Materiały pomocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz. Mechatroniki semestr I. Część I Kinematyka

Transkrypt

1 Mateiały poocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki seest I Część I Kineatyka Do opisu uchu punktu ateialnego służą ównania uchu, czyli zależności x=x(t), y=y(t) i z=z(t) Jeśli z tych ównań wyeliinuje się czas i dopowadzi do zależności typu z=z(x,y) lub y=y(x), to ta zależność nosi nazwę tou uchu punktu ateialnego Ruchy punktu ożey podzielić w zależności od tou uchu (postoliniowe, kzywoliniowe, a wśód nich szczególnie ważny uch po okęgu) lub zależności pędkości od czasu (jednostajne, niejednostajne, a wśód nich uch jednostajnie zienne) Podstawowe paaety opisujące uch punktu ateialnego: położenie = (t) (x=x(t), y=y(t) i z=z(t)), d dx dy dz pędkość (t) = = i + j + k = x i + y j + z k, = x + y + z, dt dt dt dt d d d d x y z pzyspieszenie a(t) = = i + j + k = a x i + a y j + az k, a = a x + a y + az, dt dt dt dt Ruch postoliniowy jednostajny: x(t)=t, (t)= 0 =const, a=0 at Ruch postoliniowy jednostajnie zienny: x() t = x0 + 0 t +, ( t) = 0 + at, a(t)=a=const, (a>0 uch jednostajnie pzyspieszony, a<0 uch jednostajnie opóźniony) Ruch po okęgu: ównania uchu: x t = R cosω, y( t) = R sinωt, gdzie ω jest pędkością kątową; () t ównanie tou: x + y = R Związek iędzy pędkością kątową a liniową punktu w uchu po okęgu: = ω R, pzyspieszenie dośodkowe ar = R Kieowca ajdowy pokonuje piewszy odcinek tasy z pędkością = 40k/h Z jaką pędkością powinien jechać kieowca na dugi odcinku o tej saej długości co piewszy, aby śednia pędkość na obu odcinkach wynosiła ś = n? Wskazówka: skozystać z definicji pędkości śedniej Pzewoźnik, któy pzepawia się pzez zekę o szeokości H z punktu A, pzez cały czas kieuje łódź pod kąte α względe bzegu Wyznaczyć pędkość łódki względe wody o, jeżeli pędkość wody wynosi, a łódkę zniosło na odległość L poniżej punktu B 0 H = Lsinα + Hcosα ś =, czyli dla n= nie istnieje! ś 3 Pzeanalizować zut pozioy i ukośny jako złożenie dwóch uchów, jednostajnego i jednostajnie ziennego oaz wyznaczyć: a) ównanie tou, b) zasięg zutu, c) aksyalną wysokość, na jaką wzniesie się ciało? a) g 0 y = xtgα x, b) x = sinα, c) h = 0 sin α cos α g g 0 4 Z toczącego się koła o poieniu R odywa się z tylnej części na pozioie osi gudka ziei Z jaką pędkością powinno toczyć się koło, aby gudka z powote udezyła w to sao iejsce koła z jakiego się odewała? = πrng, n=,, 3, 5 W kieunku szczeliny o szeokości a iędzy dwoa blokai o wysokości h pousza się kulka o śednicy d z pędkością o postopadłą do jej kawędzi Kulka wpada do szczeliny, gdzie kilkakotnie zdeza się spężyście z jej ścianai (kąt padania ówny kątowi odbicia bez ziany pędkości) zani spadnie na zieię Obliczyć ile azy kulka zdezy się ze ścianai szczeliny Pzyspieszenie zieskie wynosi g

2 Mateiały poocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki seest I h = a d g n 0 Część II Dynaika i zasady zachowania I zasada dynaiki Newtona: Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły ównoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub pousza się uche jednostajny postoliniowy II zasada dynaiki Newtona: Jeśli na ciało działa niezównoważona siła, to ciało pousza się uche jednostajnie pzyspieszony, w któy pzyspieszenie jest popocjonalne do działającej siły, a odwotnie popocjonalne do asy ciała III zasada dynaiki Newtona: Jeśli ciało A działa na ciało B z pewną siłą, to ciało B działa na ciało A z taką saą siłą, lecz pzeciwnie skieowaną; siły te nie ównoważą się, gdyż pzyłożone są do óżnych ciał Zasada zachowania pędu: Jeśli na ciało nie działa siła zewnętzna, to pęd ciała pozostaje stały (dla punktu ateialnego p =, dla były sztywnej p = M u, gdzie M asa były sztywnej, a u pędkość śodka asy) Zasada zachowania oentu pędu: Jeśli na ciało nie działa zewnętzny oent siły, to oent pędu ciała pozostaje stały (dla punktu ateialnego L = p, dla były sztywnej L = Iω, gdzie I oent bezwładności były sztywnej, a ω pędkość kątowa uchu obotowego były sztywnej) (Moent siły M = F ) Zasada zachowania enegii echanicznej: W odizolowany układzie całkowita enegia echaniczna nie ulega zianie Rodzaje zdezeń: spężyste (spełniona zasada zachowania enegii echanicznej) oaz niespężyste (niespełniona zasada zachowania enegii echanicznej) 6 Na gładki stole (bez tacia) leżą obok siebie dwa klocki o asach M = 4 kg i = kg Na klocek M działa pozioa siła F = 5 N Obliczyć, ile wynoszą siły wzajenego oddziaływania klocków na siebie F F = = [N] M + 7 Dwa klocki (jak w zad ) połączone są nicią o wytzyałości na zewanie Z = 0 N Z jaką największą siłą F ożna ciągnąć klocek o asie, tak aby nić nie uległa zewaniu? Czy watość tej siły ulegnie zianie, jeśli będziey ciągnąć za klocek o asie M? Z( M + ) Z( M + ) F = = ak i wynosi wówczas F = = M 5 [N] 50 [N] 8 Pzez nieuchoy bloczek pzezucona jest nieważka i nieozciągliwa linka, na końcach któej pzyocowane są asy = kg i = 3 kg Obliczyć: a) pzyspieszenie a z jaki pouszają się asy, b) siły N napinające linkę, c) całkowitą siłę R działającą na oś bloczka Masę bloczka oaz tacie zaniedbujey Pzyspieszenie zieskie g = 0 /s a = g, N + =, R = N + 9 Na dwustonnej ówni pochyłej o kątach α i β (patz ysunek) uieszczono tzy asy, i 3 Współczynnik tacia as o ównię wynosi f, a pzyspieszenie zieskie g Napisać ównania uchu każdej z as asa : a = gsinβ N asa : a = N gsinα N3 asa 3: 3a = N3 3gsinα 3 gdzie N = N, = gf cosβ, = gf cosα, 3 = 3gf cosα W ten sposób uzyskuje się układ 3 ównań liniowych, w któych nieznane są a, N i N 3

3 Mateiały poocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki seest I 0 Na pozioej platfoie wagonu leży ciało o asie związane z dugi ciałe o asie cienką nieozciągliwą nicią pzezuconą pzez nieuchoy bloczek pzyocowany do wagonu Ciało o asie dotyka do powiezchni bocznej platfoy Z jaki największy pzyspieszenie a oże pouszać się wagon w kieunku wskazany na ysunku, aby obydwa ciała nie zieniły swego położenia względe platfoy wagonu? Współczynnik tacia obu ciał o powiezchnię platfoy wynosi f a pzyspieszenie zieskie g + a = g f + Znaleźć efektywny współczynnik tacia kół saochodu o nawiezchnię dogi, jeśli wiadoo, że pzy szybkości saochodu doga haowania wynosiła s Pzyjąć, że podczas haowania saochód pouszał się uche jednostajnie opóźniony Pzyspieszenie zieskie g f = sg awaj składa się z dwóch wagonów o asach i, z któych tylko piewszy a silnik o sile ciągu F c Siła tacia działająca na koła wagonu otoowego jest ówna Z jaką siłą wagon otoowy ciągnie dugi wagon? Fc N = + 3 Dwie łódki płyną napzeciwko siebie W czasie ijania pzełożono z łódki piewszej do dugiej o asie asę Δ, w wyniku czego duga łódka zatzyała się a piewsza popłynęła dalej z pędkością Jakie były pędkości łódek pzed pzełożenie asy? =, Δ = 4 Dwie kulki o asach i pouszają się w ty say kieunku z pędkościai i Jakie będą pędkości kulek po zdezeniu, jeśli jest ono: a) doskonale niespężyste?, b) doskonale spężyste Pzeanalizować wyniki punktu b) dla pzypadku gdy = 0, w sytuacji gdy = =, =3, =/3, <<, >> + a) = + 5 Pocisk o asie lecący pozioo z pędkością udezył w dewniany kloc o asie M zawieszony na lince o długości H i uwiązł w ni Obliczyć, o jaki kąt od pionu odchyli się linka waz z kloce oaz ile ciepła wydzieli się w pocisku w wyniku zdezenia Pzyspieszenie zieskie wynosi g Masę linki poinąć H h M cosα =, gdzie h =, Q = H M + g ( + M) 6 Na szczycie dużej gładkiej kuli spoczywa ałe ciało w stanie ównowagi nietwałej W pewnej chwili ciało zaczyna zsuwać się z kuli Znaleźć zależność pzyspieszenia ciała a od kąta α iędzy pione a poienie wodzący ciała wypowadzony ze śodka kuli Pzy jakiej watości kąta α ciało odewie się od powiezchni kuli? Pzyspieszenie zieskie g 3

4 Mateiały poocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki seest I cos α =, a n = g( cosα), a s = gsinα 3 7 Na bzegu pozioego stolika o asie i poieniu wiującego z częstotliwością ω dookoła pionowej osi pzechodzącej pzez jego śodek stoi człowiek o asie Z jaką pędkością kątową będzie się obacał stolik, gdy człowiek pzejdzie na jego śodek? O ile zieni się pzy ty enegia kinetyczna układu stolik człowiek? Człowieka taktujey jak punkt ateialny, stolik zaś, jak kążek o oencie bezwładności I = / acie w łożyskach poinąć + Δ ω = ω, E = ω ( ) 8 Dwie pozioe tacze obacają się swobodnie względe pionowej osi pzechodzącej pzez śodek Ich oenty bezwładności wynoszą I i I względe osi obotu, a pędkości kątowe ω i ω W pewnej chwili tacza góna spadła na dolną, i dzięki taciu poiędzy ich powiezchniai po pewny czasie zaczynają obacać się aze Obliczyć ich wspólna pędkość kątową oaz pacę wykonaną pzez siły tacia I ω + I ω I I = ω =, W ΔE = ( ω ) ω I + I (I + I ) 9 Na gładki stole spoczywa cienki pęt o długości L i asie M Postopadle w kieunku pęta pousza się ała kulka o asie W wyniku zdezenia doskonale spężystego z pęte kulka zatzyała się a pęt ozpoczął uch W jaki iejscu licząc od śodka pęta usiała udezyć kulka, aby takie zdezenie było ożliwe? Czy asa kulki oże być dowolna? acie zaniedbujey Moent bezwładności pęta względe jego śodka I o = /ML L ( M ) a = 0 Z ówni pochyłej o kącie nachylenia α do poziou stacza się bez poślizgu jednoodny walec o asie Obliczyć watość działającej w ty uchu siły tacia Moent bezwładności pęta względe jego śodka I o = / Dane jest pzyspieszenie zieskie g = gsin α 3 Część III Pole gawitacyjne Masa M wytwaza pole gawitacyjne, do opisu któego ożey wykozystać dwie wielkości: natężenie i potencjał pola gawitacyjnego Natężenie pola jest wielkością wektoową, natoiast potencjał jest wielkością skalaną M M Natężenie pola od asy punktowej: γ = G, natoiast potencjał ϕ = G Jeśli w polu gawitacyjny uieściy M asę punktową, to oddziaływanie tego pola na nią opisuje siła, któa jest ówna F = γ = G ak więc pole gawitacyjne jest pole źódłowy i zachowawczy (paca pzeciwko siło pola nie zależy od dogi, tylko od punktu M początkowego i końcowego) Enegię w polu gawitacyjny definiuje się jako E p = G, gdzie oznacza odległość od śodka źódła pola gawitacyjnego Obliczyć śednią gęstość Ziei, jeśli wiadoo, że poień Ziei wynosi R Z, a pzyspieszenie zieskie na powiezchni Ziei jest ówne g? 3g ρ Z = 4πGR Z 4

5 Mateiały poocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki seest I Wypowadzić wzó na piewszą i dugą pędkość kosiczną Wyazić te pędkości pzez pzyspieszenie na powiezchni Ziei g oaz poień Ziei R z Wskazówka: I pędkość kosiczną wyznaczyć kozystając z ównowagi sił działających na satelitę na obicie; II pędkość kosiczną kozystając z zasady zachowania enegii I = grz, II = grz 3 Obliczyć poień obity kołowej satelity geostacjonanego, jeśli znay: poień Ziei R, pzyspieszenie na powiezchni Ziei g oaz okes pełnego obotu Ziei gr Wskazówka: Skozystać z ównowagi sił działających na satelitę na obicie geostacjonanej 3 ZZ = 4π 4 Na biegunie Ziei wystzelono dwa pociski nadając i taką saą pędkość o, piewszy pionowo do góy a dugi pozioo Któy z pocisków badziej oddali się od śodka Ziei i na jaką odległość? Pędkość początkowa o jest większa od piewszej pędkości kosicznej, lecz niejsza od dugiej pędkości kosicznej Pzyspieszenie zieskie na powiezchni Ziei jest ówne g Wskazówka: a) pocisk wystzelony pionowo do góy skozystać z zasady zachowania enegii, odpowiedź: R Z R Z = = ; b) pocisk wystzelony pozioo skozystać z zasady zachowania enegii oaz z zasady zachowania 0 0 gr Z oentu pędu, odpowiedź: II R Z R Z = = gr Z II 0 0 Część IV - eodynaika Równanie stanu gazu doskonałego ożna zapisać w postaci pv = nr, gdzie p ciśnienie, V- objętość, n liczba oli (n=/μ, asa gazu, μ - asa cząsteczkowa), R stała gazowa, tepeatua w skali bezwzględnej Równanie to pv ożna pzepisać w postaci = const Piewsza zasada teodynaiki (zasada zachowania enegii dla gazów): Δ U = Q + L, oznacza że ziana enegii wewnętznej gazu oże nastąpić wskutek wyiany ciepła (dostaczenia lub oddania) lub wykonania pacy (pzez gaz lub nad gaze) Enegia wewnętzna gazu zależy tylko od tepeatuy i jej ziana jest zawsze ówna ΔU = ncvδ Pzeiany gazowe: - izoteiczna =const, ównanie pzeiany pv = const, Δ U = 0, Q = L - izobayczna p=const, ównanie pzeiany V = const, Δ U = nc VΔ, Q = ncpδ, L = pδv - izochoyczna V= const, ównanie pzeiany p = const, Δ U = nc VΔ, Q = ncvδ, L = 0 γ - adiabatycza, Q=0, ównanie pzeiany pv = const γ oznacza stosunek ciepeł właściwych pzy stały ciśnieniu i Cp stałej objętości γ = Oba ciepła łączy ównanie Meyea Cp CV = R C V 5 Wyazić ównanie pzeiany adiabatycznej w ziennych (p, V), (V, ) i (p, ) Wskazówka: Skozystać z ównania adiabaty i ównania Clapeyona γ γ pv = const, V = const, p γ γ = const 6 W cienkiej uce szklanej zatopionej na jedny końcu znajduje się gaz zaknięty z dugiej stony słupkie tęci Gdy ukę ustawiono pionowo otwaty końce do góy wtedy słup gazu iał wysokość H, natoiast w pozycji odwotnej (zatopiony koniec u góy) jego wysokość wyniosła H Jaka będzie długość słupa powietza, gdy uka będzie nachylona do poziou pod kąte α (otwaty koniec w góze? 5

6 Mateiały poocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki seest I Wskazówka: Powietze ulega pzeianie izoteicznej H HH + x = H + H ( H H) sinα 7 Pęchezyk powietza wypływa z dna jezioa W chwili osiągnięcia powiezchni wody jego objętość jest 3 azy większa niż na dnie Obliczyć głębokość jezioa, jeżeli tepeatua wody na dnie wynosi, a na powiezchni Dane ciśnienie atosfeyczne p o, pzyspieszenie zieskie g i gęstość wody ρ p ( 3 ) 0 Wskazówka: Skozystać z ównania Clapeyona h = ρg 8 Pionowo ustawiona uka w kształcie litey U, zatopiona na jedny końcu zawiea w zatopiony końcu słupek powietza o wysokości H oaz tęć w dolnej części Pod ciśnienie zewnętzny p i w tepeatuze pozioy tęci w obu aionach uki są jednakowe Rukę tę ogzano do tepeatuy Nie uwzględniając ozszezalności uki i tęci obliczyć óżnicę pozioów tęci w obu aionach Gęstość tęci wynosi ρ Pzyspieszenie zieskie jest ówne g Wskazówka: Skozystać z ównania Clapeyona w postaci uce pv = const, gdyż nie zienia się ilość gazu zakniętego w 9 Dwa zbioniki o objętości V i V wypełniono gaze o asie olowej μ Ciśnienia i tepeatuy gazu w zbionikach wynosiły odpowiednio: p, oaz p, Następnie oba zbioniki połączono, lecz w takcie tej opeacji część gazu ulotniła się, a tepeatua i ciśnienie gazu pozostałego w połączonych zbionikach uzyskały watości: p i Obliczyć asę gazu, któy ulotnił się Stała gazowa wynosi R μ p V p V p( V + V ) Δ = + R 30 Dwie jednakowe kule szklane połączone cienką uką o znikoej objętości zawieają powietze o tepeatuze i ciśnieniu p Następnie jedną z kul oziębiono do tepeatuy natoiast dugą ogzano do tepeatuy Nie uwzględniając ozszezalności kul obliczyć ciśnienie powietza oaz stosunek as powietza zawatych w obu kulach p p =, ( + ) = 3 W naczyniu o objętości V znajduje się gaz Naczynie posiada zawó bezpieczeństwa w postaci ałego cylindeka z tłokie łok za pośednictwe spężyny o stałej spężystości k połączony jest z dne cylindeka W tepeatuze tłok znajduje się w odległości D od zawou, pzez któy gaz wypuszczany jest do atosfey Do jakiej tepeatuy usi ogzać się gaz, by zawó wypuścił jego część? Dane są: asa gazu, asa olowa μ, powiezchnia tłoka S, stała gazowa R Pzyjąć, że objętość cylindeka jest zaniedbywalnie ała w poównaniu z objętością zbionika kdμv = + RS 3 W pionowo ustawiony naczyniu zaknięty od góy tłokie, któy oże pouszać się bez tacia, znajduje się n oli gazu o tepeatuze Cięża tłoka Q, a jego powiezchnia S Ile wyniesie objętość gazu, jeżeli naczynie uieściy w windzie pouszającej się w góę z pzyspieszenie a = g/ Ciśnienie atosfeyczne p a, a stała gazowa R nr V = 3Q pa + S 6

7 Mateiały poocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki seest I 33 Z butli o pojeności V wskutek wady zawou ulatnia się zawaty w niej spężony wodó W tepeatuze anoet wskazał ciśnienie p Po pewny czasie w tepeatuze anoet wskazał takie sao ciśnienie Jaka asa gazu ulotniła się? Masa olowa wodou μ, a stała gazowa R Δ = pvμ 34 Cylinde o polu podstawy S zawiea gaz o tepeatuze Gaz jest zaknięty tłokie znajdujący się na wysokości h od dna cylinda Masa tłoka Jaką pacę wykona gaz pzy ogzaniu go o Δ Ciśnienie atosfeyczne p a Pzyspieszenie zieskie g acie tłoka poinąć gnrδ W = Sp g a + 35 W pionowy cylindze z tłokie znajduje się gaz, dla któego γ = C p /C Masa tłoka, a odległość jego od dna cylinda h Po obciążeniu tłoka asą opadł on do poziou takiego, że tepeatua w skali bezwzględnej wzosła dwukotnie Obliczyć pzyost enegii wewnętznej gazu Cylinde i tłok wykonane są z izolatoa cieplnego acie tłoka poinąć Nie uwzględniać ciśnienia zewnętznego gazu Pzyspieszenie zieskie g Wskazówka: Ziana enegii wewnętznej jest ówna pacy wykonanej na podniesienie tłoka pzeciwko siło pola gawitacyjnego Skozystać z ównania pzeiany adiabatycznej w ziennych V, (patz zadanie 5) γ Δ U = + gh ( ) ( ) 36 W butli stalowej o pojeności V znajduje się azot pod ciśnienie p Obliczyć, jaką ilość ciepła należy dopowadzić do gazu ażeby ciśnienie w butli wzosło dwukotnie Ciepło olowe azotu w stałej objętości C, oaz stała gazowa R CVpV Q = R 37 W naczyniu o stałej objętości V znajduje się gaz doskonały Obliczyć ilość ciepła, któe należy dostaczyć, aby ciśnienie wzosło o Δp, jeżeli dany jest stosunek C p /C = γ ΔpV Q = γ 38 Gaz o asie oziębiono od tepeatuy do pod stały ciśnienie Obliczyć pacę wykonaną nad gaze w ty pocesie oaz zianę jego enegii wewnętznej Masa olowa gazu μ, ciepło właściwe pzy stały p - c p, a stała gazowa R Δ U = c ( ), L = ( ) μ p R μ 39 Dwa cylindy A i B, któych tłoki są połączone sztywny pęte, pzytwiedzono do nieuchoych ścian Gaz znajdujący się w cylindze A pobał ciepło Q, w wyniku czego jego tepeatua wzosła o Δ Obliczyć, o ile wskutek tego wzosła tepeatua gazu w cylindze B pzy założeniu, że cylinde ten i jego tłok są wykonane z izolatoa cieplnego Masa gazu w każdy cylindze wynosi Ciepło właściwe gazu w stałej objętości c Pola powiezchni tłoków są jednakowe Q Δ = Δ c V 7