Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe w kwota ulokowaa w -ty aer = w = w w x = udzał -teo aeru w ortfelu w x = x 0 = x x Wektor x = azywamy strukturą ortfela. M x Oczekwaa stoa zwrotu z ortfela: E( = x E( (4.4 = Waraca stoy zwrotu z ortfela: D = = ( = x x ρ D( D( (4.6 Odchylee stadardowe stoy zwrotu z ortfela: D ( = D ( (4.6 Portfel rozdzał 4
Z. W tabel zawarte są charakterystyk trzech walorów. Paer r ( Oczekwaa stoa zwrotu (% Odchylee stadardowe stoy zwrotu (% Struktura ortfela ( x 6 0,3 8 4 0, 3 4 3 0,5 Wsółczyk korelac wyoszą: ρ = 0,5, ρ 3 = 0,, ρ 3 = 0, 3 a Oblcz oczekwaą stoę zwrotu z ortfela b Oblcz waracę odchylee stadardowe te stoy. Portfel a dodatkowy aer wartoścowy Mamy ortfel aerów o strukturze x [ x K ] T Dołączamy do eo aer o umerze +. =. Powstae owy ortfel (ozaczoy w ksążce deksem Wzory: Wsółczyk korelac stoy zwrotu z ortfela ze stoą zwrotu z aeru o umerze + : = x cov(, + ρ, + = (4.9 D( D( + Wartość oczekwaa stoy zwrotu z oweo ortfela (: x oblcza sę stadardowo wzór (4.4 Waraca odchylee stadardowe stoy zwrotu z : oblcza sę stadardowo wzory (4.6 (4.7 Z3. Wykoać zadae w dwóch etaach. Naerw rozważyć ortfel złożoy z dwóch aerów o umerach, a astęe dołączyć do eo aer o umerze 3. Portfel rozdzał 4
bez krótke srzedaży: 3. Krótka srzedaż x = x 0 z krótką srzedażą: x = = (4.0 = (4. 4. Dwa zadaa wyboru ortfel Zadae. (mmalzac ryzyka D ( m rzy waruku: E( = r czyl = D ( x x ρ D( = = rzy warukach: D( m E( = x E( = r (4.4 x = = = Jest to zadae roramowaa kwadratoweo. Zadae. (maksymalzac stoy zwrotu E ( max rzy waruku: D ( = s Portfel rozdzał 4 3
czyl E ( = = x E( rzy warukach: D x = max = x x D( D( = = = ( ρ s (4.5 = Jest to elowe zadae roramowaa matematyczeo. Z4. W tabel zawarte są charakterystyk trzech walorów. Paer r ( Oczekwaa stoa zwrotu (% Odchylee stadardowe stoy zwrotu (% Struktura ortfela ( x 6 0,3 8 4 0, 3 4 3 0,5 Wsółczyk korelac wyoszą: ρ = 0,5, ρ 3 = 0,, ρ 3 = 0, 3 a Skostruować zadae wyzaczaa ortfela o mmalym ryzyku rzy oczekwae stoe zwrotu rówe 6% b Skostruować zadae wyzaczaa ortfela o maksymale oczekwae stoe zwrotu. Przyąć, że ryzyko ortfela merzoe waracą wyos 9 (... Portfel rozdzał 4 4
5. Zbór ortfel o mmalym ryzyku Przyommy Zadae : = D ( x x ρ D( = = rzy warukach: D( m E( = x E( = r (4.4 x = = = Zaszmy to zadae rzy omocy macerzy wektorów: D ( C = cov(, cov(, x x x = x Zadae moża zasać tak: x T Cx T m cov(, D ( cov(, E( E( e = E( cov(, cov(, D ( = e x = r (4.6 T x = Nech: G =, dze: e C e, = = C e, C, = T ( = det G =. T = T Portfel rozdzał 4 5
ozwązae zadaa (4.6 ma ostać: o x = a + br (4.7 dze: a = C ( C e ( C e C b =, (4.8 (4.9 UWAGA: Zaąc wektory a b możemy z (4.7 wyzaczyć strukturę ortfela o mmalym ryzyku dla dowoleo r. Z5. W tabel zawarte są charakterystyk trzech walorów. Paer r ( Oczekwaa stoa zwrotu (% Odchylee stadardowe stoy zwrotu (% Struktura ortfela ( x 6 0,3 8 4 0, 3 4 3 0,5 Wsółczyk korelac wyoszą: ρ = 0,5, ρ 3 = 0,, ρ 3 = 0, 3 Wyzaczyć złożoy z trzech aerów wartoścowych ortfel o mmalym ryzyku rzy oczekwae stoe zwrotu z ortfela rówe 6%. 6. Własośc zboru ortfel o mmalym ryzyku Własość. Zblasowae (a e T a = 0 oraz a = T (b e T b = oraz b = 0 T Portfel rozdzał 4 6
Własość. Zaąc struktury dwóch ortfel o mmalym ryzyku (rzy różych r, moża wyzaczyć zbór ortfel o mmalym ryzyku. Techcze ozacza to, że zaąc struktury dwóch ortfel o mmalym ryzyku (rzy różych r, moża wyzaczyć arametry a b rówaa (4.7 Z6. Nech będą dae dwe struktury ortfel o mmalym ryzyku: 0,6730 x o = 0,43, 0,0867 0,7647 o x = 0,36. 0,3673 Struktura erwszeo ortfela odowada oczekwae stoe zwrotu rówe 7%, a drueo 5%. Wyzaczyć zbór ortfel o mmalym ryzyku. Własość 3. Dae są struktury dwóch ortfel o mmalym ryzyku, odowadaące stoom zwrotu z ortfel r, r. Kowaraca stó zwrotu z tych ortfel wyraża sę wzorem: cov( = (4.0, r r + Z7. Wyzaczyć kowaracę stó zwrotu z ortfel z zadaa Z6. Własość 4. Waraca stoy zwrotu z ortfela o mmalym ryzyku wyraża sę wzorem: D ( = r + (4. Z8. Dla wyzaczoeo w Z5 ortfela o mmalym ryzyku, odowadaąceo stoe zwrotu 6%, wyzacz waracę stoy zwrotu z teo ortfela. Portfel rozdzał 4 7
UWAGA: Z (4. wyka, że zwązek mędzy stoą zwrotu a mmalym ryzykem ortfela moża zlustrować tak: Wosek: Wśród wszystkch ortfel o mmalym ryzyku, odowadaących różym stoom zwrotu r, stee dokłade ede tak ortfel, któreo ryzyko est amesze. Własość 5. (Portfel o mmalym ryzyku!!! Nech x * ozacza strukturę ortfela o mmalym ryzyku (ze wszystkch ortfel odowadaących różym stoom zwrotu. Struktura takeo ortfela wyraża sę wzorem: x* = C (4. Oczekwaa stoa zwrotu ryzyko z teo ortfela: * E( =, * D ( = (4.3 Portfel rozdzał 4 8
Z9. Na odstawe daych z Z5 wyzaczyć ortfel o mmalym ryzyku (ze wszystkch ortfel odowadaących różym stoom zwrotu. Wyzaczyć oczekwaą stoę zwrotu z teo ortfela, a także waracę te stoy. Własość 6. Załóżmy, że wyzaczylśmy ortfel o mmalym ryzyku, odowadaący ewe oczekwae stoe zwrotu r. Wówczas stee ewe y ortfel o mmalym ryzyku, odowadaący ewe oczekwae stoe zwrotu r, któreo stoa zwrotu est eskorelowaa ze stoą r. (Kowaraca tych stó zwrotu wyos zero.. Stoa r est rówa: r r = (4.4 r Z0. Day est ortfel o mmalym ryzyku, odowadaący oczekwae 0,7884 stoe zwrotu rówe 6%. Jest to ortfel o strukturze: x = 0,408. 0,4030 Wyzaczyć strukturę ortfela o mmalym ryzyku, któreo stoa zwrotu est eskorelowaa ze stoą zwrotu odowadaącą strukturze x. Portfel rozdzał 4 9