Mateusz Pipień Akademia Ekonomiczna w Krakowie

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolske Semnarum Naukowe, wrześna w Torunu Katedra Ekonometr Statystyk, Unwersytet Mkołaja Kopernka w Torunu Mateusz Ppeń Akadema Ekonomczna w Krakowe Wykorzystane rozkładów predyktywnych w prognoze VaR rezerw kaptałowych zwązanych z ryzykem rynkowym. Wprowadzene Celem artykułu jest prezentacja rezultatów zastosowana wnoskowana bayesowskego w prognoze wartośc narażonej na ryzyko (ang. Value at Rsk; VaR). Prezentujemy wykorzystane rozkładów predyktywnych do prognozy VaR oraz porównane jakośc prognoz wygenerowanych z różnych model zmennośc. Zastosowane zostaną bayesowske modele AR-GARCH(,) z asymetram o warunkowym skośnym-t lub α-stablnym rozkładze prawdopodobeństwa; por. Osewalsk Ppeń () oraz Ppeń (a b). Rozważamy także modele stanowące na grunce bayesowskm renterpretację metod szacowana Value-at-Rsk, które wykorzystuje sę najczęścej w praktyce; por. Rachev Mttnk (), Jajuga, Kuzak, Papla Rokta (). Celem badań jest sprawdzene, czy rozkłady predyktywne dostarczają adekwatnych użytecznych prognoz VaR. Jednym z podstawowych zastosowań Value-at-Rsk jest określene adekwatnośc kaptałowej, nstytucj narażonychna ryzyko rynkowe, zgodne z nowym zalecenam Bazylejskego Komtetu do spraw Nadzoru Bankowego. W nnejszym opracowanu prezentujemy rezultaty szacunku rezerw kaptałowych zwązanych z ryzykem walutowym kursu PLN/USD, które zostały uzyskane z różnych model zmennośc. W szczególnośc, ocene zostaje poddana zdolność prognozowana rezerw przez modele GARCH oraz modele bayesowske technk najczęścej stosowanych w praktyce.

2 Mateusz Ppeń. Predyktywne ujęce wartośc narażonej na ryzyko Przy zaobserwowanu (do chwl t) wektora logarytmcznych stóp zman rozważanego nstrumentu y (t) =(y,...,y t ) oraz dla wektora stóp zman podlegających w chwl t prognoze y f t =(y t+,...,y t+n ), załóżmy, że dysponujemy modelem próbkowym badanego zjawska zmennośc stóp y j : p ( t ) ( t ) ( y, y = t+ n f M,, η ) p( y j M, ψ j, θ, η j= θ ). Po przyjęcu rozkładu a pror parametrów p(θ,η M ) załóżmy, że nepewność o parametrach modelu (θ,η ), jak welkoścach prognozowanych rozważanego zjawska opsuje model bayesowsk M : p(y (t), y (t) f M, θ,η ) p(θ,η M ). Z łącznego rozkładu welkośc obserwowalnych parametrów możemy uzyskać rozkład y t+n, warunkowy względem posadanych w chwl t danych (y (t) ) oraz modelu M, a węc rozkład opsujący nepewność co do wartośc stopy zman w przyszłośc, p(y t+n y (t),m ). Jest to rozkład brzegowy z łącznego rozkładu predyktywnego wektora prognozowanych stóp zwrotu y (t) f =(y t+,...,y t+n ), danego formułą: ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) p( y y, M ) p( y M, y, θ, η ) p( θ, η y, M ) dθdη. () f = f Mając określony rozkład p(y t+n y (t),m ) defnujemy VaR t (α,n M ) jako mnus kwantyl rzędu α: VaR t ( α, n M ) p( yt+ n y ( t ), M ) = α nazywamy predyktywną wartoścą narażoną na ryzyko oblczoną w chwl t (warunkowo względem y (t) ) o pozome stotnośc (tolerancj na stratę) α horyzonce czasowym prognozy n. Welkość VaR t (α,n M ) określa maksymalną stratę na wartośc nstrumentu o cene x j, która ma szansę zastneć po n okresach (od chwl t) z prawdopodobeństwem predyktywnym (w modelu M ) równym α. Własnośc tak przyjętej defncj VaR opsuje Ppeń (a b). Najważnejszym współczesnym zastosowanem koncepcj wartośc narażonej na ryzyko jest kontrola adekwatnośc kaptałowej nstytucj fnansowej. Zasady określana rezerw kaptałowych, opracowane przez Komtet Bazylejsk, umożlwają nstytucj fnansowej posadane własnego narzędza (modelu) prognozy wartośc narażonej na ryzyko (ang. nternal model approach; por Hendrcks Hrtle (99), Rachev Mttnk ()). Przepsy dostarczają jednej, znormalzowanej formuły na rezerwy kaptałowe, które w pełn bazują na prognozach VaR. Wykorzystując koncepcję predyktywnej wartośc narażonej na ryzyko, w chwl t, rezerwy C t są określone następującą formułą: Ct = At max{ Vart (., M ), Vart (., M )}, () = ()

3 Wykorzystane rozkładów predyktywnych w prognoze VaR... gdze A t jest słabo rosnącą funkcją o wartoścach z przedzału [, ] szczegółowo opsaną w pracach Hendrcks Hrtle (99) oraz Ppeń (a b).. Ocena prognoz VaR W badanach emprycznych, w celu porównana jakośc prognoz VaR, wykorzystujemy test Kupca, który jest oparty na następującej statystyce lorazu warygodnośc: T + T ' ξ t t = T ˆ T ' + S ln[( ) ˆ S T ' + S S LR = α α ] ln[( α) α ], S=, () gdze αˆ to ocena prawdopodobeństwa sukcesu, + ' ˆ S T T α = = ξt, ) T ' + T ' + t = T następującej zmennej losowej ξ t : + n VaRt n M ) z prawd. α ξt = + n < VaRt n M ) z prawd. α. Przy zadanym pozome stotnośc x%, mówmy, że model M generuje odpowedne prognozy Value-at-Rsk (jest akceptowalne odpowedn; ang. acceptably accurate por. Kupec 99, Lopez 999) jeśl brak jest podstaw do odrzucena H :α =α. Możlwość odrzucena H powoduje, ż w ramach kryterum Kupca model generujący prognozy Value-at-Rsk jest neodpowedn (ang. naccurate; por. Kupec 99, Lopez 999). Z Centralnego Twerdzena Grancznego zastosowanego dla cągu zmennych {ξ t, t=t,t+,...,t+t'} uzyskujemy, ż: T + T ' T ' + T ' + ( ξt α ) N (, α ( α )). () t = T A zatem małopróbkowa ocena warancj asymptotycznego rozkładu estymatora () ma postać: ˆ ˆ ˆ ( α ( α )) d ( α ) =, ) T ' + co prowadz do formuły na błąd średn szacunku parametru α : ˆ ˆ ˆ α ( α ) d( α ) =. ) T ' + Druga, młodsza grupa metod ocen jakośc prognoz VaR wykorzystuje ujęce decyzyjne. Analza ex post prognoz wartośc narażonej na ryzyko może być przeprowadzona przez zdefnowane funkcj, która określa ex post stratę, zwązaną z przyjęcem w chwl t za pozom wartośc narażonej na ryzyko welkośc VaR t (α,n M ); por. Lopez (999).

4 Mateusz Ppeń W badanach wykorzystano trzy funkcje strat. Jako najprostszy przykład Lopez (999) proponuje funkcję przyjmującą wartośc jedyne lub (ang. Bnary Loss, BL), w zależnośc od tego, czy w chwl t+n nastąpło przekroczene czy też ne: ( ) + n VaRt n M ) ft = (9) + n < VaRt n M ). Dodatkowo rozważamy funkcję strat z punktu wdzena nstytucj nadzorującej (ang. Regulatory Loss, RL): ( ) + n VaRt n M ) ft = () + ( yt + n VaRt n M )) + n < VaRt n M ), oraz funkcję strat frmy (ang Frm's Loss); ( ) c VaRt n M ) + n VaRt n M ) ft = () + ( yt + n VaRt n M )) + n < VaRt n M ), gdze parametr c> merzy koszty utraconych korzyśc (ang. opportunty costs; por. Sarma, Thomas Shah ()). Koszty te są zwązane z newykorzystanem tej częśc kaptału, którą należy zamrozć (na potrzeby zabezpeczena przed ryzykem rynkowym) zgodne z przyjętą prognozą wartośc narażonej na ryzyko. Całkowtą stratę f () defnujemy w każdym przypadku (9), () () jako sumę f () t, dla t=t,t+,...,t+t'.. Konkurujące modele zmennośc Wartość narażoną na ryzyko będzemy prognozować wykorzystując procesy GARCH z asymetram o warunkowym skośnym rozkładze t (M ) lub rozkładze α-stablnym (model M ), które szczegółowo opsuje Osewalsk Ppeń () oraz Ppeń () Ppeń (a b). A zatem jako perwsze rozważone zostaną prognozy VaR t (α,n M ) oraz VaR t (α,n M ), gdze: oraz VaRt ( α, n M) VaRt ( α, n M ) p ( y y, M ) = α, t + n ( t) p ( y y, M ) = α. t + n ( t) Analze poddane zostaną także prognozy wartośc narażonej na ryzyko uzyskane w oparcu o modele M M. Przyjęto w tych specyfkacjach, ż w chwl t+n warunkowy (względem całej przeszłośc) rozkład dzennych stóp zman jest rozkładem normalnym o stałej nezależnej od tej przeszłośc warancj σ. W modelu M, do estymacj neznanych parametrów, używa sę całej zaobserwowanej przeszłośc (y (t) ), zaś w modelu M wykorzystywany jest jedy-

5 Wykorzystane rozkładów predyktywnych w prognoze VaR... ne fragment tego szeregu y (t,k) =(y t-k-,...,y t ), dla odpowedno dobranego k. Uzyskane prognozy VaR t (α,n M ) oraz VaR t (α,n M ) take, że: oraz VaRt ( α, n M ) VaRt ( α, n M ) p ( y y, M ) = α, t + n ( t) p ( y y, M ) = α, t + n ( t, k ) dla pewnych wartośc k, stanową bayesowską renterpretację powszechne stosowanych w praktyce technk szacowana VaR, które operają sę na założenu normalnośc rozkładu dzennych stóp zman; por. Joron (99), Best (), Jajuga, Kuzak, Papla Rokta ().. Rezultaty empryczne Jako zbór danych rozważono szereg dzennych logarytmcznych stóp zman kursu walutowego PLN/USD w dnach od..99 do.9. (T+T = obserwacj). Dla badanego szeregu czasowego dokonano, w każdym z model, zadana dzennej bayesowskej aktualzacj rozkładów a posteror predyktywnych. Startując z szeregu danych y (t), który zawerał jedyne t=t= obserwacj, dla każdego t od T do t=t+t = oblczono rozkłady a posteror parametrów rozkłady predyktywne p(y t+n y (t),m ) dla n= oraz n=. Rozkłady te, zgodne z (), stanowły źródło prognoz VaR t (α,n M ) oraz umożlwały w dalszej kolejnośc szacunk rezerw kaptałowych zwązanych z ryzykem walutowym C t ; por. (). W perwszej kolejnośc poddano ocene ex post jednodnowe (n=) prognozy Value-at-Rsk wygenerowane przez rozważane modele zmennośc. Tabela prezentuje rezultaty porównana wszystkch model, przy wykorzystanu kryterów prezentowanych w częśc, dla α=.,... Uzyskane rezultaty nformują, ż kryterum Kupca slne odrzuca rozważane modele. Bardzo nske wartośc prawdopodobeństw testowych testu LR wykluczają w welu przypadkach adekwatność prognoz Value-at-Rsk przez rozważane modele. Jako wyjątek pojawa sę relatywne wysoka wartość p-value dla M, k= dla α=., dla M (α=.) oraz dla M, k= M (α=.). Zaprezentowane w tabel rezultaty analzy funkcj strat zdecydowane wskazują na orygnalny (odrębny od testów Kupca CTG) charakter kryterów ocen prognoz VaR, które są oparte na analze strat (BL, RL, FL). Duże rozproszene spłaszczene jednodnowych rozkładów predyktywnych p(y t+ y (t),m ) jest zasadnczym powodem, dla którego M generuje bardzo konserwatywne prognozy wartośc narażonej na ryzyko. W rozważanym okrese model ten ma zaledwe BL= przekroczena dla α=.. Pozostałe modele generują, w rozważanym okrese prognozowana, welokrotne wększą lczbę przekroczeń. Dla

6 Mateusz Ppeń każdego pozomu α najgorszym (pod względem strat BL) okazuje sę model M (AR-GARCH o warunkowym skośnym rozkładze t-studenta). Funkcja strat RL dostarcza rankngu rozważanych specyfkacj, który neznaczne zmena sę wraz ze zmanam wartośc prawdopodobeństwa α. O le ne ma wątplwośc, ż proces GARCH o warunkowym rozkładze α-stablnym generuje najnższą stratę RL w przypadku każdej z rozważanych wartośc α, to pozycja pozostałych model w rankngu zmena sę (przy zmanach α). Z punktu wdzena nstytucj nadzorującej (stosującej RL do oceny model wewnętrznych stosowanych w frmach do oceny ekspozycj na ryzyko) model M jest zawsze ocenany najlepej. Funkcja strat FL, uwzględnająca koszty utraconych korzyśc zwązane z prognozą VaR, dostarcza zupełne nnego rankngu rozważanych specyfkacj. Pod względem FL, pozycja każdego modelu jest odporna na zmany w pozome prawdopodobeństwa α. Sprawdzono dodatkowo, ż rankng ten jest także obojętny na zmany w wartoścach współczynnka c>, który określa koszty utraconych korzyśc. Z punktu wdzena nstytucj stosującej rozważane modele w prognoze VaR, najlepej ocenanym jest model M. Pommo dużej (najwększej) lczby przekroczeń model ten, dla wszystkch rozważanych wartośc α, generuje łączne najnższe koszty utraconych korzyśc najnższe straty w sytuacj przekroczena. Dodatkowo, funkcja strat FL slne penalzuje konserwatyzm prognoz uzyskanych w modelu M. W każdym z model M, M, M, M, dla k= k=, uzyskano prognozę VaR t (., M ) dla t=,...,. Na podstawe otrzymanych dzesęcodnowych ocen VaR określono rezerwy kaptałowe C t, zgodne z formułą (). Tabele oraz zawerają wykresy wartośc rezerw obowązkowych C t (t=,...,) oraz wykresy wartośc współczynnka proporcjonalnośc A t ; por. () (t=,...,) dla wszystkch rozważanych specyfkacj modelowych. Zameszczone w ostatnm werszu tabel wykresy zaobserwowanych dzennych stóp zman umożlwają ocenę stopna wrażlwośc C t oraz A t na napływ nowych obserwacj do zborów danych. Prognozy obowązkowych rezerw kaptałowych C t są w modelach M M w podobny sposób wrażlwe na napływ nowych obserwacj. Współczynnk korelacj pomędzy szeregam C t ; t=,..., uzyskanym w tych modelach wynos.. Zasadncze różnce w mechanzme generowana prognoz C t przez M oraz M kryją sę w przebegu współczynnka proporcjonalnośc A t. Wykresy A t dla M oraz M zostały zameszczone w drugej kolumne tabel. Model M, generując nezwykle konserwatywne prognozy VaR t (., M ), pozostaje przez cały okres t=,..., w bezpecznej strefe. Zatem współczynnk proporcjonalnośc A t dla M wynos trzy w całym rozważanym okrese prognostycznym. Zdecydowane naczej zachowuje sę model M. Początkowo (dla t= do około ) lość przekroczeń jest w tym modelu tak duża, ż A t, osągając wartość, sytuuje tę specyfkację w strefe podwyższonego ryzyka (red zone). Dla t od do około lość przekroczeń w M zdecydowane spada.

7 Wykorzystane rozkładów predyktywnych w prognoze VaR... 9 Powoduje to, ż model ten na krótko trafa w bezpeczną strefę (green zone). Do końca rozważanego okresu prognozowana duża lczba przekroczeń powoduje zawyżene współczynnka proporcjonalnośc A t (względem nskej wartośc uzyskanej w modelu M ). W tabel zaprezentowano rezultaty prognoz rezerw kaptałowych, które uzyskano w modelach M oraz M. Rezultaty wyraźne wskazują na poważne różnce w prognozowanych wartoścach C t w modelu z normalnym składnkem losowym, ze względu na lość obserwacj stanowących bazę dla funkcj warygodnośc. Wrażlwość dynamk C t na napływ nowych obserwacj maleje wraz ze wzrostem k (w modelach M ). Zameszczone w tabel wykresy współczynnka proporcjonalnośc A t nformują, ż modele M oraz M zachowują sę różne pod względem lośc przekroczeń. Czynnk A t a tym samym ocena modelu w zakrese bezpeczeństwa stosowana jego prognoz VaR jest najbardzej zmenny w modelu M, dla k=. W przypadku modelu M, dla k=, czynnk A t jest mało zmenny raczej przyjmuje wartośc blske. Model M osąga strefę podwyższonego ryzyka (red zone) jedyne dla t od do 9; por. Rysunek F w tabel. Lteratura Hendrcks, D., Hrtle, B. (99) Bank Captal Requrements for Market Rsk: The Internal Model Approach, Federal Reserve Bank of New York Revew. Jajuga, K., Kuzak, K., Papla, D., Rokta, P. () Ryzyko wybranych nstrumentów polskego rynku fnansowego, Rynek Termnowy,. Joron, P. (99) Value-at-Rsk: The New Benchmark for Controllng Market Rsk. McGraw Hll, New York. Kupec, P. (99) Technques for Veryfyng the Accuracy of Rsk Management Models, Journal of Dervatves,. Lopez, J. A. (999) Methods for Evaluatng Value-at-Rsk Estmates, Federal Reserve Bank of San Francsco Economc Revew,. Osewalsk, J., Ppeń, M. () Unvarate GARCH processes wth asymmetres and GARCH-In-Mean effects: Bayesan analyss and drect opton prcng, Przegląd Statystyczny, 9 Ppeń, M. (a) Value at Rsk Estmates and Captal Requrements for Market Rsk Obtaned From GARCH Predctve Denstes, Proceedngs of the -st Conference MACROMODELS, Łódź (w recenzj). Ppeń, M. (b) Applcaton of Bayesan Inference n Value-at-Rsk forecastng. The predctve assessment of the Captal Requrements for Market Rsk, Materały konferencj FndEcon', Łódź. (w recenzj) Rachev, S., Mttnk, S. () Stable Paretan Models n Fnance, J. Wley, New York. Sarma, M., Thomas, S., Shah, A. () Selecton of VaR Models, Journal of Forecastng,.

8 9 Mateusz Ppeń Tabela. Ocena ex post jakośc prognoz VaR t (α, y (t),m ) dla α=.,.. αˆ d (αˆ ) p-value I BL RL FL (c=) α=. M...e-.. M...e-.. M ; k=..... M ; k=...e-. 9. M α=. M..9.e-.9. M.. <e-..9 M ; k=...e- 9.. M ; k= M α=. M..9.e- 9.. M.. <e-.. M ; k=...e-.. M ; k= M Źródło: oblczena własne. Tabela. Wymagane rezerwy kaptałowe C t (t=,...,) oraz współczynnk proporcjonalnośc A t uzyskane w modelach M M C t Rys. A. (M ) A t Rys. B. (M ) 9 Rys. C. (M ) 9 Rys. D. (M ) 9 9 y t y t

9 Wykorzystane rozkładów predyktywnych w prognoze VaR... 9 Tabela. Wymagane rezerwy kaptałowe C t (t=,...,) oraz współczynnk proporcjonalnośc A t uzyskane w modelach M M C t Rys. A. (M ; k=) A t Rys. B. (M ; k=) 9 Rys. C. (M ; k=) 9 Rys. D. (M ; k=) 9 Rys. E. (M ) 9 Rys. F. (M ) 9 9 y t y t