm lczba mesc po przecku est uzależoa od dokładośc pomarów ( p wek, płaca, wzrost, plo pszec tp Wstępue róweż podzał cech a : stałe ( własośc wspóle dla wszstkch edostek statstczch dae zborowośc statstcze zmee ( własośc, dzęk którm poszczególe edostk różą sę mędz sobą, prz czm dokład stopeń zmeośc poszczególch cech est możlw lub emożlw do określea Dla potrzeb pomaru cech stosue sę czter rodzae skal : omalą, porządkową, terwałową lorazową Skala omala skala stosuąca włącze ops słow dla potrzeb detfkac edostk Np kobeta mężczza Ne są możlwe dzałaa artmetcze a dach opsach a skal omale Skala porządkowa służąca do porządkowaa dach Na przkład rakg szkół wższch z puktu wdzea ch atrakcośc Skala terwałowa - skala maąca własośc skal porządkowe, gdż możlwe est porządkowae edostek statstczch opsach w te skal, a edocześe est możlwe określee terwału ( przedzału lczbowego, w którm zaweraą sę obserwace Skala lorazowa skala ma cech skal terwałowe, a poadto loraz ma tuta określoą terpretacę Dae opsae w skal lorazowe przmuą zawsze wartośc lczbowe, p waga tp Szereg statstcze Materał lczbow, otrzma w wku przeprowadzoe obserwac statstcze lub pomaru, po opracowau pogrupowau azwam szeregem strukturalm, charakterzue o zborowość statstczą pod względem wróżoe cech akoścowe loścowe Wróża sę dwa tp grupowaa : grupowae tpologcze ( według cech akoścowe oraz grupowae warace ( według cech loścowe Szeregem szczegółowm prostm azwam uporządkowa erosąco lub emaleąco cąg wartośc badae zmee Ozaczm smbolem X badaą zmeą, smbolem ( =,,, wartość te zmee odpowadaącą -te edostce statstcze Załóżm, że badao edostek statstczch Cąg wartośc te zmee ;,,, określa sę szeregem szczegółowm prostm, eśl w powższm cągu każd astęp elemet e est mesz od poprzedego Przkład Załóżm, że w pewe mescowośc poddao obserwac 6 rodz ze względu a lczbę dzec otrzmao astępuące wk :,,,,,3,3,3,4,4,4,5,5,6,6,7

3 Powższ cąg wartośc est uporządkowa emaleąco, est węc szeregem szczegółowm prostm W tm przpadku edostką statstczą est rodza, a cechą lczba dzec w rodze Wśród szeregów strukturalch cech loścowe wróża sę szereg szczegółow ważo oraz rozdzelcz Szereg szczegółow ważo Załóżm, że wśród dach zawartch w szeregu szczegółowm prostm wróżoo k różch wartośc Następe grupuem edostk statstcze odpowadaące edakowm wartoścom cech Postępuąc w te sposób otrzmuem wk, które moża zaprezetować w poższe tablc Tab Wk grupowaa statstczego Wartośc cech k Razem Lczebość f f f f k f Częstość względa f / f / f / f k / k f / Źródło; opracowae włae Druga trzeca koluma te tablc charakterzue strukturę zborowośc - elemetowe pod względem cech X Smbolem f ozaczam lczbę edostek statstczch, dla którch wartość cech przęła wartość ( =,,, Wartość tę azwam lczeboścą Trzeca koluma zawera welkośc zwae lczeboścam względm lub frakcam Suma tch welkośc est rówa Możąc te welkośc przez, otrzmuem częstośc w procetach Częstośc względe są welkoścam emaowam Mogą bć wkorzstae do porówań struktur zborowośc różącch sę lczeboścam Lczebośc lub częstośc zawarte w przedostate ostate kolume te tablc charakterzuą rozkład elemetów zborowośc pod względem dae cech, lub rozkład cech Szereg rozdzelcz Obszar zmeośc wartośc cech dzelm a rozłącze przedzał w postac, [ dla =,,,k Są to przedzał prawostroe otwarte Jedostk statstcze, którch wartośc cech przedstawa szereg szczegółow prost grupuem wkorzstuąc przedzał, które azwać będzem przedzałam klasowm lub klasam Wk grupowaa zawera poższa tablca Tab Wk grupowaa statstczego Przedzał klasow Lczebość f f środek przedzału klasowego * * Częstość względa f / f /

4 3 k k Razem k Źródło: Opracowae włase f f k f * * k k f / f k / f / Wartość środkową oblcza sę według astępuące formuł : ( =,,,k Prz budowe szeregu rozdzelczego ależ sobe odpowedzeć a astępuące ptaa : cz długośc przedzałów maą bć edakowe? a le klas ależ podzelć obszar zmeośc? W praktce badań statstczch wgode est, gd przedzał klasowe są edakowe długośc W przpadku, gd przedzał e są edakowe długośc, do opsu struktur zborowośc wkorzstać ależ tzw gęstość lczebośc, defowaą za pomocą astępuącego wzoru : gf f ( =,,, gdze w maowku mam długość -tego przedzału, w lczku zaś odpowadaącą mu lczebość W badaach statstczch brak est edozaczch krterów umożlwaącch w sposób edozacz odpowedzeć a ptae o lczbę klas w szeregu rozdzelczm J Spława Nema zalecał prz tworzeu szeregów rozdzelczch podzał obszaru zmeośc a około klas, w zależośc od lczebośc zborowośc Ozaczm smbolem h długość przedzału klasowego Załóżm, że wszstke przedzał maą meć rówą długość W tm przpadku aczęśce zaleca sę, ab długość przedzału oblczać za pomocą astępuące formuł : h ma m k ( =,, gdze : w lczku est zakres zmeośc wartośc cech, w maowku zaś lczba wmagach klas Jeśl decduem sę a budowę przedzałów klasowch, to arażam sę a pewą stratę formac dotczącch poedczch wków Im wększa est rozpętość przedzału klasowego, tm ta strata może bć bardze dotklwa Przedzał klasowe zapsue sę zazwcza z dokładoścą do przęte edostk pomarowe Moża budować rozkład ( szereg z przedzałam klasowm domkętm lub otwartm Rozstęp wos R= X ma X m Rozstęp charakterzue ede wstępe dspersę badaego rozkładu

5 Odchlee ćwartkowe wrażoe est astępuącm wzorem : Q Q 3 Q Naperw ależ oblczć kwartl trzec kwartl perwsz Grup dochodów mesęczch Lczba kobet Szereg a gospodarstwo domowe W % skumulowa,5,,9,9,,5 4, 4,9,5, 8,8 3,7, 3,,5 35, Q 3, 4, 3,5 58,7 Q 4, 5,,3 79, Q 3 5, 6,,8 89,8 6, 7, 5, 95, 7, 8,,8 97,8 8, 9,,, Wzor: Q N 4 ( cum * Q Q ( * N cum *, (5 3,7 *,5,555 Q 4, (75 58,7 *,3 3 Odchlee ćwartkowe wos : 4,8 Q 4,8,555,37 Ozacza to, że średo mesęcze dochod kobet różą sę od meda o, 7 tś zł Medaa dla badaego rozkładu wos : M 3 (5 35, * 3,63 3,5 Współczk zmeośc ( względa mara dspers wos: Q V M *%

6 V,37 *% 3,378 3,63 Ozacza to, że 3,3 % meda dochodów kobet staow odchlee stadardowe Wzaczee domat według wzoru : D ( ( ( D (3,5,5 3 * 3,3848 (3,5,5 (3,5,3 Podstawowm merkem asmetr est różca mędz średą artmetczą a domatą, czl : m D( 3,8 338,43 Zak prz wartośc merka ozacza asmetrę lewostroą, zak + asmetrę prawostroą W rozpatrwam przkładze mam do czea z asmetrą prawostroą, co ozacza, że przewaga lczebośc wstępue w przedzałach klasowch poże średe artmetcze O sle keruku smetr mówą współczk asmetr Współczk asmetr Pearsoa wzacza sę według formuł : V s V s m D( ( 3,8 3,38,59,66 Współczk asmetr wkazue skośość prawostroą Gd rozkład est smetrcz to, V s = Gd rozkład est asmetrcz prawostro, to V s > Gd rozkład est asmetrcz lewostro, to V s < Współczków asmetr est klka, a zastosowae ch est uzależoe od charakteru badaego szeregu możlwośc wlczea poszczególch parametrów Marą asmetr est róweż współczk skośośc oblczo a podstawe domat meda, według wzoru : 3 M D Vs

7 V s 3 3,63 3,38,59,66 Marą asmetr może bć także momet trzec cetral Dla rozkładu przedzałowego ma o postać astępuącą: 3 N 3 Tablca pomoccza do wzaczea mometu trzecego cetralego 3 *,75,9-3,63-5,863,5 4, -,563-67,344,75 8,8 -,63-77,63,5,5 -,33-48,665 3,5 3,5-33 -,7 4,5,3,687 6,58 5,5,8,687 5,85 6,5 5,,687,879 7,5,8 3,687 4,336 8,5, 4,687 6,59 Razem 36,33 Dla badaego szeregu momet trzec cetral wos : 36, ,6 Momet trzec cetral moża róweż zapsać w postac mometów zwkłch w sposób astępuąc: 3 m3 3mm ( m gdze : m * N m * N m 3 * N 3

8 Dla szeregu woszą odpowedo : 79,9 95,9 m 3,8 m 7, 99 m 3 9, 59 wobec tego otrzmuem : 3 9,59 3*7,99 * 3,83 (3,83 3,6 Marą względą asmetr est astępuąca formuła : 3 ( 3 3 Dla rozpatrwaego szeregu wos : 3,6 (,66 3 3,66 Rozkład ma asmetrę prawostroą o atężeu,66 Dla szeregów dokłade smetrczch m 3 = W przpadku asmetr prawostroe m 3 >, lewostroe zaś m 3 < Przkład 3 Zbór woewództw, w którm cechą badaa bła ch powerzcha, został opsa prz użcu podstawowch charakterstk lczbowch t średe artmetcze, która wos 6,86 tś km oraz odchlea stadardowego,które est rówe, 38 tś, km W celu dokładeszego opsu rozkładu te zborowośc ależ wzaczć mar kocetrac Powerzcha W tś km ( Lczba 4 Woewódz -3-4,86 337, ,86 38, ,86, ,74 86, ,74 95, ,74 66, ,5547 m 4 4 ( m 83, ,63566

9 Względa mara kocetrac to stosuek mometu cetralego czwartego rzędu przez odchlee stadardowe do potęg czwarte, czl : m K s 4 4 Im wższa wartość K, tm bardze wsmukła est krzwa lczebośc, co wskazue a tedecę do skupea sę edostek wokół średe Małe wartośc wskazuą a spłaszczee krzwe rozkładu, a zatem słabą kocetracę Zakłada sę,że dla rozkładu ormalego K=3, dla bardze od ego spłaszczoego K < 3 oraz dla wsmukłego K > 3 W zwązku z powższm skostruowa współczk kocetrac o postac : K u m 4 3 s 4 przmue wartość zero, eżel rozkład ma kształt ormal,k u >, eżel rozkład est bardze wsmukł, oraz K u <, gd rozkład est spłaszczo w stosuku do rozkładu ormalego K u s m , ,43,89796 Kocetraca w porówau z krzwą ormalą est słabsza, a zatem rozkład est spłaszczo Ią marą kocetrac est współczk kocetrac Loreca Zawsko kocetrac może bć rozważae ako erówomer podzał ogóle sum wartośc zmee pomędz poszczególe edostk zborowośc statstcze Ma to mesce prz badau dochodów, kocetrac produkc, gęstośc zaludea, rozmeszczea bogactw aturalch tp Tak rozumaa kocetraca est zwkle przedstawaa merzoa za pomocą krzwe kocetrac Loreza Kształt krzwe określa atężee kocetrac Współczk kocetrac Loreza ( K L moża wrazć za pomocą wzoru: K L a a b gdze : a pole zawarte mędz lą rówomerego podzału a krzwą Loreza b pole pod krzwą Loreza a+b pole trókąta Wzaczee pola a e est łatwe Częśce wzaczam przblżoą wartość pola b, buduąc w tm celu w układze współrzędch prostokąt o podstawe rówe wskaźkow struktur dla lczb edostek zaduącch sę w przedzale, a wsokość est średą ze skumulowach wartośc wskaźków struktur welkośc badaego zawska grup badae poprzede Oblczee powerzch pola b moża opsać astępuącm wzorem: b skumw skumw Wˆ gdze : skumw kolee skumulowae wartośc wskaźków struktur welkośc badaego zawska

10 Wˆ - kolee wartość wskaźków struktur dla lczb badach edostek Współczk te est względą marą kocetrac zawska W praktce zawera sę K l Przkład 4 Struktura zatrudea w badach frmach została scharakterzowaa za pomocą astępuącch lczb zawartch w poższe tablc Należ określć stopeń kocetrac zatrudea w badach frmach w 995 roku Lczba zatrudoch pracowków w badach frmach Frm w % do 4 37,7, 5 -,5, -5 7,, ,4 7, 5-7, 6,8-4,3 8, - 5 3, 3, 5 -,5 4,3 -,7 3,7-5,4 7,7 5 węce, 4,8 Źródło: Dae umowe Zatrudee w % Tablca pomoccza do wzaczea do wzaczea współczka Loreza Frm w Zatrudee w Skum Skum skumw skumw skumw % % Wˆ W Wˆ W skumw 37,7, 37,7, (+/=,5 5*37,7=8,85,5, 58, 3, ( 3,+,/=,,*,5=4, 7,,3 65,4 4,3 ( 4,3+3,/=3,65 3,65*7,=6,8 7,4 7, 8,8,3 (,3 + 4,3 7,8*7,4=35,7 /=7,8 7, 6,8 89,8 8, 4,7,9 4,3 8, 94, 6,3 95,46, 3, 3, 97, 39,5,99 3,9,5 4,3 98,7 53,8 69,975 46,65,7 3,7 99,4 67,5 4,455 6,65,4 7,7 99,8 85, 3,54 76,35, 4,8,, 8,5 9,8 683,69 Źródło: Oblczea włase Oblczoa powerzcha b wos 683,69, wobec tego współczk kocetrac wos: Pole trókąta ( a + b=5, wobec tego * Wˆ

11 a ( a b b 5 683,69 K,863 a b a b 5 Ozacza to dość wsoką kocetracę badaego zawska Ią marą kocetrac est współczk kocetrac Loreza Może bć o wkorzstwa do badań w zakrese kocetrac własośc zemske, bogactw aturalch cz kaptału Puktem wśca do loścowego badaa kocetrac est ustalee, w ak sposób rozkłada sę ogóla suma wartośc badae cech a poszczególe edostk zborowośc statstcze Do oce stopa atężea tak rozumae kocetrac stosue sę krzwą kocetrac lub krzwą Loreza Kształt l łamae określa atężee kocetrac Jeżel a każdą edostkę zborowośc przpada taka sama część ogóle sum wartośc cech, to zamast krzwe kocetrac otrzmam lę prostą przechodzącą przez początek układu współrzędch pod kątem =45 w stosuku do os odcętch Jest to tzw La rówomerego rozkładu wartośc cech dla poszczególch edostek zborowośc Stosuek pola zawartego mędz krzwą kocetrac a lą rówomerego rozkładu do ogólego pola trókąta os azwę współczka kocetrac LorezaMoża go wzaczć w sposób astępuąc: K L a,5 b,5,5 gdze : a powerzcha pola zawartego mędz krzwą kocetrac a lą rówomerego rozkładu b powerzcha pola leżącego pod krzwą kocetrac Współczk te zawera sę w przedzale [, ] Procedurę wzaczaa współczka przedstawm a przkładz Przkład 4Na podstawe dach dotczącch osób poberaącch ret z ttułu ezdolośc do prac według wsokośc śwadczeń we wrześu 997 roku ależ oceć stopeń kocetrac wsokośc śwadczeń z ubezpeczea społeczego Oblczea pomoccze do wzaczea współczka kocetrac Wsokość Śwadczea Brutto Z ubezpspoł Lczba Pober Ret Z ttułezd Do prac Łącza Wsok Śwadcz Brutto * Odsetk Lczb Pober Ret w N Odsetk Łącz Wsok Śwadcz z Skum w Skum z Pole fgur b ,6 8 63,,59,,59, ,5 84 6,5,4,7,4, , 75,,9,93,58, , ,,89,76,67,443, , ,5,65,6,67,54, , ,,55,56,77,56, , ,5,38,4,766,6, ,4 37 5, 3,35,796,636, ,6 6 7,,,45,58,84,694,3 9-48, ,,3,43,87,737,5 4,3 4 35,,5,39,896,776,9-9,6 34 4,,8,3,95,88,46 3 9,6 37,,8,34,933,843, , ,,8,37,95,88,58

12 4 5 6, 3 345,,,,96,9,89 5 6, ,,7,5,968,97, ,6 9 4,,3,9,97,96, ,6 79 8,,8,74,,,73 Ogółem 68,8 7 88,5,,,3896 Zalaś A : Metod statstcze PWE, Warszawa, s75 Pole fgur b pod krzwą Loreza, moża w przblżeu wzaczć w sposób astępuąc: K L,5 k cumz cumz (,5 * w gdze : cum z względa wartość szeregu skumulowaego oblczoego w sposób astępuąc z k * * w - lczebośc względe oblczoe astępuąco: k w, prz czm N N W aszm przkładze mam : b 8 p,3896 a=,5-,3896=,4 K L,4,8,5 Uzska wk wskazue a słab stopeń kocetrac, co odpowada rówomeremu podzałow łącze wsokośc śwadczea brutto z ubezpeczea społeczego mędz poberaącch ret z ttułu ezdolośc do prac Rachuek prawdopodobeństwa Krótk rs hstorcz Podstawowe wadomośc o zdarzeach 3 Poęce prawdopodobeństwa 4 Podstawowe twerdzea rachuku prawdopodobeństwa! Krotk rs hstorcz

13 Rachuek prawdopodobeństwa est dzedzą matematk Z rachukem prawdopodobeństwa zwązae są take azwska fracuskch matematków ak : BPascal ( P Fermat ( 6 66 Duż wkład w rozwó te dscpl przpsue sę róweż szwacarskemu matematkow J Beroullemu ( W prac Traktat o sztuce przewdwaa moża zaleźć podstawowe twerdzea rachuku prawdopodobeństwa zwae prawem welkch lczb Welke zasług w rozwó teor prawdopodobeństwa położł róweż PS Laplace ( oraz KF Gauss ( Gauss uważa est za twórcę teor błędów obserwac metod ameszch kwadratów Na uwagę zasługue azwsko SD Possoa ( 78 84, fracuskego matematka, którego meem został azwa ede z aważeszch rozkładów statstczch Studuąc hstorę rachuku prawdopodobeństwa waże wdae sę wmeee prac człoka Petersburske Akadem Nauk, szwacara z pochodzea, L Eulera ( Całk Eulera azwa sę tzw Fukcą gamma fukcą beta Fukce te maą duże zastosowae w statstce matematcze Za twórcę rosske szkoł probablstcze uzać ależ P Czebszewa (8 894 Wbt matematc radzecc, A Kołmogorow, N Smrow stworzl radzecką szkołę teor prawdopodobeństwa, która ależ do czołowch w śwece Osągęca współczese probablstk w Polsce są zwązae z meem profesora Uwerstetu Wrocławskego HStehausa ego uczów Zmea losowa est to zmea, która przmue róże wartośc lczbowe, wzaczoe przez los Zmeą losową moża traktować ako pewą fukcę określoą a przestrze prób zwązae z ekspermetem Przporządkowae prawdopodobeństw różm możlwm wartoścą zmee losowe, czl probablstcze prawo rządzące zmeą losową azwam rozkładem prawdopodobeństwa zmee losowe Zmea losowa może bć : Skokowa ( dskreta Cągła Zmea losowa est skokowa ( dskreta, gd może przmować wartośc ze zboru awże przelczalego Zmea losowa cągła może przmować wartośc z dowolego przedzału lczbowego Możlwe wartośc take zmee tworzą zbór eprzelczale eskończo Rozkładem prawdopodobeństw zmee losowe skokowe, zwam też fukcą rozkładu mas prawdopodobeństwa est tablca, wzór lub wkres, któr przporządkowue prawdopodobeństwa każde możlwe wartośc zmee Zmee losowe będzem ozaczać dużm lteram, aczęśce lterą X, chocaż mogą bć użte e lter Małch lter będzem użwać do ozaczea poszczególch wartośc przberach przez zmee losowe Zaps P(X= ozacza prawdopodobeństwo, że zmea losowa X przmue pewą określoą wartość Na przkład zaps P(X=5=, ozacza, że prawdopodobeństwo, ż zmea losowa X przmue wartość 5 est rówe, Moża użwać skrócoch zapsów, p P(5=, Rozkład prawdopodobeństwa skokowe zmee losowe X speła astępuące waruk P ( X dla wszstkch wartośc ( wszstke P X ( (

14 Przkład Załóżm, że w poższm zestaweu wmeoo możlwe lczb ogłoszeń zameszczoch dzee w gazece odpowadaące m prawdopodobeństwa X P(X,,,3,,, Jest to rozkład prawdopodobeństw zmee losowe X Moża zauważć, że wszstke prawdopodobeństwa są eueme sumuą sę do edośc Zmee losowa e przmue wartośc wększch od 5, co ozacza, że e zameszcza sę gd węce ż 5 ogłoszeń dzee Prawdopodobeństwo zameszczea dwóch ogłoszeń wos,3, a trzech ogłoszeń,powstae ptae, skąd sę borą prawdopodobeństwa Redakca gazet codzee reestrue lczbę zameszczoch ogłoszeń Częstośc z akm poawaą sę w długm szeregu d róże lczb ogłoszeń,łatwo oblczć z tch reestrów Częstośc te uzaem za prawdopodobeństwa ukazaa sę odpowedch lczb zameszczoch ogłoszeń W ch stuacach prawdopodobeństwa moża wprowadzć z pewch teoretczch rozważań Take rozkład są tablcowae moża e zaleźć w każdm podręczku statstk Dstrbuat ( skumulowae fukce rozkładu Skumulowaą fukcą rozkładu ( dstrbuatą skokowe zmee losowe X est fukca F ( P( X ( 3 P Dla przkładu dstrbuata lczb ogłoszeń zameszczoch dzee w gazece wos P(,,,3,,, F(,,3,6,8,9, Należ zauważć, że każda wartość F( est sumą wszstkch wartośc P( dla meszch lub rówch Na przkład F ( 3 P( X 3 P( P( p( P(3,,,3,,8 Oczekwaa wartość odchlee stadardowe zmee losowe Oczekwaa wartość skokowe zmee losowe X est rówa sume wszstkch możlwch wartośc te zmee możoch przez ch prawdopodobeństwa E ( X P( ( 4 wszstke Wkorzstuąc dae z przkładu wzaczam oczekwaą lczbę ogłoszeń w gazece ( zgode z wzorem 4 Oblczee oczekwae ( średe lczb ogłoszeń w gazece P( X P(,,,,3,6 3,,6 4,,4 5,,5, 3,3

15 Z tablc wka, że E(, 3 Możem powedzeć, że przecęte dzee zameszcza sę,3 ogłoszea Oczekwaa wartość fukc skokowe zmee losowe h( est : E h( h( P( ( 5 wszstke Przkład Mesęcza sprzedaż pewego produktu charakterzue rozkład prawdopodobeństwa poda w poższe tablc Sprzedaż P(,,3,,,, Przpuśćm, że frma poos stał mesęcz koszt produkc rów 8 $ że a każde wprodukowae edostce zaraba $ Jak est mesęcz oczekwa zsk frm? Fukca zsku ze sprzedaż produktu est dla frm fukca h(= 8 Tablca pomoccza do wzaczea oczekwaego zsku h( P( h(p( 5, 4 6 4,3 7 6, 8 8, 6 9, 5 4 = E[h(] W przpadku lowe fukc zmee losowe, oblczee oczekwae wartośc fukc h( moża uproścć, korzstaąc ze wzoru a oczekwaą wartość fukc zmee losowe Oczekwaa wartość lowe fukc zmee losowe : E(a X +b = a E(+b ( 6 Gdze a b są ustalom lczbam W rozpatrwam przkładze mam ; E [ h (] = E[ 8 ] = E ( 8 = * = 5 4 $ Waraca odchlee stadardowe zmee losowe Waraca zmee losowe est oczekwaa wartość kwadratu odchlea te zmee od e średe Poęce to est podobe do poęca warac w zborze wków obserwac ( w próbe lub populac Waracą skokowe zmee losowe X est : P( V ( X E[( X ] ( 7 wszstke Dla przkładu mam : P( ( ( P(, -,3 5,9,59, -,3,69,338,3 -,3,9,7 3,,7,49,98 4,,7,89,89 5,,7 7,9,79

16 , Wgod do stosowaa wzór oblczaa warac zmee losowe : V( E( X [ E( X ] ( 8 Zgode z wzorem (8 wzaczam dla przkładu waracę lczb ogłoszeń w gazece Oblczea pomoccze X P(X X P(X X P(X,,,,,3,6, 3,,6,8 4,,4,6 5,,5,5,,3 7,3 V ( X E( X [ E( X ] 7,3,3, Dla zmech losowch stadardowe odchlee określam ako dodat perwastek kwadratow z warac Stadardowe odchlee zmee losowe wraża sę wzorem: S ( ( 9 W rozpatrwam przkładze wos,, 48 Waracę lowe fukc zmee losowe wzoru : V( a b a V( a ( gdze a b są ustalom lczbam a b wzaczć moża z astępuącego Waraca ako średe kwadratowe odchlee wartośc zmee losowe od e wartośc średe est marą rozproszea możlwch wartośc zmee Waraca dae wobrażee o zmeośc a tm samm o epewośc zwązae z przszłm wartoścam zmee, które mogą tm bardze odbegać od przecęte, m wższa est waraca Posługwae sę odchleem stadardowm często est wgodesze z tego powodu, że waraca est welkoścą kwadratową Odchlee stadardowe est łatwesze do terpretac z puktu wdzea ekoomczego Na przkład : stadardowe odchlee stop przchodu z określoe lokat kaptału powszeche est uzawae za marę rzka zwązaego z tą lokatą Twerdzee Czebszewa Zaomość odchlea stadardowego pozwala wzaczć grace, w którch możlwe wartośc zmee losowe meszczą sę z pewm określom prawdopodobeństwem Grace te wzacza twerdzee Czebszewa Twerdzee to powada, że dla dowole lczb k wększe od edośc prawdopodobeństwo, że wartość zmee losowe odchla sę od wartośc o me ż o k odchleń stadardowch, est e mesze ż /k Możem to twerdzee zapsać astępuąco : dla dowole zmee losowe o średe k : odchleu stadardowm oraz dla dowole lczb P( X k k / (

17 Wbrae rozkład zmee losowe skokowe Podstawowm rozkładam zmee losowe skokowe są: Rozkład edopuktow Rozkład dwupuktow Rozkład dwumaow ( Beroullego Rozkład Possoa Rozkład edopuktow Zmea losowa X przmue tlko edą wartość z prawdopodobeństwem rówm, czl : P ( X ( Łatwo wkazać, że E( X, Dstrbuata F( w tm przpadku ma postać : F(= { dla { dla ( 3 Rozkład dwupuktow Mówm, że zmea losowa X podlega rozkładow X podlega rozkładow dwupuktowemu, eśl zbór wartośc {, } est dwuelemetow, prz czm : P(X= =q ( 4 P(X= =p ( 5 oraz p+q= Szczególm przpadkem rozkładu dwu puktowego est tzw Rozkład zero edkow, gze przmue sę, że = oraz = Mam węc : P(X==q ( 6 P(X== ( 7 Prz czm p + q =, skąd q = p Podstawowe charakterstk lczbowe zmee podlegaące rozkładow zero edkowemu: E(X=p ( 8 pq ( 9 Dstrbuata w tm przpadku ma postać astępuącą : F( = { dla { p dla { dla >

18 Rozkład dwumaow Przpuśćm, że wkouem ezależch dośwadczeń ( p rzucam raz kostką do gr albo wkouem 7 rzutów moetą tp Przmuem, że każde z tch dośwadczeń może zakończć sę sukcesem albo porażką, prz czm prawdopodobeństwo wstąpea sukcesu w każdm z wkowach dośwadczeń est take samo wos p ( p Zmeą losową defuem ako lczbę sukcesów uzskach prz wkowau dośwadczeń Dwumaow rozkład prawdopodobeństwa : P!!(! ( X p q pq ( gdze p est prawdopodobeństwem sukcesu w edm dośwadczeu, q=-p, z kole est lczbą dośwadczeń, a est lczbą sukcesów Rozkład zdefowa wzorem ( est rozkładem dwumaowm lub rozkładem Beroullego Nazwa pochodz od matematka Jacquesa Beroullego ( Dośwadczea Beroullego to cąg detczch dośwadczeń spełaącch astęouące waruk : Są dwa możlwe wk każdego dośwadczea, azwae sukcesem lub porażką Wk te wkluczaą sę dopełaą Prawdopodobeństwo sukcesu ozaczoe przez p, pozostae take samo od dośwadczea do dośwadczea Prawdopodobeństwo porażk, ozaczoe przez q, rówe est -p 3 Dośwadczea są od sebe ezależe Zacz to, że wk któregokolwek dośwadczea e ma wpłwu a wk pozostałch dośwadczeń Średa, waraca kształt rozkładu dwumaowego Średa rozkładu dwumaowego est to locz lczb dośwadczeń prawdopodobeństwa sukcesu w poedczm dośwadczeu p Waraca est loczem lczb dośwadczeń, wartośc p oraz q Prawdzwe są poższe wzor : Średa rozkładu dwumaowego : E( p ( Waraca rozkładu dwumaowego : V( pq ( Odchlee stadardowe rozkładu dwumaowego : pq ( 3 Kształt rozkładu prawdopodobeństwa dwumaowe zmee losowe est smetrcz prz p=/ Rozkład est skoś prawostroe prz p < ½, a lewostroe prz p > ½ gd lczba dośwadczeń est ewelka Dwumaow rozkład prawdopodobeństwa est edm z apowszeche stosowach rozkładów w badaach statstczch

19 Rozkład Possoa Rozkład Possoa est wgod do scharakterzowaa zmee losowe będące lczbą zaść pewego zdarzea w określom przedzale czasu Taką zmeą est lczba awar urządzea przemsłowego w cągu tgoda, lczba wpadków samochodowch w cągu mesąca, tp Rozkład Possoa est też dobrm przblżeem rozkładu dwumaowego, gd lczba dośwadczeń est duża (, a prawdopodobeństwo sukcesu ( zaśca teresuącego as zdarzea est ewelke ( p,5 Rozkład Possoa: P( e! dla =,,,3,, (4 gdze est średą rozkładu ( rówocześe ego warac, e est podstawą logartmów aturalch ( e,788 Przkład Przkład Kletam sklepu spożwczego są kobet mężczź > Na podstawe wcześeszch badań wadomo,że prawdopodobeństwo zakupu żwośc przez kobetę w tm sklepe wos,6 a Co est zmeą losową? b Wzaczć wartość oczekwaą waracę badae zmee losowe? Rozwązae : a Zmeą losową est płeć kleta Przmue oa wartość w przpadku kobet oraz, gd do sklepu wchodz mężczza Jest to przkład zmee zero edkowe b E( X p, 6 oraz V ( X p( p,6*,4, 4 Przkład Sprzedawca pewego dobra trwałego użtku kotaktue sę z 8 potecalm kletam dzee Z wcześeszch dośwadczeń wadomo, że prawdopodobeństwo zakupu tego dobra przez potecalego kleta wos, a ake est prawdopodobeństwo tego, że sprzedawca przeprowadz dokłade trasakce sprzedaż dzee? b Jak odsetek staowć będą d, w którch sprzedawca e dokoa żade trasakc sprzedaż? c Jake średe lczb sprzedach dóbr trwałego użtku dzee może sę spodzewać sprzedawca? Rozwązae : a Korzstaąc ze wzoru a prawdopodobeństwo w rozkładze dwumaowm mam : P ( X 8!!(8 * (,! * (,9 8 Zamast przeprowadzaa dość skomplkowach oblczeń moża róweż skorzstać z tablc rozkładu dwumaowego odcztuąc ( P( X k dla =8, k=, p=, Wobec tego mam : P ( X P( X 3 Q( Q(3,869,389,488 8!!(8! 8 b P ( X * (, * (,9, 43 zatem 43 % ogółu d roboczch staową take d, ked e zostae dokoaa żada trasakca sprzedaż

20 c E( X p 8*,, 8 Przkład 3 Wadlwość produkc pewego przedsęborstwa wos 3% Z gotowch wrobów zaduącch sę w magaze sprzedao 4 sztuk a Jake średe lczb braków moża sę spodzewać w sprzedae part towarów b Jake est prawdopodobeństwo, że dokłade 5 sztuk wadlwch zadze sę w sprzedae part towarów Rozwązae : a E( p 4 *,3, 5, (, * e b P ( X 5, 65 5! ; 5 ( por tablcę w rozkładze Possoa, dla, k Ie podeśce opera sę a rachuku dstrbuat Korzstam z tablc dstrbuat w tm rozkładze mam : P ( X 5 P( X 5 P( X 4 F(5 F(4,998,99,6 Zmea losowa cągła e rozkład Zmea losowa cągła, fukca gęstośc, dstrbuata, podstawowe charakterstk Rozkład zmee losowe cągłe Rozkład ormal Rozkład logartmczo ormal Rozkład ch kwadrat Rozkład Studeta Rozkład Fshera Sedecora Ie ( p rozkład ser, rozkład Darba - Watsoa Zmea losowa cągła est to taka zmea, która przmue wszstke wartośc z pewego określoego przedzału lczbowego Dla zmee losowe cągłe poawa sę poęce fukc gęstośc Fukca gęstośc est to przedzałam cągła fukca f(, dzęk które moża określć prawdopodobeństwo tego, że zmea losowa zadze sę w określom przedzale Fukca gęstośc speła astępuące waruk : f ( ( f ( X d ( Fukca gęstośc może bć terpretowaa ako podstawa do lczbowch ustaleń średe gęstośc prawdopodobeństwa z otoczea puktu, zwaego środkem przedzału klasowego Dstrbuata dla zmee losowe cągłe określaa est ako prawdopodobeństwo tego, że zmea losowa przme wartośc mesze lub rówe

21 F P( X ( 3 ( Dstrbuata dla zmee losowe cągłe est całką z określoą górą gracą, zapsaą w sposób astępuąc : F f ( d ( ( 4 Dla prawdopodobeństwa w przedzale ( ; ależ stosować formułę : P } F( F( f ( d ( 5 { Wartość oczekwaa zmee losowe cągłe wraża sę astępuącm wzorem : E ( f ( d (6 Waraca zmee losowe cągłe est wzaczoa zgode z formułą : [ D ( E( ] f ( d (7 Odchlee stadardowe zmee losowe cągłe dae est wzorem : D( D ( (8 Rozkład zmee losowe cągłe Rozkład ormal Rozkład ormal wąże sę z azwskem matematka KF Gaussa ( bwa aczęśce określa ako rozkład Gaussa Rozkład ormal to ede z aważeszch rozkładów zmee losowe cągłe Odgrwa o w zastosowaach statstk ogromą rolę Mówm, że zmea losowa ma rozkład ormal z, eśl e fukca parametram, co zapsuem X : N(, lub X ~ N(, gęstośc est określoa astępuącm wzorem : ( f ( * e, dla ( ; ( 9 gdze : E ( D (

22 3,4459, e,788 Krzwa gęstośc prawdopodobeństwa rozkładu ormalego ma astępuące własośc : Krzwa ormala est krzwą w kształce dzwou, smetrczą względem proste przechodzące przez pukt, co zacz, że est spełoa rówość : P ( X P( X,5 Oś rzędch est oczwśce osą smetr krzwe Obszar ograczo wkresem fukc f( osą odcętch ma pole rówe edośc 3 Fukca gęstośc prawdopodobeństwa rozkładu ormalego osąga maksmum w pukce Oblczaąc pochodą fukc (9 przrówuąc ą do, sprawdzam łatwo, że wartość maksmala te fukc gęstośc wos : f ( 4Krzwa gęstośc prawdopodobeństwa rozkładu ormalego ma pukt przegęca, położoe smetrcze względem os rzędch, o odcętch, w którch krzwa z wklęsłe przechodz w wpukłą lub odwrote Parametr rozkładu ormalego est to średa rozkładu czl mara położea Mów o tm, gdze leż cetrum rozkładu a os lczbowe Poeważ krzwa gęstośc ormale est smetrcza ma ede szczt, w środku,średa est rówocześe medaą domatą rozkładu prawdopodobeństwa Iacze mówąc, est też puktem, w którm gęstość est awększa któr dzel pole pod krzwą gęstośc a połow, z którch każda ma marę ½Stadardowe odchlee est marą zmeośc, czl rozproszea zmee Gd stadardowe odchlee est duże, wkres fukc gęstośc est szerok, ale za to płask ( Całe pole pod krzwą mus meć marę rówą Gd stadardowe odchlee est małe, wkres fukc gęstośc est wąsk ale wsok Na uwagę zasługuą także astępuące własośc rozkładu ormalego : P ( X, 686 P ( X, 9545 P ( 3 X 3, 9973 W aalzach szczególe waża est reguła trzech odchleń stadardowch zwaa także reguła 3 sgm, które prawdopodobeństwo est bardzo wsoke praktcze wos Jest oa wkorzstwaa w badaach emprczch w celu elmac obserwac etpowch, e przstaącch do pozostałch ( wątplwch, rzadkch, odstaącch, ekstremalch, co do którch steą przpuszczea, że pochodzą z e zborowośc Za wątplwe uzae sę take obserwace, którch wartość róż sę od średe o węce ż 3 odchlea stadardowe Rozkład ormal stadarzowa Rozkład ormal z wartoścą oczekwaą czl Z : N(,, określo za pomocą formuł : f ( z * e z ( odchleem stadardowm,

23 Każd rozkład ormal X : N(, może bć trasformowa do rozkładu ormalego Z : N(, poprzez procedurę stadarzac zmee X do Z Czasam zamast Z stosue sę lterę U ( uormowaa Zmea losowa stadarzowaa wraża sę wzorem : X Z ( Procedura stadarzac ma swoe uzasadee w tm, że tlko rozkład ormal stadarzowa est stablcowa Naczęśce korzsta sę z tablc dstrbuat Przkład Załóżm, że mam poedczch wków pomarów pewe welkośc Efekt obserwac pogrupowao, a wk w postac szeregu rozdzelczego przedzałowego podao w poższe tablc Zachodz przpuszczee, że rozkład lczb wszstkch pomarów ma rozkład ormal Tab Szereg rozdzelcz wków pomaru pewe welkośc ( w mm Wk pomarów Lczba wków, f Źródło : A Zelaś : Metod statstcze PWE, Warszawa s - f Parametr rozkładu ormalego szacuem a podstawe wków zameszczoch w powższe tablc ( tab otrzmuem : 88, 84 3, 358 s Pozostałe oblczea potrzebe do ustalea, cz est to rozkład ormal, zaduą sę w poższe tablc : f u s f ( u ˆ f f ( u f fˆ s 8 -,73466,966 59, ,596,466,6, ,4976,958 8,, ,87855,7864 6,76 -, ,5985, ,86,4 9,35885,3739 3,3 -,73 9 3,97755,4689 5,7 -,7 94 9,5965,74 6,97,3 96 3,495,347,5,85 98,83365,774,45,55 99,8

24 Z uwag a to, że różce mędz rozkładem emprczm a teoretczm, czl od =,,, są względe duże, to e moża prząć, że rozkład lczb wków pomarów e est rozkładem ormalm f fˆ Rozkład ch kwadrat Rozkład ch kwadrat ( został opracowa przez statstków A Abbego ( 863, H Helmerta ( 875, K Pearsoa ( 9 Zakładaąc, że X, X,, X k są ezależm zmem losowm o rozkładze ormalm o parametrach, zmea losowa określoa w sposób astępuąc : k X ( ma rozkład z k lczbą stop swobod Zmea losowa o rozkładze ch- kwadrat przmue wartośc dodate, a e rozkład zależ od lczb stop swobod k Dla małch wartośc k est to rozkład sle asmetrcz, w marę wzrostu k asmetra est coraz mesza Lczbę stop swobod k wzaczam aczęśce w sposób astępuąc : k lub k p gdze : lczebość prób p lczba szacowach parametrów z prób Lczba stop swobod est rówa lczbe wszstkch parametrów ( która e mus bć rówa lczbe wków obserwac pomeszoe o lczbę wszstkch ograczeń arzucoch a te parametr Ograczeem est każda welkość, która zostae oblczoa a podstawe tch samch pomarów Wartość oczekwaa w rozkładze E( k ( 3 Waraca w rozkładze D ( k ( 4 wraża sę astępuącą formułą : est wrażoa formułą : Odchlee stadardowe w rozkładze to :

25 D( k ( 5 Dla uproszczea zapsów moża sę posługwać formułą : : /( k; k, co ozacza,że ma rozkład o k stopach swobod Rozkład est rozkładem asmetrczm, prz czm wraz ze wzrostem k rozkład te stae sę coraz bardze zblżo do smetrczego, a dla k>3 zachodz zależość : : ( k; k X : N( k; k ( 6 k Ozacza to, że wraz ze wzrostem k ( powże 3 rozkład przechodz w rozkład asmptotcze ormal o tch samch parametrach Rozkład t Studeta E( k D ( k Jest to waż rozkład, któr est stosowa główe do małch próbek Rozkład t Studeta ( pseudom agelskego statstka W Gosseta est rozkładem smetrczm względem proste =, a ego kształt est bardzo zblżo do rozkładu ormalego stadarzowaego ( est eco bardze spłaszczo Jeżel Z :N(; : ( k; k są ezależm zmem losowm, to zmea Z T k ma rozkład t- Studeta o k stopach swobod Wartość oczekwaa w rozkładze t- Studeta ma postać astępuącą: E( T o dla k ( 7 Waraca w rozkładze t- Studeta ma postać astępuącą: k D ( T dla 3 k k ( 8 Odchlee stadardowe w rozkładze t- Studeta ma postać astępuącą : k D ( t dla 3 k k ( 9 Dla k >3 zmea o rozkładze t- Studeta ma rozkład zblżo do rozkładu ormalego stadarzowaego [ N : (, ] Dla różch wartośc k różch prawdopodobeństw stablcowae są wartośc t take, dla którch spełoa est zależość p t T dla k stop swobod Rozkład F Sedecora ( / t / Jeżel zmee Y Y są zmem ezależm maą rozkład o k k stopach swobod, to zmea losowa F k k ma rozkład F Sedecora :

26 Y / k F k k Y / k ( gdze k k są stopam swobod Wartość oczekwaa w rozkładze F wraża sę astępuącą formułą : k E ( F dla k k ( Waraca w rozkładze F wraża sę astępuącm wzorem : k ( k k D ( F dla 4 k ( k ( k 4 k ( W zależośc od k k stablcowao wartośc zmee losowe dla dach wartośc prawdopodobeństw zależość P F F ( k k F, w tak sposób, że Dobór prób rozkład z prób Estmaca puktowa przedzałowa We woskowau statstczm a podstawe zae prób losowe, opsuem za pomocą statstk ezaą populacę, z które została pobraa próba Parametr populac ( p średa, odchlee stadardowe szacuem korzstaąc ze statstk z prób Gd statstka z prób est wkorzstwaa do oszacowaa parametru populac, azwa sę estmatorem tego parametru Estmatorem parametru populac est statstka z prób użwaa do oszacowaa tego parametru Oceą lub szacukem parametru est kokreta wartość lczbowa estmatora z dae prób Jeżel ako oceę ( szacuek podaem edą wartość lczbową, azwam ą oceą puktową ( szacukem puktowm parametru populac Średa z prób, est statstką użwaą ako estmator średe w populac Odchlee stadardowe z prób, służ ako estmator odchlea stadardowego w populac Oprócz tch statstk wstępuą róweż e p częstość ( frakca Frakcą ( częstoścą w populac p, est lczba elemetów populac ależącch do pewe kategor, którą sę teresuem, podzeloą przez lczbę wszstkch elemetów populac Frakca ( częstość w próbe wraża sę astępuącą formułą : p ˆ (

27 gdze est lczbą elemetów prób, które ależą do teresuące as kategor, a est lczeboścą prób Poberae prób losowe Ab otrzmać próbę losową z całe populac, powśm dspoować wkazem wszstkch elemetów populac Tak wkaz azwa sę operatem losowaa Operat losowaa pozwala wberać elemet z populac przez losowe geerowae umerów elemetów, które zaduą sę w próbe Przpuśćm, że chcem pobrać prostą - elemetową próbę losową z populac 7 ludz Sporządzam wkaz tch 7 ludz każdemu przpsuem umer detfkac Mam wkaz 7 umerów, które tworzą operat losowaa Następe geeruem a komputerze lub w akś sposób lczb losowch o wartoścach od do 7 Taka procedura dae każdemu ze ludz tę samą szasę zalezea sę w próbe Do geerowaa lczb losowch może bć użt komputer lub tablca lczb losowch Rozkład statstk z prób est rozkładem prawdopodobeństwa wszstkch możlwch wartośc, aka ta statstka może prząć, eżel oblczam e a podstawe badaa losowch prób o tch samch rozmarach, pobrach z określoe populac Rozkład średe z prób,, to rozkład prawdopodobeństwa wszstkch wartośc, ake może przbrać losowa zmea, gd próba o lczebośc est poberaa z określoe populac Cetrale twerdzee gracze - eżel poberam próbę z populac o średe skończom odchleu stadardowm, to rozkład średe z prób,, dąż do rozkładu ormalego o średe odchleu stadardowm /, gd lczebość prób wzrasta eograczee, czl, dla dostatecze dużch : ~ N(, / Cetrale twerdzee gracze zasługue a uwagę, poeważ stwerdza zmerzae rozkładu średe z prób do rozkładu ormalego, ezależe od rozkładu populac, z które pochodz próba Trz główe aspekt cetralego twerdzea graczego Jeżel lczebość prób est dostatecze duża, to rozkład średe z prób,, est ormal Oczekwaą wartoścą średe est 3 Odchleem stadardowm średe est / Hstora cetralego twerdzea graczego est zwązaa z rozkładem ormalm ako rozkładem graczm rozkładu dwumaowego, gd rośe eograczee Ab wkorzstać cetrale twerdzee gracze, powśm zać stadardowe odchlee w populac, Gd e est zae, trzeba sę posłużć ego estmatorem z prób, S W takm przpadku rozkład stadarzowae statstk est astępuąc : S / ( gdze S zastępue ezae e est stadarzowm rozkładem ormalm Jeśl rozkład w populac est ormal, to statstka określoa wzorem ( ma rozkład t Studeta o - stopach swobod

28 Cetrale twerdzee gracze dla przpadku poberaa prób do oszacowaa frakc elemetów dae kategor populac, p est sformułowae astępuąco : Gd lczebość prób wzrasta, to rozkład frakc z prób, pˆ, zblża sę do rozkładu ormalego o średe p o odchleu stadardowm p ( p / Z cetralego twerdzea graczego wka, ż rozkład średe z prób rozkład frakc z prób zblżaą sę do rozkładu ormalego, gd wzrasta lczebość prób Estmator ch własośc Estmator est eobcążo, eżel ego wartość oczekwaa est rówa parametrow populac, do oszacowaa którego służ Np Średa z prób est eobcążom estmatorem średe z populac Sstematcze odchlae sę wartośc estmatora od szacowaego parametru azwa sę obcążeem estmatora Estmator est efektw, eżel ma ewelką waracę ( a tm samm ewelke odchlee stadardowe Estmator est zgod, eżel prawdopodobeństwo, że ego wartość będze blska wartośc szacowaego parametru, wzrasta wraz ze wzrostem lczebośc prób Estmator est dostatecz, eżel wkorzstue wszstke formace o szacowam parametrze, które są zawarte w dach ( w próbe Przkład W wlosowach 9 puktach sprzedaż w pewm meśce w określom du zbadao ceę produktu A otrzmao astępuące rezultat : Pukt sprzedaż Cea w zł za szt (,5,8,6,,,9,7,5,4 Źródło : Dae umowe Korzstaąc z procedur estmac puktowe, ależ oszacować przecętą ceę produktu A za szt W określom du w całe zborowośc ( masto odchlee stadardowe ce produktu A w określom du w badam meśce Ad Wedząc,że estmaca puktowa sprowadza sę do zalezea ede wartośc mogące służć do oszacowaa ezae średe ce produktu A w całm meśce zadae sprowadza sę do zalezea średe artmetcze a podstawe prób ( Mara ta est abardze użteczm estmatorem średe zborowośc geerale, gdż ma własość eobcążoośc zgodośc oraz est relatwe bardze efektwa od ch średch ( meda cz domat,6, co ozacza,że w badam meśce średa cea ede sztuk produktu 9 A wos,6 zl Ad Zadae sprowadza sę, do oblczea odchlea stadardowego ce produktu a podstawe wków prób,5,8,6,,,9,7,5,4 -,,,,4 -,4,3, -, -, (,4,,6,6,9,,,4 5

29 Źródło : Oblczea włase S (,5 8,5 zł Należ zauważć, że wzór a estmator S róż sę od klasczego wzoru a odchlee stadardowe, które wzacza sę w całe zborowośc ( lub a podstawe wków pochodzącch z duże prób według formuł : ( Odchlee stadardowe ce produktu A w badam meśce wosło,5 zł Ozacza to, że cea w poszczególch puktach sprzedaż różła sę od średego pozomu, przecęte rzecz borąc, o, 5 zł Przkład W pewe frme w sposób losow wbrao 5 rozmów telefoczch, zbadao długość ch trwaa oraz ustaloo, cz są to rozmow lokale cz też zamescowe Poższa tablca prezetue zebrae a te temat formace : Kole umer Czas trwaa Rodza rozmów rozmow ( w m telefocze mescowa zamescowa 3 mescowa 4 3 mescowa 5 5 zamescowa 6 6 mescowa 7 3 mescowa 8 5 mescowa 9 8 mescowa 4 mescowa 5 mescowa 4 mescowa 3 5 mescowa 4 4 mescowa 5 9 zamescowa Należ : Oszacować przecęt czas trwaa wszstkch rozmów telefoczch w te frme Oszacować odchlee stadardowe czasu trwaa wszstkch rozmów telefoczch w te frme 3 Oszacować odsetek ( procet rozmów zamescowch wśród ogółu rozmów telefoczch przeprowadzoch w te frme 4 Wzaczć błąd stadardow odsetka rozmów zamescowch wśród ogółu rozmów telefoczch przeprowadzoch w te frme 5 Ad 5,67 m, co ozacza że przecęt czas trwaa wszstkch rozmów telefoczch w te frme wos 5,67 m ( Ad S,85 m, co ozacza, że odchlee stadardowe czasu

30 trwaa wszstkch rozmów telefoczch w te frme wos,85 m ( o tle róż sę, średo borąc, czas trwaa poszczególch rozmów od przecęte rozmow 3 5 Ad3 p,, co ozacza,że rozmow zamescowe staową % ogółu wszstkch rozmów telefoczch przeprowadzoch w te frme, * (, 5 Ad4, 3 p Błąd stadardow odsetka rozmów zamescowch w te frme wos,3 % Estmaca przedzałowa parametrów Estmaca przedzałowa określoego parametru z populac geerale polega a kostrukc pewego przedzału lczbowego ( a podstawe wków z prób losowe poberae ze zborowośc geerale, o którm moża powedzeć,że z przętm z gór prawdopodobeństwem pokre wartość estmowaego parametru Przedzał tak azwam przedzałem ufośc Nemaa, atomast prawdopodobeństwo, że przedzał te będąc zmeą losową pokre eza parametr, azwam współczkem ufośc ozaczam smbolem - Pozom współczków ufośc aczęśce przmowae są ako :,9;,95 ;,99 Przedzałem ufośc azwam przedzał lczbow, o którm przpuszczam, że meśc sę w m eza parametr populac Z przedzałem tm zwązaa est mara ufośc ( pewośc, że te przedzał aprawdę zawera teresuąc as parametr, zwaa pozomem ufośc Na sposób kostrukc przedzału ufośc ma wpłw lczebość prób losowe W zależośc od rodzau szacowaego parametru lczebośc prób moża wróżć klka przedzałów ufośc, którch sposób kostruowaa zostae przedstawo a modelowch przkładach Model I Populaca geerala ma rozkład ormal N (, Wartość średa est ezaa, odchlee stadardowe w populac est zae Z populac te pobrao próbę o lczebośc elemetów, wlosowach ezależe Wówczas przedzał ufośc dla średe populac otrzmue sę ze wzoru : P { u u } gdze : - średa artmetcza oblczoa z prób u pozom zmee stadarzowae odczta z tablc rozkładu ormalego N(, prz przętm z gór współczku ufośc - adzea matematcza w populac geerale - odchlee stadardowe w populac geerale - lczebość prób Przkład Wbraą w sposób losow 65 osobową grupę sportowców zbadao pod względem czasu pośwęcoego a treg w mesącu otrzmuąc : 7godz godz Wadomo prz tm,że czas pośwęco a treg posada rozkład ormal

31 Oszacować metodą przedzałową śred mesęcz czas tregu dla ogółu sportowców przmuąc współczk ufośc,95dla przętego współczka ufośc -=,95 mam u, 96 Przedzał ufośc est astępuąc : P {7,96 7 } Ostatecze otrzmuem : 69,6 7,784 Otrzma wk terpretuem astępuąco : przedzał lczbow od 69,6 godz do 7,784 godz est edm z tch wszstkch możlwch do otrzmaa przedzałów, które z prawdopodobeństwem,95 pokrwaą szacowa śred czas pośwęco mesęcze a treg przez ogół sportowców Ozacza to, że gdbśm welokrote powtarzal powższe postępowae, to średo borąc w 95 przpadkach a otrzmwalbśm przedzał dobre ( tz pokrwaące śred czas pośwęco mesęcze a treg przez ogół sportowców zaś w pozostałch przpadkach złe Model II Populaca geerala ma rozkład N (, Nezaa est zarówo wartość średa, ak odchlee stadardowe w populac Z populac te wlosowao ezależe małą próbę o lczebośc elemetów Przedzał ufośc dla średe populac otrzmue sę wówczas według wzoru : s s P { t t } lub według wzoru rówoważego sˆ sˆ P { t t } gdze ozacza średą artmetczą oblczoą z prób, s ŝ są odchleam stadardowm z prób oblczom według wzorów : s ( sˆ ( Wartość t ozacza wartość zmee t Studeta odcztaą z tablc tego rozkładu dla - stop swobod w tak sposób, b dla daego z gór prawdopodobeństwa - bła spełoa relaca P { t t t } Model III Populaca geerala ma rozkład N(, bądź dowol rozkład o średe skończoe warac ( ezae Z populac te pobrao do prób ezależch obserwac, prz czm lczebość prób est dużą ( co ame klka dzesątków Wted przedzał ufośc dla średe populac wzaczam ze wzoru ak w modelu I, z tą tlko różcą, że zamast we wzorze tm użwam odchleń stadardowch s lub ŝ oblczoch z prób Ze względu a dużą próbę wk e grupue sę w szereg rozdzelcz o r klasach wted wgode est oblczać oraz s według wzorów:

32 r o s r ( o gdze o ozacza środek poszczególego przedzału klasowego, a ego lczebość Gd lczba r przedzałów klasowch est mała, tz gd długość h każdego przedzału klasowego est duża, oblczaąc z powższego wzoru wartość s ależ stosować, tzw poprawkę grupowaa, t odąć od h, a dopero potem wcągąć perwastek s lczbę Uwaga : Wzor a przedzał ufośc dla średe w modelu I II są wzaczoe w oparcu o dokład rozkład statstk, atomast w modelu III w oparcu o e rozkład gracz ( z duże prób Poadto, podczas gd przedzał ufośc otrzmae w oparcu o rozkład ormal maą prz ustalom stałą długość, to przedzał ufośc otrzmae w oparcu o rozkład Studeta maą w różch próbach, oprócz końców róweż zmeą długość Współczk ufośc - przmue sę subektwe, ako dowole duże, blske, prawdopodobeństwo Jest oo marą zaufaa do prawdłowego szacuku Poeważ duż współczk ufośc dae szersz przedzał, e ależ węc bez potrzeb przmować tego współczka zbt wsokego Zwkle przmue sę współczk ufośc - woszące,9 ;,95 ( aczęśce, wreszce,99 lub,999 w badaach gdze rzko pomłk est małe Przkład Wtrzmałość pewego materału budowlaego est zmeą losową o rozkładze ormalm N (, W celu oszacowaa ezae średe wtrzmałośc tego materału dokoao pomarów wtrzmałośc a =5 wlosowach ezależe sztukach tego materału Wk pomarów bł astępuące ( w kg/cm :,4 ; 9,6 ;, ;,8 ;, Przmuąc współczk ufośc - =,99 ależ zbudować przedzał ufośc dla średe wtrzmałośc tego materału Rozwązae : Z treśc zadaa wka, że ze względu a ezaomość odchlea stadardowego oraz małą próbę mam do czea z przedzałem ufośc zbudowam o rozkład t Studeta, czl : s s P { t t } Należ aperw oblczć z prób wartośc oraz s Oblczea pomoccze zaduą sę w poższe tablc Wk pomaru wtrzmałośc,4,4,6 9,6,,44,,3,69,8,,3,9 4, 3,38 Otrzmuem : 4 3,38,8 kg / cm,,676, s kg / cm

33 Następe z tablc rozkładu Studeta dla -=,99 ( czl dla =, oraz dla - =4 stop swobod odcztuem wartość t 4, 64 Podstawaąc do wzoru a przedzał ufośc otrzmuem :,8,8,8 4,64*,8 4,64* 4 4 czl 8,9,7 Możem powedzeć,że przedzał lczbow o końcach 8,9,7 kg/cm z ufoścą,99 pokrwa ezaą średą wtrzmałość tego materału Przkład 3 Załóżm, że chcem oszacować śred staż prac pracowków zatrudoch w pewe frme prz produkc wrobów Za pomocą schematu losowaa eograczoego ezależego, wlosowao z populac tch pracowków próbę lczącą = osób otrzmao astępuące wk badaa tego stażu prac w latach ( wk pogrupowao w szereg rozdzelcz : Staż prac w Lczba pracowków latach Przmuąc współczk ufośc - =,9, zbudować przedzał ufośc dla średego stażu prac badae populac pracowków Rozwązae Z treśc zadaa wka, że ze względu a dużą próbę mam do czea z modelem III Przedzał ufośc dla średe populac ależ zbudować w oparcu o rozkład ormal, według wzoru : P { u u } przmuąc zamast wartość ego zgodego estmatora s z prób Oblczea do wzaczea s zaduą sę w poższe tablc : ( ( ,36 77, ,76 57, ,6 8, ,56 64, ,96 77, ,6 Wobec tego otrzmuem : ,6 5,38, s, 856 Ze względu a małą lczbę przedzałów ( h= lata ależ zastosować poprawkę a s odąć 4 h, 333 Zatem s,856,333,53,6 Następe z tablc rozkładu ormalego N(, grupowae, tz od odcztuem wartość u Dla - =,9 ( tz dla =, odcztuem,że

34 u,64 Otrzmuem astępuąc przedzał ufośc dla średego stażu prac :,6,6 5,4,64 5,4,64 czl 5, 5, 7 Zatem przedzał lczbow o końcach 5, 5,7 obemue z ufoścą,9 prawdzwą średą stażu prac w badae populac pracowków w badae frme Przedzał ufośc dla wskaźka struktur Podstawowm parametrem populac, szacowam w przpadku badań statstczch ze względu a cechę emerzalą ( akoścową est frakca, prawdopodobeństwo ( lub po przemożeu przez procet elemetów wróżoch w populac, zwaa też wskaźkem struktur w populac Zagadee sprowadza sę do budow przedzału lczbowego, któr z określom, z gór zadam prawdopodobeństwem ( współczkem ufośc, będze zawerał ezaą wartość odsetka ( wskaźka struktur, częstośc względe lub procetu zborowośc geerale Ważm warukem est duża próba, >, a awet > W zastosowaach statstk waruek te est zacze łagodesz >3 Jedak m wększa próba tm lepsze wk Gd est małe ( <3, wówczas korzsta sę z dokładego rozkładu estmatora m pˆ, akm est rozkład dwumaow ze średą E pˆ p p( p pˆ stadardowm ( odchleem Jeżel est duże ( >, a p est małm ułamkem ( p,5, to moża prząć m, że estmator pˆ ma rozkład asmptotcze ormal o parametrach p( p pˆ p N( p, a statstka u ma asmptotcz rozkład ormal p( p zero edkow N(, Przedzał ufośc dla parametru p wraża sę wzorem : pˆ( pˆ pˆ( pˆ P { pˆ u p pˆ u } Przkład 4 Pewa frma reklamowa prage sprawdzć wk kampa reklamowe towaru A W tm celu przeprowadzła aketę wśród 4 osób kupuącch te towar Okazało sę,że 5 osób do kupa towaru akłoła reklama Przmuąc pozom ufośc - =,95, oceć metodą przedzałową odsetek osób, które zaczęł kupować towar A w wku przeprowadzoe kampa reklamowe Rozwązae Zakładaąc, że losowae osób do prób bło ezależe, możem prząć, że rozkład osób kupuącch towar A a skutek przeprowadzoe kampa reklamowe wśród 4 wbrach do badaa est dwumaow o ezam parametrze p Próba est duża ( >3, a zatem przedzał ufośc możem wzaczć a podstawe powższego wzoru: