VI. Grawitacja. Rozwiązanie:

Transkrypt

1 VI. awitacja 09. powiezchni iei wyzucono ciało pionowo do góy z pędkością 0. Na jaką wyokość wznieie ię to ciało? Jaką powinno ieć najniejzą pędkość początkową, aby nie padło nigdy na ieię? ozwiązanie: 0. Planeta pouza ię po elipie wokół nieuchoego łońca. Najwiękza odległość planety od łońca wynoi a najniejza. Jaki jet potencjał pola gawitacyjnego łońca w punktach i? Ile wynoi oent pędu planety? Wykonaj yunek. aę planety, aę łońca i tałą gawitacji pzyjąć za dane. ozwiązanie:. Planeta obiega wokół łońca po elipie, któej jedno z ognik pokywa ię z położenie łońca. Dowieść, że oent pędu planety względe łońca jet wielkością tałą. ozwiązanie:. Najwiękza odległość koety Halleya od łońca to h =, ( odległość poiędzy ieią i łońce), a najniejza l = 0,9. Pędkość liniowa uchu koety w punkcie najbadziej odległy od łońca (punkcie odłoneczny) wynoi 90 /. Ile wynoi pędkość koety, gdy jet najbliżej łońca (w punkcie pzyłoneczny)? Wyznaczyć enegię echaniczną koety. ozwiązanie:. Wiedząc, że aa Kiężyca jet około 8 azy niejzy od ay iei oaz, że odległość iei od Kiężyca d = k, znaleźć punkt P na linii łączącej śodki obu ciał niebiekich, w któy ównoważy ię iła pzyciągania gawitacyjnego Kiężyca i iei. Jaki jet potencjał ziekiego pola gawitacyjnego w tych punktach? ozwiązanie:. Cztey punktowe identyczne ay uiezczono w naożach kwadatu o boku a. Wyznaczyć: a) wekto natężenie i potencjał pola gawitacyjnego w śodku kwadatu oaz w śodku jednego z boków, c) enegię potencjalną układu. Jaką pacę wykonają iły zewnętzne, gdy ciała te pzenieiey do niekończoności? ozwiązanie:. naleźć pędkość uchu Kiężyca wokół iei oaz iei wokół łońca zakładając, że obity ą kołowe. Pzyjąć, że aa iei,96 0 kg, odległość iędzy ieią a Kiężyce

2 8,8 0, tała gawitacji 6,67 0 /kg, odległość iei od łońca 0 ld etów, aa łońca 0 0 kg. Ile wynoi enegia echaniczna iei na obicie okołołonecznej? ozwiązanie: 6. atelita o aie 0 kg kąży wokół planety. Cza obiegu atelity wokół obity wynoi 6 h. Planeta pzyciąga atelitę iłą 80 N. Ile wynoi poień obity a ile aa planety? ozwiązanie: 7. atelita kąży wokół iei na wyokości h, gdzie poień iei. najdź pędkość atelity na obicie ając dane 670koaz g = 0 /. ozwiązanie: 8. ztuczny atelita kąży ze tałą pędkością kątową dookoła iei po obicie kołowej o poieniu. Obliczyć oke obiegu atelity. Obliczenia nueyczne wykonać dla 798k, poień iei ozwiązanie: 670k, pzyjąć g = 0 /. 9. Wyznaczyć odległość od śodka iei, pędkość kątową i liniową geotacjonanego tj. pouzającego ię w płazczyźnie ównikowej nazej planety atelity. Pzyjąć tałą gawitacji 6,67 0 /kg, poień iei = 670 k, pzypiezenie ziekie g = 0 /. ozwiązanie: 0. naleźć aę iei, jeżeli wiadoo, że ztuczny atelita obiega ieię na wyokości h 000k w czaie 06in. Poień iei = 670 k, tała gawitacji 6,67 0 /kg. ozwiązanie:. jaką pędkością należy wyzucić ciało pionowo w góę (pzypiezenie ziekie wynoi g = 0 / ), aby wznioło ię na wyokość h (poień iei 670k)? ozwiązanie:

3 . wiazda neutonowa a aę łońca ( 0 0 kg) i poień 0 k. Ile: a) wynoi natężenie pola gawitacyjnego na powiezchni tej gwiazdy, b) ile czau zajuje padek wobodny z wyokości? ozwiązanie:. Wyobaź obie, że po wyczepaniu paliwa jądowego łońce kuczy ię do białego kała o śednicy kuli ziekiej. Pzyjując niezienniczość ay łońca obliczyć jego oke obotu wokół włanej oi. Obecny oke obotu łońca wynoi 7 dób. ozwiązanie:. Oke obotu łońca wokół włanej oi wynoi 7 dób. Po czaie potzebny na palenie paliwa jądowego ( 0 9 lat) łońce zacznie początkowo pęcznieć (poień łońca oiągnie wówcza watość ówną poieniowi obity ziekiej, 0 ), natępnie zacznie kuczyć ię pod wpływe gawitacji (zjawiko kolapu gawitacyjnego). Ozacować poień łońca, pzy któy zacznie ię ono ozpadać. aa łońca 0 0 kg, jego obecny poień Ile wynoić będzie oke obotu łońca, gdy jego poień oiągnie watość, 0. ozwiązanie:. oho tacja koiczna obewująca non-top łońce; badzo ciekawe dane na webtonie ola and Heliofeic Obeatoy Hoepage pod adee uiezczona jet w punkcie, gdzie ównoważą ię iły gawitacji łońca i iei. W jakiej odległości od iei znajduje ię oho? ozwiązanie: , Autoka ozwiązań d K. Żukowka VI. awitacja ad09

4 Kozytay z zaady zachowania enegii. Enegia kinetyczna nadana ciału na powiezchni iei pzekztałci ię w enegię potencjalną na wyokości h. akładając, że wyokość h<< z ( z poień iei) enegię potencjalną na wyokości h ożna zapiać wzoe : E p =gh + E p0, gdzie E p0 enegia potencjalna na powiezchni iei a aa ciała. W polu gawitacyjny, któe jet pole zachowawczy enegia echaniczna jet zachowana więc ta na powiezchni iei ui być ówna tej na wyokości h. apiując wzoe zaadę zachowania enegii otzyay 0 E gh p0 E p 0 kąd 0 gh i otatecznie h g Żeby ciało nie padło nigdy na ieię jego całkowita enegia echaniczna powinna zaleć do zea. We wzoze na enegię całkowitą na powiezchni iei użyjey dokładnego wzou na enegię potencjalną w potaci E p 0 aada zachowania enegii poównująca enegię echaniczną na powiezchni iei i w niekończoności (gdzie całkowita enegia echaniczna jet ówna zeo) a potać 0 in 0 tąd wynika, że 0 in Kozytając z ówności ciężau na powiezchni iei z iłą gawitacyjnego pzyciągania tej ay pzez ieię g ożey iloczyn zatąpić iloczyne g

5 inialna watość pędkości nadanej ciału na powiezchni iei aby nie padło nigdy na ieię wynoi 0 in g. Jet to tzw. duga pędkość koiczna. ad0 Planeta pouza ię w polu centalny, w któego centu znajduje ię łońce. oe planety jet elipa, łońce leży w jedny z ognik elipy. Potencjał pola gawitacyjnego łońca w punktach najbadziej odległy (odłoneczny) i najbliżzy łońcu (pzyłoneczny) wyznaczyy ze wzoów definicyjnych a gdzie aa łońca oent pędu zdefiniowany jet wzoe L i w polu ił centalnych jet tały. W punktach pzyłoneczny i odłoneczny wekto pędkości planety jet potopadły do wektoów i więc watość oentu pędu w odległościach i pełnia ówność p = p () gdzie p aa planety Nieznane ą pędkości planety w odległościach i wobec tego należy kozytać z innej właściwości pola centalnego ianowicie, że w ty polu zachowana jet enegia echaniczna. apizy zaadę zachowania enegii w punktach pzyłoneczny i odłoneczny p p p p () ówności () wyznaczay np. i wtawiay ją do ównania () p p

6 kąd Podtawiając tę pędkość do wzou () otzyay L p ad oent iły pzyciągania gawitacyjnego planety pzez łońce względe centu pola, któe tanowi jedno z ognik elipy, w któy znajduje ię łońce jet ówny zeo. Wynika to z potaci iły gawitacyjnej, któej wekto jet ównoległy do wektoa położenia planety względe centu pola. 0 F p p oent iły i oent pędu związane ą elacją dt dl koo oent iły jet ówny zeo to oent pędu ui być tały 0 to. cont L ad Koeta Halleya obiega łońce po obicie eliptycznej. Pole gawitacyjne łońca jet pole centalny, w któy obowiązuje zaada tałości oentu pędu.

7 Wekto oentu pędu L w punktach pzyłoneczny i odłoneczny zgodnie z oznaczeniai w zadaniu pełnia ówność h k od =l k pzy kąd pzy =h od /l Podtawiając dane liczbowe pzy =, 90//0,9 =600 /=,6 k/ Enegię echaniczną koety ożna wyznaczyć (np. podtawiając dane w punkcie odłoneczny) ze wzou E k od k h k od h ad Jeżeli ciało o aie znajdzie ię na potej łączącej śodki iei i Kiężyca oże napotkać iejce, w któy iły pzyciągania gawitacyjnego iei i Kiężyca działające na to ciało zównoważą ię, czyli będą iały te ae watości a pzeciwne zwoty. pawdźy, gdzie na tej potej znajduje ię to iejce. Początek układu wpółzędnych uieśćy w śodku iei.

8 Poównajy watości ił gawitacji iei i Kiężyca działające na ciało o aie F =F K d K dalej pzekztałcając i podtawiając n K K n K d () Na potej łączącej śodki iei i Kiężyca pzeciwne zwoty ił gawitacji pochodzących od iei i Kiężyca ą ożliwe tylko dla >0 i jednocześnie <d. Dlatego ożna piewiatkować ównanie () otzyując n d kąd d n n Podtawiając n=8 i d=8000k otzyujey =0,9d=600k Potencjał gawitacyjny w ty punkcie jet uą potencjałów gawitacyjnych iei i Kiężyca K d K 0,9d n d 0,9d 0,8d 6,67 0 kg,96 0 kg 6 0,8 8 0,78 ad

9 a) W śodku kwadatu, w któego naożach uiezczono jednakowe ay uują ię wektoy natężenia pola gawitacyjnego pochodzącego od tych a. e względu na to, że odległości tych a od śodka kwadatu ą jednakowe, wektoy natężenia pola gawitacyjnego ają tę aą watość Wektoy natężenia pola gawitacyjnego pochodzącego od a leżących na końcu pzekątnych kwadatu w śodku kwadatu ają te ae watości ale pzeciwne zwoty wobec tego ua tych wektoów ówna ię zeo. 0 b)potencjał pola gawitacyjnego w śodku kwadatu jet uą potencjałów pól pochodzących od a uiezczonych w naożach - odległość a od śodka kwadatu o boku a, a Potencjał pola gawitacyjnego w śodku kwadatu wynoi 8 a c)obliczając natężenie pola gawitacyjnego w śodku jednego z boków kwadatu zauważay, że wektoy natężenia pola gawitacyjnego pochodzącego od a uiezczonych na końcach tego boku ają te ae watości ale pzeciwne zwoty więc ich ua jet ówna zeo. Pozotaje dodać wektoy natężenia pola pochodzące od dwu pozotałych a (patz yunek) d gdzie d odległość śodka boku kwadatu od a i.

10 yunku wynika, że d Otatecznie co co ; co a d ; d a a 6 a a d) Potencjał gawitacyjny w ty ay iejcu jet uą potencjałów pola pochodzącego od wzytkich a. Potencjały pochodzące od a uiezczonych w naożach i ą ówne obie i ają watość a taka aa zależność jet iędzy potencjałai w naożach i d uayczny potencjał w śodku boku kwadatu wynoi a d a e) awitacyjna enegia potencjalna układu dwu a wyaża ię wzoe E p - odległość iędzy aai Jeżeli układ kłada ię z więkzej liczby a, gawitacyjną enegię potencjalną układu tych a obliczay w natępujący poób: obliczay enegię potencjalną każdej pay a, tak jakby innych kładników układu a nie było i otzyane wyniki dodajey. Np. dla układu czteech a uiezczonych w naożach kwadatu enegia potencjalna wynoi E p Wzytkie ay ą takie ae odległości a a

11 Enegia potencjalna czteech a E p a a a Jeżeli chcey pzenieść te ay do niekończoności iły zewnętzne uzą wykonać pacę W z ówną tej enegii potencjalnej W z E p a ponieważ enegia potencjalna w niekończoności jet ówna zeo to W z E p ad Na obicie kołowej pełniona jet ówność ił gawitacji i odśodkowej. Jeżeli za poień obity uchu Kiężyca względe iei wziąć wzajeną ich odległość (pzyjując poienie iei i Kiężyca dużo niejze od poienia obity) ównowagę ił ożna zapiać K KVK kąd V K Podtawiając dane liczbowe otzyay pędkość Kiężyca na obicie ziekiej 6,67 0 kg,96 0 kg V K 07, 07 8,8 0 k W ten a poób ożna znaleźć pędkość iei na obicie okołołonecznej V kąd V gdzie odległość iei od łońca

12 Wtawiając watości liczbowe 0 6,67 0 kg 0 kg V 9,8 0 9, 8k, 0 echaniczna iei na obicie okołołonecznej Enegia E V V,96 0 kg 9,8 0 6,67 0, kg kg,6 0 J ad6 Na obicie kołowej, po któej kąży atelita iłę gawitacji ównoważy iła odśodkowa F=F od F kąd F Watość poienia obity tego atelity otzyay podtawiając dane liczbowe 80N 6, 600 0kg, aę planety obliczyy wykozytując wzó na iłę, któą planeta pzyciąga atelitę F p gdzie - aa atelity, p - aa planety F p 80N 6,67 0 podtawiając watości liczbowe p 8,7 0 7,89 0 kg aa planety wynoi 8,7 0 kg. 0kg kg

13 ad7 iły działające na atelitę, iła gawitacji i iła odśodkowa, na obicie kołowej ą obie ówne F g =F od kąd ożna wyznaczyć pędkość atelity h h h Wyznaczając ze związku iły gawitacyjnej z ciężae ciała na powiezchni iei g kąd =g oaz podtawiając h= otzyujey 6 g g 0 6,7 0,6 0, 6k ad8 Poównując iłę gawitacji działającą na atelitę z iłą odśodkową na obicie kołowej o poieniu F g =F od wyznaczyy oke obiegu atelity dookoła iei wykozytując związek =g

14 otzyujey g Podtawiając dane liczbowe otzyujey, ,, 9h Oke obiegu tego atelity dookoła iei wynoi,9h. ad9 Kążąc po obicie geotacjonanej atelita znajduje ię tale nad ty ay punkte na powiezchni iei, co znaczy, że jego oke obiegu dookoła iei jet ówny okeowi uchu dobowego iei czyli godziny. h 8600 pędkość kątowa atelity ówna ię, , 0 Poównując iły gawitacji i odśodkową na obicie kołowej ożna obliczyć odległość od śodka iei tego atelity kąd Podtawiając =g otzyay g ,8 0 8 k 7, 0 7, 0,8 0 09,, k / atelita geotacjonany kąży z pędkością ok.,k/ po obicie o poieniu 8k.

15 ad0 aę iei obliczyy wykozytując fakt, że na obicie kołowej iła pzyciągania atelity pzez ieię ówna ię ile odśodkowej działająca na atelitę F g =F od h h h tąd aa iei h wtawiając dane liczbowe i pzedtawiając oke w ekundach =06 in=660 obliczyy aę iei, 770 0,8 0 6,67 0 kg 660 kg ad Kozytając z zaady zachowania enegii echanicznej ciała w polu gawitacyjny iei poównay enegię echaniczną ciała na pozioie iei z enegią na wyokości h. Na powiezchni iei enegia echaniczna jet uą enegii kinetycznej nadanej ciału podcza wyzucania go do góy z pędkością i enegii potencjalnej na pozioie iei E Na wyokości h ciało wytaca do zea pędkość i jego enegia echaniczna jet ówna tylko enegii potencjalnej E h Poównując enegię echaniczną ciała na wyokości h z enegią na powiezchni iei h oaz podtawiając =g i h= otzyay

16 g g kąd g ,98 0 7, 98k Aby ciało wznioło ię na wyokość ówną poieniowi iei należy wyzucić je z pędkością ówną 7,98k/. ad Natężenie pola gawitacyjnego wytwazanego pzez aę okeślone jet wzoe F aa znajdująca ię w ty polu gawitacyjny Natężenie pola gawitacyjnego na powiezchni tej gwiazdy neutonowej o aie łońca a watość g g gdzie g poień gwiazdy Po podtawieniu danych liczbowych 6, kg 0 kg, 0 0 N kg Natężenie pola gawitacyjnego jet ównoznaczne pzypiezeniu padku wobodnego na tej planecie (γ=g). Dogę padku wobodnego wyaziy wzoe gt 6 kąd t, 0 g, 0 N kg padek wobodny z wyokości jednego eta na tej gwieździe będzie twał, 0 6.

17 ad iły gawitacji ścikające łońce do oziaów białego kała o poieniu ówny poieniowi iei ą dla układu iłai wewnętznyi nie zieniającyi oentu pędu łońca. Pzyjując niezienniczość ay łońca pzy tej kontakcji ożey poównać oenty pędu pzed i po kuczeniu ię łońca L kąd Podtawiając dane liczbowe 670 k 7dób, 0 doby 7 0 k,7 in Obót dookoła oi łońca kuczonego do oziaów białego kała o śednicy kuli ziekiej twałby,7 inut. ad ożna pzyjąć, że łońce zaczyna ię ozpadać jeżeli pod wpływe ił odśodkowych wywołanych obote dobowy jego fagenty znajdujące ię na ówniku wejdą na obity kołowe. ajdzie to w ytuacji gdy iły odśodkowe taną ię więkze lub co najniej ówne ile gawitacji calającej aę łońca kąd dugiej tony wykozytując niezienniczość oentu pędu w polu centalny cont kąd ozwiązując układ ównań

18 otzyay wyażenie na poień kuczonego łońca na oent pzed ozpade Podtawiając dane liczbowe otzyujey 8, k 0 6,67 0 kg 0 kg Poień łońca tuż pzed ozpade iałby watość około k. Pzyjując niezienniczość ay łońca ozdętego do poienia ównego poieniowi obity ziekiej ( z =, 0 ) i wykozytując tałość oentu pędu obliczyy oke obotu łońca w ty tanie kąd 7dób, , 0 doby 96,7lat Oke obotu łońca o poieniu, 0 wynoiłby 96,7 lat. ad W iejcu gdzie znajduje ię OHO ównoważą ię iły pzyciągania gawitacyjnego iei i łońca działające na tę tację koiczną l podtawiając =n l n kąd wynika, że n l Ponieważ >0 i jednocześnie <l n l kąd n l

19 Wyznaczając otzyujey n 0 0 kg,96 0 kg,6 0 i podtawiając l odległość iei od łońca,,6 0 0,8 0 8 tacja koiczna OHO znajduje ię w odległości,8 0 8 od iei.