LABORATORIUM Z FIZYKI

Transkrypt

1 Projekt Plan rozwoju Politechniki Częstochowskiej współfinansowany ze środków UN EUROPEJSKEJ w raach EUROPEJSKEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Nuer Projektu: POKL /08 NSTYTUT FZYK WYDZAŁNśYNER PROCESOWEJ, MATERAŁOWEJ FZYK STOSOWANEJ POLTECHNKA CZĘSTOCHOWSKA LABORATORUM Z FZYK Ć W C Z E N E N R W- WYZNACZANE PARAMETRÓW WAHADŁA FZYCZNEGO O ZMENNEJ GEOMETR Politechnika Częstochowska, Centru Proocji i Zastosowań Nauk Ścisłych ul. Dąbrowskiego 7 pok. 78, 4-00 Częstochowa tel./ fax , e-ail: ii@ii.pcz.pl,

2 Ćwiczenie W-: Wyznaczanie paraetrów wahadła fizycznego o ziennej geoetrii. Zagadnienia do przestudiowania. a) Siła wypadkowa i oent sił. b) Zasady dynaiki Newtona dla ruchu postępowego i obrotowego. c) Ruch haroniczny prosty. d) Wahadło fizyczne i wahadło ateatyczne. e) Moent bezwładności brył i twierdzenie Steinera. f) Moent kierujący i długość zredukowana wahadła fizycznego. g) Wyznaczanie środka asy i oentu bezwładności układów złoŝonych z brył o kształtach regularnych Wprowadzenie teoretyczne Za wahadło fizyczne oŝna uwaŝać bryłę sztywną dowolnego kształtu (np. jak na Rys. a), zawieszoną powyŝej środka asy, która oŝe wykonywać drgania okresowe wokół pozioej osi przechodzącej przez punkt zaczepienia. Wahadłe ateatyczny jest abstrakcyjny układ składający się z punktowej asy zawieszonej na nierozciągliwej nici. PrzybliŜenie fizyczny wahadła ateatycznego jest zazwyczaj kulka o asie, zawieszona na nici o długości l (Rys. b). Wahadła ateatyczne i fizyczne, w najprostszy przypadku, wykonują ruch drgający pod działanie siły cięŝkości. W zakresie ałych aplitud ruch ten oŝe być przybliŝony do ruchu haronicznego prostego. Ruche haroniczny nazyway taki ruch okresowy, w który wartość siły F, powodującej ten ruch, jest wprost proporcjonalna do wychylenia z połoŝenia równowagi, zgodnie z zaleŝnością: F = - k x () gdzie x jest wychylenie w przypadku ruchu wzdłuŝ osi X układu współrzędnych o środku w punkcie równowagi, tzn. w punkcie, w który siła F = 0, k jest współczynnikie proporcjonalności zaleŝny od rodzaju siły powodującej drgania. Znak inus uwzględnia fakt, Ŝe siła jest zwrócona przeciwnie do kierunku wychylenia. Rys. Modele wahadła: a) fizycznego, b) ateatycznego Okres drgań wahadła fizycznego dla ałych aplitud, odpowiadających przybliŝeniu ruchu haronicznego z zadowalającą dokładnością, wyraŝa się wzore:

3 Ćwiczenie W-: Wyznaczanie paraetrów wahadła fizycznego o ziennej geoetrii T = π = π () gd D gdzie: jest oente bezwładności względe osi przechodzącej przez punkt zaczepienia, jest asą wahadła, g przyspieszenie zieski, d odległością środka asy wahadła od osi obrotu. Paraetr D = gd jest nazywany oente kierujący wahadła. kg Jednostką oentu kierującego wahadła jest. s Moent bezwładności punktu aterialnego o asie, obracającego się wokół osi oddalonej od punktu o r definiujey jako; = r () JeŜeli bryłę sztywną potraktować jako zbiór n eleentów o asach i, z których kaŝdy jest odległy od osi obrotu o r i, to w pierwszy przybliŝeniu oŝna zapisać wzór na oent bezwładności bryły jako: n i ri (4) i= = Dokładniejsze określenie oentu bezwładności, przy zniejszaniu eleentów i do punktów i przejściu do ciągłego rozkładu asy oraz wynikającego stąd n, wyaga znajoości rachunku całkowego i będzie oawiane na kursowych wykładach z fizyki, ujętych w prograie studiów. Dla oentów brył o kształtach regularnych istnieją odpowiednie wzory, wyprowadzone przy uŝyciu rachunku całkowego. Przykładowo, oent bezwładności walca pełnego o asie i proieniu podstawy r, względe osi obrotu pokrywającej się z osią walca, jest określony jako: = r (5) Jeśli walec ten a długość l, to jego oent bezwładności względe osi prostopadłej do osi walca i przechodzącej przez środek asy jest równy: o = l (6) JeŜeli znay oent bezwładności bryły o asie względe osi przechodzącej przez środek asy, oznaczony jako o i chcey wyznaczyć oent bezwładności tej bryły względe innej osi obrotu, równoległej do osi przechodzącej przez środek asy, to oŝey skorzystać z twierdzenia Steinera o postaci: gdzie b jest odległością iędzy osiai obrotu. Jednostką oentu bezwładności jest kg. x = o + b, (7) Przy wyznaczaniu oentu bezwładności lub oentu kierującego wahadła fizycznego poocna jest uiejętność wyznaczania środka asy brył. Środek asy ciała to punkt, w który przyłoŝone siły zewnętrzne powodują jego ruch taki jak gdyby była w ni skupiona cała asa ciała. W przypadku ruchu obrotowego występuje pojęcie środka cięŝkości ciała. Jest to punkt, względe którego sua oentów sił cięŝkości działających na ciało jest równa zeru. Dla ciał, dla których siłę cięŝkości oŝna uznać za niezienną w całej objętości, połoŝenie środka cięŝkości pokrywa się ze środkie asy. W praktyce uŝyway tych pojęć najczęściej zaiennie, a rozróŝniać je naleŝy przy analizie oddziaływań grawitacyjnych bardzo duŝych ciał, np. w przypadku ruchu KsięŜyca w polu grawitacyjny Ziei. JeŜeli przez r s oznaczyy wektor połoŝenia środka asy względe początku kartezjańskiego układu współrzędnych, to dla brył składających się ze zbioru n as eleentarnych:

4 Ćwiczenie W-: Wyznaczanie paraetrów wahadła fizycznego o ziennej geoetrii = n i= r s n i= r gdzie: r i jest wektore połoŝenia i-tej asy eleentarnej i względe początku układu współrzędnych. i i i (8) W przypadku pojedynczych, jednorodnych brył o kształtach regularnych, środek asy pokrywa się ze środkie geoetryczny. JeŜeli układ składa się z n brył regularnych, to połoŝenie środka asy takiego układu oŝe być wyznaczone w oparciu o wzór (8) przy załoŝeniu, Ŝe i oznacza asy poszczególnych brył, a r i połoŝenia środków ich as względe początku układu odniesienia. Moent bezwładności układu ciał składającego się z brył o kształtach regularnych względe osi obrotu jest równy suie oentów bezwładności poszczególnych brył względe danej osi obrotu. Okres drgań wahadła ateatycznego, wykonującego ruch w polu grawitacyjny, wyraŝa się wzore: l T = π (9) g Wzory () i (8) wyprowadza się w oparciu o rozkład siły grawitacji, przyłoŝonej w środku asy, na dwie wzajenie prostopadłe składowe (Rys.), z których jedna, F s = gsinα, powoduje ruch drgający wahadła. Wykorzystując tę siłę w drugiej zasadzie dynaiki dla ruchu obrotowego, stosując przybliŝenie sinα α, zadowalające dla ałych kątów α oraz równanie (), oŝey otrzyać wzory na okresy drgań wahadła fizycznego i ateatycznego. Do przeprowadzenia odpowiednich działań ateatycznych wyagana jest jednak znajoość podstaw rachunku róŝniczkowego, stąd teŝ zagadnienie to zostało tutaj przedstawione w sposób opisowy, dla podkreślenia, Ŝe wzory te wywodzą się z podstawowych praw fizyki, do jakich naleŝą zasady dynaiki Newtona. Dla kaŝdego wahadła fizycznego oŝey dobrać wahadło ateatyczne o takiej długości, aby ich okresy wahań były sobie równe. Długością zredukowaną wahadła fizycznego nazyway długość jaką a wahadło ateatyczne o ty say okresie wahań co dane wahadło fizyczne. Długość zredukowaną l z obliczay porównując ze sobą prawe strony równań () i (8), w wyniku czego otrzyay: l z = D g = d Cele danego ćwiczenia jest porównanie zaleŝności okresu drgań od odległości środka asy od osi obrotu w przypadku wahadła fizycznego przedstawionego na Rys. a z zaleŝnością okresu drgań od długości wahadła ateatycznego.. Przebieg ćwiczenia Zdjąć obciąŝnik B z wahadła fizycznego. Wykonać poiary czasu 0 drgań saego pręta A.. ZałoŜyć obciąŝnik B na pręt A i zaocować w iejscu odpowiadający odległości środka asy obciąŝnika od osi obrotu x = Wykonać poiary czasu 0 drgań. 5. Powtórzyć czynności z punktu 4 dla pozostałych odległości x podanych w Tabeli 6. Wykonać po poiary czasu 0 drgań dla wahadła ateatycznego o długościach z Tabeli 7. Wyniki zapisać w tabelach poiarów. (0) 4

5 Ćwiczenie W-: Wyznaczanie paraetrów wahadła fizycznego o ziennej geoetrii V. Tabele poiarów Tabela Wyniki dla wahadła fizycznego Odległość x obciąŝnika B od Czas 0 drgań Lp. osi obrotu [] bez obciąŝnika Średni okres drgań T Odległość d środka asy od osi obrotu [] 5

6 Ćwiczenie W-: Wyznaczanie paraetrów wahadła fizycznego o ziennej geoetrii Tabela Wyniki dla wahadła ateatycznego Lp. Długość l wahadła Czas 0 drgań [] Średni okres drgań T V. Opracowanie wyników poiarów Do obliczeń przyjąć następujące dane: asa pręta p = kg, długość pręta l p = 7, odległość środka asy pręta od osi obrotu d = 0.5, asa obciąŝnika o =0.409 kg, przyspieszenie zieskie g = 9.8. s Wyliczyć teoretyczną wartość okresu drgań wahadła fizycznego bez obciąŝnika w oparciu o wzory (), (6) i (7), zakładając, Ŝe pręt jest jednorodny i a kształt walca na całej długości. Porównać okres obliczony ze zierzony.. Wyliczyć teoretyczne wartości okresu drgań wahadła ateatycznego w oparciu o wzór (9) dla l = 00 i l = 0.0 i porównać je z wartościai zierzonyi. 4. Obliczyć średnie okresy drgań dla wahadła fizycznego i ateatycznego wg. Tabeli i Tabeli 5. Wyznaczyć połoŝenia d środka asy w oparciu o wzór (8) dla odległości x obciąŝnika od osi obrotu podanych w Tabeli 6. Sporządzić na jedny układzie współrzędnych wykresy T = f(x), T = f(d) dla wahadła fizycznego i T = f(l) dla wahadła ateatycznego. 7. Z przecięcia wykresów T = f(x) i T = f(l) wyznaczyć wartość x = l z odpowiadającą długości wahadła ateatycznego o okresie T z równy okresowi wahadła fizycznego. 8. Z wykresu T = f(d) dla wahadła fizycznego odczytać wartość d z odpowiadającą okresowi T z.oraz wartość d, dla którego okres drgań T osiąga wartość inialną. 6

7 Ćwiczenie W-: Wyznaczanie paraetrów wahadła fizycznego o ziennej geoetrii 9. W oparciu o wzór (0) obliczyć oent bezwładności z, charakterystyczny dla długości zredukowanej danego wahadła fizycznego o geoetrii odpowiadającej zaleŝności x = l z oraz oent odpowiadający inialnej wartości okresu drgań T, z przekształcenia wzoru (). V. Rachunek błędów Obliczyć błędy poiaru okresu drgań T dla kaŝdego z połoŝeń obciąŝnika wahadła fizycznego i dla kaŝdej z długości wahadła ateatycznego poprzez wyliczenie średniej wartości T śr z poiarów i przyjęcie za T aksyalną odchyłkę pojedynczego poiaru od wartości średniej: T = sup T i - T śr i =,, Nanieść błędy na wykresy T = f(x), T = f(l) i T = f(d) przyjując x = l = d = ±0 -.. Obliczyć błąd bezwzględny oentu bezwładności z w oparciu o wzór: z = d z l z + l z d z + d z l z gdzie = ±0 - kg, d z = l z = ± Obliczyć błąd bezwzględny oentu bezwładności w oparciu o wzór: = 4π ( T gd T+ T g d + T g d ) gdzie d = ±0 -, T jest średnią z wartości wyliczonych w punkcie dla wahadła fizycznego. a. Obliczyć błędy względne δ z = z 00% i δ = z 00% V. Dyskusja błędów i wyników Przedyskutować oŝliwe przyczyny róŝnic poiędzy teoretycznyi i doświadczalnyi wartościai okresów drgań. Przedyskutować przebieg zaleŝności T = f(d) dla wahadła fizycznego i T = f(l) dla wahadła ateatycznego. V. Literatura D. Halliday, R. Resnick, J. Walker; Podstawy fizyki, t., PWN Warszawa Sz. Szczeniowski; Fizyka doswiadczalna, cz., PWN Warszawa. C. Kittel, W.D. Knight, M.A.Ruderan; Mechanika, PWN Warszawa 7