Definicja krętu i kręt układu materialnego

Transkrypt

1 7.3.. Defiicja ętu i ęt uładu ateialego Kęte putu ateialego o asie względe putu azyway oet pędu p tego putu ateialego względe putu : p. (7.56) Z powyższej defiicji wyia, że ęt zdefiioway podobie ja oet siły względe putu jest wetoe postopadły do płaszczyzy wyzaczoej pzez put i weto pędości (ys. 7.6). Kęt putu będzie ówy zeu, poza pzypadai tywialyi ( 0 i 0), gdy wetoy i będą współliiowe. Jeżeli będziey ieli uład putów ateialych o asach opisaych wetoai wodzącyi i pouszających się z pędością (ys. 7.7), to ęt tego uładu ateialego względe ieuchoego putu będzie ówy suie ętów (suie oetów pędów) poszczególych putów ateialych względe tego putu. p. (7.57) o Rys Kęt (oet pędu) putu ateialego

2 7.3.. Reducja ętu do śoda asy Wzó (7.57) opisuje ęt uładu ateialego obliczoy względe dowolego ieuchoego putu. Zadajy sobie pytaie, jai będzie ęt tego saego uładu ateialego względe śoda asy. W ty celu pzyjijy w śodu asy począte uchoego uładu współzędych o osiach x,y,z ówoległych do odpowiedich osi ieuchoego uładu współzędych x, y, z (ys. 7.7). W tej sytuacji uład x,y,z będzie się pouszał uche postępowy względe uładu ieuchoego x, y, z z pędością śoda asy. z y x Rys Rozład pędości uładu putów ateialych Pzy tai założeiu pędość bezwzględa ażdego putu ateialego względe uładu ieuchoego x, y, z będzie suą pędości uoszeia ówej pędości śoda asy i pędości względej wzgęde uładu uchoego x, y,, azywaej dalej pędością względe śoda asy: +. (a) Kęt ozpatywaego uładu putów ateialych względe śoda asy wyazi wzó:, (7.58) gdzie jest poieie wodzący put ateialy o asie w uładzie x, y,. Z ysuu 7.7 wyia, że poień wodzący jest ówy suie poieia wodzącego śoda asy i poieia : +.

3 Po wyzaczeiu z tej zależości i podstawieiu do wzou (7.58) otzyay: ( ). (b) Piewsza sua po pawej stoie tego wzou, zgodie ze wzoe (7.57), jest ęte względe ieuchoego putu, duga zaś jest pęde oawiaego uładu ateialego. Na podstawie wzou (7.4) ożey zapisać: p gdzie jest asą całego uładu. Zate ówaie (b) pzyjie postać:, lub +. (7.59) Kęt uładu putów ateialych względe dowolego ieuchoego putu jest ówy ętowi tego uładu względe śoda asy powięszoeu o ęt asy całowitej supioej w śodu asy. Wzó (7.58) pzedstawia ęt uładu ateialego względe śoda asy obliczoy dla uchu bezwzględego, poieważ występująca w ty wzoze pędość jest pędością względe ieuchoego uładu odiesieia. Zastaówy się, czeu będzie ówy ęt tego uładu ateialego względe śoda asy wyzaczoy dla uchu względego. W ty celu podstawy do wzou (7.58) zależość (a). + ( + ) + +. Ale sua 0,

4 poieważ oet statyczy uładu względe śoda asy jest ówy zeu. stateczie ay:. (7.60) Z otzyaej zależości wyia stwiedzeie: Kęt uładu putów ateialych względe śoda asy wyzaczoy dla uchu bezwzględego jest ówy ętowi względe śoda asy wyzaczoeu dla uchu względego.

5 Kęt były Wyzaczy ęt były o asie pouszającej się uche dowoly, a więc były swobodej. Podobie ja w ieatyce były (p. 5.3.) pzyjiey dwa ułady współzędych jede ieuchoy o początu w ieuchoy pucie i osiach x, y, z, a dugi uchoy, sztywo związay z byłą o osiach x,y,z (ys. 7.8) i początu ie w dowoly pucie, lecz w śodu asy. W byle wydziely yślowo eleet asy d o wetoze wodzący gdzie x +, (c) i+ y j+ z, i + j +. Zając pędość śoda asy i pędość ątową ω, ożey obliczyć pędość dowolego putu były (wzó 5.3). Zate pędość eleetaej asy d Zgodie z defiicją ęt eleetu asy d względe ieuchoego putu d d. Kęt były będzie ówy całce z powyższej zależości ozciągiętej a całą asę były: d. Po podstawieiu do tego wzou zależości (c) i (d) otzyay: + ω. (d) ( + ) ( + ω ) d d + ( ω ) + d + ( ω ) d. x z d + d Rys pis położeia dowolego eleetu były sztywej y

6 Występujące pod całai wielości, i ω ie podlegają całowaiu i ogą być wyciągięte pzed zai całe: d + d d + ω ( ω ) d. Dwie śodowe całi są oetai statyczyi były względe śoda asy, a więc są ówe zeu: d 0, a piewsza cała jest asą całowitą były: d. stateczie ęt były ożey zapisać w postaci: ( ω ) d +. (7.6) ała występująca w ty wzoze jest ęte śoda asy z pędością ątową ω. ( ω ) Zate wzó (7.6) ożey zapisać w postaci: były w jej uchu względe d. (7.6) +. (7.63) Kęt były względe dowolego ieuchoego putu jest ówy ętowi były względe śoda asy (w jej uchu względe śoda asy z pędością ątową ω) powięszoeu o ęt asy były pouszającej się z pędością śoda asy. becie obliczyy współzęde wetoa w uchoy uładzie współzędych x, y, o początu w śodu asy (ys. 7.8). W ty uładzie współzędych wetoy występujące we wzoze (7.6) ają astępujące współzęde: i + j + x y i + j +, z,

7 ω i + ω j + ω. ω Po ozpisaiu podwójego iloczyu wetoowego ze wzou (7.6), zgodie ze wzoe (.34) otzyay: ω d ( ω) d ω ( ) d ( ω) d. Piewsza cała występująca po pawej stoie powyższego ówaia jest bieguowy oete bezwładości względe śoda asy : a więc ( ) I d, ( ω) d ω I. (7.64) Współzęde ętu otzyay po zzutowaiu tego wetoa a osie x,y,z : i ωx I ( ω) d, j ωy I ( ω) d, ωz I ( ω) d. Po podstawieiu do tych wzoów iloczyu salaego: ω ω x ω + y + z ω oaz wyłączeiu pzed całi współzędych pędości ątowej otzyujey: ω I ω d ω d ω d, ω ω I I ω ω ( ) d ω d ω ( ) d ω d ω d, ( ) d. ałi występujące w powyższych wzoach są zdefiiowayi w p. 6.. oetai bezwładości były względe odpowiedich płaszczyz i oetai dewiacyjyi. Po wyozystaiu zależości (6.7) i (6.9) iędzy oetai

8 bezwładości względe biegua, płaszczyz i osi oaz odpowiedi upoządowaiu wyazów współzęde ętu były opisują wzoy: ω I ω D ω D, ω D + ω I ω D, ω ω + ω D D I. (7.65) Z powyższych wzoów wyia, że do obliczeia ętu były swobodej względe śoda asy usiy zać wszystie osiowe oety bezwładości i wszysie oety dewiacyje, czyli teso bezwładości. Wzoy (7.65) zaczie się upaszczają, gdy osie x,y,z są główyi cetalyi osiai bezwładości. W ty pzypadu, ja wiadoo z p. 6.5, wszystie oety dewiacyje są ówe zeu i ęt ω I i + ω I j + ω I. (7.66) Jeżeli założyy, że osią obotu były jest p. oś, to pędość ątowa ω poyje się z osią obotu: ω ω ω z. Wówczas ęt wyzaczoy ze wzoów (7.65) a postać: a a podstawie wzou (7.66) ωd i ωd j + ωi, (7.67) ω zi z. (7.68) Z poówaia wzoów (7.67) i (7.68) wyia, że jeżeli oś obotu jest główą cetalą osią bezwładości, to weto ętu leży a tej osi; gdy ta ie jest, ieue wetoa ętu ie poywa się z osią obotu. Pzyład 7.9. Koba A o asie obaca się z pędością ątową ω 0 woół osi z pzechodzącej pzez put i postopadłej do płaszczyzy ys Na ońcu A oby jest osadzoa ciea A jedooda tacza o asie i ω 0 ω poieiu, tóa toczy się bez poślizgu po ieuchoy ole o poieiu R. Wyzaczyć ęt uładu względe osi z. R A Kobę A uważać za pęt jedoody. Rys Wyzaczeie ętu uładu

9 Rozwiązaie. Kęt uładu względe osi z słada się z ętu pouszającej się uche obotowy woół osi z oaz ętu się uche postępowy śoda ciężości A taczy z pędością oby A taczy pouszającej z A oaz uche obotowy z pędością ω względe osi z ówoległej do osi z i pzechodzącej pzez śode taczy: Kęt oby A względe osi z z z z z +. (a) ω. (b) z Iz Kęt taczy względe tej saej osi a podstawie wzou (7.63) ożey wyazić zależością: I ω + R +. (c) 0 ( ) A z z We wzoach (b) i (c) Iz i I są odpowiedio oetai bezwładości oby względe osi z pzechodzącej pzez put i taczy względe osi z pzechodzącej pzez jej śode A. Zgodie ze wzoai (f) i (a) z pzyładu 6.: Pędość śoda taczy I z ( R + ) ( R + ),I. (d) 3 3 A ( R + ) ω 0. (e) Poieważ put (ys. 7.9) styu taczy z ieuchoy ołe jest chwilowy śodie obotu taczy, ay ówież:, A ( R + ) A ω stąd ω ω0. (f) Po uwzględieiu w związach (b) i (c) wzoów (d), (e) i (f) oaz po ich podstawieiu do ówaia (a) otzyujey ęt uładu względe osi z. z R 3 R 3 ( + ) ω + ( + )( 7R + 0) ω. 0 0 ( R + ) ω 0 + R ( + )( R + ) ω 0

10 Zasada ętu i poętu. Zasada zachowaia ętu Załóży, że ay uład ateialy sładający się z putów ateialych o asach pouszających się z pędością (ys. 7.7). Na ażdy put iech działa siła zewętza P oaz siły wewętze F l. Zgodie z dugi pawe Newtoa ożey dla dowolego putu ozważaego uładu ateialego apisać dyaicze ówaie uchu: lub d d P + P w (,,... ) P + Pw, W powyższy ówaiu zgodie ze wzoe (7.45) P w jest wypadową sił wewętzych działających a put o asie. Poóży wetoowo ażde z ówań obustoie pzez weto wodzący i dodajy wszystie ówaia stoai. tzyay: d P. (e) ( P + Pw ) P + Duga sua po pawej stoie tego ówaia jest suą oetów sił wewętzych względe putu i ja wyazao w p (wzó 7.3), jest ówa zeu. Z olei sua oetów sił zewętzych względe putu jest ówa oetowi główeu (3.6): o M P. Suę występującą po lewej stoie ówaia (e) ożey pzeształcić: w d d d ( ). d + d d ( ) Wyia z tego, że lewa stoa ówaia (e) jest pochodą ętu całego uładu ateialego względe ieuchoego putu. stateczie otzyujey:

11 tzyaa zależość óżiczowa jest zasadą ętu. d M. (7.69) Pochoda względe czasu ętu uładu putów ateialych względe dowolego ieuchoego putu jest ówa oetowi główeu wszystich sił zewętzych względe tego saego putu. Po obustoy scałowaiu ówaia (7.69) w gaicach od 0 do t otzyay: () t ( 0) t M. (7.70) ała występująca w ty ówaiu osi azwę poętu oetu główego, a sao ówaie jest zasadą ętu i poętu. Pzyost ętu uładu ateialego względe dowolego ieuchoego putu jest ówy poętowi oetu główego sił zewętzych względe tego saego putu. Rówaia (7.69) i (7.70) są słusze ie tylo dla uładu putów ateialych, ale i dla były. zęsto się zdaza, że oet główy uładu sił zewętzych względe obaego ieuchoego biegua educji jest stale ówy zeu bądź jest poijalie ały, M 0. Wtedy cała po pawej stoie ówaia (7.70) jest ówa zeu i zasada ętu i poętu pzechodzi w zasadę zachowaia ętu: t 0 0, czyli t 0 lub () ( ) ( ) ( ) cost jeżeli 0 M 0, to cost. (7.7) tzyaą zasadę zachowaia ętu oża wyazić słowie: Jeżeli oet główy sił zewętzych względe ieuchoego putu educji jest ówy zeu, to ęt uładu ateialego (były) względe tego putu jest wielością stałą.

12 Reducja zasady ętu i poętu do śoda asy Zastaówy się, jaą postać pzyjie zasada ętu i poętu (7.70), jeżeli za biegu educji pzyjiey ie dowoly put, lecz śode asy uładu ateialego. W celu udzieleia odpowiedzi a postawioe pytaie podstawy do ówaia (7.69) wzó (7.59): + oaz twiedzeie o oecie główy (3.9): M M + W i dooajy óżiczowaia: d d( ) + M + W, d d d( ) + + M + W. (f) Dugi wyaz po lewej stoie powyższego ówaia jest ówy zeu, poieważ jest to iloczy wetoowy wetoów ówoległych: d 0, a pochoda występująca w tzeci wyazie jest pochodą względe czasu pędu uładu ateialego, ówą wetoowi główeu uładu sił zewętzych (7.48): d ( ) d p W. Po uwzględieiu powyższych zależości w ówaiu (f) i uposzczeiu otzyay zasadę ętu pzy educji do śoda asy: d M. (7.7) Z olei po scałowaiu tego ówaia od zea do t otzyay zasadę ętu i poętu zeduowaą do śoda asy uładu: () t ( 0) t M. (7.73) 0

13 Widziy, że foala postać otzyaych ówań (7.7) i (7.73) jest taa saa ja ówań (7.69) i (7.70), ale ówaia (7.7) i (7.73) ie opisują uchu śoda asy. Do opisu uchu śoda asy ależałoby zastosować zasadę pędu (7.48). Jeżeli założyy teaz, że oet sił zewętzych względe śoda asy uładu ateialego będzie stale ówy zeu, M 0, to zasada ętu i poętu (7.73) zeduowaa do śoda asy pzejdzie w zasadę zachowaia ętu względe śoda asy, co oża zapisać w astępujący sposób: jeżeli M 0, to cost (7.74) lub ująć słowie: Jeżeli oet główy sił zewętzych względe śoda asy uładu ateialego jest ówy zeu, to ęt tego uładu ateialego względe śoda asy jest wielością stałą. Pzyład 7.0. Put ateialy A o asie zaczął się pouszać wzdłuż cięciwy B (ys. 7.0a) pozioej jedoodej taczy ołowej o poieiu R i asie według ówaia: x bsit, gdzie x ozacza współzędą odiezoą ja a ys. 7.0, pewą stałą, a b B. Tacza oże się obacać bez tacia woół osi pioowej z pzechodzącej pzez śode taczy. Wyzaczyć pędość ątową ω taczy w fucji czasu t, jeżeli odległość cięciwy od śoda taczy wyosi b, a tacza w chwili początowej t 0 była ieuchoa. a) b) α w R A x R A α x b A 0 ω b A 0 u B Rys Wyzaczeie pędości ątowej taczy Rozwiązaie. Na uład działają siły zewętze ciężości taczy i putu ateialego oaz eacje w łożysach osi obotu taczy. Siły ciężości są ówoległe do osi obotu, więc ich oety względe osi obotu są zawsze

14 ówe zeu. Nie dają oetu względe tej osi ówież eacje w łożysach. Zate zgodie z zasadą zachowaia ętu (7.7) ęt uładu względe osi ie ulega ziaie. Poieważ w chwili początowej t 0, gdy put A był jeszcze ieuchoy, ęt uładu był ówy zeu, zate w dowolej chwili t ęt tego uładu ówież będzie ówy zeu. Po ozpoczęciu uchu putu A tacza zaczie się pouszać uche obotowy z pędością ątową w ieuu pzeciwy do uchu putu (ys. 7.0b). Pędość putu taczy, w tóy w chwili t zajduje się put A, czyli pędość uoszeia putu A ω ω b + x ωb si t. u + Pędość putu A względe taczy (pędość względa) dx w bcost. Z olei pędość bezwzględa putu A jest ówa suie wetoowej pędości uoszeia i pędości względej: +. A Rzut wetoa pędości bezwzględej putu A a ieue postopadły do poieia A jest ówy cosα. u w w u Kęt uładu w chwili t względe osi obotu z słada się z ętu i ętu z taczy względe tej osi. Kęt putu A z putu A z ( cosα ) ( cosα ) w u w u ( wb ωb + si t ) ( b cost ωb + si t b + x ) [ b cost ωb ( + si t) ], a ęt taczy względe osi obotu z I zω R ω. Poieważ ęt całowity uładu jest w ażdej chwili ówy zeu, otzyujey: [ b cost ωb ( + si t) ] R ω 0.

15 Z powyższego ówaia zajdujey pędość ątową taczy: b cost ω. b ( + si t) + R