Drgania harmoniczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Drgania haroniczne Projet współfinansowany przez Unię Europejsą w raach Europejsiego Funduszu Społecznego

2 Drgania haroniczne O oscylatorze haroniczny ożey ówić wtedy, iedy siła haująca działa proporcjonalnie do wychylenia z położenia równowagi. Równanie ruchu a wtedy postać: d dt x x Pierwszy wyraz to zapisane różniczowo przyśpieszenie ciała a. W drugi wyrazie występuje wychylenie x oraz częstość drgań własnych. Rozwiązanie taiego równania a postać: x Asin t gdzie f faza początowa. Są to drgania oresowe, a ores drgań wynosi Przyłade drgań haronicznych jest ruch odważnia o asie, zaczepionego do nieważiej sprężyny o współczynniu sprężystości. Równanie ruchu a postać: a x d x dt x gdzie x- wydłużenie sprężyny Porównując to równanie z równanie oscylatora haronicznego otrzyujey częstość drgań własnych:

3 Prędość i przyspieszenie w ruchu haroniczny Z równania ruchu haronicznego x Asin t ożna wyznaczyć zależność prędości od czasu dx v Acost dt a taże zależność przyspieszenia od czasu dv a A sint dt prędość przyspieszenie wychylenie t Zależność wychylenia, prędości i przyspieszenia od czasu

4 Energia w ruchu haroniczny Energię potencjalną w ruchu haroniczny wyznaczay, obliczając pracę, jaą trzeba wyonać, aby przesunąć ciało na odległość x z położenia równowagi. Przy przesuwaniu o odcine dx wyonay pracę: dw Fdx Całowita praca jest równa: W Fdx x Energia potencjalna w ruchu haroniczny: Energia inetyczna w ruchu haroniczny: x x E x dx v Energia całowita w ruchu haroniczny: x v A sin E c E p E x E p A cos t t A cos t A Energia całowita nie zależy od czasu jest stała E c A E E c A Zależność energii inetycznej i potencjalnej od wychylenia E v x E p x

5 Wahadło ateatyczne i fizyczne Równanie ruchu dla wahadła ateatycznego a postać: a gsin Po przeliczeniu przyśpieszenia liniowego na ątowe, oraz zastosowaniu przybliżenia sin a = a dla ałych ątów, otrzyujey: g gdzie przyśpieszenie ątowe, lub w zapisie różniczowy: l d dt g l Jest to równanie oscylatora haronicznego, tórego ores i częstotliwość wynoszą g l l g Podobne obliczenia ożna przeprowadzić dla bryły sztywnej, zawieszonej na osi przechodzącej powyżej swojego środa asy. Otrzyujey: I gd I gd gdzie I oent bezwładności bryły względe wybranej osi, asa bryły, g przyśpieszenie ziesie, d odległość od wybranej osi do środa asy bryły.

6 Drgania haroniczne Zadanie. Długość swobodna sprężyny zwisającej pionowo wynosi L = c, a jej stała sprężystości wynosi N/. Na sprężynie zawieszono ulę o asie = g a następnie puszczono swobodnie. Oblicz, jaie będzie najniższe i najwyższe położenie uli. Podaj, gdzie znajduje się położenie równowagi taiego uładu. Oblicz ores drgań. Kiedy ula zostaje zawieszona na sprężynie, a energię potencjalną względe najniższego położenia. W najniższy położeniu energia ta zostaje zaieniona w energię sprężystości: d gd Równanie to a dwa rozwiązania ze względu na d, tóre odpowiadają srajny położenio ciężara.jedno rozwiązanie to d= ciężare wraca do położenia początowego. Drugie rozwiązanie to d g Po obliczeniu otrzyujey d =.. Zate najniższe położenie uli to L +d = 3 c. Gdyby ula wisiała swobodnie na sprężynie, siła sprężystości równoważyłaby siłę grawitacji. Pozwala to obliczyć wydłużenie równowagowe d położenie, woół tórego następują oscylacje. Obliczay ores: g d Po obliczeniu otrzyujey d =.. Otrzyujey wartość =.63 s

7 Drgania haroniczne Zadanie Kloce o asie = g leży na gładi stole i jest przyczepiony do ściany pozioą sprężyną o stałej sprężystości = 8 N/ i długości swobodnej L = c. Kloce o identycznej asie i prędości v = 4 /s poruszający się w ierunu ściany zderza się z ni niesprężyście. Na jaą inialną odległość L in zostanie ściśnięta sprężyna, a na jaą L ax rozciągnięta? Jai będzie ores drgań po zderzeniu? Zderzenie jest niesprężyste i loci łączą się ze sobą. Korzystay z zasady zachowania pędu by obliczyć wspólną prędość loców po zderzeniu. v u Ponieważ w zadaniu =, to u=v/ = /s Energia inetyczna loców po zderzeniu zieni się całowicie w energię sił sprężystych w srajnych położeniach - jeśli sprężyna zostanie asyalnie ściśnięta bądź rozciągnięta (wtedy u=) u d gdzie d aplituda drgań. Po przeształceniach otrzyujey d =. i d = -..Sprężyna zostanie ściśnięta na odległość L +d = c, a rozciągnięta na odległość L +d = 3 c. Ores drgań obliczyy ze wzoru: wynosi.34 s

8 Drgania haroniczne Zadanie 3 Walec o asie = g uieszczono w połowie gładiego, pozioego cylindra. Kiedy walec jest zaczepiony do jednego z zaończeń cylindra sprężyną, wyonuje drgania o częstotliwości Hz. Kiedy przypięto go drugą sprężyną do drugiego ońca cylindra, częstotliwość drgań wyniosła Hz. Załadając, że długości swobodne sprężyn są równe odległościo od podstaw walca do ońców cylindra, oblicz ile wynoszą stałe sprężystości sprężyn? Zaczynay od sytuacji, iedy zaczepiona jest tylo jedna sprężyna. Częstość drgań ω wynosi wtedy: f Obliczona wartość wynosi 39.5 N/ Zapisujey równanie ruchu dla dwu sprężyn: a x x a x Zate częstość drgań wynosi: Stąd: f Wydłużenie jednej ze sprężyn powoduje identyczne srócenie drugiej. f Druga ze sprężyn a stałą sprężystości 8.4 N/

9 Drgania haroniczne Zadanie 4 Obliczyć ores drgań uładu przedstawionego na rysunu. Zaniedbać opór powietrza i tarcie. F F' F x Po wychyleniu loca z położenia równowagi do położenia x pierwsza sprężyna wydłuży się o d a druga o d, przy czy: d d x F d F d Ruch loca będzie się odbywać pod wpływe siły. W iejscu połączenia sprężyn działają siły i. Ich wartości są równe, zate: d Z uładu równań: d d d x d d F F ' F x obliczay: d x, a następnie F d x Z porównania ze wzore na siłę haroniczną wynia, że * *, zate:

10 Drgania haroniczne Zadanie 5 Płasa podstawa porusza się ruche haroniczny pionowy. Na tej podstawce leży odważni. Jaa oże być asyalna aplituda tych drgań, aby odważni nie odrywał się od podstawi? Ores drgań podstawi i odważnia wynosi, a przyspieszenie ziesie g. Odważni znajduje się w uładzie nieinercjalny (podstawa porusza się z przyspieszenie różny od zera), działa więc na niego siła bezwładności zawsze sierowana przeciwnie do zwrotu przyspieszenia podstawi. Odważni oże oderwać się od podstawi, jeśli przyspieszenie będzie sierowane w dół i osiągnie asyalną wartość (podstawa będzie w najwyższy położeniu). Zapisujey równanie ruchu haronicznego: stąd: x Acos t a A cos t a a g Wartość asyalna przyspieszenia wynosi: a ax A Odważni nie oderwie się od podstawi, jeśli: a ax g ponieważ A g g A g A 4

11 Drgania haroniczne Zadanie 6 Drewniany sześcian o rawędzi a i gęstości ρ pływa na powierzchni wody (gęstość ρ ). Sześcian popchnięto w dół i zaczął wyonywać drgania. Wyazać, ze są to drgania haroniczne i obliczyć ores drgań. W położeniu równowagi () siły wyporu i ciężości równoważą się. W położeniu () działa niezrównoważona siła wyporu: F xa g () () F F x Siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia x i przeciwnie sierowana. Jest to więc ruch haroniczny o współczynniu: a g eraz ożey obliczay częstotliwość drgań własnych: g a A następnie ores drgań: a g

12 Wahadło fizyczne Zadanie 5 Sztywny, cieni pręt o długości L = i asie = 5 g zawieszono na prostopadłej osi, przecinającej go w ¼ długości. Jai jest ores drgań taiej bryły? Ja zieni się ores po przeniesieniu osi na oniec pręta? Ores wahadła fizycznego wyrażony jest wzore: May zate do wyliczenia dwie niewiadoe: oent bezwładności I i odległość od osi do środa asy d. Moent bezwładności wyliczay z twierdzenia Steinera: I I x L gdzie x=¼ L oznacza równoległe przesunięcie osi względe osi związanej ze środie asy pręta, dla tórej oent bezwładności I =L / L 4 L L 6 Widziy również, że szuane d = ¼ L, gdyż taa jest odległość iędzy środie asy pręta a wybraną osią. Zate szuany ores: 7 48 L I gd 7 48 g L 4 L 7 4L 48g Ores jest niezależny od asy pręta i wynosi.5s (g przyjęto jao /s ). Jeśli oś przeniesiey na oniec pręta, otrzyay: L I 3 oraz d= ½ L Ores wynosi w ty przypadu.6 s.

13 Wahadło fizyczne Zadanie 6 Sztywny, cieni pręt o długości L = i asie = 4 g zawieszono na prostopadłej osi, przechodzącej przez oniec pręta. Na jego drugi ońcu zawieszono ołowianą ulę o asie M = g. Jai jest ores drgań taiej bryły? Kulę potratuj jao asę puntową. Podobnie ja poprzednio, orzystay ze wzoru na ores wahadła fizycznego Obliczay oent bezwładności bryły względe osi. Jest on suą oentów bezwładności pręta i uli. I gd I I P I K I P L L L 3 I K ML Żeby obliczyć odległość d, usiy znać położenie środa asy bryły. Począte uładu wygodnie jest przyjąć w osi. R ś r i i i L LM M Środe asy znajduje się w odległości /3 L od osi i taą przyjujey odległość d. L 3 ML 3 M g L Obliczony ores wynosi.8 s.

14 Wahadło fizyczne Zadanie 7 Jai jest ores wahań jednorodnej uli o asie =,5 g i proieniu R= zawieszonej na ały haczyu wbity w jej powierzchnię? Na ja długi sznuru trzeba by zawiesić ałą ulę o taiej saej asie, aby wahała się z taą saą częstotliwością? Moent bezwładności uli względe puntu zawieszenia (z twierdzenia Steinera): I I R I R r 5 Ze wzoru na ores wahadła fizycznego: 7 R 5 I 7R 7R 35, [ s ] gr 5gR 5g Ores wahadła ateatycznego a być równy oresowi wahadła fizycznego: l 7R 7 l R 4, [ ] g 5g 5 a długość jest nazywana długością zreduowaną wahadła fizycznego.

15 Zadania do saodzielnego rozwiązania. Model zawieszenia saochodu jest płasą płytą o asie = g, podpartą czterea identycznyi sprężynai. Jaie uszą być ich stałe sprężystości, aby częstotliwość drgań wynosiła Hz (załaday, że płyta drga jedynie w płaszczyźnie pionowej)? Odp.: 5 N/. Na szczycie gładiej równi pochyłej, nachylonej pod ąte 3 do poziou przyocowano sprężynę o długości swobodnej L =,5 i stałej sprężystości N/, a do niej zaczepiono ciężare o asie = g. Oblicz: a) gdzie znajduje się położenie równowagowe, b) odległość od szczytu równi do najniższego puntu, do tórego sięga ciężare w tracie drgań, c) ores drgań Odp.: a) 55 c od szczytu równi, b) 6 c od szczytu równi, c),68 s 3. Do sprężyny, zawieszonej na suficie o długości początowej L =.3 zaczepiono ciężare, tóry po swobodny puszczeniu wyonuje drgania o aplitudzie,. Kiedy zaczepiono drugi ciężare o asie = g, ores drgań wyniósł s. Ile wynosi stała sprężystości sprężyny i asa pierwszego ciężara? Odp.: x =,65 g, = 65 n/ 4. Ores drgań wahadła sładającego się z cieniej, nieważiej niti o długości L i ciężara wynosi. Ja należy dobrać długość nici by uzysać ores drgań: a) dwa razy dłuższy, b) trzyrotnie rótszy? Odp.: a) L = 4L, b) L = L/9 5. Oblicz ores drgań dysu o średnicy D =, zawieszonego na osi przechodzącej przez jego rawędź prostopadle do płaszczyzny dysu. 6D Odp.:, s g 6. Wahadło zegarowe wyonano zaczepiając dys o asie = g i średnicy L =. do ońca pręta o długości L = i asie = g ta, że środe dysu znajduje się na ońcu pręta, a jego płaszczyzna jest równoległa do pręta. Oblicz ores drgań bryły, jeśli oś obrotu uieściy w połowie długości pręta, prostopadle do płaszczyzny dysu. Odp. =,6 s

16 7. Kula o asie =, g zaczepiona na sprężynie wyonuje drgania haroniczne. Zależność jej prędości od czasu opisuje wzór: v t = cos6s t Ja zależy od czasu energia inetyczna i potencjalna uli? Oblicz najwięszą s energię inetyczną, jaą osiąga ula, jaa wtedy będzie energia potencjalna siły sprężystości? Odp.: E t = 5 J - cos 6s t E p t = 5J - cos 6s t E ax 5J E p 8. W U-rurce o przeroju S znajduje się słup wody o długości l. Po wychyleniu z położenia równowagi słupe cieczy zaczął wyonywać drgania. Wyaż, że są to drgania haroniczne i znajdź ores drgań. l Odp.: gs g 9. Położenie ciała wyonującego drgania haroniczne opisuje wzór : x t Acos t, gdzie A =. ω =, s -. Jaa jest najwięsza prędość ciała? Odp.: v =,4 /s.ores drgań ciała o asie = g zaczepionego na sprężynie wynosi = s. Aplituda drgań równa jest A = c. Znaleźć współczynni sprężystości sprężyny i asyalną prędość ciała. Odp.: =, N/, v ax =,68 /s