Fizyka dla Informatyki Stosowanej

Transkrypt

1 Fizya dla Infomatyi Stosowanej Jace Gola Semest zimowy 08/09 Wyład n 0

2 Na popzednim wyładzie opócz ładunów w póżni, ozważaliśmy pzewodnii, czyli substancje o nieoganiczonym zapasie swobodnych ładunów! Najważniejsze elementy ostatniego wyładu to Twiedzenie Gaussa i dywegencja natężenia pola eletycznego Rotacja natężenia pola eletycznego Potencjał eletyczny Równania Poissona i Laplace a Paca pzy pzesunięciu ładunu w polu eletycznym negia uładu ładunów eletycznych óżne wzoy!) Linie pola eletycznego oaz linie i powiezchnie ewipotencjalne Sposoby ozwiązywania ównania Laplace a noteboo) Dzisiaj wpowadzimy do pola eletycznego inny odzaj mateii izolatoy inaczej dieletyi) Część ysunów zapożyczyłem z wyładu pofesoa Reinhada Kulessy.

3 Więszość ciał, z jaimi mamy do czynienia można podzielić na pzewodnii oaz izolatoy inaczej dieletyi). Pamiętamy, że pzewodnii są substancjami o nieoganiczonym zapasie ładunów, tóe mogą się swobodnie pzemieszczać po całej objętości pzewodnia. W dieletyach wszystie ładuni są związane z onetnymi atomami lub cząsteczami i mogą się tylo nieznacznie pzemieszczać wewnątz atomu lub cząsteczi. Istnieją dwa podstawowe mechanizmy, dzięi tóym pole eletyczne może zmieniać ozład ładunu w atomie lub cząsteczce: ozciąganie i obacanie. Aby mówić o polu eletycznym w dieletyach, należy znać definicję i podstawowe własności dipola eletycznego!

4 Dipol eletyczny to uład dwóch ładunów puntowych o pzeciwnych znaach ozsuniętych na pewną odległość. d q p q d q moment dipolowy

5 Ja zachowuje się dipol w jednoodnym polu eletycznym? d + F q F -q - Siła wypadowa jest ówna zeo, ale wypadowy moment siły możemy go liczyć względem dowolnego puntu, bo siła wypadowa jest ówna zeo) jest óżny od zea! M d F q d ) qd ) p

6 Dipol swobodny ustawia się ównolegle do ieunu pola eletycznego. Aby obócić dipol, należy wyonać pacę! Dipol w jednoodnym polu eletycznym posiada enegię potencjalną, V=Vϕ), zależną od ustawienia jego momentu dipolowego względem natężenia pola eletycznego: V ) p

7 Dipol w niejednoodnym polu eletycznym y F - - d + F x W tym pzypadu nie tylo wypadowy moment siły, ale taże sama wypadowa siła jest óżna od zea! F F F 0 Dla małych ozmiaów dipola możemy zapisać wypadową siłę w pzy pomocy opeatoa nabla: F p

8 Dipol w niejednoodnym polu eletycznym jest więc wciągany w obsza silniejszego pola. w danym pzypadu w lewo!) - l + Dlaczego pojęcie dipola eletycznego jest ta ważne w onteście dieletyów?

9 Pzyjmijmy posty model atomu: dodatni ładune puntowy w śodu jednoodnego sfeycznego obłou ładunu ujemnego o stałej gęstości objętościowej i pomieniu a. Co się stanie, jeśli tai uład umieścimy w polu eletycznym? Nastąpi pzesunięcie dodatniego ładunu puntowego +q względem chmuy ujemnego ładunu, pzy czym załadamy, że nie nastąpi zmiana ształtu samej chmuy ładunu ujemnego. zew q 0 zew q 0 q q Waune ównowagi: siła działająca na +q ze stony zew jest ówna sile działającej na +q ze stony chmuy ładunu ujemnego.

10 zew zew p chmuy q a qd 3 d a 3 zew SI ) 4 a 0 3 zew Pzy pzyłożeniu zewnętznego pola eletycznego powstaje moment dipolowy. Stałą popocjonalności w ównaniu p zew nazywamy polayzowalnością atomową. W tym postym modelu Wiemy z pawa Gaussa, jaie jest pole eletyczne wewnątz jednoodnej ulistej chmuy ładunu Dla zeczywistych atomów podaje się zwyle watości iloczynu α. Zmieniają się one od ułama He,Ne,H), popzez ila A,C,Be) do iludziesięciu Na,Li,K,Cs) x 0-30) m 3. a 3 SI ) 4 a 0 3

11 Dla wielu cząstecze np. dla CO ) posta popocjonalność między wetoami momentu dipolowego oaz natężeniem zewnętznego pola eletycznego, nie jest spełniona. p zew, W ogólnym pzypadu α może być maciezą, a wetoy p i zew nie muszą być ównoległe! p p p x y z xx yx zx xy yy zy xz yz zz zew, x zew, y zew, z ij to współzędne symetycznego tensoa polayzowalności cząsteczi

12 Pewne cząsteczi np. H O) mają własny niezależny od pola zewnętznego) moment dipolowy. Cząsteczi taie nazywamy polanymi. Cząstecza wody ma wyjątowo duży moment dipolowy: p Cm H + - O 05 0 H + Cl - H + Dalsze pzyłady substancji, tóych cząsteczi posiadają twały moment dipolowy to: CO, SO, HCl, NH 3, C H 5 OH. Pod wpływem pola eletycznego momenty dipolowe cząstecze ustawiają się zgodnie z ieuniem pola.

13 Zaówno w pzypadu, gdy zewnętzne pole eletyczne wytwaza inaczej induuje) dipole eletyczne w atomach lub cząsteczach dieletya, ja i w pzypadu, gdy już istniejące momenty dipolowe są ustawiane zgodnie z polem, efet jest ten sam: W mateiale pojawia się wiele małych dipoli, sieowanych zgodnie z ieuniem pola eletycznego, czyli mateiał staje się spolayzowany! Mały ale maosopowy) fagment dieletya może posiadać moment dipolowy. Polayzacją eletyczną weto oznaczany liteą P) nazywamy moment dipolowy na jednostę objętości. Zasada działania dieletya: Dielety w polu eletycznym staje się zbioem dipoli eletycznych. Ale ażdy dipol eletyczny wytwaza z olei własne pole eletyczne. To wypadowe pole eletyczne dipoli dieletya zmienia wyjściowe pole eletyczne i musi być uwzględnione pzy oeśleniu ońcowego pola eletycznego w dieletyu!

14 d O q q P Najpiew policzmy potencjał eletyczny pochodzącego od pojedynczego dipola eletycznego: 3 cos ) p qd q q q V

15 p O P Jeśli śode dipola nie znajduje się w początu uładu współzędnych, to popzedni wyni tzeba uogólnić. ) 3 p p V iloczyn salany momentu dipolowego i gadientu pewnej funcji. Uwaga: w tym gadiencie pochodne są liczone po zmiennych pimowanych!

16 Teaz, wyozystując wzó na potencjał eletyczny pochodzący od pojedynczego dipola eletycznego oaz definicję polayzacji eletycznej możemy policzyć potencjał eletyczny od awała spolayzowanego mateiału, czyli ciągłego ozładu momentu dipolowego w ścisłej analogii do potencjału eletycznego pochodzącego od ciągłego ozładu ładunu eletycznego: dp S O V P ) dp moment dipolowy elementu objętości P ) P ) d 3 d 3

17 Pzepiszemy wzó do innej postaci, ozystając z tójwymiaowej wesji twiedzenia o pochodnej iloczynu ) ) ) ) ) ) ) d P d P d P P d P V To jest cała po objętości z dywegencji; ozystając z twiedzenia Gaussa można ją zamienić na całę powiezchniową Ta cała ma postać wzou na potencjał od objętościowego ozładu ładunu

18 Dochodzimy do wniosu, że awałe spolayzowanej mateii zachowuje się ta ja pewien ozład ładunu powiezchniowego na bzegu obszau Ω oaz ozład ładunu objętościowego wewnątz obszau Ω! ) ) ) ) ) ) 3 3 d ds d P ds P V P S P S Ta wielość pełni olę gęstości powiezchniowej tzw. ładunu związanego Ta wielość pełni olę gęstości objętościowej tzw. ładunu związanego ) ) ) ) div P P P n P P ˆ ) )

19 Pzy jednoodnym wetoze polayzacji wewnątz dieletya może nieiedy zachodzić ρ P = 0. Dipole na powiezchni zewnętznej nie mają patneów, by zniwelować wystające ładuni: div 4 P 4 div P div P 4 D SI ) div Jeśli mamy dieletyi w polu eletycznym, to opócz ładunów odosobnionych i ładunów na pzewodniach, źódłami pola eletycznego są taże ładuni związane w dieletyu! P 0 swobodnego D weto inducji eletycznej

20 Mamy więc pawo Gaussa dla wetoa inducji eletycznej w postaci óżniczowej: div D, a taże w postaci całowej S D ds Q swobodny całowity ładune swobodny wewnątz zamniętej powiezchni S

21 Dieletyi liniowe W dalszym ciągu wyładu będziemy zajmować się mateiałami, dla tóych polayzacja jest popocjonalna do natężenia pola eletycznego: P 4 e SI ) 0 e podatność eletyczna ośoda wielość bezwymiaowa) Uwagi: Podatność eletyczna nie musi być liczbą; dla yształu to zwyle jest tenso pzedstawiany w postaci maciezy jest natężeniem całowitego pola eletycznego, pochodzącego od ładunów swobodnych i polayzacji!

22 dane z Wiipedii Dla dieletyów liniowych mamy więc: D 0 P 0 0 e 0 e substancja pzenialność eletyczna ośoda względna pzenialność eletyczna ośoda dawniej: stała dieletyczna)

23 dane z Wiipedii substancja KTaNBO o C) Giffiths, stona 08

24 swobodny S Q ds D Ja natężenie pola eletycznego zależy od ϵ? Jeśli mamy poblem o jasnej symetii, to można i wystaczy sozystać z pawa Gaussa : Pzyład n : pojedynczy ładune w pzestzeni całowicie wypełnionym dieletyiem liniowym Q pozni swobodny swobodny swobodny S Q D Q D Q ds D ) ˆ 4 ) ˆ 4 ) 0 0 Natężenie pola eletycznego zmniejsza się ϵ azy w stosunu do natężenia pola eletycznego w póżni.

25 D Q ds D swobodny S 0 Pzyład n : Pzewodząca ula o pomieniu a i naładowana ładuniem Q jest otoczona powłoą z dieletya o gubości b-a) o względnej pzenialności ośoda ϵ. Wystaczą dwa wzoy: Q Q D b Q Q D b a D a ˆ 4 ) ˆ 4 ) ˆ 4 ) ˆ 4 ) 0 0 Q b a Powiezchnie Gaussa są sfeami

26 Ja w tym poblemie ozłożone są ładuni? ) Wewnątz pzewodnia nie ma żadnego ładunu ) Na powiezchni pzewodzącej uli mamy stała gęstość powiezchniową ładunu swobodnego olo czany) swob, a Q 4 a 3) Na wewnętznej powiezchni dieletya o pomieniu a mamy gęstość powiezchniową ładunu związanego olo żółty) 4) Wewnątz dieletya nie ma żadnego ładunu związanego 5) Na zewnętznej powiezchni dieletya o pomieniu b mamy gęstość powiezchniową ładunu związanego olo czewony) zw, a 0 eq 4 a zw, b 0 eq 4 b Q

27 Pzyład n 3: Pzestzeń między oładami ondensatoa płasiego wypełniona została dieletyiem liniowym o względnej pzenialności ośoda ϵ. Na oładach jest ładune swobodny Q. Q Q q zw Dielety powoduje zmniejszenie natężenie pola eletycznego ϵ azy. Różnica potencjałów, U, między oładami taże zmalała ϵ azy. W taim azie pojemność ondensatoa ośnie ϵ azy! Ważne w zastosowaniach technicznych! C Q U C pozni

28 Jaa enegia jest zmagazynowana w taim ondensatoze wypełnionym dieletyiem? Chcemy poównać tę enegię z pzypadiem ondensatoa póżniowego. Załadamy teaz, że oba ondensatoy ładujemy do tej samej óżnicy potencjałów ) ) C poznia poznia p dielety p 0 S d C poznia C U poznia U poznia p Wzó ) odpowiada objętościowej gęstości enegii w póżni w w poznia poznia 0 S d objetosc 0 U d S d C poznia U poznia p

29 W pzypadu dieletya wzó na objętościową gęstość enegii musi być zmieniony i pzyjmuje postać w dielety D W pzypadu ondensatoa płasiego pole eletyczne istnieje tylo między oładami, a więc w objętości S d, gdzie S jest powiezchnią ołade. Dlatego w dielety S d 0 U d U d S d C poznia U dielety p

30 Mateia w polu eletycznym to wiele cieawych tematów, tóych na tym wyładzie nie mogę pouszyć. Polecam zapoznanie się z taimi pojęciami ja eletet - to ogólna nazwa dieletya, w tóym sposób twały utzymuje się polayzacja dipolowa lub stan naładowania eletycznego. letet wytwaza wewnętzne i zewnętzne pola eletyczne i jest eletostatycznym odpowiedniiem magnesu twałego. pioeletyczność - występowanie w nietóych yształach dieletycznych samozutnej polayzacji eletycznej, w nieobecności zewnętznego pola eletycznego. W nomalnych waunach polayzacja może być masowana wastwą zaadsobowanych z powietza jonów i ujawnia się dopieo po ogzaniu yształu. piezoeletyczność - występowanie na powiezchni yształu ładunów eletycznych pod wpływem napężeń mechanicznych. Pzyładem piezoeletya jest wac.

31 eletostycja - zmiana ozmiaów mateiału pod wpływem zewnętznego pola eletycznego. feoeletyczność - obecność polayzacji w mateiale dieletycznym po usunięciu pola eletycznego, tóe ją wywołało. Jest to związane z twałym upoządowaniem dipoli eletycznych. Pzyłądem feoeletya jest tytanian bau BaTiO3). i wiele innych. A my uszamy dalej, by zająć się stałym) pądem eletycznym

32 Na począte pzypomnijmy sobie następujące doświadczenie, w tóym połączono pzewodniiem dwa wcześniej naładowane ładunami o pzeciwnym znau) eletosopy. +Q -Q V V V +q -q V 3 V t=0 0 < t < t t=0 U= V V Pzypade statyczny powiezchnie ewipotencjalne t=t U= 0 Pzypade statyczny powiezchnia ewipotencjalna 0 < t < t U maleje Pzypade niestatyczny Potencjał V 3 zależy od miejsca pomiau

33 Ładune pzepłynie w lewo popłyną eletony) ja poazuje czewona stzała i badzo szybo listi obu eletosopów opadną sończy się pzepływ ładunu. q=0 q=0 V 3 V V V V V 3 0 t=t Wniose: Nie jest łatwo utzymać stały pzepływ ładunu eletycznego. Sama siła ulombowsa o chaateze eletostatycznym) do tego nie wystacza! Na azie jedna zajmiemy się samym opisem pądu eletycznego i nie będziemy zastanawiać się, co powoduje twały pzepływ ładunów. Zaczynamy od pojęcia gęstości pądu:

34 Najpostszy pzypade: W ażdym cm 3 jest n cząste, z tóych ażda ma ładune q i pędość u. Liczba n to tzw. oncentacja cząste nośniów pądu. A q, u W stumień ta pouszających się cząste wstawiamy amę postoątną, tóa ma weto powiezchni A. Ile cząste pzechodzi pzez powiezchnię ozpiętą na amce w jednostce czasu?

35 Tzeba zbudować ównoległościan o podstawie, tóa jest powiezchnią ami i boach ównoległych do wetoa u! W czasie Δt pzez amę pzejdą cząsti z naysowanego ównoległościanu. Ich liczba N) jest ówna iloczynowi oncentacji n) oaz objętości postopadłościanu. Całowity ładune, tóy pzepłynie pzez powiezchnię ami w czasie Δt wynosi Q = N q. u t u A u objetosc A wysoosc objetosc A u t cos t Au N n objetosc n t Au Q q n t Au Q q n Au I A) t natężenie pądu płynącego pzez amę A

36 Jeśli mamy wiele las cząste o óżnych ładunach, oncentacjach i wetoach pędości, to ażda daje własny niezależny wład do Ia): I A) N j e e e n q n n u u A e N A e q n u W szczególności gęstość pądu dla jednego odzaju nośniów, powiedzmy eletonów, o niejednoodnym ozładzie pędości, wynosi q=-e) całowita oncentacja eletonów n u Ne u j e N A e j weto gęstości pądu weto pędości śedniej u

37 W ogólnym pzypadu, gdy powiezchnia ami nie jest płasa, a weto gęstości pądu zmienia się od puntu do puntu, musimy użyć zapisu całowego: I j da A Natężenie pądu płynącego pzez powiezchnię A jest ówne stumieniowi wetoa gęstości pądu pzez powiezchnię A. Jednosti gęstości pądu i natężenia pądu; j I C C m m 3 3 m s m s C m s C m s A m A ampe

38 Pawo zachowania ładunu ównanie ciągłości Sfomułujemy pawo zachowania ładunu, w sytuacji, gdy mamy pzepływ pądu. Wybiezmy pewien pzestzenny obsza Ω, otoczony powiezchnią A. j j Ω da j Z popzednich ozważań wynia jasno, ile ładunu pzepływa pzez powiezchnię A w jednostce czasu: j A da j A j j j Teaz, olejny już az, sozystamy z twiedzenia Gaussa, tóe pozwala zastąpić stumień pola wetoowego pzez powiezchnię zamniętą, całą po całej objętości obszau z dywegencji pola wetoowego: j da Gauss div j dv A

39 Z obszau Ω ubywa ładunu w tempie: Q t t dv Poównując pzepływ ładunu pzez powiezchnię A z ubytiem ładunu w objętości Ω, dostajemy div j dv t dv Ponieważ obsza Ω może być dowolnie mały, więc dostajemy tzw. ównanie ciągłości, jedno z najważniejszych ównań w fizyce: div j 0 t

40 My zajmiemy się pzede wszystim tzw. pądami stacjonanymi, dla tóych j x, y, z, t) const Jaie są faty espeymentalne dotyczące pzepływu pądu? Rozważamy fagment mateiału o długości L i stałej watości pzeoju popzecznego, S. Niech na jego ońcach panuje óżnica potencjałów U = V V. V S j L Można je taże zapisać w postaci:. V Dla wielu mateiałów, na pzyład dla óżnych metali, zachodzi: I U, czyli natężenie pądu jest wpost popocjonalne do pzyłożonego napięcia. Jest to właśnie teść pawa Ohma! j

41 Uwaga n : Pawo Ohma nie jest pawem w taim sensie ja na pzyład pawo zachowania ładunu lub pawo Gaussa. Jest to pawidłowość, od tóej znane są liczne wyjąti. V S j L V Piszemy: I U, R a wielość R nazywamy opoem eletycznym! Uwaga n : R Nie mylić pawa Ohma z definicją opou eletycznego :. Opó eletyczny jest w szczególności zależny od tempeatuy i może być podawany taże dla mateiałów, tóe nie spełniają pawa Ohma. U I

42 Jeśli chcemy supić się na własnościach danego mateiału, a nie inteesują nas ozmiay substancji, pzez tóą płynie pąd eletyczny, piszemy: V S R j V A L m V [ ] m R A V m L S opó eletyczny właściwy To badzo cieawa wielość, tóa pzyjmuje niezwyle szeoi zaes watości. pzewodność eletyczna właściwa

43 Tabela ezystywności nietóych substancji w temp. 0 C) źódła: Giffiths oaz Wiipedia) mateiał opó właściwy [Ω m] sebo, miedź,7 0 8 złoto, aluminium,8 0 8 niiel 6, żelazo cyna 0,9 0 8 platyna 0 8 ołów 0 8 węgiel 3,5 0 5 geman 0,46 zem 640 szło guma ooło 0 3 siaa 0 5 woda czysta,5 0 5, ale słona woda nasycona) 4,4 0

44 j Ja wytłumaczyć zależność? Rolę stałej popocjonalności pełni pzewodność eletyczna, więc mamy j Aby wytłumaczyć tę zależność oaz ewentualne odstępstwa od pawa Ohma, potzebny jest model tego, co dzieje się w pzewodniu np. w metalach) model pzewodnictwa! Tai model powinien odpowiedzieć na pytania Dlaczego stała siła działająca na ładuni q ) nie powoduje ich pzyspieszania i zwięszenia watości wetoa gęstości pądu? Dlaczego pzewodność eletyczna σ) nie zależy pzynajmniej w pewnych ganicach) od watości natężenia pola eletycznego? Ja opó eletyczny zależy od tempeatuy?