MOMENTY BEZWŁADNOŚCI, RÓWNANIE KRĘTU I ENERGIA KINETYCZNA CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA

Transkrypt

1 Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynaiki Maszyn Politechniki Łódzkiej MOMENTY BEZWŁADNOŚCI, RÓWNANIE KRĘTU I ENERGIA KINETYCZNA CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Praca wprowadza oenty bezwładności ciała sztywnego dla układu parasola związanego z dowolną osią oraz z osią chwilowego obrotu ciała w ruchu kulisty. Dla układu parasola związanego z chwilową osią obrotu wyznaczono równanie krętu oraz wartość energii kinetycznej ciała. Wykorzystano zapis w postaci ultiiloczynów wektorów oraz acierzowy, z użycie diad iloczynów skalarnych i wektorowych. Słowa kluczowe: ruch kulisty, oent bezwładności, równanie krętu, diada MASS MOMENTS OF INERTIA, EQUATION OF ANGULAR MOMENTUM AND KINETIC ENERGY OF A RIGID BODY IN AN UMBRELLA SYSTEM This paper introduces ass oents of inertia of a rigid body for an ubrella syste bound to any axis and subsequently for an ubrella syste bound to the axis of oentary rotation of a body in spherical otion. For an ubrella syste bound to the axis of oentary rotation an equation of angular oentu and a forula for the kinetic energy of the body are derived. Two notations are used: ultiproducts of vectors and atrices (using dyads of scalar and vector products). Keywords: spherical otion, ass oent of inertia, equation of angular oentu, dyad 1. UKŁAD PARASOLA Przyjęto w pracy istnienie trójwyiarowej przestrzeni kartezjańskiej R 3, która opisana jest bazą ortonoralną e i (i = 1,2,3). Układ trzech eleentów: dowolny punkt A w przestrzeni R 3, dowolna prosta l przechodząca przez ten punkt oraz płaszczyzna, prostopadła do prostej l w ty punkcie, nazwano w pracy parasole. Nazwę tę tłuaczy kształt układu w przestrzeni trójwyiarowej (rys. 1). Położenia parasola w przestrzeni określają współrzędne punktu A (współrzędne wektora a ; a = a 1 a 2 a 3 T ) oraz współrzędne wersora prostej l parasola i zaraze wersora płaszczyzny parasola π, (e l = e π ; e l = c l1 c l2 c l3 T ).

2 x 3 l b l b e l e π A b π a π x 1 x 2 Rys. 1 Układ parasola Parasol tworzy w przestrzeni R 3 swoisty układ odniesienia, w który ożna - w stosunkowo prosty sposób - opisać dowolny wektor b oraz iloczyn wektorowy dwóch wektorów w = a b. Rzuty wektora b na eleenty parasola w pokazano na rysunku 1. Jeżeli wektor b jest opisany acierzą współrzędnych b = b 1 b 2 b T 3, to jego rzuty b l i b π, w zapisie wektorowy i acierzowy ają postać b l = be l e l ; b l = P el e l b, (1) b π = b b π ; b π = b b l = (I 3 P el e l )b, (2) gdzie I 3 jest acierzą jednostkową trzeciego stopnia, natoiast acierz P el e l jest diadą, acierzą iloczynu zewnętrznego dwóch wektorów, której postać, własności i funkcje spełniane w zapisie ultiiloczynów opisano w pracach [3,4]. Wektor iloczynu wektorowego w = a b (gdy a ; a = a 1 a 2 a T 3 ) oże być w przestrzeni R 3 zapisany w jednej z dwóch postaci acierzy, acierzy kolunowej w lub wierszowej w T w = P ae b lub w T = a T P eb, (3) gdzie wyrazy obu diad iloczynu wektorowego - acierzy P ae oraz P eb - równe są odpowiednio = p ij = k=1 sgn i j k i k j a k, (i,j=1,2,3), (4) P ae P eb 3 3 = p ij = k=1 sgn i j k i k j b k, (i,j=1,2,3). (5) Rzut wektora w na oś l parasola, w l = w e l e l, a postać jednej z acierzy w l = P el e l P ae b lub w T l = a T P eb P el e l. (6) Rzut wektora w na płaszczyznę π parasola, w π = w w l = w we l e l, a współrzędne w postaci acierzy kolunowej w π lub wierszowej w π T w π = P ae b P el e l P ae b = P ae b I 3 P el e l, (7) w T π = a T P eb a T P eb P el e l = a T P eb I 3 P el e l. (8)

3 Pokazany tu układ parasola jest szczególnie przydatny przy opisie ruchu kulistego ciała sztywnego, zarówno dla analizy oentów bezwładności ciała, jak i wyrażenia paraetrów kineatycznych lub opisu dynaiki ruchu. Dla takiego opisu przyjęto układ parasola zawieszony w nieruchoy początku układu współrzędnych, który jest zaraze środkie ruchu kulistego. 2. MOMENTY BEZWŁADNOŚCI CIAŁA SZTYWNEGO Dowolny punktu ciała sztywnego jest punkte, którego położenie w układzie parasola określone jest wychodzący z bieguna O proienie-wektore r. Moenty bezwładności dowolnego, jednorodnego ciała sztywnego, obliczone względe eleentów parasola, są suai (całkai) iloczynów stopnia drugiego proienia-wektora r, określającego położenie asy eleentarnej d oraz wersorów e l = e π, określających położenie parasola w przestrzeni R 3, jak to pokazano na rys. 2. x 3 e l e π prosta l płaszczyzna π d x 1 biegun O r x 2 Rys. 2 Ciało sztywne w układzie parasola Moenty bezwładności ciała sztywnego względe eleentów parasola: względe bieguna O - J O ; prostej l - J l oraz płaszczyzny π J π, wprowadzono w postaci całek z następujących kwadratów iloczynów skalarnych i iloczynów wektorowych [2,5] J O = r 2 d ; J l = e l r 2 Wyrażenia podcałkowe równań (9) spełniają tożsaość Lagrange a e l r 2 = r 2 e π r 2, d ; J π = e π r 2 d (9) z czego wynika, że J O = J l + J π. (10) Dla dowolnego bieguna oent bezwładności ciała sztywnego względe tego bieguna jest suą oentów bezwładności tego ciała względe każdej prostej poprowadzonej przez biegun i płaszczyzny prostopadłej do tej prostej również przechodzącej przez ten biegun. Dla wektora r, którego współrzędne tworzą acierz r = x 1 x 2 x 3 T zdefiniowano diadę P rr [3,4], czyli acierz postaci (11) oraz oraz jej suę (całkę) po całej asie ciała,

4 stanowiącą acierz płaszczyznowych oentów bezwładności ciała sztywnego I rr (12), zawierającą na głównej przekątnej oenty bezwładności względe ortogonalnych płaszczyzn układu współrzędnych ( J ii = x 2 i d ; i = 1,2,3), natoiast poza główną przekątną - odśrodkowe oenty bezwładności względe płaszczyzn układu współrzędnych ( J ij = x i x j d). Macierz (12) jest całką z acierzy (11) w ty znaczeniu, że kolejne wyrazy acierzy (12) są całkai z odpowiednich wyrazów acierzy (11), co ożna zapisać w forie I rr = P rr d. Wówczas P rr = 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 x 3 x 2 2 x 3 ; I rr = J 11 J 12 J 13 J 21 J 22 J 23. (11)(12) J 31 J 32 J 33 Macierz płaszczyznowych oentów bezwładności ciała sztywnego I rr jest dopełnienie acierzy (tensora) oentów bezwładności ciała sztywnego I do acierzy diagonalnej I O oentu bezwładności względe bieguna, której wyrazai jest stała wartość J O (9) oentu bezwładności ciała względe bieguna O. Jeśli bowie I O = J O I 3 (13) gdzie I 3 jest acierzą jednostkową trzeciego rzędu, a kolejne oenty bezwładności J i ciała względe osi układu współrzędnych oraz tensor oentów bezwładności ciała sztywnego I ają odpowiednio postacie J i = r 2 x i 2 d, I = J 1 J 12 J 13 J 21 J 2 J 23, (14) J 31 J 32 J 3 to oczywista jest tożsaość I O = I + I rr. (15) Sua dwóch acierzy oentów bezwładności ciała sztywnego: tensora oentów bezwładności I oraz acierzy płaszczyznowych oentów bezwładności I rr równa jest diagonalnej acierzy I O = J O I 3 biegunowego oentu bezwładności względe bieguna O, środka układu współrzędnych. Moent bezwładności J l ciała względe prostej l (9) parasola jest iloczyne tensora oentów bezwładności ciała stałego I oraz acierzy współrzędnych wersora prostej e l = c l1 c l2 c l3 T, liczbą zapisaną w postaci J l = e l r 2 d = e l T I e l. (16) Moent bezwładności ciała J π względe płaszczyzny π (9) parasola ożna, po tożsaościowy przekształceniu i skorzystaniu z własności (11) i (12), wyrazić jako iloczyn acierzy płaszczyznowych oentów bezwładności ciała I rr i acierzy współrzędnych wersora prostej e l = c l1 c l2 c l3 T J π = e π r 2 d = e π r re π d = e l T ( P rr d) e l, J π = e l T I rr e l. (17)

5 Z własności (15) wynikają następujące wnioski: - ponieważ oent bezwładności J O ciała względe bieguna O a dla ciała sztywnego wartość stałą, jego pochodna względe dowolnej ziennej równa jest zero. Wynika z tego, że sua pochodnych odpowiednich wyrazów acierzy oentów bezwładności i acierzy płaszczyznowych oentów bezwładności względe dowolnej ziennej τ jest grą o suie zero, di + di rr dτ dτ = 0. (18) - acierzową tożsaość (15) ożna ponożyć lewo- i prawostronnie razy acierz e l współrzędnych wersora dowolnej prostej l e l T J O I 3 e l = e l T I e l + e l T I rr e l i, po wykorzystaniu (16) oraz (17), otrzyuje się tożsaość J O = J l + J π. (19) Moent bezwładności ciała sztywnego względe bieguna O, środka ortogonalnego układu współrzędnych, jest suą oentów bezwładności tego ciała względe dwóch wzajenie prostopadłych eleentów, prostej l i płaszczyzny π, poprowadzonych przez ten biegun i tworzących układ parasola. - acierzową tożsaość (15) ożna ponożyć stronai prawostronnie razy acierz współrzędnych ω wektora prędkości kątowej ruchu kulistego ω, (ω = ω 1 ω 2 ω 3 T ) wybierając ty say jako oś parasola kierunek wektora ω, a więc oś chwilowego obrotu ciała. Otrzyuje się wówczas - po uwzględnieniu (13) - acierzowe równanie krętu ruchu kulistego postaci I O ω = Iω+ I rr ω. (20) - acierzową tożsaość (15) ożna ponożyć stronai prawostronnie razy acierz ε współrzędnych wektora przyspieszenia kątowego ruchu kulistego ε ε = ε 1 ε 2 ε 3 T i otrzyuje się wówczas po uwzględnieniu (13) - acierzowe równanie dynaiczne ruchu kulistego postaci I O ε = Iε + I rr ε. (21) Równanie to wyprowadzone zostało w oddzielnej pracy, w postaci wektorowej i acierzowej. 3. ENERGIA I KRĘT CIAŁA SZTYWNEGO W RUCHU KULISTYM Wyprowadzone wyżej zależności pozwalają na określenie energii kinetycznej oraz równania krętu ciała sztywnego w ruchu kulisty z wykorzystanie układu parasola jako układu odniesienia. Przyjęto, że ciało sztywne, zaocowane obrotowo w biegunie O, porusza się ruche kulisty wokół chwilowej osi obrotu, której położenie w R 3 określa wersor tej osi e ω o acierzy współrzędnych e ω = c ω1 c ω2 c ω3 T, z prędkością kątową ω = ωe ω (ω = ω 1 ω 2 ω 3 T ), której wektor leży na osi obrotu. Z środkie ruchu kulistego O związano parasol o osi e ω i prostopadłej płaszczyźnie π, pokazany na rysunku 3.

6 Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu kulisty jest suą energii wszystkich as eleentarnych E = 1 v 2 d gdzie prędkość v asy eleentarnej d, asy o położeniu 2 określony proienie r, jest iloczyne wektorowy v = ω r. Stąd, po uwzględnieniu (9) otrzyano E = 1 2 v 2 d = 1 2 ω2 e ω r 2 d = 1 2 J ωω 2. (22) Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu obrotowy wokół chwilowej osi obrotu zależy od oentu bezwładności ciała względe tej osi i kwadratu wartości chwilowej prędkości kątowej. Równanie krętu dla ciała sztywnego w ruchu kulisty wynika z definicji krętu k O ciała obliczonego względe nieruchoego bieguna k O = r v d = r ω r d. (23) Wyrażenia podcałkowe jest podwójny iloczyne wektorowy i jest tożsaościowo równe r ω r = r 2 ω ω r r. x 3 e ω chwilowa oś obrotu oś parasola płaszczyzna π x 1 O r d x 2 Rys. 3 Ruch kulisty ciała sztywnego Wobec tego kręt k O ciała względe nieruchoego bieguna O a postać k O = ω r 2 d ω r r d. (24) Ponieważ r 2 d = J O, pierwszy z członów prawej strony równania jest wektore k = J O ω leżący zawsze na chwilowej osi obrotu, o długości zależnej tylko od wartości prędkości kątowej ω, bowie oent bezwładności ciała względe bieguna O, J O, a wartość stałą. Drugi z członów prawej strony równania (24), wyrażenie ω r r d jest wektore krętu do tej pory niedefiniowany, wektore, który nazwano tu kręte płaszczyznowy i oznaczono k rr.

7 Wobec tego równanie krętu (24) przybiera postać k = k O + k rr (25) Z równania wynika, że kręt k = J O ω, (26) leżący na osi obrotu jest całkowity (wypadkowy) kręte ciała sztywnego. Rozkład wektorów krętu względe eleentów parasola pokazano na rysunku 4. Kolejne wyrażenia równania (25) w postaci acierzowej ają postać. Kręt całkowity k = J O ω jest acierzą k = J O I 3 ω = I O ω. Kręt względe bieguna O k O (23) jest acierzą k O = Iω [1,2]. Kręt płaszczyznowy k rr = ω r r d ożna po wykorzystaniu diady P rr [3,4], czyli acierzy postaci (11) oraz jej całki po całej asie ciała, stanowiącej acierz płaszczyznowych oentów bezwładności ciała sztywnego I rr (12) - przedstawić jako acierz k rr = ( P rr d)ω = I rr ω. k rr chwilowa oś obrotu e ω k π O k O Rys. 4 Wektory krętu Uzyskano równanie krętu ciała sztywnego w zapisie acierzowy, I O ω = Iω+ I rr ω. (27) Równanie to a postać tożsaą z równanie (20), uzyskany po ponożeniu równania (15) stronai razy acierz współrzędnych ω wektora prędkości kątowej ruchu kulistego ω. Równanie (27) jest acierzowy odpowiednikie wektorowego równania krętu (25) w ruchu kulisty ciała sztywnego.

8 LITERATURA [1] Buczkowski R., Banaszek A.: Mechanika ogólna w ujęciu wektorowy i tensorowy. Warszawa: Wyd. Naukowo- Techniczne 2006 [2] Leyko J.: Mechanika ogólna. Warszawa: PWN 1997 [3] Polka A.: Modelowanie przestrzeni za poocą ultiiloczynów wektorów. Materiały XV-tej Szkoły Koputerowego Wspoagania Projektowania, Wytwarzania i Eksploatacji. Jurata V Mechanik, nr 7, 2011 str. 619, art. 91 w załączony CD. [4] Polka A.: Multi-Products of Unit Vectors and Vectors.Basic Notions. Mechanics and Mechanical Engineering, 12, No.2, 2008, str [5] Polka A.: Mass Moents of Inertia and Static Moents of a Rigid Body. Mechanics and Mechanical Engineering, (2008), 12, No.4, str