FIZYKA R.Resnick & D. Halliday

Transkrypt

1 FIZYKA R.Resnick & D. Halliday rozwiązania zadań (część IV) Jacek Izdebski 5 stycznia 2002 roku Zadanie 1 We wnętrzu zakniętego wagonu kolejowego znajduje się aratka wraz z zapase pocisków. Aratka strzela na prawo, wagon cofa się na lewo. Pociski po uderzeniu w przeciwległą ścianę, pozostają w wagonie. Udowodnić, że niezależnie od tego, jak pociski są wystrzeliwane wagon kolejowy nie oże się potoczyć dalej niż na odległość L równą swojej długości, przy założeniu, że zaczyna on poruszać się ze stanu spoczynku. Po wystrzeleniu pocisku z araty zgodnie z zasadą zachowania pędu pocisk dostanie prędkość w prawo a wagon w lewo. Jeśli założyy, że nie a oporów ruchu to wagon będzie się poruszał ruche jednostajny w lewo a pocisk po paraboli (grawitacja) w prawo. Tak będzie się działo dopóki pocisk nie uderzy w ścianę. Wtedy pęd wagonu i pęd pocisku wysuują się do zera i wagon zatrzya się (pozioa składowa pędu pocisku nie ulega zianie). To wszystko ożna zapisać ateatycznie. Na początku, gdy wagon nie porusza się pęd układu jest równy zeru, więc po wystrzeleniu pędy pocisku i wagonu też uszą dawać zero 0 = p wagonu + p pocisku 1

2 Jest ożliwy, że powyższe wyrażenie będzie spełnione ponieważ pęd jest wielkością wektorową (pędy przeciwnie skierowane uszą różnić się znakie). p wagonu = p pocisku V = v gdzie asa wagonu; V prędkość wagonu względe Ziei; asa pocisku; v prędkość pocisku względe Ziei. Co do wartości pędy te są równe (ale wektorowo tak nie jest ponieważ pęd pocisku jest przeciwny do pędu wagonu). Wzór na drogę przebytą przez wagon jest następujący s = V t t jest czase jaki ija od wystrzelenia pocisku do oentu uderzenia o ścianę. Prędkość V ożna łatwo obliczyć z zasady zachowania pędu. V = v Aby obliczyć czas t trzeba znać prędkość pocisku względe wagonu. Prędkość ta będzie po prostu równa suie V + v z drugiej strony V względna = V + v = v + v = + v V względna = L t L v( + ) = t L t = v( + ) ożey już wszystko podstawić do wzoru na drogę. s = V t = v L v( + ) = + L Ostatecznie s = + L Jak ożna zauważyć odległość o jaką przesunie się wagon nie zależy od prędkości z jaką wystrzeliwany jest pocisk. W zadaniu każą udowodnić, że odległość s nie oże być większa niż L. Widać to goły okie ponieważ ułaek oże przyjąć wartości z przedziału (0, 1). Gdy asa wagonu jest + dużo większa od asy pocisku wtedy wagon przesunie się nieznacznie, ale gdyby asa wagonu była znikoo ała w porównaniu z asą pocisku (co jest irracjonalne) wtedy wagon przesunie się o odległość równą w przybliżeniu L. 2

3 Zadanie 2 (a) Wykazać, że oenty bezwładności walca o asie i proieniu R oraz cienkiej obręczy o asie i proieniu R/ 2, względe ich osi geoetrycznych są sobie równe. (b) Oznaczy przez k odległość od osi obrotu punktu, w który ożna uieścić całą asę ciała, nie zieniając jego oentu bezwładności względe tej osi. Wykazać, że tzw. proień bezwładności k = I Wzór ten określa proień równoważnej obręczy. (a) oent bezwładności I dla walca ożna obliczyć następująco. Walec o wysokości H i proieniu R ożey podzielić yślowo na bardzo dużo cienkich pierścieni o grubości dr. Oczywiście zakładay, że walec jest jednorodny, a wtedy przyczynek do oentu bezwładności pochodzący od pojedynczego pierścienia wynosi: di = H 2πr dr ρ r 2 Aby wyznaczyć oent bezwładności należy obliczyć całkę I = R 0 2πHρr 3 dr co po obliczeniu daje R I = 2πHρ r 3 dr 0 [ ] R 4 I = 2πHρ = πr2 HρR 2 ożna to zapisać jako I = 1 2 R2 Znając już wyrażenie na oent bezwładności walca ożey znaleźć proień obręczy o tej saej asie dobrany tak aby oenty bezwładności walca i obręczy były równe. 1 2 R2 = r 2 3

4 co po przekształceniu daje r = R 2 co należało wykazać. (b) Z definicji oent bezwładności pochodzący od asy punktowej jest równy I = r 2. Znając oent bezwładności I jakiejś dowolnej bryły o asie ożey go zastąpić oente takiej saej asy punktowej leżącej w odległości k od osi obrotu. I = k 2 więc co należało udowodnić. Zadanie 3 k = I Dwie sprężyny przyocowane do ciała o asie i do nieruchoych ścian, jak na rysunku. Pokazać, że częstość drgań w ty przypadku wyraża się wzore ν = 1 k1 + k 2 2π Na klocek działają siły pochodzące od sprężyn F = k 1 x k 2 x = (k 1 + k 2 )x Wykorzystując drugą zasadę dynaiki ożey zapisać: d2 x dt 2 = (k 1 + k 2 )x tego typu równanie jest spełnione przez funkcję x(t) = A cos(ωt) 4

5 więc d 2 x dt = 2 Aω2 cos(ωt) Jeśli porównay wyniki tych obliczeń z d 2 x dt = k 1 + k 2 2 x to okaże się, że iejsce ω (częstości kołowej) zajuje k1 +k 2 Wiadoo też, że częstość kołowa, wiąże się następujący wzore z częstotliwością ν = ω 2π czyli ostatecznie Co było do udowodnienia. ν = 1 k1 + k 2 2π 5