Przykªad obliczeniowy dla sko«czenie elementowego sformuªowania metody Galerkina Anna Górska, Magdalena Kici«ska Abstrakt - Artykuª ma na celu przybli»enie procesu modelowania przepªywu ruchu ulicznego przy pomocy sko«czenie elementowego sformuªowania metody Galerkina. Opieraj c si na wiedzy z dziedziny dynamiki pªynów, ruch uliczny, na poziomie makroskopowym, mo»na opisa jako ci gªy przepªyw. Obserwacja ta zostaªa wykorzystana przez ighthilla, Withama i Richardsa do sformuªowania modelu WR pierwszego rz du. Model ten jest postaci jednorodnego równania ró»niczkowego, a przedstawienie jego rozwi zania numerycznego przy pomocy metody Galerkina dla staªej pr dko±ci jest jednym z celów tego artykuªu. Dla uzyskania dobrych wyników, droga dªugo±ci 5000 m zostaje podzielona na odcinki dªugo±ci 00 m, pr dko± zostaje ustalona na warto± 25 m/s, natomiast krok czasowy jest równy s. Dane odcinki dªugo±ci 00 m s dwuw zªowymi elementami liniowymi. Z ka»dym z w zªów zwi zna jest pewna warto± nat»enia ruchu. Metoda Galerkina prowadzi do okre±lenia tej warto±ci dla ka»dego w zªa. Praktycznym przykªadem wykorzystania modelu WR ze staª pr dko±ci jest taz zwana jazda blokowa (ang. block driving). Sªowa kluczowe - Makroskopowy przepªyw uliczny, model WR, sko«cznie elementowe sformuªowanie metody Galerkina, jazda blokowa. Wst p Cz ± pierwsza zawiera podstawowe zaªo»enia dotycz ce teorii przepªywu ruchu ulicznego na poziomie makroskopowym oraz posta i detale modelu WR (Anna Górska). W cz ±ci drugiej opisane zostaªo sko«czenie elementowe sformuªowanie metody Galerkina (Anna Górska). Przebieg rozwi zania modelu WR przy pomocy danej metody elementów sko«czonych zostaª zaprezentowany w nast pnej cz ±ci artykuªu (Magdalena Kici«ska). Czwarta cz ± przybli»a metod jazdy blokowej oraz posumowuje poprzednie cz ±ci artykuªu (Magdalena Kici«ska). 2 Teoria ruchu ulicznego 2 Podstawowymi czterema kategoriami modelów ruchu ulicznego s : makroskopowy, mezoskopowy, mikroskopowy oraz submikroskopowy. Model WR nale»y do kategorii makroskopowych.
2. Parametry Najwa»niejszymi parametrami opisuj cymi ruch uliczny s : nat»enie(k) wyra»one w ilo±ci pojazdów na kilometr veh/km przepªyw(q) wyra»ony w ilo±ci pojazdów na godzin veh/h pr dko± (u) wyra»ona w kilometrach na godzin km/h 2.2 Podstawowe relacje Ruch uliczny mo»e mie ró»ny charakter: wolno-przepªywowy - niskie nat»enie ruchu (zatem du»a pr dko± ); u f - maksimum dozwolonej pr dko±ci naªadowany - maksymalny przepªyw; q c - przepªyw pojemny zatªoczony - maksymalne nat»enie (zatem maªa pr dko± lub jej brak); k j - zatªoczone nat»enie Powi zania pomi dzy trzema przedstawionymi wcze±niej parametrami uzyskane do±wiadczalnie s przedstawione w postaci trzech wykresów. Rysunek : Fundamentalny diagram u k Zale»no± mi dzy nat»eniem a pr dko±ci (rys.) przedstawia si zale»no±ci u = u j ( k k j ) () 2
Rysune: Fundamentalny diagram q k Zale»no± mi dzy nat»eniem a przepªywem (rys.2) przedstawia si zale»no±ci q = k j u( u u j ) (2) Rysunek 3: Fundamentalny diagram u q Zale»no± mi dzy przepªywem a pr dko±ci (rys.3) przedstawia si zale»no±ci q = u j k( k k j ) (3) Jednoznaczna relacja wi» ca nat»enie, przepªyw oraz pr dko± ruchu ulicznego jest wyra»ona równaniem q = k u (4) 3
2.3 Model WR pierwszego rz du ighthill, Witham i Richards zauwa»yli,»e ruch uliczny mo»e by uto»samiony z nielepkim ale ±ci±liwym pªynem. Zatem dyskretny strumie«pojazdów mo»e by rozumiany jako ci gªy przepªyw. Dla nat»enia, przepªywu oraz pr dko±ci zdeniowanych jako zmienne ci gªe w ka»dym punkcie czasu i przestrzeni model WR pierwszego rz du to + q = 0 (5) Wykorzystuj c relacj (4), równanie (5) mo»na przedstawi w postaci: (k u) + = 0 (6) Przyjmuj c,»e pr dko± jest warto±ci staª (u = u 0 ), równanie (6) znacznie si upraszcza: + u 0 = 0 (7) Jak wida, nat»enie k jest funcj dwóch zmiennych zale»n od poªo»enia i czasu. Jest to zgodne z intuicjami, poniewa» z rozpatrywanym odcinkiem drogi oraz wybran chwil czasow t zwi zana jest konkretna warto± nat»enia k. Nietrudno si przekona, i» obserwuj c wybrany odcinek drogi, w zale»no±ci od pory dnia czy nocy nat»enie ruchu b dzie ró»ne (godziny szczytu a ±rodek nocy). Odwrotnie, badaj c stan nat»enia ruchu na ró»nych odcinkach dróg o wybranej porze dnia czy nocy, uzyskane warto±ci b d zró»nicowane (autostrada a wiejska droga). 3 Sko«czenie elementowe sformuªowanie metody Galerkina Niech rozwa»ane równanie ró»niczkowe b dzie postaci (u) = f, (8) gdzie jest liniowym operatorem ró»niczkowania, natomiast f = f() dowoln funkcj. Szukanym rozwi zaniem równania (8) na przedziale a, b jest funkcja u = u(). (9) Mo»liwe, lecz niekonieczne jest naªo»enie na funkcj u warunków brzegowych u(a) = α, u(b) = β, (0) gdzie α, β R. W opisywanej metodzie dany przedziaª a, b dzielimy na podprzedziaªy, które dalej nazywane b d sko«czonymi elementami liniowymi dwuw zªowymi, z w zªami na ko«cach. Poszczególne w zªy zwi zane s z okre±lonymi warto±ciami i odpowiedniej wspóªrz dnej oraz z okre±lonymi warto±ciami w zªowymi u i, czyli warto±ciami funkcji u w odpowiednich w zªach. Przypu± my,»e szukana funkcja (funkcja próbna) jest postaci u = c + c 2. () 4
Powy»sza posta funkcji próbnej nie jest bezpo±rednio zwi zana z warto±ciami w zªowymi. Nie wida bezpo±redniego zwi zku mi dzy danym w zªem czy warto±ci szukanej funkcji w danym w ¹le, a postaci funkcji próbnej (niezale»nie od warto±ci przepis na u jest nadal funkcj liniow ze wspóªczynnikami c i c 2 ). Dlatego równanie () nale»y przedstawi za pomoc warto±ci w zªowych. Innymi sªowy, wspóªczynniki c i c 2 nale»y zast pi warto±ciami u i i u i+. Z wcze±niejszych rozwa»a«wynikaj nast puj ce równo±ci: u( i ) = c i + c 2 = u i (2) u( i+ ) = c i+ + c 2 = u i+ (3) Traktuj c równania (2) i (3) jako ukªad dwóch równa«z dwiema niewiadomymi, nietrudno wyznaczy posta wspóªczynników c i c 2 c = u i+ u i i+ i (4) c 2 = u i i+ u i+ i i+ i (5) Po wstawieniu (4) i (5) do równania () oraz po dokonaniu pewnych przeksztaªce«funkcja próbna przyjmuje posta u = H ()u i + H 2 ()u i+, (6) gdzie H () = i+ i h i (7) H 2 () = i h i (8) h i = i+ i (9) Posta (6) funkcji u jest ±ci±le zale»na od warto±ci w zªowych, zatem znaj c warto±ci u i funkcji próbnej w okre±lonych w zªach i mo»na wyznaczy wzory funkcji u na odpowiednich podprzedziaªach (elementach sko«czonych). Do wyznaczenia warto±ci u i nale»y skonstruowa odpowiedni do danej sytuacji ukªad równa«zªo»onych z sum okre±lonych caªek przyrównanych do zera, jak wida poni»ej n i+ ωrd = 0, (20) i i= gdzie ω jest tak zwan funkcj wagow, tutaj natomiast R nazywane jest reszt (residuum) oraz ω = H (), ω 2 = H 2 (), (2) R = (u) f() (22) 5
4 Zastosowanie sko«czenie elementowej metody Galerkina 2 Dzi ki zastosowaniu sko«czenie elementowej metody Galerkina obliczamy równanie (5). Na pocz tku nale»y dla problemu (5) skontruowa odpowiedni caªk, opieraj c si na wzorze (20): V ω ( + u 0 gdzie V jest wielko±ci elementu. Uwzgl dniaj c (2) mo»emy zapisa : V N ( + u 0 (k) )dv = 0 (23) (k) )dv = 0, (24) gdzie wektor N jest odpowiednikiem wektora H ze wzoru (2). Dzi ki temu,»e element sko«czony jest liniowy i jednorodny mo»emy z dv przej± na d i bez straty ogólno±ci caªkowa po : ω ( + u 0 4. Macierze pojedynczych elementów (k) )d = 0 (25) W tej cz ±ci zostanie pokazane pochodzenie macierzy pojedynczych elementów sko«czonych o dªugo±ci i dwóch g sto±ciach w zªowych k i. Na rysunku 4 przedstawiono gracznie pojedynczy element sko«czony przepªywu ruchu ulicznego. Rysunek 4: Element sko«czony G sto± ruchu ulicznego w elemencie mo»na przedstawi za pomoc funkcji uzale»nionej od g sto±ci w zªowych, stosuj c równanie (6): k = N k + N 2 = k N N 2 (26) Funkcje ksztaªtu N i N 2 maj nast puj c posta : N = N N 2 =, (27) która wynika bezpo±rednio ze wzorów (7) i (8). 6
Zró»niczkowanie g sto±ci ruchu k w zale»no±ci od czasu t daje równianie: = N + N 2 2 = N N 2 2 (28) Zró»niczkowanie g sto±ci ruchu w zale»no±ci od poªo»enia daje równanie: = N k + N 2 = N N 2 k (29) Podstawiaj c (28) i (29) do równania (25) otrzymamy: N ( N N N 2 2 )d+ 2 + N (u 0 N 2 N N 2 ) k )d = 0 (30) Wstawienie (27) do powy»szego równania (30) i wymno»enie macierzy daje: ( ( )2 ( ) ( ) 2 2 )d+ 2 + ( ( ) ( ) k )d = 0 (3) 2 Nast pnie, po scaªkowaniu otrzymaujemy: 2 + 3 2 3 2 2 3 3 2 + 2 2 2 3 2 3 3 2 2 + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k = 0 (32) Gdy zastosujemy granice caªkowania, tzn. dla pojedynczego elementu z rysunku X przyjmiemy granice caªkowania od 0 do, to po uproszczeniu otrzymamy równanie: 2 6 2 2 + u 0 2 k = 0 (33) Ze wzgl du na zale»no± od czasu (przepªyw ruchu drogowego jest zale»ny od czasu) konieczne jest zastosowanie schematu Eulera wstecz, czyli: = k k t t Po zastosowaniu powy»szego schematu (34) równanie (33) przyjmie posta : 2 k 6 t 2 k2 2 k 6 t t 2 k2 t + + u 0 2 Przedstawmy równanie (35) w nast puj cej formie: 2 k 6 t + u0 2 2 k2 k k2 = 6 t (34) = 0 (35) 2 2 k t k t 2 (36) 7
4.2 Rozwi zanie ogólne dla n elementów z krokiem czasowym m Rozwa»amy drog podzielan na n elementów o jednakowej dªugo±ci, z danymi warunkami pocz tkowymi: dla t = 0 s, k 0 do kn+ 0 i warunkami brzegowymi: dla = 0 m, k 0 do k m t. Przedstawiono to gracznie na rysunku 5. Rysunek 5: Problem zdeniowany dla n elementów sko«czonych i m kroków czasowych Maj c tak postawiony problem, g sto± ruchu w ka»dym momencie czasu i w ka»dym poªo»eniu mog by wyliczone z zale»no±ci: k = k2 2 0...... 0 0...... 0. 4.......... 0.......... 0............ 6 t............. + u 0. 0............ 0 2............. 0.......... 4.......... 0 0...... 0 2 0...... 0 2 0...... 0. 4.......... 0......................... k t (37) 0.......... 4 0...... 0 2 8
5 Jazda blokowa Rozwa»any model jest prawdziwy tylko wtedy, gdy rozpatrywana pr dko± jest staªa. Oczywi±cie istniej ró»ne postaci modelu WR, które uwzgl dniaj inne zaªo»enia, np. pr dko± zmienn. Jednak to jest osobny temat na kolejny artykuª. Przykªadem praktycznym modelu WR ze staª pr dko±ci jest tzw. jazda blokowa (block driving) stosowana powszechnie w Niderlandach. Polega ona na tym,»e w przypadku du»ego nat»enia ruchu lub w przypadku zagro»enia samochody w grupach jad za policj. Wszystkie ze staª pr dko± poruszaj si ±rodkiem drogi, dzi ki czemu wyeliminowane zostaje niepotrzebne przyspieszanie i hamowanie. Korki rozªadowaj si szybciej, a prawdopodobie«stwo wypadków znacznie spada. 6 Podsumowanie Sko«czenie elementowe sformuªowanie metody Galerkina mo»e by z powodzeniem stosowane do rozwi zywania makroskopowego modelu WR przepªywu ulicznego pierwszego rz du ze staª pr dko±ci. Warto±ci g sto±ci, pr dko±ci i przepªywu mog by wyliczone w ka»dym punkcie drogi, w ka»dym momencie czasu. Otrzymane w ten sposób rezultaty znajduj potwierdzenie w rzeczywisto±ci. Przyszªe prace b d skupiaªy si na rozwini ciu modelu WR ze zmienn pr dko±ci, ale nadal w celu jego rozwi zania stosowana b dzie metoda Galerkina. iteratura Materiaªy ze strony internetowej www.mif.pg.gda.pl/homepages/jpielaszkiewicz, Approimation Techniques, Section 2.4 2 Wesley Ceulemans, Magd A. Wahab, Kurt De Proft, Geert Wets, Modelling Trac Flow with Constant Speed using the Galerkin Finite Element Method, ondon 2009. 9