SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z FIZYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

Transkrypt

1 Publikacja współfinansowana ze śodków Unii Euopejskiej w amach Euopejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z FIZYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE d Janusz Chzanowski PUBLIKACJA DYSTRYBUOWANA BEZPŁATNIE

2 SPIS TREŚCI. Podstawy achunku wektoowego Kinematyka punktu mateialnego Dynamika uchu postępowego Pęd, zasada zachowania pędu Paca i enegia. Zasada zachowania enegii mechanicznej Dynamika były sztywnej Pole gawitacyjne Dgania Fale Hydostatyka i hydodynamika Elementy temodynamiki... 7.Pole elektyczne Pojemność elektyczna- kondensatoy Pąd elektyczny obwody pądu stałego Pole magnetyczne wokół pzewodnika z pądem Wzbudzanie pądów zmiennych, Pawo Faadaya, fale elektomagnetyczne Fale elektomagnetyczne Elementy fizyki ciała stałego... 9.Elementy fizyki jądowej... 8

3 . Podstawy achunku wektoowego Wekto. Wektoem nazywamy upoządkowaną paę punktów. Wekto jest wielkością zdefiniowaną pzez długość (moduł), kieunek działania oaz zwot. Dwa wektoy o tym samym module, kieunku i zwocie są sobie ówne. Wekto pzesunięty ównolegle w pzestzeni pozostaje tym samym wektoem. Pzykładem wielkości wektoowej są: pędkość, pzyspieszenie, siła, moment siły, pęd, moment pędu. Rozkład wektoa na składowe. Dowolny wekto możemy zapisać w postaci sumy jego zutów zoientowanych na osie układu współzędnych: A = A i + A j + A k x y z A, A, A ], [ x y z gdzie i, j, k są jednostkowymi wektoami (wesoami) o kieunkach i zwotach pokywających się z kieunkami i zwotami osi x, y, z (Rys..). z A z A k i O j A y y x A x Rys.. Rozkład wektoa na składowe w tójwymiaowym układzie współzędnych postokątnych. W układzie dwuwymiaowym (na płaszczyźnie) wyażenie () pzyjmuje postać: A = A i + A j A, A ], x y [ x y y A y A j i Rys.. Rozkład wektoa na składowe w płaskim układzie współzędnych postokątnych. Dodawanie i odejmowanie wektoów. Aby gaficznie dodać dwa wektoy A i B, pzesuwamy ównolegle jeden z nich, np. wekto B tak, by jego początek pokył się z końcem dugiego wektoa A x x 3

4 ( A ). Sumę wektoów A i B tw wektoa B wozy wekto łączący początek wektoa A z końcem pzesuniętego. Poceduę tą możemy stosować do większej liczby wektoów, a kolejność ich ównoległego pzemieszczania jest dowolna. Aby gaficznie odjąć dwa wektoy możemy wykozystać poceduę gaficznego dodawania zastępując wekto odejmowany wektoem pzeciwnie do niego zoientowanym (Rys.3.). A A B A + B A B B B B B B + A A B A A B Rys..3. Gaficzne dodawanie i odejmowanie wektoów. Wektoy ozłożone na składowe dodajemy lub odejmujemy dodając lub odejmując ich odpowiednie składowe: (.3) A v ± B = A ± B, A ± B, A ± B ]. [ x x y y z z (.4) Iloczyn skalany dwóch wektoów. Iloczynem skalanym wektoów A i B nazywamy skala okeślony pzez wyażenie: v A B = A B cosϕ, (.5) gdzie A A = A + A + A x y z, (.6) B B = B + B + B x y z (.7) są długościami wektoów A i B, zoientowanych względem siebie pod kątem ϕ. Iloczyn skalany można ównież obliczyć sumując iloczyny odpowiednich składowych wektoów A i B : A B v = A B + A B + A B. x x y y z z (.8) 4

5 Pzykładem iloczynu skalanego jest paca mechaniczna, zdefiniowana jako iloczyn skalany siły F i pzesunięcia s : L = F s = Fscosϕ. (.9) Powyższa elacja jest popawna pzy założeniu, że w każdym punkcie dogi wekto siły ma tą samą długość i jest zoientowany względem pzesunięcia pod tym samym kątem. W ogólnym pzypadku pacę, któą wykonuje pole siłowe F pzemieszczając punkt wzdłuż dowolnej tajektoii z punktu P x, y, ) do punktu P ( x, y, z) okeśla wyażenie: ( z L x y z P P = + F ds = Fxdx + Fydy P P x y z F dz. (.) z B C = A B B ϕ A ϕ A (a) (b) Rys.. 4 Ilustacja do definicji iloczynu skalanego (a) i wektoowego (b). Iloczyn wektoowy dwóch wektoów. Iloczynem wektoowym dwóch wektoów A i B nazywamy wekto C = A B, (.) o długości C C = A B sinϕ (.) i oientacji wyznaczonej pzez postą postopadłą do płaszczyzny, w któej leżą wektoy A i B. Zwot wektoa C wyznacza eguła śuby pawej (Rys.4.). Iloczyn wektoowy wektoów A i B można także pzedstawić w ównoważnej postaci: A B = i A B x x j A B y y k A B z z = [ A B A B, A B A B, A B A B ] y z z y z x x z x y y x. (.3) 5

6 W odóżnieniu od iloczynu skalanego, iloczyn wektoowy nie jest pzemienny: A B = B A. (.4) Pzykładem iloczynu wektoowego jest moment wielkości fizycznej zdefiniowany, jako iloczyn wektoowy wektoa położenia (amienia) oaz wektoa, od któego wywodzi się nazwa momentu. Moment siły i moment pędu będą więc miały odpowiednio postać: = moment siły = moment pędu.. Kinematyka punktu mateialnego Zajmiemy się opisem uchu ozumianym jako zmiany położenia jednych ciał względem innych, któe nazywamy układami odniesienia. Należy zwóć uwagę, że to samo ciało może pouszać się względem jednego układu odniesienia a spoczywać względem innego. Oznacza to, że uch jest pojęciem względnym. Wekto położenia. Wektoem położenia lub wektoem wodzącym punktu P nazywamy wekto, któego początek znajduje się w początku układu współzędnych, natomiast koniec wyznacza położenie punktu P (Rys...). z P( x, y, z) (t) v (t) k O i j ( t + t) y x Rys... Wekto położenia we współzędnych katezjańskich. Składowymi wektoa położenia są współzędne x, y, z punktu P : = xi + yj + zk [ x, y, z], (.) a jego długość okeśla wyażenie = = x + y + z. (.) Gdy punkt P pzemieszcza się w pzestzeni, to wekto wodzący, a zatem i jego składowe są funkcjami czasu. 6

7 Pędkość punktu. Pędkością punktu w uchu postępowym zdefiniowana jest pzez pochodną wektoa wodzącego po czasie: gdzie jest zmianą wektoa wodzącego w czasie punktu możemy zapisać w postaci: d ( t + t) ( t) v = = lim = lim, (.3) t t dt t t t. Uwzględniając definicję (.), pędkość v = [ v, v, v], x y v = v = v + v + v, (.4) x y z gdzie v dx dy dz =, vy =, vz (.5) dt dt dt x = są składowymi pędkości odpowiednio na kieunku x, y, z. Pzyspieszenie punktu. Pzyspieszenie punktu w uchu postępowym zdefiniowane jest pzez pochodną wektoa pędkości po czasie: dv v v( t + t) v( t) a = = lim = lim. (.6) t t dt t t Uwzględniając elacje (.4), (.5), pzyspieszenie punktu możemy zapisać w postaci: a = a, a, a ], [ x y z x y z a = a = a + a + a, (.7) gdzie a dv dv da d z = (.8) dt dt dt dt dt dt x d x y d y z x =, a, v y = = z = = są składowymi wektoa pzyspieszenia odpowiednio na kieunku x, y, z. Pzykład. Pom kusuje między pzystaniami A, B znajdującymi się po pzeciwnych stonach zeki (ys) o szeokości 6 m. Pod jakim kątem należy skieować pom, aby płynął postopadle do bzegu z pędkością 6 s m względem zeki. Pędkość wody w zece wynosi 3 s m. Jaka jest pędkość pomu względem bzegu? B V V p α V A 7

8 Rys. v - wekto pędkości pomu względem zeki p v - wekto pędkości pądu zeki v - wekto pędkości pomu względem bzegu v = v p + v Z tójkąta wektoów pędkości v v p = sin α = α = 3 v v p m 3 = cos α v = v p cosα = 6 = 3 s Jak daleko od pzystani B pąd zeki zniósłby pom, gdyby stenik skieował pom postopadle do bzegu. 3 m s B C s d V V p β A V W tej sytuacji pom płynąłby z wypadkową pędkością v skieowaną pod kątem β. Jego uch można ozpatywać jako złożenie dwóch uchów postopadłych o pędkościach v p i odpowiednio. W czasie t, kiedy pom pzepłynie szeokość zeki z pędkością odległość i po podstawieniu s = v t. Ponieważ szeokość zeki AB = d otzymujemy d m 6m s = v = 3 = 3m v s m p 6 s v v p pąd zeki zniesie go na d = v t t = p d v p Ruch jednostajnie zmienny. W uchu jednostajnie zmiennym ( a = const) wektoa wodzącego od czasu ma postać: zależność pędkości oaz 8

9 v = v + a( t t ), (.) = + v ( t t ) + a( t t ), (.) gdzie v = v( t ) i = ( ) t wyznaczają odpowiednio pędkość punktu oaz jego położenie w początkowym momencie t. Równanie (.) zapisane w skalanej postaci pzedstawia zaazem paametyczny związek między współzędnymi x, y, z okeślający to tajektoii, po któej pousza się punkt. Znajomość obydwu waunków początkowych pozwala na pełne ozwiązanie dowolnego zagadnienia kinematyki punktu pouszającego się ze stałym pzyspieszeniem. W szczególności, powyższe ównania można wykozystać do opisu każdego pzypadku uchu ciała w jednoodnym polu gawitacyjnym g = const (zut pionowy, spadek swobodny ciała, zut poziomy, zut ukośny). Równania (. i.)są ównaniami wektoowymi, któe w aspekcie skalanym odpowiadają sześciu ównaniom tzy dla pędkości i tzy dla wektoa położenia. Jeżeli jednak oganiczymy się do uchu postoliniowego wzdłuż dowolnej osi (np. osi x) to pzybieają one fomę: = ±, = ± (.) Opisują one w posty sposób całą kinematykę punktu mateialnego, pzy czym znak plus odnosi się do uchów jednostajnie pzyśpieszonych, natomiast znak minus do jednostajnie opóźnionych. Jeżeli pzyśpieszenie jest ówne zeo (a=), ównania powyższe upaszczają się opisując uch jednostajny (ze stałą pędkością V=V ). W sytuacji kiedy V = co odpowiada uchowi jednostajnie pzyspieszonemu bez pędkości początkowej pzekształcają się one do postaci: =, = (.3) Badzo często pzedstawia się zagadnienia kinematyczne w fomie wykesów pokazujących zależności pzyśpieszenia, pędkości i dogi od czasu. Jak widać z powyższych elacji wielkości te zależą od czasu liniowo, a tylko doga w uchu pzyspieszonym zależy od kwadatu czasu, zatem jej wykesem musi być gałąź paaboli. Pzykłady wykesów pokazujących te elacje pezentowane są poniżej. V 3 V 4 t Rys.. Zależność pędkości od czasu dla uchów jednostajnie zmiennych 9

10 Jak wynika z powyższego ysunku i opisują uch jednostajnie pzyśpieszony bez pędkości początkowej, pzy czym uch opisany kzywą odbywa się z większym pzyśpieszeniem (dlaczego?). Ruch opisany kzywą 3 to uch jednostajnie pzyśpieszony z pędkością początkową V i z takim samym pzyśpieszeniem jak uch opisany kzywą. Kzywa 4 odpowiada uchowi jednostajnie opóźnionemu, któego pędkość początkowa jest taka sama jak w pzypadku 3, natomiast pędkość końcowa wynosi zeo. Kozystając z wykesów można nie tylko okeślić odzaje uchów, któe one pzedstawiają, ale także dokonać postych kalkulacji. Rozważmy uch tzech ciał A,B,C, dla któych zależności pędkości od czasu pzedstawione są na wykesie poniżej. V[m/s] C B A 3 4 t[s] Rys..3 Zależność pędkości od czasu dla tzech óżnych ciał A,B,C. Jak wynika z pzedstawionego wykesu analizujemy uch każdego z ciał pzez cztey kolejne sekundy. Ciało A w piewszej sekundzie uchu pousza się uchem jednostajnie pzyspieszonym z pzyśpieszeniem a = m/s, następnie pzez kolejne dwie sekundy uchem jednostajnym z pędkością V =m/s i ponownie pzez kolejną sekundę uchem jednostajnie pzyśpieszonym z pzyśpieszeniem takim samym jak popzednio. Ciało B pousza się cały czas uchem jednostajnie pzyśpieszonym bez pędkości początkowej z pzyśpieszeniem a =5m/s. Tzecie z ciał C pousza się uchem jednostajnie pzyśpieszonym, ale z pędkością początkową V =m/s i pzyspieszeniem a 3 =,5m/s. W celu wyznaczenia dogi jaką pzebyło w tym czasie każde z ciał musimy kozystać z óżnych odmian ównania.. Ciało A w piewszej sekundzie uchu pousza się uchem jednostajnie pzyspieszonym bez pędkości początkowej, a więc = = 5. Doga s pzebyta pzez to ciało w ciągu kolejnych dwóch sekund (uch jednostajny) wyaża się elacją = =. doga pzebyta w ostatniej sekundzie uchu wyaża się elacją = + =5m. Zatem całkowita doga pzebyta pzez to ciało w ciągu 4 s uchu wynosi s A =4m. W celu wyznaczenia dogi pzebytej pzez dugie z ciał kozystamy z elacji.3 otzymując = = 4, a więc ciało B pzebyło taką samą dogę jak ciało A.

11 Ponieważ uch tzeciego z ciał jest uchem jednostajnie pzyśpieszonym z pędkością początkową dogę pzebytą pzez to ciało obliczamy z ównania: = + = 6, co oznacza, że to ono pzebyło najdłuższą dogę. Ruch obotowy. W uchu po okęgu pędkość liniową oaz liniowe pzyspieszenie zastępujemy odpowiednio pędkością kątową oaz pzyspieszeniem kątowym: dϕ dω d ϕ ω =, ε = =, (.) dt dt dt gdzie d ϕ jest dogą kątową zakeśloną pzez pomień wodzący punktu w czasie dt (Rys...). W ogólnym pzypadku, pędkość kątową okeśla wekto ω postopadły do płaszczyzny wyznaczonej pzez wekto wodzący i wekto pędkości liniowej v. Związek pomiędzy tymi wektoami ma postać iloczynu wektoowego: v = ω. (.3) Relacja między pzyspieszeniem liniowym a i pzyspieszeniem kątowym ε ma postać: a = ε. (.4) ω ϕ dϕ v Rys... Ilustacja wektoa pędkości kątowej. Równania (.3), (.4), poste do udowodnienia dla uchu po okęgu, pozostają pawdziwe dla dowolnego uchu obotowego, w któym pędkość liniowa, kzywizna tajektoii, oientacja i długość wektoa pędkości kątowej oaz pzyspieszenia kątowego ulegają ciągłej zmianie. W uchu jednostajnie zmiennym po okęgu, wyażenia (.), (.), odniesione do pędkości kątowej i dogi kątowej, pzyjmują odpowiednio postać:

12 ω = ω + ε t ), (.5) ( t ϕ = ϕ + ω ( t t ) + ε ( t t ), (.6) gdzie ω = ω( t ) i ϕ = ϕ( t ) wyznaczają odpowiednio pędkość kątową punktu oaz jego położenie kątowe w początkowym momencie t. Pzyspieszenie styczne i nomalne. R a n a s v O a Rys..3. Rozkład pzyspieszenia na pzyspieszenie styczne i nomalne. W uchu postoliniowym wekto pzyspieszenia i pędkości punktu jest styczny do tajektoii. Jeżeli tajektoia nie jest postoliniowa, to wekto pzyspieszenia a twozy z wektoem pędkości liniowej v pewien kąt. Z wektoa pzyspieszenia wyodębniamy wówczas tą jego składową a s, któa jest związana ze zmianą watości pędkości (pzyspieszenie styczne) i składową a n związaną ze zmianą kieunku wektoa pędkości (pzyspieszenie nomalne): a = a s + a n, (.7) v, an = = R, a = as an dv a s = ω +, (.8) dt R gdzie R jest chwilowym pomieniem lokalnej kzywizny tajektoii. Pzyspieszenie nomalne jest zoientowane do śodka wpisanego w tajektoię okęgu i nosi nazwę pzyspieszenia dośodkowego. Pzykład. Bęben wiówki obaca się z częstotliwością f = 8 Hz. Po odcięciu zasilania bęben wykonuje n = 53 obotów uchem jednostajnie opóźnionym zmniejszając częstotliwość obotów do f = 8 Hz. Obliczyć czas hamowania, w któym następuje opisana edukcja obotów i pzyśpieszenie kątowe bębna. Obliczyć czas, po któym bęben się zatzyma. Rozwiązanie: Ruch bębna odbywa się ze stałym pzyspieszeniem kątowym. Zależność pędkości kątowej ω i dogi kątowej ϕ pokonanej pzez bęben od czasy opisują więc ównania (.5), (.6). Pzyjmując, że w momencie odcięcia zasilania t =, ϕ =, ω = πf, znajdziemy: ω πf + εt, = ϕ = πf t + εt,

13 gdzie ε jest pzyspieszeniem kątowym. Oznaczając czas hamowania pzez τ, otzymamy układ dwóch ównań z dwoma niewiadomymi ε i τ : ω πf = πf + ετ, = ϕ = π f + ετ n = π τ. Rozwiązując powyższy układ ównań znajdziemy: n τ =, ε = π ( f f ). f + f n Czas τ c, po któym bęben całkowicie się zatzyma otzymamy z waunku zeowania się pędkości kątowej: ω πf + ετ =, skąd = c f = π. ε τ c Podstawiając dane liczbowe otzymamy: τ = 4,s, ε = 54 ad/s, τ = 7, s c 3. Dynamika uchu postępowego Zasady dynamiki Newtona. Zasady dynamiki Newtona oaz pawo powszechnego ciążenia w pełni opisują zagadnienia mechaniki klasycznej. Zasady te w szczególności pozwalają znaleźć wszystkie paamety opisujące uch ciała, takie jak położenie pędkość i pzyspieszenie ciała w dowolnym momencie czasu oaz ównanie tajektoii, po któej ciało się pousza. Z zasad dynamiki fomalnie wynikają ównież fundamentalne zasady zachowania: zasada zachowania pędu, zasada zachowania momentu pędu oaz zasada zachowania enegii mechanicznej. Piewsza zasada dynamiki postuluje istnienie układów inecjalnych, tj. takich układów odniesienia, w któych gdy na ciało nie działa siła (lub działające siły się ównoważą), to ciało pozostaje w spoczynku lub pousza się uchem jednostajnym postoliniowym. Układ inecjalny w uposzczony sposób można okeślić, jako układ, któy nie doznaje pzyspieszenia. Zasady dynamiki oaz wynikające z nich zapisy obowiązują w układach inecjalnych. Duga zasada dynamiki wiąże siłę F działającą na masę m ze zmianą jej pędu p : dp F =, p = mv. (3.) dt Dla względnie małych pędkości, masa mjest stała i duga zasada dynamiki pzyjmuje postać: gdzie dv d F = ma, a = =, (3.) dt dt, v i a jest odpowiednio wektoem wodzącym, pędkością i pzyspieszeniem ciała. Tzecia zasada dynamiki głosi, że jeżeli ciało j-te działa na ciało i-te z siłą ciało j-te z siłą o tej samej wielkości i kieunku, lecz o pzeciwnym zwocie: F ij, to ciało i-te działa na F ij = F ji. (3.3) Z zasady tej wynika, że F = tj., że ciało samo z sobą nie może oddziaływać. ii 3

14 F ij F ji i j Rys. 3.. Ilustacja do tzeciej zasady dynamiki w pzypadku obiektów i oaz j wzajemnie się pzyciągających. Równanie uchu Newtona jest postą konsekwencją dugiej zasady dynamiki i pzedstawia, dla zadanej siły działającej na ciało, óżniczkową zależność pomienia wodzącego od czasu: d = m. F dt Dwukotne całkowanie tego ównania powadzi do znalezienia zależności pędkości oaz wektoa wodzącego od czasu i umożliwia okeślenie tajektoii, po któej pousza się ciało. Jednoznaczne ozwiązanie tego ównania wymaga znajomości dwóch waunków początkowych okeślających pędkość i położenie ciała w dowolnych momentach czasu. Dla szczególnego pzypadku a = const, ozwiązanie tego ównania okeślają elacje (.) i (.). Analiza zasad dynamiki, w któych podstawowym pojęciem jest siła jest dobą okazją do pzypomnienia podstawowych oddziaływań jakie występują w pzyodzie: (3.4) Typ oddziaływań Gawitacyjne Słabe Elektomagnetyczne Jądowe Źódło Masaa Wszystkie cząstki elementane Ładunek elektyczny Hadony (potony,neutony,mezony) Względne natężenie ~ -38 ~ -5 ~ - Zasięg Długi Kótki ( -8 m) Długi Kótki ( -5 m) Należy zauważyć, że nie ma wśód nich siły tacia, któa jest efektem oddziaływań elektomagnetycznych pomiędzy cząsteczkami stykających się powiezchni. Ponieważ jednak siła tacia jest badzo istotna w zagadnieniach technicznych, wato zwócić uwagę na szczególne sytuacje w któych występuje. F F T F Q Rys.3. Siła tacia w pzypadku działania na ciało dodatkowej siły F. W tym pzypadku kozystając z definicji siły tacia, musimy zwócić uwagę na fakt, że siła nacisku, a więc siła tacia istotnie óżni się od sytuacji, gdy na ciało nie działa dodatkowa siła. Innym ciekawym pzykładem występowania siły tacia jest ozkład sił na ówni pochyłej - ysunek poniżej. 4

15 T F s F n Q α Rys.3.3 Rozkład sił na ówni pochyłej. Obecnie ozkładamy siłę ciężkości Q na dwie składowe; jedna wzdłuż ówni- F s, duga postopadła do ówni F n. Stąd siła tacia = = Pzykład. Z jakim pzyspieszeniem musi pouszać się ównia na kółkach, aby znajdujący się na niej ciężaek o masie m = kg był względem niej w spoczynku? Współczynnik tacia ciężaka o ównię µ =, 3, kąt nachylenia ówni α = 3. Pzyspieszenie ziemskie m g = 9,8m/s. α a Rozwiązanie: Ciężaek pousza się wzdłuż ówni pod wpływem sił: - składowej x-owej ciężau P x = mg sinα, - składowej x-owej siły inecji Q x = ma cosα, - zoientowanej pzeciwnie do kieunku uchu siły tacia T, któej watość wyznacza iloczyn wypadkowego nacisku ciężaka na ównię i współczynnika tacia: T = ( P + Q) µ = ( mg cosα + ma sinα ) µ. y Q = ma Q x α Q y P x α a x P y α P = mg Pzy dostatecznie małym pzyspieszeniu ówni, P Q > i ciężaek pozostanie w spoczynku, gdy P + Q T : x x < x + x mg sinα ma cosα < ( mg cosα + ma sinα ) µ, skąd wynika piewszy waunek 5

16 sin α f cosα a > g. cosα + f sin α Pzy dostatecznie dużym pzyspieszeniu ówni, P x + Q x < i ciężaek pozostanie w spoczynku, gdy ( P x + Q) < T : ( mg sinα ma cosα ) < ( mg cosα + ma sinα ) f, skąd wynika dugi waunek: sin α + f cosα a < g. cosα f sin α Obydwa waunki można ująć w jednej postaci: sinα fcosα sinα + fcosα g < a < g. cosα + fsinα cosα fsinα Uwzględniając dane liczbowe otzymamy:,3 m/s < a <,4m/s. Pzykład. o Z góki o wysokości 5m nachylonej do poziomu pod kątem α = 5 zjeżdża dziecko na sankach. Zakładając, że współczynnik tacia sanek o śnieg jest stały i wynosi µ =, wyznaczyć pędkość, jaką uzyskają sanki u podnóża góki. Rys. m F s A α B α Q F n Na odcinku AB (zjazd z góki) sanki pouszają się uchem jednostajnie pzyśpieszonym bez pędkości początkowej. Zatem doga i pędkość końcowa wyażają się ównaniami: at l = () v = at () Pzyśpieszenie zgodnie z II zasadą dynamiki wyznaczymy kozystając z ozkładu sił (ys.) F T a = (3) m s 6

17 gdzie: natomiast: T F = µ F, Q n n = Fs = sinα Fs = mg sinα (4) Q = cosα F n = mg cosα i T = µ mg cosα (5) podstawiając za siłę zsuwającą E (3) i tacia T (4) do ównania () otzymujemy: Wyznaczając czas z piewszego ównania v = la, a po uwzględnieniu ównania (6) Ponieważ i ostatecznie m i po podstawieniu watości v. s Pzykład 3. Na ówni pochyłej o kącie nachylenia α pouszającej się poziomo bez tacia z pzyspieszeniem a znajduje się klocek o masie m. Klocek pousza się względem ówni z pzyspieszeniem a w góę ówni. Współczynnik tacia klocka o ównię wynosi f. Znaleźć pzyspieszenie a i nacisk klocka na ównię. Pzyspieszenie ziemskie g. Rozwiązanie : mg(sinα µ cosα ) a = (6) m h l l t = i podstawiając do dugiego otzymujemy a v = gl(sinα µ cosα) h = tgα l = = hctgα tgα v = hgctgα (sinα µ cosα) P P P F F x y b bx by = m g sinα = m g cosα = m a = m a cosα = m asinα 7

18 Zapiszmy II zasadę dynamiki Newtona uwzględniając powstałą w wyniku uchu jednostajnie zmiennego ówni siłę bezwładności) F b F b + P + Q + F t = m Powyższe ównanie wektoowe jest ównoważne dwóm ównaniom skalanym wzdłuż osi x: F P F = m bx x t a a oaz y : Q P y F = x) m a cosα m g sin α fq = m a y) Q m g cos α m a sinα = Z ównań znajdziemy eakcję na nacisk Q (tzn. watość nacisku klocka na ównię) i pzyspieszenie a klocka względem ówni Q = m( g cosα + asinα) a = a(cosα f sinα) g(sinα + f cosα) by Pzykład 4. Dwa klocki o masach m i m znajdujące się na poziomej płaszczyźnie są połączone linką. Na klocek o masie m (ysunek ) zaczyna działać siła F skieowana pod kątem do poziomu. Wyznaczyć pzyśpieszenie z jakim będzie pouszał się układ oaz siłę napężenia linki, wiedząc, że współczynniki tacia klocków o podstawę wynoszą. F F N N T T F Q Q Na ysunku zaznaczone są wszystkie istotne siły działające na obydwa klocki. Siła F została ozłożona na dwie wzajemnie postopadłe składowe F (wzdłuż płaszczyzny), oaz F. Pzyśpieszenie piewszego klocka wyznaczamy zgodnie z zasadami dynamiki z ównania: = Zwacamy uwagę na fakt, że jest to zapis skalany, w któym występują tylko siły działające zgodnie z kieunkiem uchu. Z ozkładu siły otzymujemy: = 8

19 Siła tacia pomiędzy podstawą, a piewszym klockiem: = = = Z ozkładu sił musimy zauważyć wpływ składowej F na siłę nacisku. Pzez bezpośednie podstawienie do ównania na pzyśpieszenie otzymujemy: = Następnie analizujemy siły działające na dugi klocek i wyznaczamy jego pzyśpieszenie z ównania: = Obecnie siła nacisku jest ówna ciężaowi ciała: = = = Co po wpowadzeniu do elacji na pzyśpieszenie daje: = Ponieważ obydwa klocki pouszają się z tym samym pzyśpieszeniem, możemy poównać pawe stony odpowiednich ównań otzymując: =, a stąd bezpośednio wyznaczamy siłę napężenia linki: = + + Podstawiając tą elację do ównania na pzyśpieszenie jednego z klocków po postych pzekształceniach algebaicznych otzymujemy : = Śodek masy. z m i m i F i m S O R S n m n y x n m n Rys Swobodny układ n punktów mateialnych. Śodek masy oznaczono pzez S. Pzedstawiony na Rys. 3.4 układ n punktów mateialnych o masach m i może pouszać się pod wpływem sił wzajemnego oddziaływania F ij oaz sił zewnętznych F i. Rozwiązanie układu ównań uchu Newtona dla tego pzypadku nie jest na ogół możliwe. Możemy natomiast okeślić uch śodka masy tego układu zdefiniowanego pzez wekto: 9

20 R S = n i= m M i i n, M = i= m i, (3.5) R = [ X, Y, Z S S S S Definicja ta jest ównoważna tzem zapisom skalanym: ], [ x, y, z]. (3.6) i = i i X S = n m x i i i=, M X S n mi yi = i= M, X S = n m z i i i=. M (3.7) Śodek masy pousza się jak punkt o masie M pod wpływem siły wypadkowej wszystkich sił sił zewnętznych F i : F w ównej sumie F i działających na układ - edukującej się na mocy tzeciej zasady dynamiki do sumy d RS M dt n n = F, F = F i = Fi i= i=. (3.8) M S R S z dm O y x Rys Ilustacja do definicji śodka masy były o skończonych ozmiaach. Dla były o skończonych gabaytach, definicję śodka masy (3.5) zastępuje definicja całkowa RS = M M dm. (3.9) W celu kompleksowego spojzenia na zasady dynamiki Newtona ozważmy kilka poblemów związanych z ich zastosowaniem.

21 Pzykład. o Ze wzgóza o wysokości h = m wystzelono pod kątem ϕ = 35 pocisk, któego początkowa pędkość wynosiła v = m/s. Obliczyć maksymalną wysokość H, na jaką wzniesie się pocisk, czas lotu t l oaz jego zasięg S. h y j i v ϕ H g v S x Pzyjmując, że stzał został oddany w momencie t =, znajdziemy położenie początkowe pocisku = [, h] oaz jego początkową pędkość v = [ v cosϕ, v sin ϕ]. Pocisk pousza się pod wpływem stałego pzyspieszenia ziemskiego g = [, g], więc jego pędkość v oaz położenie będą okeślone pzez ównania (.), (.). Uwzględniając waunki początkowe znajdziemy: v = v + gt, = + v t + gt, lub po ozpisaniu na składowe: v x, v] = [ v cosϕ, v sinϕ] + [, g] t, [ [ x, y] = [, h] + [ v cosϕ, v sinϕ] t + [, g] t. Wektoy są sobie ówne, jeżeli ich składowe są sobie ówne. Poównując odpowiednie składowe wektoa pędkości i położenia otzymamy: v x = v cosϕ, v y = v sinϕ gt, x = v t cosϕ, y = h + vt sin ϕ gt. W najwyższym położeniu pocisku składowa pędkości v =, skąd czas, po któym zostanie osiągnięta ta wysokość wyniesie wynosiło: y t H = v sin / g. Maksymalne wzniesienie pocisku będzie więc ϕ ( v sin ) H = y( th ) = h +. g ϕ Czas lotu pocisku t l okeśla waunek y =, któy spowadza się do ównania kwadatowego: g) t + ( v sinϕ ) t + h =. l l (

22 Dodatnim ozwiązaniem tego ównania jest poszukiwany czas v sinϕ v sinϕ h t l = + ( ) +. g g g Zasięg lotu wyznacza ównanie: S = x t ) = v t cosϕ. ( l l Uwzględniając dane liczbowe otzymamy: H = 69m, t = 3,6 s, S = 386 m. l Pzykład. Tzy ciężaki o masach m = 5 kg, m = 3 kg i m 3 = kg zawieszone są tak, jak na ysunku. Z jakim pzyspieszeniem pouszają się te masy oaz jakie jest napężenie lin? Masy bloczków i lin pominąć. Pzyspieszenie ziemskie g = 9,8m/s. + N N m N N a m g m m 3 a 3 m g 3 a m g Rozwiązanie: Definiujemy kieunek dodatni, zoientowany zgodnie z kieunkiem uchu ciężaka m. Bloczki mają zaniedbywalne masy, więc napężenie liny po obu stonach uchomego bloczka jest takie samo i wynosi N, natomiast napężenie liny pzezuconej pzez bloczek nieuchomy jest dwukotnie większe. Zgodnie z dugą zasadą dynamiki, uch każdego z ciężaków o masach m, m i m 3 będzie w układzie związanym z nieuchomym bloczkiem opisany odpowiednio ównaniem: N m g = m a, N m =, N m. g ma 3 g = m3a3 Pzedstawiony układ tzech ównań zawiea cztey niewiadome. Bakujące ównanie otzymamy poównując watości pzyspieszenia masy m i m 3 względem uchomego bloczka, któy pousza się w ujemnym kieunku z pzyspieszeniem o watości a. Watość pzyspieszenia masy m względem uchomego bloczka wynosi a + a (pzeciwne uchy - watości pzyspieszeń się sumują), natomiast masa m 3 pousza się względem uchomego bloczka z pzyspieszeniem o watości a3 a (zgodne uchy - watości pzyspieszeń się odejmują). Ponieważ obydwie watości względnych pzyspieszeń mas m i m 3 względem uchomego bloczka są takie same, więc bakujące ównanie ma postać:

23 a a = a3 a +. Rozwiązując powyższy układ czteech ównań otzymamy: 4mm3 m ( m + m3 ) a = g, 4m m + m ( m + m) 3 4mm m3 N = m ( g + a) = g, 4m m + m ( m + m) N mg 4m3 ( m m ) m ( m + m) a = = g m 4m m + m ( m + m ) m3g N 4m ( m3 m ) + m * ( m + m) a3 = = g. m 4m m + m ( m + m) Uwzględniając dane liczbowe znajdziemy: N = 3,8 N. a =,9 m/s, a =,8 m/s, a 3 = 6,63m/s, 4. Pęd, zasada zachowania pędu Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i jego pędkości wektoowej. = (4.) Zapamiętamy, że wekto pędu ma taki sam zwot i kieunek jak wekto pędkości ciała.rozważamy układ izolowany (ys 4.) - wypadkowa sił zewnętznych jest ówna zeo F = z natomiast poszczególne elementy układu (dla pzejzystości oganiczyliśmy się na ysunku do tzech ciał) oddziaływają zgodnie z zasadami dynamiki F ij = F ji F 3 F F 3 F 3 F 3 F 3 F 3 Rys.4. Ilustacja do zasady zachowania pędu 3

24 Obliczamy zmiany pędu poszczególnych elementów układu p = F + F3 t p = F + F3 t p 3 = F3 + F3 t Zmiana pędu całego układu wynosi: p = F t p t p = t p + t p + t 3 + F3 + F + F3 + F3 + F3 = Otzymany ezultat oznacza, że chociaż pędy poszczególnych elementów układu ulegają zmianie to pęd układu ozumiany jako suma wektoowa pędów poszczególnych elementów pozostaje stały. Zasada zachowania pędu. Jeżeli wypadkowa siła działająca na układ n punktów mateialnych jest ówna zeu, to całkowity pęd układu, zdefiniowany jako wektoowa suma pędów poszczególnych punktów, pozostaje wielkością stałą: n n F = F i = F i= i= i n =, P = const. (4.) = i= p i Wypadkowa siła ówna jest sumie sił zewnętznych F i, ponieważ siły wzajemnego oddziaływania znoszą się na mocy tzeciej zasady dynamiki. Zasada ta obowiązuje więc w szczególności w układzie izolowanym, tj. układzie, w któym nie ma oddziaływań zewnętznych lub w układzie, w któym oddziaływania zewnętzne istnieją, ale się ównoważą. Gdy F, zasada zachowania pędu może obowiązywać także selektywnie na wybanym kieunku pod waunkiem, że na tym kieunku działające siły się znoszą lub nie występują. Wektoowy zapis zasady zachowania pędu ównoważny jest tzem zapisom skalanym: n = P = const, P = const, P = const. (4.3) x p ix i= n = y p iy i= n = z p iz i= Równania (4.), (4.3) obowiązują ównież dla ciał o skończonych ozmiaach, jeżeli pędy punktów mateialnych zastąpimy pędami śodków mas tych ciał. Ponieważ zasada zachowania pędu jest jedną z tzech podstawowych zasad obowiązujących w pzyodzie pzeanalizujmy kila pzykładowych poblemów w któych ona jawnie występuje. Pzykład. Kula o masie m =,5 kg, pouszająca się z pędkością v = 3 m/s, zdeza się spężyście ze spoczywającą kulą o masie m =,3 kg. Po zdezeniu kula o masie m pousza się pod kątem o β = 65 względem piewotnego kieunku pzemieszczania się kuli o masie m. Znaleźć pędkości u i u obydwu kul po zdezeniu oaz kąt α, o któy odchyli się tajektoia kuli o masie m. 4

25 y m u m v m α β x m u Rozwiązanie: Zdezenia kul są spężyste, więc nie ma stat enegii kinetycznej i enegia kinetyczna układu pzed zdezeniem kul jest taka sama jak po zdezeniu: m v = mu + mu. Ponieważ nie ma oddziaływań zewnętznych, więc sumayczny pęd układu pzed zdezeniem i po zdezeniu także pozostaje stały. Zasada zachowania pędu (4.) odniesiona do kieunków x i y pzyjmie odpowiednio postać: m v = mu cosα + mu cos β, = m u sin α m sin β. u Wpowadzając paamet κ = m / m, otzymamy układ tzech ównań z tzema poszukiwanymi wielkościami u, u, α : u v κu cosα v κu sinα κu u = =, cos β, u = sin β. Piewsze z ównań pozostawiamy bez zmian. Pozostałe dwa ównania podnosimy stonami do kwadatu i dodajemy otzymując w wyniku układ dwóch ównań postaci: u u v κu =, v vu cos = κ β + κ u. Odejmując otzymane ównania stonami, znajdujemy ównanie, któego ozwiązaniem jest poszukiwana watość u : v cosβ u =. + κ Znajomość u pozwala już w posty sposób obliczyć dwie pozostałe niewiadome: ( + κ) 4κ cos β u = v κu = v, + κ u κ sin(β ) sinα = κ sin β =. u ( + κ) 4κ cos β 5

26 Podstawiając watości liczbowe otzymamy: u =,73 m/s, u =,58 m/s, o α = 8,35. Moment pędu. Zasada zachowania momentu pędu. Jeżeli wypadkowy moment sił M działający na układ punktów mateialnych jest ówny zeu, to całkowity moment pędu (kęt) układu L pozostaje wielkością stałą: M n = i= M i n =, L L const, (4.4) = i= i = gdzie M i oaz L s i jest momentem siły i momentem pędu i-tego punktu: M i = i Fi, Li i pi Jeżeli w układzie punktów swobodnych spełnione są dwa waunki: układ jest izolowany, tj. F i = dla każdego i, =. (4.5) siły wzajemnego oddziaływania F ij są siłami centalnymi, czyli takimi siłami, któych kieunek działania pokywa się z kieunkiem postej pzechodzącej pzez obydwa punkty i oaz j (Rys. 4.), to wypadkowy moment siły M jest ówny zeu, a wypadkowy moment pędu L jest wielkością stałą. m i F i j ij i F ij i j O F ji j m j Rys. 4.. Ilustacja sił centalny Pzykładem sił centalnych są siły wynikające z pawa powszechnego ciążenia oaz pawa Coulomba. Pzykład. Na punkt mateialny o masie m = kg działa siła F = [,, 3] N. W momencie t = 5 s położenie punktu oaz jego pędkość okeślone były odpowiednio pzez wektoy = [,,4] m oaz v = [,,4] m/s. Obliczyć moment siły M oaz moment pędu L punktu względem początku układu współzędnych w momencie t = s. Rozwiązanie: Punkt pousza się pod wpływem stałej siły, więc jego pędkość oaz położenie opisują odpowiednio ównania (.) oaz (.): v = v + a( t ), t F a =, m 6

27 = + v ( t t ) + a( t t ), Zgodnie z definicją momentu siły M F = + v ( t t ) + a( t t) ma = [ + v ( t t )] ma =. Po podstawieniu danych liczbowych znajdziemy zależność momentu siły od czasu: i M ( t) = t + 6 Dla t = s, M ( ) = [,, 56] m N, M ( ) m N. Moment pędu definiuje iloczyn j t 4t 6 = [ 4t + 68, t +, 4t + 4] mn. k 3 L = mv = + v ( t t ) + a( t t [ ( )] m v + a t t = = m( v ) + m( t t )( a) + m( t t ) ( a). Podstawiając dane liczbowe otzymamy: L( t) = i j k 4 4 i + ( t 5) j k i 4 + ( t 5) 3 j k 4 = 3 = [ 7t + 68 t 8, t + t 3, t + 4t 7] kg m s. Dla t = s, L kg m ( ) = [ 6, 569, 39], s kg m L () 76. s 5. Paca i enegia. Zasada zachowania enegii mechanicznej Paca wykonana pzez stałą siłę W najpostszym pzypadku, siła F jest stała, a ciało pousza się pod kątem działania siły. Wtedy do kieunku = = (5.) (Iloczyn dwóch wektoów daje liczbę). Zastanówmy się czy kąt α może być óżny od zea? Odpowiedź jest twiedząca, bo stała siła nie musi mieć kieunku zgodnego z kieunkiem uchu ciała. Oczywiście muszą działać jeszcze inne siły (np. 7

28 cięża, tacie). Gdyby działała tylko jedna to i tak ciało nie musiałoby pouszać się w kieunku jej działania np. zut ukośny (tylko gawitacja). Wzó F cosα okeśla jedynie pacę wykonaną pzy pzemieszczaniu punktu pzez jedną siłę. Pacę wykonaną pzez inne należy obliczyć oddzielnie i potem je zsumować. Zwóćmy uwagę, że gdy α = otzymujemy piewszy wzó F. Gdy α = 9 to z ównania wynika, że W =. Paca wykonana pzez siłę zmienną Rozważmy teaz siłę będącą funkcją położenia F(x), któej kieunek jest zgodny z osią x. Szukamy pacy jaką wykona ta siła pzy pzesuwaniu ciała od położenia x do położenia x. Jak skozystać ze wzou W = F cosα czyli co podstawić za F, skoo watość jej zmienia się (ysunki poniżej)? F F i F X X Rys.5. Paca wykonana pzez siłę zmienną Zaczynamy od pzybliżenia. Dzielimy całkowite pzemieszczenie na n jednakowych odcinków x i (ysunek powyżej). Wewnątz takiego pzedziału pzyjmujemy (a jest to pzybliżenie), że siła jest stała (pawie) i możemy teaz policzyć pacę na tym odcinku x i : W i = F i x i, gdzie F i jest watością siły na tym odcinku. Zwóćmy uwagę, że od stony czysto fomalnej (geometia) liczenie pacy jest ównoważne liczeniu sumy powiezchni postokątów o szeokości x i i wysokości F i. Następnie możemy zsumować pace na kolejnych odcinkach (zsumować pola postokątów) i otzymać pacę całkowitą. n W = i= F i x i (5.) Żeby popawić to pzybliżenie dzielimy pzedział (x, x ) na więcej (mniejszych) odcinków dążąc w ganicy do. W ezultacie = lim = ` (5.3) To jest definicja całki. Liczbowo odpowiada to liczeniu pola powiezchni pod kzywą (w zadanym pzedziale - ganicach). 8

29 W polu sił konsewatywnych enegia potencjalna okeślona jest z dokładnością do stałej V ( ), któą dla zdefiniowanego położenia pzyjmujemy zwykle, jako ówną zeu. Enegią potencjalną w punkcie P jest wówczas pacą, któą wykonuje pole konsewatywne pzemieszczając punkt mateialny po dowolnej dodze z punktu P do punktu P. W polu siły konsewatywnej całkowita enegia mechaniczna układu, ówna sumie enegii kinetycznej i enegii potencjalnej punktu w polu tej siły, jest w dowolnym miejscu tajektoii stała: E = T + V = const. (5.4) Pzykładem sił zachowawczych są siły gawitacji oaz siły spężyste. Zasada zachowania enegii mechanicznej wyażona ównaniem (4.9) obowiązuje ównież w odniesieniu do układu punktów mateialnych, jeżeli pzez T i V wyazimy odpowiednio sumę enegii kinetycznych i potencjalnych wszystkich punktów układu. Siły niezachowawcze lub niekonsewatywne, to takie siły, któych paca zależy od kształtu dogi, po któej pzemieszczane jest ciało. Pzykładem sił niezachowawczych są siły tacia oaz siły opou. Paca sił niekonsewatywnych ulega dyssypacji (ozposzeniu), a całkowita enegia mechaniczna izolowanego układu maleje. Zachowanie całkowitej enegii. W ogólnym pzypadku, poza siłami konsewatywnymi na układ mogą dodatkowo działać siły zewnętzne oaz siły niezachowawcze w postaci sił tacia i opoów. Wypadkowa siła działająca na układ pzyjmie wówczas postać: F w = F + F + F, (5.5) c z t Zmiana enegii wewnętznej jest więc ównoważna pacy sił tacia i opoów i nie jest ujęta w zmianie enegii mechanicznej układu. Pacę tą w całości znajdujemy w postaci enegii ozposzonej w układzie. Pzykład. Wykazać, że podczas swobodnego spadku enegia kinetyczna ciała w najniższym punkcie tou jest dokładnie ówna jego enegii potencjalnej w chwili początkowej. Rozwiązanie. W celu pełnego zozumienia poblemu posłużmy się ysunkiem, na któym dane ciało znajduje się w chwili początkowej w punkcie A na wysokości h nad powiezchnią. Względem niej posiada ono enegię potencjalną E A =mgh. A h B Puszczone swobodnie ciało (zaniedbujemy opoy uchu) pousza się uchem jednostajnie pzyśpieszonym i udeza w powiezchnię w punkcie B, w któym posiada enegię kinetyczną: 9

30 = Ponieważ jest to uch jednostajnie pzyśpieszony (z pzyśpieszeniem ziemskim g), bez pędkości początkowej kozystamy z elacji: h =, = Wyznaczamy z piewszego z ównań czas twania uchu =, któy po podstawieniu do dugiego z ównań pozwala wyznaczyć pędkość ciała w punkcie B, = h. Uwzględniając powyższą zależność w ównaniu na enegię kinetyczną punkcie B, otzymujemy: = h = h, Co oznacza, że jest ona dokładnie ówna enegii potencjalnej w punkcie A. W powyższym pzykładzie analizowaliśmy dwa skajne punkty tou, jednak możemy wybać dowolny punkt C, w któym spadające swobodnie ciało posiada zaówno enegię kinetyczną: = V C - pędkość ciała w punkcie C, jak ównież enegię potencjalną: = W efekcie całkowita enegia swobodnie spadającego ciała w punkcie C wynosi: = + = + i jest dokładnie ówna enegii w punkcie A i enegii w punkcie B. A h C H B Pzykład. Wyznaczyć pędkość śodka masy jednoodnej kuli u podnóża ówni o wysokości h, zakładając że staczała się bez tacia i bez poślizgu. Pzeanalizujemy dwa waianty ozwiązań powyższego poblemu, po piewsze żeby pokazać znaczenie wybou układu odniesienia, a po żeby dugie pzybliżyć twiedzenie Steinea. Rozważmy zagadnienie względem śodka masy kuli, któy uczestniczy jednocześnie w dwóch odzajach uchu; postępowym i obotowym. Odpowiada mu więc enegia kinetyczna związana z tymi dwoma fomami uchu. W punkcie A na szczycie ówni (ys) kulka posiada enegię potencjalną, któa względem podstawy wynosi: = h 3

31 A h S O B Podczas staczania się bez tacia i bez poślizgu enegia potencjalna kulki zamienia się w enegię kinetyczną uchu postępowego i obotowego. Tak, że w punkcie B wynosi ona: = + = jest momentem bezwładności kulki względem osi obotu pzechodzącej pzez śodek masy. W ozważanym pzypadku gdzie nie ma poślizgu pędkość liniowa i kątowa są = + 5 = 7 Kozystając z zasady zachowania enegii = otzymujemy: h = 7 I w ezultacie : =. Ten sam wynik możemy uzyskać analizując zachowanie kulki względem zeczywistej-chwilowej osi obotu, któą wyznacza punkt styczności kulki z podłożem- punkt S. Względem niego kulka wykonuje wyłącznie uch obotowy i jej enegia kinetyczna w punkcie B jest wyłącznie enegią kinetyczną związaną z uchem obotowym: = Jednak tym azem moment bezwładności musi być liczony nie względem osi pzechodzącej pzez śodek masy jak popzednio, ale względem osi zeczywistej odległej od osi związanej ze śodkiem masy o pomień kulki. W celu wyznaczenia I, kozystamy z twiedzenia Steinea: = + =. Podstawiając tą elację do ównania na enegię kinetyczną w punkcie B otzymujemy: = =, a więc dokładnie taką samą watość jak popzednio i w ezultacie watość pędkości ównież musi być analogiczna. Pzykład.3 Z okna znajdującego się na wysokości h nad powiezchnią zucamy piłkę nadając jej pędkość V skieowaną pod kątem do poziomu (ys.). Z jaką pędkością udezy piłka w powiezchnię ziemi? 3

32 A V h B V Pozonie wydawać się może, że zadanie jest tudne i wymaga dokładnej analizy związanej z zutem ukośnym. Jednak ponieważ nie inteesuje nas kieunek i zwot pędkości końcowej, a jedynie jej watość kozystamy z zasady zachowania enegii: = h + = Skąd bezpośednio otzymujemy: = + h Pzykład.4. Kulka o masie m i gęstości znajduje się na wysokości h nad powiezchnią cieczy o gęstości >. Puszczona swobodnie zanuza się na głębokość H. Zaniedbując siły lepkości wyznaczyć ciepło jakie wydziela się podczas zdezenia kulki z powiezchnią cieczy. A h B C H Rozwiązanie. Posłużymy się zasadą zachowania enegii. W punkcie A ysunek powyżej kulka posiada względem powiezchni wody enegię potencjalną: = h. 3

33 Puszczona swobodnie pousza się uchem jednostajnie pzyśpieszonym i w punkcie B uzyskuje enegię kinetyczną: = Zgodnie z zasadą zachowania enegii E A =E B co pozwala nam wyznaczyć pędkość jaką ciało uzyska pzy zetknięciu z powiezchnią cieczy: = h Pędkość ta jest pędkością początkową podczas uchu kulki w cieczy. Ponieważ z waunków początkowych wynika, że gęstość cieczy jest większa od gęstości kulki jej uch w cieczy (na odcinku BC) będzie uchem jednostajnie opóźnionym, pzy czym pędkość końcowa w punkcie C jest ówna zeu. F w Q Rozważmy teaz siły działające na kulkę pouszającą się w cieczy (ysunek powyżej). Pzy zaniedbaniu opoów cieczy (lepkość) na kulkę działa siła ciężkości Q i siła wypou F w. = =, =, tutaj V oznacza objętość kulki Zatem wypadkowa siła działająca na kulkę wynosi : = = Pod jej wpływem kulka pousza się uchem jednostajnie opóźnionym z pzyśpieszeniem: = = = Wykozystujemy teaz ównania na uch jednostajnie opóźniony: =, = Pamiętając, że V =V B, oaz, że pędkość końcowa V=, zapisujemy powyższe ównania w postaci: =, Z piewszego ównania wyznaczamy teaz czas =. = Co po podstawieniu do dugiego z ównań daje elację: = =, Podstawiając wyznaczone wcześniej watości a, oaz V B otzymujemy: h h = =. Jest to głębokość na jaką zanuzyłaby się kulka gdyby nie było żadnych stat enegii. Jednak zdezenie z powiezchnią cieczy nie jest doskonale spężyste (część enegii zamienia się na ciepło) i dlatego >. 33

34 Z dugiej stony jest to ównanie, któe pozwala nam wyznaczyć wysokość h, z jakiej spadła kulka o danej gęstości, jeżeli wiemy, że zanuzyła się w danej cieczy na głębokość s. h = Stąd w naszym pzypadku, kulka, któa zanuzyła się na głębokość H, bez stat enegii powinna spaść z wysokości h <h: h = Natomiast enegia potencjalna kulki odpowiadająca óżnicy wysokości h = h h jest liczbowo ówna ciepłu jakie wydzieliło się podczas zdezenia kulki z powiezchnią cieczy; = h h = h 6. Dynamika były sztywnej Moment siły, moment pędu i moment bezwładności. Aby spowodować uch postępowy konieczne jest pzyłożenie do ciała siły. Aby wpawić byłę w uch obotowy wokół osi lub punktu niezbędne jest pzyłożenie momentu siły: M = F, M = F sin ϕ = F. (6.) Waunkiem koniecznym wpowadzenia były sztywnej w uch obotowy jest istnienie w płaszczyźnie obotu niezeowej składowej F siły F (Rys. 6..). O F F ϕ F Rys. 6.. Ilustacja do definicji momentu siły. Moment siły jest postopadły do płaszczyzny wyznaczonej pzez wektoy i F. Pędkość uchu obotowego schaakteyzowana jest wektoem pędkości kątowej ω. Wekto ten, podobnie jak każdy inny wekto, ma tzy pzestzenne składowe, co oznacza, że dowolny uch obotowy można ozłożyć na tzy niezależne oboty wokół osi x, y, z : ω = ω, ω, ω ]. x y (6.) [ z 34

35 v z dm y ω = O L ω, ω, ω ] [ x y z S O x Rys. 6.. Ilustacja pędkości kątowej i momentu pędu były w uchu obotowym wokół osi. Moment pędu były obacającej się wokół osi wynosi: L = I v ω. (6.3) W powyższym wyażeniu I jest momentem bezwładności były względem osi obotu okeślonym pzez wyażenie: I = m dm, (6.4) gdzie m oznacza masę były, a dm jest elementem masy oddalonym od osi obotu o. Momenty bezwładności dla niektóych był podano na Rys b h a h I = m 5 I = m( a + b ) 3 I = m h R l I = m I = m( + R ) I = ml Rys Momenty bezwładności niektóych był obliczone względem osi pzechodzących pzez ich śodki mas (linie pzeywane). 35

36 Duga zasada dynamiki dla uchu obotowego. Dla uchu obotowego, duga zasada dynamiki pzyjmuje postać: dl d( Iω) = = M. (6.5) dt dt Jeżeli była nie zmienia geometii, to pzyłożenie momentu siły wpawia byłę w uch obotowy jednostajnie pzyspieszony. Jeżeli na byłę sztywną nie działa żaden moment siły, to była się nie obaca lub obaca się uchem obotowym ze stałą pędkością kątową ω, co oznacza między innymi, że podczas obotu oś obotu nie zmienia swojej oientacji w pzestzeni. Jeżeli na byłę nie działa moment siły, a była może w takcie obotu zmieniać geometię, to iloczyn I ω = const. Enegia kinetyczna uchu obotowego. Enegia kinetyczna uchu obotowego wokół ustalonej osi wynosi: T = Iω. (6.6) Twiedzenie Steinea. Twiedzenie to pozwala obliczyć moment bezwładności I były względem okeślonej osi O, jeżeli znamy moment bezwładności ciała I S względem osi do niej ównoległej i pzechodzącej pzez śodek masy S były: I = I md, (6.7) O S + gdzie d jest odległością między osiami, a m jest masą były (Rys.4.4). S m S d O Rys Ilustacja do twiedzenia Steinea. Równowaga statyczna układu. Waunki statycznej ównowagi układu mechanicznego wynikają z zasad Newtona. Waunkiem koniecznym ównowagi statycznej jest ównoważenie się wszystkich sił F i działających na układ z uwzględnieniem sił zewnętznych i sił eakcji: n i= F =, i =,,..., n. (6.8) i 36

37 Jeżeli waunek ten nie będzie spełniony, układ dozna pzemieszczenia z pewnym pzyspieszeniem. Z ównania (5.8) wynika, że ównowaga wszystkich sił musi zachodzić na każdym kieunku pzestzennym x, y, z : n i= F =, F =, F =. (6.9) ix n i= iy Waunek (6.8) nie zawsze jednoznacznie wyznacza ównowagę statyczną układu. Czasami siły ównoważą się, ale twozą wypadkową paę sił, któa mogłaby nadać układowi pewien uch obotowy. Waunkiem pzeciwdziałającym takiemu uchowi jest ównoważenie się wszystkich momentów sił M i : n i= Waunek (5.) ównoważny jest tzem zapisom skalanym: n i= n i= iz M =, i =,,..., n. (6.) i M =, M =, M =. (6.) ix n i= iy W statyce, wybó punktu pzestzeni lub osi, względem któej sumujemy momenty sił, nie ma znaczenia. Zwykle punkt lub oś, względem któej sumujemy momenty, dobieamy tak, aby upościć achunki. Waunkiem koniecznym i wystaczającym na to by układ był w ównowadze statycznej jest więc ównoważenie się wszystkich sił oaz wszystkich momentów sił działających na układ. n i= iz Pzykład. Pzez podwieszony do sufitu bloczek o masie m =, kg pzezucono nieozciągliwą nić, na końcach któej zawieszono odważniki o masach m = kg i m = 5 kg. Obliczyć pzyspieszenie odważników, naciągi nici z obu ston bloczka oaz napężenie pomiędzy bloczkiem i sufitem. m m m Rozwiązanie: Zadanie można ozwiązać dwoma sposobami: stosując wpost do poszczególnych elementów układu dugą zasadę dynamiki lub wykozystując do układu, jako całości, zasadę zachowania enegii mechanicznej. 37

38 m m N a N m g a h m h m g m Na masę mdziałają dwie siły: siła ciężkości o watości m g oaz pzeciwnie do niej skieowana siła naciągu nici o watości N > mg. Odważnik o masie m będzie się więc pouszał do góy z pzyspieszeniem a wynikającym z dugiej zasady dynamiki dla uchu postępowego: F = = N m g m a. Cięża dugiego odważnika m g jest większy od naciągu N doczepionej do niego nici. Nić jest nieozciągliwa, więc watość pzyspieszenia a, z jakim opada ten odważnik jest taka sama jak dla piewszego odważnika, a jego uch opisuje ównanie: F = = m g N m a. Bloczek obaca się uchem obotowym jednostajnie pzyspieszonym pod wpływem wypadkowego, niezeowego momentu siły M wynikającego z istnienia óżnych watości naciągów obydwu końców nici. Ruch bloczka odbywa się zgodnie z dugą zasadą dynamiki, któa w odniesieniu do uchu obotowego ma postać: M = N N ) R = Iε (, gdzie R jest pomieniem bloczka, I =.5mR - jego momentem bezwładności, a ε - pzyspieszeniem kątowym, związanym z pzyspieszeniem liniowym a za pośednictwem elacji ε = a / R. Uwzględniając powyższe uwagi zapisujemy ostatnie ównanie w postaci: N N ma. = Ruch poszczególnych elementów układu opisany został za pośednictwem tzech ównań z tzema niewiadomymi: a, N, N. Po postych pzekształceniach otzymamy: m m a = g, m + m + m m + m N = m ( g + a) = m g, m + m + m 38

39 N m + m = m ( g a) = m g. m + m + m Napężenie zawiesia pomiędzy bloczkiem, a sufitem wyznacza ównanie: 3 4m m + ( m + m ) m + m N = N + N + mg = g. m + m + m Podstawiając dane liczbowe znajdziemy: a = 4.5m/s, N = 7.9 N, N = 8.3 N, N = 58. N Pzykład. Jednoodna, sztywna belka o długości L =.5 m i ciężaze Q = 4 N wisi na dwóch linach zaczepionych do jej końców. Dwa pozostałe końce lin podczepione są do wspólnego zawiesia. Długość każdej z lin wynosi l =.4 m. Obliczyć napężenia lin zakładając, że ich cięża jest niepoównywalnie mniejszy od ciężau belki. Rozwiązanie: y j i x N y l l N N N x L / N x L / N y Q Na układ działają napężenia nici N, N oaz cięża belki Q. Waunek ównowagi (5.8) pzyjmie więc postać: Q + N N + = Waunek ten ównoważny jest dwóm zapisom skalanym (5.9): Z piewszego ównania wynika, że wynika natomiast, że N. N N, + x x = Q + N + N. y y = N x = N x N x. Z symetii zadania oaz z dugiego ównania y = N y N y = Q /. Napężenia lin muszą więc być takie same: N = N = N. Z podobieństwa odpowiednich tójkątów (ysunek) wynika ponadto popocja: 39

40 N y N l ( L / ) =. l Podstawiając w powyższym ównaniu N y = Q / znajdziemy: N = Ql. 4l L Uwzględniając dane liczbowe otzymamy: N = N = N 36,85 N. = Pzykład 3. Jednoodna, metalowa belka o długości L = 5 m i masie m = kg spoczywa na dwóch podpoach. Punkty podpacia belki znajdują się: jeden na jednym jej końcu, a dugi w odległości l =.5 m od jej dugiego końca. Obliczyć eakcje podpó. Pzyspieszenie ziemskie Rozwiązanie: g = m/s. k z x i j y F S F Q = mg Na układ działają siły: cięża belki Q oaz eakcje podpó F i F. Waunek ównowagi sił (5.8) ma postać: Q + F F + = Ponieważ bak jest składowych sił wzdłuż osi x oaz z, więc ównanie to możemy zapisać w postaci jednego ównania skalanego odniesionego do kieunku y : Q + F F + = Jest to ównanie z dwoma niewiadomymi F i F. Waunek ten jak widać nie wystacza do znalezienia eakcji podpó. Aby znaleźć dugie ównanie kozystamy z waunku (5.) ównoważenia się wszystkich momentów sił działających na układ: M Q + M F + M F. = 4

41 F F S F ϕ Q = mg F ϕ Jeżeli pzyjmiemy, że punkt, względem któego liczymy momenty sił znajduje się w śodku ciężkości belki S, to moment siły Q będzie ówny zeo, a momenty sił F i F będą odpowiednio ówne: M F L o = F = F sinϕ k = F k, ( ϕ = 7, L = ), L o L = F = F sinϕ k = ( l) k, ( ϕ = 9, = l ). M F Waunek ównoważenia się momentów sił pzyjmie więc postać: L F L + l F = Powyższe ównanie jest dugim - bakującym ównaniem pozwalającym na obliczenie eakcji podpó. Po postych pzekształceniach otzymamy:. L l L F = mg, F = mg. ( L l) ( L l) Uwzględniając dane liczbowe otzymamy: F = 85,7 N, F = 74,3 N. Można spawdzić, że ezultat ten pozostanie bez zmian, jeżeli momenty sił będą liczone względem innego, dowolnie wybanego punktu odniesienia. 7. Pole gawitacyjne Pawo powszechnego ciążenia. Dwie masy punktowe M i m pzyciągają się wzajemnie siłą popocjonalną do tych mas i odwotnie popocjonalną do kwadatu ich odległości, pzy czym kieunek działania sił pokywa się z kieunkiem postej pzechodzącej pzez obydwa punkty. W zapisie wektoowym i skalanym pawo to ma postać: Mm Mm F = G, F = G, (7.) gdzie G = 6,67 Nm /kg jest stałą gawitacji. Powyższy zapis jest także pawdziwy dla mas kulistych. Równanie (7.) obowiązuje ównież dla mas o nieegulanych kształtach pod waunkiem, że wymiay takich ciał są niepoównywalnie mniejsze od dzielącej ich odległości, utożsamianej w pzypadku obiektów o skończonych gabaytach z odległością między śodkami mas tych ciał. 4