w łącznej analizie zmiennych licznikowych

Transkrypt

1 F O L I A O E C O N O M I C A C R A C O V I E N S I A Vol. LIII PL ISSN 7-674X Dwuwymarowy model TYPU ZIP-CP w łącznej analze zmennych lcznkowych Jerzy Marzec Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych Unwersyeu Ekonomcznego w Krakowe e-mal: marzecj@uek.krakow.pl Jacek Osewalsk Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych Unwersyeu Ekonomcznego w Krakowe e-mal: eeosewa@cyf-kr.edu.pl ABSTRACT J. Marzec, J. Osewalsk. Bvarae ZIP-CP ype model n he jon analyss of coun varables. Fola Oeconomca Cracovensa, 53: 5. In he paper a generalzaon of he Berkhou and Plug 4 bvarae Posson regresson model s proposed; n he Berkhou and Plug model one of he varables has he margnal Posson dsrbuon, whle he oher follows he condonal Posson dsrbuon. In he new model he margnal dsrbuon s of he ZIP ype and has he same parameerzaon as he hurdle model. Bayesan esmaon of he model and he formal Bayesan comparson of s wo alernave specfcaons are presened. The emprcal example concerns jon modellng of he number of cash paymens and bank card paymens n Poland as well as nference on her correlaon. STRESZCZENIE W pracy zaproponowano uogólnene modelu dwuwymarowej regresj possonowskej, kóry wprowadzl Berkhou Plug 4, przyjmujący brzegowy rozkład Possona dla jednej zmennej warunkowy rozkład Possona dla drugej. W nowym modelu rozkład brzegowy jes ypu ZIP ma aką parameryzację jak w modelu płokowym. Przedsawono bayesowską esymację ego modelu formalne bayesowske porównane dwóch alernaywnych jego specyfkacj. Przykład empryczny doyczy łącznego modelowana wnoskowana o korelacj mędzy lczbą płanośc karą goówką w Polsce. KEY WORDS SŁOWA KLUCZOWE bvarae Posson regresson model, zero nflaed Posson model, bank card and cash paymens dwuwymarowe modele regresj Possona, model Possona z nadwyżką zer, płanośc karą płanczą goówką.

2 6. WPROWADZENIE Regresja possonowska jes podsawowym modelem analzy zmennych lcznkowych j. o waroścach całkowych neujemnych. Isneją jej dwuwymarowe uogólnena; nekóre nakładają ogranczena na korelację mędzy zmennym, nne prowadzą do komplkacj naury saysyczno-numerycznej; zob. np. Kocherlakoa Kocherlakoa 99, Wnkelman 8. Na ym le obecujący jes model, kóry zaproponowal Berkhou Plug 4 przyjmując brzegowy rozkład Possona dla jednej zmennej oraz warunkowy rozkład Possona dla drugej przy usalonej perwszej. Model P-CP Posson condonal Posson jes ławy w esymacj dopuszcza korelację różnego znaku dodaną albo ujemną, ale znak en zależy od znaku jednego parameru, a ne od zmennych objaśnających; zob. akże Marzec. Model P-CP zosał użyy w Polsce do badana zależnośc mędzy lczbą ransakcj dokonywanych goówką lczbą ransakcj dokonywanych karą bankową zob. Polask, Marzec, Fszeder, Górka ; wbrew nucj korelacja mędzy nm okazała sę dodana, co skłana do ponowena badań, ale po rozszerzenu ogranczonej specyfkacj Berkhoua Pluga. Modele regresj dla skokowej zmennej objaśnanej z nadmerną lczbą zer zosały spopularyzowane przede wszyskm przez arykuł Lambera 99. Cameron Trved 998, 5 oraz Wnkelman 8 przedsawają ekonomeryczne modele danych lcznkowych z przykładam ch zasosowań w ekonom. W pracy rozważamy uogólnene modelu P-CP, polegające na zasąpenu brzegowego rozkładu Possona perwszej z dwóch zmennych rozkładem ypu ZIP zero nflaed Posson, przy pozosawenu warunkowego rozkładu Possona drugej zmennej. Rozkład ypu ZIP może meć uzasadnene w welu syuacjach prakycznych, gdyż bywa ak, że zerowa warość zmennej obserwowanej jes jakoścowo odmenna od nnych warośc. Proponowana w ej pracy parameryzacja odpowada zw. modelow płokowemu ang. hurdle model. Osewalsk wprowadzł skokowy rozkład dwuwymarowy, nazwany ZIP-CP ZIP condonal Posson podał jego momeny. Model dwuwymarowej regresj possonowskej, opary na rozkładze ZIP-CP, prowadz do znaku kowarancj zależnego od warośc zmennych objaśnających. Głównym celem pracy jes omówene esymacj emprycznego wykorzysana ego modelu saysycznego, nazwanego eż ZIP-CP ak, jak leżący u jego podsaw yp rozkładu. W nasępnej częśc pracy przedsawamy zwęźle rozkłady P-CP ZIP-CP, skupając uwagę na momenach rzędu oraz współczynnku korelacj. W rzecej omawamy model saysyczny ypu ZIP-CP jego ujęce bayesowske, zaś w czwarej prezenujemy przykład empryczny.

3 7. ROZKŁADY P-CP I ZIP-CP ORAZ ZWIĄZEK MIĘDZY ICH MOMENTAMI Rozważamy łączny rozkład prawdopodobeńswa dwóch zmennych losowych Y, Y przyjmujących warośc całkowe neujemne przedsawamy go nasępująco: Pr{ Y =, = j} = Pr{ Y = } Pr{ = j Y = } = g h j,,, j N {}. Jeśl rozkład brzegowy zmennej Y jes rozkładem Possona o warośc oczekwanej warancj m, a rozkład warunkowy Y przy usalonej warośc zmennej Y jes rozkładem Possona o warośc oczekwanej warancj m expay, czyl j g = exp /, h j, = exp[ exp ] exp j / j, o mamy rozkład dwuwymarowy P-CP Posson condonal Posson, kóry zaproponowal Berkhou Plug 4 uzyskal dla nego wynk m.n. w posac nasępujących momenów: E Y = exp[ e ], 3 E [ Y ] = E Y + [ E Y ] exp[ e ], 4 Var Y = E Y + [ E Y ] {exp[ e ] }, 5 E YY = e E. 6 Jeśl a, o bezwarunkowa warancja 5 zmennej Y jes wększa od warośc oczekwanej 3. Zależność mędzy obu zmennym sprawa, że brzegowy rozkład zmennej Y odpowada empryczne częsej syuacj zwększonej warancj danych lcznkowych. Brzegowy rozkład zmennej Y, czyl rozkład Possona, ne ma ej właścwośc. Jes o perwszy powód uogólnena dwuwymarowego rozkładu P-CP przez wprowadzene rozkładu ZIP na mejsce brzegowego rozkładu Possona. Należy eż zauważyć, że znak kowarancj mędzy Y Y, czyl znak wyrażena Cov Y, Y = E YY E Y E Y = e E, 7 zależy jedyne od znaku sałej rzeczywsej a, a ne od welkośc m, m, parameryzowanych głębej uzależnanych od zmennych objaśnających w saysycznych zasosowanach ego modelu probablsycznego. W ej częśc króko przedsawmy uogólnene, kóre wprowadzł Osewalsk, dopuszczające

4 8 zwązek znaku kowarancj welkośc m, co w analzach saysycznych swarza możlwość uzmennena ego znaku, w zależnośc od warośc zmennych objaśnających pozom m. Obecne rozważamy nny, my ogólnejszy nny, ogólnej nż przypadek, w kórym łączny rozkład prawdopodobeńswa Pr { Y =, = j} zmennych Y, Y o waroścach neujemnych, j N {} jes relony określony przez przez en s en sam warunkowy rozkład Y przy usalonym Y : Pr { Y = j Y = } = h j, = Pr{ = j Y = } Y oraz rozkład brzegowy zmennej Y, kóry odmenne nż w rakuje warość : Pr { Y = } = g $ ' dla =, = & ' g & g dla % N, z przedzau,, za funkcje g h s% ake sa gdze c jes usaloną lczbą usalon% z przedzału lczb% z przedzau,, zaś, funkcje, zag h są ake same jak w. Jeśl c = g, o Pr { Y = } = g = g = Pr{ Y = } oba rozkłady łączne są denyczne. Jeśl c unkcje g a g funkcje h zadane g h s% zadane wzoram są wzoram, c, czyl są possonowske, o brzegowy rozkład zmennej Y jes ypu ZIP Zero Inflaed Posson, zaś warunkowy dla Y pozosaje rozkładem Possona. Rozkład ak oznaczamy ZIP-CP, a jego momeny mają ogólną posać m n m n m E Y = g [ E Y + g E Y = ], gdze wykorzysuje sę znaną posać momenów rozkładu P-CP. W szczególnośc: E, Y = g E Y = g n 8 9 E Y = g E Y = g +, E Y = g [ E Y + g ], 3 E Y = g [ E Y + g + ], 4 $ $ E YY = $ g $ E YY = $ g $ exp E, 5 Var g Y = +, 6 g g

5 Var g g = { Var + [ E ] + }, 7 g g Cov g Y, = { Cov Y, + [ E ]}, 8 g g co prowadz do współczynnka korelacj posac 9 Corr Y, Y = g Cov Y, + [ E ] g, 9 g g g + { Var + [ E ] + } g g gdze EY, VarY CovY, Y są momenam rozkładu P-CP danym w 3, 5 7. Równoważny zaps kowarancj w rozkładze ZIP-CP o po prosych przekszałcenach $ Cov Y, = $ g $ [ $ gexp E $ $ E $ $ g ] $ = $ exp $ $ {[ $ exp $ e $ $ ]exp e $ $ + exp $ }. Wdzmy, że zmenne losowe Y, Y o łącznym rozkładze prawdopodobeńswa ZIP-CP są skorelowane ujemne, jeśl [ $ exp $ e $ $ ]exp e $ < $ exp $, są skorelowane dodano, jeśl [ $ exp $ e $ $ ]exp e $ > $ exp $, 3 są neskorelowane, jeśl [ $ exp $ e $ $ ]exp e $ = $ exp $. W przypadku = g = exp, czyl brzegowego rozkładu Possona dla Y, kóry przyjęl Berkhou Plug 4, Plug skomp 4, skomplkowana formuła kowarancj 8 sprowadza sę do znaczne prosszej posac 7, gdze znak kowarancj zależy jedyne od znaku sałej a. W pozosałych przypadkach, j. gdy brzegowy rozkład dla Y jes ypu ZIP, znak kowarancj zależy od warośc przyjmowanych przez m a a ne ylko od znaku ej drugej sałej. Oczywśce, konkrena warość kowarancj w rozkładze ZIP-CP a ne sam jej znak oraz warość współczynnka korelacj 9 zależą od wszyskch sałych wysępujących w funkcj prawdopodobeńswa ego rozkładu, j. od c, m, m a. Zauważmy eż, że zwększene prawdopodobeńswa zerowej warośc Y w sosunku do rozkładu Possona o warośc oczekwanej warancj m, czyl

6 przyjęce rozkładu ZIP z c > g, prowadz do warancj 6 wększej nż warość oczekwana. Zaem rozkład ZIP-CP umożlwa modelowane zwększonej warancj obu obserwowanych zmennych lcznkowych, chocaż ne są one rakowane symeryczne. 3. MODEL STATYSTYCZNY TYPU ZIP-CP Rozważamy T sochasyczne nezależnych dwuwymarowych zmennych losowych Y, Y ; =,,...,T o różnych rozkładach ypu ZIP-CP posac Pr { Y =, = j} = g h j,, j N {}, $ dla =, Pr { Y = } = g = % g % g Pr { Y j Y } h j, exp[ dla & N g = exp %' ' /, ; j Pr { = j Y = } = h j, = exp[ exp ] exp j / j, 3 = exp x, = exp w, $ = exp % e = exp % exp + x, 4 gdze x w są werszam warośc zmennych objaśnających, kóre mogą sę pokrywać w częśc lub w całośc. Zmenne objaśnające określają prawdopodobeńswa pojawena sę poszczególnych warośc zmennych Y Y, a wpływ zmennych objaśnających na e prawdopodobeńswa jes deermnowany welkoścą poszczególnych składowych kolumn b b oraz welkoścą parameru d, przy czym paramer d decyduje o welkośc odchylena prawdopodobeńswa, że Y =, od warośc wynkającej z rozkładu Possona. W ak określonym paramerycznym modelu saysycznym wekor paramerów jes kolumną grupującą d, a, b b. Zauważmy, że momeny rozkładu łącznego pary Y, Y, podane w poprzednej częśc pracy, zależą eraz od zmennych objaśnających. W leraurze specyfkacja opara na wzorze jes nazywana modelem płokowym ang. hurdle model; zob. Cameron Trved 5, s. 68. Porównane ej specyfkacj z orygnalnym modelem ZIP podaje Wnkelman 8. Głównym zaleam naszej propozycj są prosoa parameryzacj sąd względna ławość esymacj, a zwłaszcza prosoa esowana zasadnośc redukcj nowego

7 modelu do sandardowego modelu Possona. Porównywane orygnalnego modelu ZIP ze sandardowym modelem Possona nasręcza problemy zwązane ze specyfkacjam hpoezam nezagneżdżonym; zob. Wnkelman 8, sr. 88. Jeśl zaobserwowano Y = y Y = y =,,...,T, o odpowadająca ym waroścom funkcja warygodnośc ma posać L & = $ $ % : y = % : > ' y g & ' ; y h y, g y h y, y gdze y oznacza macerz macerz xt xt zaweraj%c% zawerającą zaobserwowane waroc warośc zmen zmennych Y Y. W emprycznych zasosowanach ego modelu ważne jes ne yle wnoskowane o = d, a, b b, le raczej o welu nelnowych funkcjach parameru akch, jak prawdopodobeńswa łączne, brzegowe warunkowe różnych warośc pary Y, Y oraz momeny nne charakerysyk jej rozkładu. Małopróbkowe wnoskowane zarówno o, jak nelnowych funkcjach, możlwe jes na grunce saysyk bayesowskej, kórej podsawy przykłady zasosowań w emprycznych badanach ekonomcznych prezenują np. Osewalsk, Osewalsk Pajor. Jak wadomo, podejśce bayesowske sprowadza sę do określena na przesrzen paramerów mary probablsycznej lub przynajmnej v skończonej zwanej rozkładem a pror, a nasępne wykorzysana funkcj warygodnośc do uzyskana rozkładu a poseror paramerów warunkowego względem danych reprezenującego końcową wedzę o. W szczególnośc ważnym zadanem jes określene kerunku sły korelacj mędzy Y Y, czyl podane dla danego prawdopodobeńswa a poseror ujemnej korelacj, j. warunku [ $ exp $ e $ $ ] exp e $ < $ exp $, oraz prezenacja pełnego a poseror rozkładu wspóczynnka a poseror współczynnka korelacj o ogólnej korelacj posac o ogólnej posac 9. Dodakową możlwoścą jes formalne bayesowske porównane emprycznej adekwanośc dwóch nezagneżdżonych model ZIP-CP, odpowadających zamane kolejnośc zmennych objaśnanych czyl ch numeracj. Swarza o nowe pole badań saysycznych. Badane adekwanośc prosszego modelu P-CP, kóry zaproponowal Berkhou Plug 4, sprowadza sę w ramach specyfkacj -4 do esowana prosej hpoezy d = ; można o przeprowadzć formalne porównując czynnk Bayesa dwóch nezagneżdżonych model z d = d lub użyć neformalnego, ale prosszego, esu ypu Lndleya w ogólnejszym modelu, dopuszczającym dowolną rzeczywsą warość d. Dodajmy, że d > d < oznacza prawdopodobeńswo zerowej warośc zmennej Y mnejsze wększe nż w modelu Possona. Zaem ważną kwesą jes oblczene prawdopodobeńswa a poseror akej syuacj. Aby określć bayesowsk model ypu ZIP-CP, należy przyjąć rozkład a pror wekora. W perwszej pracy doyczącej akego modelu proponujemy założyć, 5

8 nezależność a pror paramerów dla każdego ndywdualne przyjąć sandardowy rozkład normalny N,. Zerowe warośc oczekwane a pror oznaczają, że najwększą szansę dajemy wsępne najprosszemu modelow, w kórym {Y } {Y } są nezależnym od sebe próbam losowym prosym z dwóch rozkładów Possona. Jednoskowe odchylena sandardowe a pror dają gwarancję, że specyfkacje odległe od ej najprosszej mają bardzo sone wsępne szanse. Wydaje sę, że ak prosy łączny rozkład a pror nese słabą ylko wedzę wsępną ne jes bardzo nformacyjny gwaranuje ławość symulacj Mone Carlo z rozkładu a poseror, ale jego konkrena rola nformacyjna w sosunku do funkcj warygodnośc oraz wrażlwość rozkładu a poseror są kwesam emprycznym, kóre należy badać odrębne dla każdego analzowanego zesawu dwuwymarowych danych lcznkowych. 4. PRZYKŁAD EMPIRYCZNY W celu lusracj emprycznej przydanośc zaproponowanego modelu saysycznego ypu ZIP-CP oraz możlwośc, jake daje jego analza bayesowska, wykorzysamy dane, kóre Polask, Marzec, Fszeder Górka badal sosując model prosszy P-CP, szacowany meodą najwększej warygodnośc. Dane przedsawają lczbę płanośc goówką karą płanczą dokonanych w mesącu przez T = 9 osób, kóre w paźdzernku lsopadze roku oraz w sycznu roku ankeował Penor. Wymenen auorzy uzyskal analzowal e dane w ramach projeku badawczego fnansowanego przez Narodowy Bank Polsk w roku. Wynk e wskazywały na dodaną korelację mędzy lczbą płanośc goówką karą płanczą. Obecne sprawdzmy, czy zasąpene brzegowego rozkładu Possona jednej zmennej rozkładem ypu ZIP jes empryczne zasadne, a uzmennene w en sposób możlwego znaku korelacj mędzy zmennym wskaże na ujemną korelację mędzy lczbą płanośc goówką karą dla przynajmnej częśc respondenów. W nnejszych badanach, o charakerze przede wszyskm meodycznym, wykorzysujemy dane surowe, zn. bez ndywdualnych wag uwzględnających reprezenaywność poszczególnych obserwacj respondenów wchodzących w skład próby; Polask, Marzec, Fszeder Górka użyl danych ważonych. W Tabel podajemy zmenne objaśnające ch ypowe warośc, j. średne w przypadku zmennych cągłych najczęssze dla zmennych dychoomcznych. W Tabel przedsawamy dwuwymarowy rozkład empryczny lczby płanośc goówką karą oraz jego rozkłady brzegowe. Średna lczba płanośc goówką wynos,5 warancja jes równa 99, średna lczba płanośc karą wynos 5 przy warancj 45, korelację empryczną zaś charakeryzuje współczynnk równy,8, wskazujący na brak lnowej zależnośc mędzy lczbą pła-

9 3 Tabela Informacje sumaryczne o zmennych objaśnających Zmenna objaśnająca Średna/ modalna Płeć -mężczyzna, -kobea Wek w laach 4 San cywlny -żonay lub zamężna, -ne Mejsce zameszkana -maso, weś Mesęczny dochód w rodzne w ys. zł 3,5 Wykszałcene laa nauk,5 Czy posada nerne -ak, -ne Źródło: opracowane własne. nośc karą Y goówką Y. Dla obu zmennych obserwujemy empryczną warancję zwększoną w sosunku do średnej. Ponado można zauważyć różnce mędzy rozkładam brzegowym, j. empryczny rozkład Y jes przesunęy na prawo na os nośnka rozkładu względem p emp y, zn. warość modalna medana dla lczby ransakcj goówką są wększe nż dla płanośc karą. Dla ej osanej formy płanośc obserwuje sę dużą frakcję zer 34%, kóra konrasuje z nskm około,7 prawdopodobeńswem zera, oblczonym z rozkładu Possona o warośc oczekwanej równej średnej z próby czyl 5. Dla płanośc goówką frakcja zer wynos około %, co przewyższa prawdopodobeńswo z rozkładu Possona równe zaledwe -9. W obu przypadkach wskazuje o na porzebę zasosowana rozkładów z nadwyżką zer. Uwzględnamy e same zmenne objaśnające dla obu zmennych lcznkowych, a zaem borąc pod uwagę wyrazy wolne w regresjach possonowskch b b są kolumnam 8-wymarowym, naomas wekor wszyskch paramerów jes kolumną 8-wymarową. Przypomnjmy, że ma łączny normalny rozkład a pror o waroścach oczekwanych jednoskowej macerzy kowarancj. Próbę zależną z 8-wymarowego rozkładu a poseror symulujemy za pomocą sekwencyjnego łańcucha Meropolsa Hasngsa M-H, j. meody z grupy MCMC Markov Chan Mone Carlo. W przypadku obu model M : Y oznacza lczbę płanośc karą a Y lczbę płanośc goówką, M : na odwró przeprowadzono 5 ysęcy losowań rakowanych jako próba z rozkładu a poseror. Wcześnej wykonano klka mlonów losowań wsępnych spalonych, badając m.n. wrażlwość algorymu M-H na jego punky sarowe w przesrzen paramerów. Na Wykrese przedsawono zbeżność przyjęego łańcucha M-H do rozkładu a poseror w modelu M, kóra jes zadawalająca z uwag na szybko sablzujący sę dla wszyskch paramerów przebeg zw. sandaryzowanych saysyk sum skumulowanych CuSum, zn. średnch arymeycznych z poszczególnych

10 4 Empryczny łączny rozkład lczby płanośc goówką karą oraz jego rozkłady brzegowe Transakcje karą Y p emp y p emp y,y ;5] 5;] ;5] 5;] 5;3] >3 6 ;5] ;] ;5] ;] ;5] 5;3] 3;35] 35;4] 4;45] 45;5] > Tabela p emp y srukura % % % 6% % 9% 7% 6% 5% 3% 3% 6% srukura 34% 33% 8% 7% 4% % % Źródło: opracowane własne. Transakcje goówką Y

11 losowań sandaryzowanych końcowym waroścam średnch odchyleń sandardowych. W przypadku drugego modelu zasosowany algorym akże okazał sę efekywnym narzędzem numerycznym. 5, 3,5 Wykres. Wykres Zbe$no. Zbe$no saysyk CuSum saysyk w CuSum modelu w Mmodelu. M. saysyk CuSum w modelu, M.,,,5,5,5,, ,5,5,5 3 -, ,5 -,5 -, , -, -,5 -, -,5.ródo: opracowane wasne. Źródło: opracowane własne. -, -, Lczba losowa 3 Lczba losowa 3 Perwsz% kwes%, kór% nale$y podda emprycznej Lczba losowa weryfkacj, jes wybór jednej Wykres. Zbeżność saysyk CuSum w modelu 3 M z dwóch Lczba alernaywnych losowa.ródo: 3 opracowane.ródo: specyfkacj opracowane wasne. Mwasne., M modelu saysycznego ypu ZIP-CP. Waro wasne. przypomne, Perwsz% Perwszą $e prawdopodobeswo kwesą, kórą należy a poddać poseror modelu M =, jes wyra$a, zgodne Perwsz% kwes%, kwes%, kór% nale$y kór% podda nale$y podda emprycznej emprycznej weryfkacj, weryfkacj, jes wybór jes jednej wybór jedn z wzorem jednej Bayesa, z dwóch formua alernaywnych specyfkacj M, M modelu saysycznego nale$y podda z dwóch emprycznej z alernaywnych dwóch alernaywnych weryfkacj, specyfkacj specyfkacj jes M wybór, M M jednej modelu, M saysycznego modelu saysycznego ypu ZIP-CP. ypu ZIP-CP. Waro War ypu ZIP-CP. Waro przypomneć, że prawdopodobeńswo a poseror modelu M yfkacj M przypomne, $e prawdopodobeswo a poseror modelu M =, wyra$a, zgodne, M przypomne, modelu saysycznego $e prawdopodobeswo ypu ZIP-CP. Waro a poseror modelu M p y M p M =, wyra$a, zgodn =, wyraża, zgodne z wzorem Bayesa, formuła obeswo z a wzorem poseror z Bayesa, wzorem modelu formua Bayesa, p M y M formua = =, wyra$a, zgodne. 6 p y M p M + p y p M p y M p M y = p y M p M p Mo$na przyj% równe szanse a pror, M. 6 6 p y y M =. 6 p y M p M p M =,5, + bo ybrak M jes eoreycznych przesanek do =. p y M6 p M + p y M p M pfaworyzowana y MMo$na p Mprzyj% + kórego p y Mrówne pmodelu. szanse M a Do pror, porównana p M wysarczy w&c czynnk Bayesa, czyl loraz Można Mo$na przyjąć przyj% równe równe szanse szanse a a pror, =,5, p Mbo brak jes eoreycznych przesanek do brzegowych faworyzowana g&soc kórego wekora modelu. obserwacj Do porównana BF = wysarczy y =,5, =,5, bo bo brak brak jes jes eoreycznych eoreycz- przesanek d a pror, M / pw&c y Mczynnk ; zob. Bayesa, Osewalsk czyl loraz, p Mnych =,5, faworyzowana przesłanek bo brak jes do kórego eoreycznych faworyzowana modelu. przesanek kóregoś Do porównana do modelu. wysarczy Do porównana w&c czynnk wysarczy węc 9. brzegowych wysarczy g&soc czynnk Wynk w&c g&soc wekora Bayesa, prezenujemy czynnk wekora obserwacj czyl Bayesa, loraz obserwacj w czyl BF brzegowych Tabel = loraz p y3. BF M= Bayesa, czyl lora lu. Wróblewska Do porównana brzegowych gęsośc / p py ym ; zob. Osewalsk, / wekora p y M obserwacj ; zob. Osewalsk obserwacj Model Wróblewska BF M= Wróblewska p jes y9. M klkase Wynk rz&dów prezenujemy welkoc w Tabel lepszy 3. od M skupa prawe ca% mas& / p 9. y M ; zob. Wynk Osewalsk prezenujemy, w Wróblewska Tabel Wynk prezenujemy w Tabel Model 3. w Tabel M 3. jes klkase rz&dów welkoc lepszy od M skupa prawe ca% mas prawdopodobeswa Model M jes a klkase poseror; rz&dów prawdopodobeswo welkoc lepszy od a Mposeror skupa modelu prawe ca% M mas& wynos rezenujemy rz&dów prakyczne welkoc prawdopodobeswa Model zero. prawdopodobeswa lepszy MPrzewaga a poseror; modelu a poseror; Mprawdopodobeswo w opse prawdopodobeswo badanego a poseror zjawska a poseror modelu jes zdecydowana. modelu M wynos od jes Mklkase skupa rzędów prawe welkośc ca% lepszy mas& od M skupa prawe całą masę M wyno ror; W uzupenenu prawdopodobeswo prakyczne prakyczne podajemy zero. Przewaga zero. dla Przewaga obu modelu model modelu M waroc w opse M funkcj badanego warygodnoc zjawska jes zdecydowana. L prawdopodobeńswa a poseror a poseror; modelu prawdopodobeńswo M wynos w opse badanego a poseror zjawska modelu jes ˆ NW ; zdecydowan y, zob. W uzupenenu podajemy dla obu model waroc funkcj warygodnoc L M ˆ modelu y wzór M5, dla W uzupenenu ocen najw&kszej podajemy warygodnoc, dla obu model waroc kóre zosay funkcj wyznaczone warygodnoc NW ;, zob. w L w opse badanego zjawska jes zdecydowana. ˆ ramach NW ; y, zo obu model wzór waroc 5, dla ocen najw&kszej warygodnoc, kóre zosay wyznaczone numerycznej realzacj wzór funkcj 5, algorymu dla warygodnoc ocen M-H. najw&kszej L ˆ Dla NW ; modelu warygodnoc, y, zob. orzymano kóre zosay L w ramach ˆ wyznaczone NW ; y =55 35, w a dla ramac numerycznej realzacj algorymu M-H. Dla modelu M orzymano L kszej warygodnoc, ˆ numerycznej kóre zosay realzacj wyznaczone algorymu w M-H. ramach Dla modelu M NW ; y =55 35, a dla drugej drugej specyfkacj specyfkacj najw&ksza najw&ksza waro waro funkcj funkcj warygodnoc warygodnoc bya bya orzymano L ˆ y n$sza, n$sza, bowem bowem NW ; =55 35, a d wynosa wynosa mu M-H. Dla modelu drugej M specyfkacj najw&ksza waro funkcj warygodnoc bya n$sza, bowem wynos Z 6. nebayesowskego orzymano L ˆ y Z nebayesowskego punku NW ; =55 35, a dla punku wdzena wdzena wynk wynk porównana model opary opary na na kryerum kryerum Z nebayesowskego punku wdzena wynk porównana model opary na kryerum

12 6 wynos prakyczne zero. Przewaga modelu M w opse badanego zjawska jes zdecydowana. zdecydow W uzupełnenu podajemy dla obu model warośc funkcj warygodnośc L ˆ NW ; y, zob. wzór 5, dla ocen najwększej warygodnośc, kóre zosały wyznaczone zone w wyznaczon ra w ramach numerycznej realzacj algorymu M-H. Dla modelu M orzymano L ˆ NW ; y = 55 35, a dla drugej specyfkacj najwększa warość funkcj warygodnośc n$sza, bow była nższa, bowem wynosła Z nebayesowskego punku wdzena wynk porównana model opary na kryerum nformacyjnym kórymkolwek akże wskazuje na adekwaność modelu M w konekśce M. Waro wspomneć, że z uwag na nesandardową posać modelu 4 zasosowane deermnsycznych procedur opymalzacj funkcj warygodnośc spokało sę z ogromnym problemam oblczenowym. Numeryczne narzędza analzy bayesowskej okazują sę zaem przydane akże w esymacj meodą najwększej warygodnośc. Tabela 3 Brzegowe gęsośc wekora obserwacj prawdopodobeńswa a poseror obu model Model y M M : Y lczba płanośc karą, Y goówką M : Y lczba płanośc goówką, Y karą ln p 558,3 544,8 Log BF 467 Czynnk Bayesa BF p M,5,5 M y p opracowane Źródło: opracowane własne. Z uwag na wynk porównań model, dalsze rozważana naury nerpreacyjnej będą operać sę na M, a wynk dla drugego modelu będą mały charaker uzupełnający. W Tabel 4 podano warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror paramerów naszej dwuwymarowej regresj ypu ZIP-CP. W M wszyske zmenne objaśnające sone wpływają na lczbę płanośc goówką, naomas ylko posadane nerneu, wykszałcene dochód powodują znaczące zróżncowane lczby płanośc karą. Oceny paramerów błędy szacunku, kóre podają Polask, Marzec, Fszeder Górka, są bardzo zblżone do bayesowskch warośc oczekwanych odchyleń sandardowych a poseror prezenowanych w ej pracy mmo, że w naszych badanach lczba zmennych objaśnających jes ponad dwukrone mnejsza. Brzegowy rozkład a poseror parameru d Wykres pokazuje, że redukcja modelu ZIP-CP do P-CP jes bezza-

13 sadna, gdyż prawdopodobeńswo zerowej lczby płanośc goówką jes sone wększe nż wynkałoby o z rozkładu Possona. Warość oczekwana a poseror dla d wynos -,876 przy odchylenu sandardowym,4. Warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror paramerów model 7 Tabela 4 Model M M Zmenna/paramer E y D y E y D y,99,98 -,59, Płeć -,45,5,6,6 płanośc karą płanośc goówką Wek -,, -,7, San cywlny -,47,9,56,3 Mejsce zameszkana -,7,8,77,3 Dochód,5,,94, Wykszałcene,56,6,89,6 Inerne,36,39,558,4,86,49,83,48 Płeć -,,3 -,93,3 Wek,8,,8, San cywlny -,58,5 -,5,4 Mejsce zameszkana,45,5,33,5 Dochód,6,6,9,5 Wykszałcene -,8,3 -,4,3 Inerne -,85,6 -,66,6 a,4,,3,7 d -,876,4 -,638,53 Źródło: opracowane własne. Zaem rozkład en uległ znacznemu przesunęcu w sosunku do rozkładu a pror jednocześne zmnejszyło sę jego rozproszene. Dla a charakerysyk e wynoszą odpowedno,4,, wskazując na sone dodaną zależność warunkowej średnej lczby płanośc karą od lczby płanośc goówką. Brzegowy rozkład a poseror parameru a Wykres 3 jes prakyczne ogranczony do przedzału,6;,76, czyl zawera sę w przedzale o wysokej gęsośc a pror, jednakże nformacje z próby spowodowały uzyskane rozkładu o znacząco mnejszym rozproszenu.

14 8,6,4 palfa y,,8,6,4, alfa,,6,,4,9,3,7,3,35,39,43,47,5,56,6,64,68,7,76,8 Źródło: opracowane własne. Wykres. Brzegowy rozkład a poseror parameru a,5 dela, pdela y,5,,5 -,5 -,3 -, -, -,98 -,96 -,94 -,93 -,9 -,89 -,88 -,86 -,84 -,83 -,8 -,79 -,77 -,76 -,74 -,7 Źródło: opracowane własne. Wykres 3. Brzegowy rozkład a poseror parameru d

15 9 pcorr_mn y pcorr_med y pcorr_max y,,4,6,8,,,4,6,8, Źródło: opracowane własne. Wykres 4. Rozkłady a poseror próbkowych korelacj dla wybranych obserwacj Osewalsk dowodz, że w modelu ypu ZIP-CP dodaność parameru a ne mus oznaczać dodanej korelacj próbkowej zmennych objaśnanych jak o jes w modelu P-CP. Rozkłady a poseror próbkowych korelacj rzech par Y, Y ych, dla kórych warość oczekwana a poseror współczynnka korelacj jes najmnejsza, przecęna w sense medany najwększa są pokazane na Wykrese 4. Dowodzą one słabej, ale jedyne dodanej korelacj mędzy lczbam płanośc goówką karą. Zasosowane modelu bardzej adekwanego, j. ypu ZIP-CP zamas P-CP, ne zmena pod ym względem wymowy wynków, kóre podal Polask, Marzec, Fszeder Górka. 5. PODSUMOWANIE Zaproponowane uogólnene modelu P-CP okazało sę uzasadnone w przypadku wsępnych badań doyczących preferencj polskch konsumenów w wyborze meod płanośc. Wskazuje o na adekwaność model ypu ZIP-CP w syuacjach, gdy obserwuje sę nadwyżkę bądź deflację obserwacj zerowych lub gdy dwe zmenne lcznkowe, oddające rezulay decyzj konsumenów, są ze sobą poencjalne skorelowane ujemne albo dodano. Podejśce bayesowske pozwolło na esymację paramerów rozważanych model bez odwoływana sę do aproksymacj asympoycznych. Bayesowske porównywane mocy wyja-

16 śnającej konkurencyjnych nezagneżdżonych model formalne powerdzło wsępne wnosk uzyskane we wcześnejszych badanach, a doyczące wyboru jednej z dwóch alernaywnych specyfkacj saysycznych w konekśce zaobserwowanych danych. Ineresującym kerunkem dalszych badań jes zasosowane dwuparamerowej rodzny rozkładów Possona generalzed Posson dsrbuon; zob. Consul Jan 973, Famoye Sngh 6 dla brzegowego rozkładu zmennej Y bądź akże dla rozkładu warunkowego drugej zmennej. BIBLIOGRAFIA Berkhou P., Plug E. 4, A bvarae Posson coun daa model usng condonal probables, Sasca Neerlandca vol. 58, Cameron A. C., Trved P. K. 998, Regresson Analyss of Coun daa, Cambrdge Unversy Press, New York. Cameron A. C., Trved P. L. 5, Mcroeconomercs: Mehods and Applcaon, Cambrdge Unversy Press, New York. Consul P. C., Jan G. C. 973, A Generalzaon of he Posson Dsrbuon, Technomercs 5, s Famoye F., Sngh K. P. 6, Zero-Inflaed Generalzed Posson Regresson Model wh an Applcaon o Domesc Volence Daa, Journal of Daa Scence, 4, s Kocherlakoa S., Kocherlakoa K. 99, Bvarae Dscree Dsrbuons, Marcel Dekker, New York. Lamber D. 99, Zero-nflaed Posson regresson, wh an applcaon o defecs n manufacurng, Technomercs 34, s. 4. Marzec J., Wybrane dwuwymarowe modele dla zmennych lcznkowych w ekonom, Zeszyy Naukowe Unwersyeu Ekonomcznego w Krakowe Meody Analzy Danych nr 884, s Osewalsk J., Ekonomera bayesowska w zasosowanach, Wydawncwo Akadem Ekonomcznej w Krakowe, Kraków. Osewalsk J., Dwuwymarowy rozkład ZIP-CP jego momeny w analze zależnośc mędzy zmennym lcznkowym, [w:] Spokana z królową nauk Ksęga jubleuszowa dedykowana Profesorow Edwardow Smadze, red. A. Malawsk J. Taar, Wydawncwo Unwersyeu Ekonomcznego w Krakowe, Kraków, s Osewalsk J., Pajor A., Bayesan Value-a-Rsk for a Porfolo: Mul- and Unvarae Approaches Usng MSF-SBEKK Models, Cenral European Journal of Economc Modellng and Economercs, s Polask M., Marzec J., Fszeder P., Górka J., Modelowane wykorzysana meod płanośc dealcznych na rynku polskm, Maerały Suda nr 65, NBP, Warszawa. Wnkelman R. 8, Economerc Analyss of Coun Daa, Sprnger-Verlag, Berln Hedelberg. Wróblewska J. 9, Bayesan Model Selecon n he Analyss of Conegraon, Cenral European Journal of Economc Modellng and Economercs, s