Hydrostatyka. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Hydostatyka Pojekt współfinansowany pzez Unię Euopejską w aach Euopejskiego Funduszu Społecznego

2 Hydostatyka Hydostatyka zajuje się opise echaniki płynów w stanie spoczynku. Płynai będziey nazywać tu zaówno ciecze, jak i gazy. Ciśnienie definiujey jako stosunek siły F działającej postopadle na powiezchnię S do wielkości tej powiezchni. ciśnienie p F S siła powiezchnia Ciśnienie jest wielkością skalaną, wyażaną w paskalach [Pa]. Pa = N/ zastosowaniach używay ównież altenatywnych jednostek ciśnienia, takich jak: słupa tęci = 33,3 Pa, ba = 000 hpa, psi =6,893 kpa. cieczach, w polu gawitacyjny, ciśnienie zależy od głębokości pod powiezchnią cieczy: p p 0 g h g gdzie p 0 ciśnienie na powiezchni/na wybany pozioie odniesienia, - gęstość cieczy, h wysokość słupa cieczy, g pzyspieszenie gawitacyjne.

3 Ciśnienie słupa cieczy Zadanie Do jednego aienia uki o kształcie litey U, stojącej pionowo, wlano wodę o gęstości kg/d 3, a do dugiego benzynę o gęstości 0,7 kg/d 3. Ciecze nie ieszają się, a wysokość słupa benzyny wynosi H=0 c. Na jakiej wysokości względe powiezchni benzyny ustali się powiezchnia wody w dugi aieniu? Ciśnienie cieczy na głębokości h wyażone jest wzoe: p p g h 0 zó ten obowiązuje dla wszystkich cieczy. Zate u podstawy słupa benzyny ciśnienie jest identyczne jak ciśnienie w dugi aieniu U- uki na tej saej wysokości. Układ jest w ównowadze, a oba końce uki są otwate ciśnienie wywieane pzez słup wody o wysokości y jest takie sao jak pzez słup benzyny o wysokości H (zakładay, że dodatkowy słup powietza o wysokości x ożna zaniedbać). Raię lewe: p p g H L 0 B Raię pawe: p P p 0 g y gdzie p 0 ciśnienie atosfeyczne, gęstość wody, B gęstość benzyny. Na tej saej wysokości ciśnienia są ówne, czyli pl p P. Ponieważ, H x y, więc otzyujey, że: g H g H x B yliczay szukane x: x H B 0, 0, 3 0, 03 Odpowiedź: Powiezchnia wody jest 3 c poniżej powiezchni benzyny w dugi aieniu.

4 Ciśnienie słupa cieczy Zadanie astwa wody znajduje się na głębokości D= 5. Jakie ciśnienie należy wytwozyć w kooze popy ssącej, aby ogła ona podnieść wodę na powiezchnię? Ciśnienie atosfeyczne p 0 pzyjij jako 000 hpa, g=0 /s oaz gęstość wody =kg/d 3.. Ciśnienie cieczy na głębokości h wyażone jest wzoe: Zakładay, że jeśli popa podnosi wodę na powiezchnię, to w uze dopowadzającej znajduje się słup wody o wysokości D. Zate, u podstawy tego słupa (na powiezchni wastwy wodonośnej) ciśnienie wynosi: p p P g D gdzie p P ciśnienie w kooze popy. p p g h iey jednocześnie, że na powiezchni wastwy wodonośnej ciśnienie jest ówne atosfeyczneu jeśli zaniedba się dodatkowe ciśnienie słupa powietza o wysokości D oaz ciśnienie wywieane pzez otaczające skały, czyli p p0 0 Zate: p P p 0 g D Pzyjując, że g=0 /s, p 0 =000 hpa oaz gęstość wody =000kg/ 3, otzyujey p P 000 hpa Pa 500 hpa Odpowiedź: Należy wytwozyć ciśnienie 500hPa.

5 Pawo Pascala zakniętej objętości nieściśliwego płynu ziana ciśnienia jest pzenoszona bez ziany watości do każdego iejsca w płynie i do ścian zbionika. Zadanie 3 Na tłok podnośnika hydaulicznego o śednicy f = c działa siła F = 00 N. Jaką siłą będzie działał na podnoszony pzediot dugi tłok o śednicy f = 0 c? Jaki jest stosunek pacy wykonanej nad układe do pacy wykonanej pzez układ? Zakładay, że oba tłoki znajdują się na tej saej wysokości (zaniedbujey efekt związany z ciśnienie słupa cieczy). Ciśnienie wywieane na tłok jest pzenoszone (bez ziany watości) na tłok, czyli p p oaz: S S, a stąd Powiezchnie tłoków będą odpowiednio Zate: f F F f F F S F F S f f S S Po wstawieniu danych otzyujey: Paca jest w ty pzypadku ówna iloczynowi działającej siły i pzeieszczenia tłoka: Ciecz jest nieściśliwa objętość wypchnięta pzez jeden tłok pojawia się pzy dugi Dlatego: S x F F x S Odpowiedź: Paca wykonana nad układe jest ówna pacy wykonanej pzez układ enegia jest zachowana. F 00N 00 0 kn S F x F x x S x

6 Pawo Achiedesa Ciało zanuzone w płynie jest unoszone w góę siłą ówną ciężaowi wypatego płynu. Ciało pływające na powiezchni płynu wypiea tyle płynu, ile sao waży. zanuzona objętość ciała, tj. objętość wypatego płynu asa ciała objętość ciała siła wypou F ' g siła ciężkości Q g g gęstość płynu gęstość ciała F < Q < F = Q F = Q F > F F Q Q Q Ciało tonie Ciało w ównowadze Ciało pływa

7 Zadanie 4 Sześcienny klocek z dewna o długości ścianki a = 0 c pływa na powiezchni wody. Pozio wody znajduje się c poniżej (znajdującej się w położeniu pozioy) gónej ścianki. Jaka jest gęstość dewna? Gęstość wody =kg/d 3. Cięża klocka jest ównoważony pzez siłę wypou. Siła wypou jest ówna ciężaowi wypatej cieczy jej objętość wynosi 0,9 objętości klocka. g a a a g a a 0 9, a k Stąd bezpośednio wyznaczay gęstość dewna k k 0 9, Odpowiedź: Jest ona ówna 0,9 gęstości wody, a więc 0,9 kg/d 3.

8 Pawo Achiedesa Zadanie 5 Objętość = d 3 wody wlano do enzuki, a następnie uieszczono w niej blok lodu o gęstości L = 0,9 kg/d 3 i objętości L = 0,3 d 3. Zani wzucono blok lodu, wysokość H powiezchni wody na ścianie enzuki wynosiła 0 c. Jaka będzie wysokość powiezchni wody a) po wzuceniu bloku, b) po oztopieniu się lodu? Zaniedbaj efekty związane z ozszezalnością cieplną wody. Gęstość wody = kg/d 3. a) Siła wypou jest ówna ciężaowi wypatej cieczy i ównoważy cięża lodu: g g L L Objętość wypatej wody wynosi: L L 3 3 Po obliczeniu otzyujey Zate całkowita objętość wody i zanuzonego fagentu lodu wynosi,7 d 3. Zakładając, że enzuka jest walce o pzekoju S: Stąd obliczay szukane x =,7 c. 0 3, 0 9, d b) Objętość wody powstałej z oztopienia bloku wynosi: 0 7, d S T H x L L L Odpowiedź: atość ta jest identyczna w pzypadku a) i b) i wynosi,7 d 3. Pozio wody po stopieniu lodu nie zieni się.

9 Zadania z ozwiązaniai Zadanie Do uki o kształcie litey U, stojącej pionowo, wlano tęć o gęstości 3,6 kg/d 3. Następnie, do jednego z aion nalano wody o gęstości kg/d 3, a do dugiego nieznaną ciecz. Ciecze nie ieszają się, a ich góne pozioy są na tej saej wysokości. ysokość słupa wody wynosi H = 30 c, a pozio tęci w dugi aieniu jest wyższy o h = 0,5 c od poziou wody. Oblicz gęstość nieznanej cieczy. U podstawy słupa wody ciśnienie jest identyczne jak ciśnienie w dugi aieniu U uki na tej saej wysokości. Układ jest w ównowadze, a oba końce uki są otwate ciśnienie wywieane pzez słup wody o wysokości H jest takie sao jak pzez słup benzyny o wysokości H h i słupek tęci o wysokości h. Raię lewe: p p g H L 0 H h Raię pawe: p P p g 0 x H h g h gdzie p 0 ciśnienie atosfeyczne, gęstość wody, gęstość tęci, x gęstość nieznanej cieczy. Na tej saej wysokości ciśnienia są ówne, czyli. H H h h x Obliczay szukaną gęstość : H h 3 3 6, 0 05, kg kg 0 786, 3 H h , d d x 3 Odpowiedź Nieznana ciecz a gęstość 0,786 kg/d 3.

10 Zadania z ozwiązaniai Zadanie Na spężynie zawieszona jest kulka. Gdy tę kulkę zanuzono w wodzie to długość spężyny zniejszyła się o Dx = c, a po jej zanuzeniu w nieznanej cieczy o Dx =,6 c. Oblicz gęstość nieznanej cieczy. Dla wody = kg/d 3. Siła wypou powoduje skócenie spężyny. Ponieważ kulka jest nieuchoa to z waunku ównowagi sił ay, że gdy kulka zanuzona jest w wodzie k Dx g gdy kulka zanuzona jest w nieznanej cieczy k Dx g Gdzie: k to współczynnik spężystości spężyny, objętość kulki, g pzyspieszenie zieskie, gęstość nieznanej cieczy. Dzieląc stonai powyższe ównania, otzyujey Stąd obliczay gęstość nieznanej cieczy Dx Dx Dx Dx Odpowiedź Nieznana ciecz a gęstość 0,8 kg/d 3.

11 Zadanie 3 waunkach noalnych, zieszano dwa gazy, powietze i hel. Jaka była gęstość ieszaniny gdy a) objętości obu gazów były ówne, b) asy obu gazów były ówne. Pzyjij, że gęstość powietza =, kg/ 3, a helu = 0,79 kg/ 3. a) Pzed zieszanie gazów, dla powietza i helu ay, że Po zieszaniu gazów, dla ieszaniny, ay, że Zate dla ieszaniny, Po obliczeniu otzyujey = 0,689 kg/ 3. b) Pzed zieszanie gazów, dla powietza i helu ay, że Po zieszaniu gazów, dla ieszaniny, ay, że Zate dla ieszaniny, Odpowiedź: atość ta w pzypadku a) wynosi 0,689 kg/d 3, a w pzypadku b) wynosi 0,3 kg/d 3 Zadania z ozwiązaniai

12 Zadania z ozwiązaniai Zadanie 4 naczyniu zieszano =, d 3 wody i =,5 d 3 cieczy o gęstości = 0,789 kg/d 3. Czy koek o gęstości K = 0,80 kg/d 3 będzie pływać czy utonie w tej ieszaninie? Dla wody = kg/d 3. Ciało będzie pływać w cieczy, gdy jego gęstość jest niejsza od gęstości cieczy. Gęstość zieszanych cieczy Obliczay gęstość ieszaniny, 0 789, 5, kg kg 0 883, 3 3, 5, d d Ponieważ K = 0,80 kg/d 3 więc K <. Odpowiedź: Koek będzie pływał.

13 Zadania z ozwiązaniai Zadanie 5 naczyniu z wodą, na głębokości h = 0,5 leży badzo cienka, stalowa płytka o asie = 0,0 kg. Oblicz, nie uwzględniając opoów w uchu, jaką pace tzeba wykonać aby wydostać płytkę na powiezchnię wody. Dla wody = kg/d 3, gęstość stali S = 7,7 kg/d 3. Na płytkę zanuzoną w wodzie działa siła ciężkości i pzeciwnie skieowana siła wypou cieczy. Pzy podnoszeniu płytki należy wykonać pacę pzeciwko wypadkowej tych sił. F g gdzie F siła wypadkowa, g pzyspieszenie zieskie oaz objętość płytki to iloaz ykonana paca na dodze h to = F h, czyli S g S g h S Po obliczeniu otzyujey = 0,044 J. Odpowiedź: Obliczono, pzy założeniach upaszczających, że tzeba wykonać pacę 0,044J.

14 Zadania do ozwiązania. Łódź podwodna a kształt walca o poieniu R = i długości L = 40. Całkowita asa łodzi wynosi 480 ton. Oblicz: a) jaką objętość wody łódź usi wpopować do zbioników balastowych, by się zanuzyć? b) jakie pzyspieszenie uzyskuje w czasie wynuzania (zaniedbaj opó ośodka) kiedy zbioniki są całkowicie póżne? Gęstość wody = kg/d 3, g = 0 /s. Odpowiedź a) popować tzeba ponad,4 3 wody b) uzyskuje pzyspieszenie wynoszące około 0,46 /s.. cylindze, znajdujący się na pozioie oza, uieszczono spężynę iędzy dne a tłokie. Początkowo tłok o śednicy f = 0 c znajduje się w odległości D = 40 c od dna cylinda. Po odpopowaniu powietza z wnętza cylinda tłok znajduje się w odległości D =38 c od dna. Oblicz: a) stałą spężystości spężyny k, b) położenie tłoka po zanuzeniu cylinda na głębokość H = 50. Ciśnienie atosfeyczne pzyjij jako 000 hp. Odpowiedź 5 N a ) k 0 b ) D3 8 c 3. ydążona kula o poieniu zewnętzny R Z = 0 c i wewnętzny R = 8 c pływa na powiezchni wody, zanuzona do połowy. Ile wynosi gęstość ateiału, z któego jest wykonana? Dla wody = kg/d 3. Odpowiedź =,0 kg/d 3 4. Po załadunku na płaskodenną bakę = 40 ton węgla jej głębokość zanuzenia wynosi D =,5. Po wyładunku w pocie połowy węgla głębokość zanuzenia wynosi D =,. Ile wynosi asa baki? Odpowiedź Masa baki wynosi 35 ton. 5. Po włączeniu popy, połączonej do jednego z aion U-uki wypełnionej tęcią jej powiezchnia w dugi aieniu znajduje się o D = 50 c niżej niż w piewszy. Ile wynosi ciśnienie po stonie popy? Ciśnienie atosfeyczne pzyjij jako 000 hpa. Dla tęci = 3,6 kg/d 3. Odpowiedź Ciśnienie to a watość 30 hpa.

15 Zadania do ozwiązania 6. Do jednego z aion U-uki, wypełnionej wodą nalano nieznaną ciecz, nie ieszającą się z wodą. Po ustaleniu się pozioów powiezchnia słupa cieczy znajduje się d = c wyżej niż powiezchnia wody w dugi aieniu, a wysokość słupa cieczy wynosi H = 8 c. Ile wynosi gęstość cieczy? Dla wody = kg/d 3 Odpowiedź Gęstość cieczy = 750 kg/ 3 7. Masa balonu wynosi M = kg, a objętość = 3. Na pozioie oza, w tepeatuze 0 C gęstość powietza wynosi około, kg/ 3, a helu 0,79 kg/ 3. Jaką inialną objętość helu należy wpuścić do balonu (załóż, że pzy napełnianiu hel wypycha powietze, a ciśnienie w balonie pozostaje stałe), aby ógł on unosić się? Odpowiedź Należy wpuścić co najniej 0,98 3 helu.

16 Zadania do ozwiązania 8. Sześcian o kawędzi a = 00 c wykonany z dewna o gęstości = 800 kg/ 3 pływa po powiezchni wody o gęstości w = 000 kg/ 3. Jaka jest wysokość niezanuzonej części sześcianu? Odpowiedź: Nad wodą jest 0 c. 9. Cięża stalowego odważnika wyznaczony w powietzu wynosi Q = N. Pzy zanuzeniu tego odważnika w nieznanej cieczy jego cięża aleje do Q = 0,9 N. Gęstość stali = 7700 kg/ 3. Jaka była gęstość nieznanej cieczy? Odpowiedź: Ciecz o gęstości 770 kg/ Po powiezchni wody pływa ka lodowa o kształcie postopadłościanu, któy a pole powiezchni S = 0, Ka wynuzona jest nad powiezchnię wody na wysokość c. Gęstość wody w = 000 kg/ 3, gęstość lodu L = 900 kg/ 3. Oblicz jaka jest asa ky lodowej. Odpowiedź: Masa tej ky wynosi 36 kg.. Śednice tłoków podnośnika hydaulicznego wynoszą odpowiednio f = 5 c i f = 50 c. Jaką siłą F tzeba działać na niejszy tłok, aby podnieść ciało o ciężaze Q = 00N? Odpowiedź Siłą N. Po ozu pływa góa lodowa. Jaki jest stosunek objętości jej części znajdującej się nad powiezchnią wody do objętości jej podwodnej części? Gęstość wody w = 000 kg/ 3, gęstość lodu L = 900 kg/ 3. Odpowiedź /9