Analiza harmoniczna na grupach jednorodnych na przykładzie grupy Heisenberga

Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Środowiskowe Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych Analiza harmoniczna na grupach jednorodnych na przykładzie grupy Heisenberga Paweł Głowacki Uniwersytet Wrocławski Pawel.Glowacki@math.uni.wroc.pl Publikacja współfinansowana ze środków Uni Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Informacje wstępne Grupa jednorodna to nilpotentna grupa Liego, którą jako rozmaitość można utożsamić z przestrzenią R n, w taki sposób że działania grupowe wyrażają się przez funkcje wielomianowe. Dodatkowo zakłada się istnienie grupy automorfizmów zwanych dylatacjami o własnościach podobnych do jednokładności x tx w R n. Jeśli w R 3 wprowadzimy działanie (x, y) (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 + 1 2 (x 1y 2 x 2 y 1 ), otrzymamy najprostszą nieabelową strukturę grupy nilpotentnej, a po zdefiniowaniu dylatacji δ t (x 1, x 2, x 3 ) = (tx 1, tx 2, t 2 x 3 ), t > 0, grupę jednorodną zwaną grupą Heisenberga. Ten modelowy przykład grupy jednorodnej nie tylko pozwala zademonstrować szereg zjawisk charakterystycznych dla analizy harmonicznej na grupach jednorodnych, ale i sam w sobie jest ciekawym obiektem o wieloaspektowych związkach z szeroko rozumianą analizą w R n. Analiza harmoniczna na grupach jednorodnych zajmuje się zagadnieniami podobnymi do tych, które są przedmiotem badań analizy w R n. Występuje tu cała gama przestrzeni funkcyjnych, takich jak przestrzenie L p, przestrzenie Hardy ego, Höldera, Sobolewa, i mnogość charakterystycznych operatorów liniowych i nieliniowych. Często są to operatory splotu, a więc przemienne z translacjami grupowymi lub też operatory jednorodne względem automorficznych dylatacji. Wiedza o tych klasach operatorów przydaje się do badania bardziej złożonych operacji, które nie są już ani niezmiennicze, ani jednorodne. Często celem jest opis własności pewnego nieograniczonego operatora różniczkowego ważnego z punktu widzenia teorii równań różniczkowych cząstkowych lub teorii funkcji holomorficznych wymagający wzięcia pod uwagę całych rodzin liniowych operatorów ograniczonych. Dlatego pytanie o ograniczoność, np. na przestrzeniach L p, wielu pojawiających się operacji jest jednym z najważniejszych. Jako że cała ta analiza odbywa się na grupie Liego, poświęcimy też trochę czasu na naszkicowanie podstaw teorii grup Liego i teorii reprezentacji unitarnych, ilustrując je przykładem grupy Heisenberga. Wykład ma charakter mieszany. Obok fragmentów prowadzonych metodą szkolną z pełnym wyprowadzeniem i ścisłymi dowodami, będą też podawane informacje dotyczące szerszego kontekstu omawianych zagadnień. Plan wykładu 1. Analiza harmoniczna w R n : dystrybucje, transformata Fouriera, operatory splotu i mnożenia, funkcje maksymalne i zbieżność prawie wszędzie, całki osobliwe, teoria Calderóna-Zygmunda. 2. Grupa Heisenberga I: elementy teorii Liego, pola wektorowe, algebra Liego, reprezentacje unitarne, reprezentacje Schrödingera, wzór Plancherela, lemat Riemanna-Lebesgue a, splot skręcony. 1

3. Grupa Heisenberga II: podlaplasjan, hipoeliptyczność, asymptotyka jądra ciepła, przestrzenie funkcyjne, rachunek symboliczny, kwantyzacja. 4. Grupy nilpotentne: grupy jednorodne, reprezentacje, operatory Rocklanda, nieróżniczkowe operatory modelowe, rachunek symboliczny Melina. Wykład będzie się odbywał się co miesiąc w czterech 8-godzinnych częściach. Przed każdą kolejną częścią udostępnione zostaną notatki wykładowcy zawierające cały przeznaczony do wyłożenia w tej części materiał. Za każdym razem podana też zostanie odpowiednia literatura obejmująca ten materiał. Każda część wykładu kończy się zadaniem domowym ściśle związanym z wyłożonym materiałem i mającym charakter uzupełniający jego treść. Rozwiązanie jednego z tych zadań i przedstawienie rozwiązania w pliku PDF w terminie do 31 grudnia jest warunkiem zaliczenia wykładu. Od słuchaczy oczekuje się znajomości analizy funkcjonalnej, teorii równań różniczkowych cząstkowych, rozmaitości różniczkowalnych, teorii dystrybucji i analizy Fouriera w elementarnym zakresie przewidzianym w typowych kursach uniwersyteckich. Część I: Analiza harmoniczna w R n Polecana literatura: 1. L. Grafakos, Classical Fourier analysis, rozdziały 2 i 4, 2. L. Hörmander, Analysis of differential operators, tom I, rozdziały 1 4, 3. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, rozdziały 6 i 7, 4. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, rozdziały 1 i 2, 5. Stein, Harmonic analysis, rozdziały 1 i 2, 6. Stein-Weiss, Fourier analysis on Euclidean spaces, rozdział 1. 1. Dystrybucje temperowane na R n 1. Funkcja f : R n C nazywa się szybko malejąca, jeśli dla każdego N N istnieje stała C N > 0, taka że f(x) C n (1 + x ) N. Funkcja F : R n C nazywa się wolno rosnąca, jeśli istnieją stałe C > 0 i N > 0, takie że F (x) C(1 + x ) N. Miara borelowska µ na R n nazywa się wolno rosnąca, jeśli istnieje N > 0, takie że R n(1 + x ) N µ(dx) <. 2. Mówimy, że f jest funkcją Schwartza i piszemy f S(R n ), jeśli f C (R n ) i każda z pochodnych D α f jest funkcją szybko malejącą. 2

3. Przestrzeń S(R n ) jest przestrzenią liniową, a wyposażona w rodzinę półnorm f (N) = max α N sup x R n (1 + x ) N D α f(x) staje się lokalnie wypukłą przestrzenią Frechéta. 4. Dystrybucją temperowaną nazywamy ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni Schwartza S(R n ). 5. Przykłady. Przykładami dystrybucji temperowanych są a) wolno rosnące funkcje lokalnie całkowalne, b) miary wolno rosnące, c) w szczególności delty Diraca. 6. Przykład (dystrybucja Hilberta). Niech H, f = lim ε 0 x ε f(x) dx, f S(R). x Granica ta zawsze istnieje i definiuje dystrybucję temperowaną na R, która nie jest miarą wolno rosnącą. 7. Niech będzie dana dystrybucja T na R n i funkcja lokalnie całkowalna F na otwartym zbiorze Ω R n. Mówimy, że dystrybucja T zgadza się z F na Ω R n, jeśli T, f = Ω F (x)f(x) dx, f S(R n ), supp f Ω. Zauważmy, że dystrybucja H z Przykładu 6 zgadza się z funkcją F (x) = 1/x na zbiorze R \ {0}. 8. Nośnikiem dystrybucji T na R n nazywamy najmniejszy zbiór domknięty S, taki że T znika (zgadza się z funkcją zerową) na R n \ S. 9. Jedynymi dystrybucjami o nośniku punktowym S = {p} są dystrybucje postaci T α, f = D α f(p) i ich kombinacje liniowe. 10. Twierdzenie. Niech k : R n \ {0} będzie ciągłą funkcją jednorodną stopnia n. Załóżmy jeszcze, że Wtedy wzór 1 x 2 k(x) dx = 0. (*) K, f = lim f(x)k(x) dx ε 0 x ε definiuje dystrybucję jednorodną stopnia n, która na otwartym zbiorze R n \ {0} zgadza się z funkcją k. Przypuśćmy na odwrót, że dana jest dystrybucja K jednorodna stopnia n, która na R n pokrywa się z pewną funkcją ciągłą k. Wtedy funkcja k jest jednorodna stopnia 3

n i spełnia warunek (*). Co więcej, sama dystrybucja zadana jest wzorem dla pewnej stałej c. 11. Dowód: Jeśli f S(R n ), to Dlatego K, f f (1) K, f = cδ + lim f(x)k(x) dx ε 0 x ε f(x) f(0) f (1), x f(x) f (1). x 1 co pokazuje że K jest dystrybucją. x n+1 dx + f (1) x 1 x n 1 dx C f (1), Aby udowodnić drugą część twierdzenia, zdefiniujmy pomocniczą dystrybucję K 0, f = x 1 (f(x) f(0))k(x) dx + f(x)k(x) dx, x 1 która, jak nietrudno spostrzec, także zgadza się z funkcją k poza zerem. Zatem K = K 0 + T, gdzie T ma nośnik punktowy S = {0}. Stosując K do funkcji f t (x) = f(tx) dla 0 < t < 1 i korzystając z tożsamości otrzymujemy K, f t K, f = 0, f(0) k(x) dx = T, f t T, f. 1 x 2 Prawa strona dąży do zera, gdy t 0, a więc warunek (*) musi być spełniony. Co więcej, lewa strona nie zależy od t, więc T = cδ 0. 12. Splotem dystrybucji T z funkcją f klasy Schwartza nazywamy funkcję T f(x) = T, f x = T (y)f(x y) dy. Taki splot jest zawsze funkcją klasy C, a jeśli f ma nośnik zwarty, to nawet klasy Schwartza. 13. Splot dystrybucji Hilberta (Przykład 6) z funkcją f S(R) to funkcja H f(x) = lim ε 0 y ε f(x y) dy. y Przekształcenie f Hf = H f nazywamy transformatą Hilberta. Zauważmy, że H(f a ) = (Hf) a, a więc H jest przemienne z translacjami (translacyjnie niezmiennicze). 4

14. Niech T będzie dystrybucją temperowaną. Wtedy odwzorowanie S(R n ) f T f C (R n ) jest ciągłe i translacyjnie niezmiennicze. Zbieżność w C (R n ) to zbieżność niemal jednostajna wszystkich pochodnych. 2. Transformata Fouriera 1. Transformatą Fouriera funkcji f L 2 (R n ) nazywamy funkcję f(ξ) = f(x)e ixξ dx. 2. Lemat Riemanna-Lebesgue a. Jeśli f L 1 (R n ), to f C 0 (R n ). 3. Jeśli f S(R n ), to f S(R n ). 4. Jeśli f, g L 1 (R n ), to f(x)ĝ(x) dx = f(ξ)g(ξ) dξ. 5. Wzór na odwrócenie. Jeśli f S(R n ), to f(x) = f(ξ)e ixξ dξ. 6. Twierdzenie Plancherela. Jeśli f S(R n ), to f(x) 2 dx = f(ξ) 2 dξ. 7. Transformata Fouriera jest izomorfizmem przestrzeni Schwartza S(R n ). Jest także izometrią przestrzeni Hilberta L 2 (R n ). 8. Jeśli f, g L 1 (R n ), to f g = f ĝ. 9. Jeśli T jest dystrybucją temperowaną, to wzór S, f = T, f definiuje nową dystrybucję temperowaną, którą będziemy oznaczać przez S = T i nazywać transformatą Fouriera T. Mamy więc T, f = T, f. 5

10. Przykład. Niech będzie dystrybucją Hilberta. Wtedy H, f = x ε Ĥ, f = H, f = lim ε 0 1 = lim ε 0 x = 1 i lim f(ξ) = ε 0 ε x 1/ε f(ξ)h(ξ) dξ, f(x) dx x ε x 1/ε ε x 1/ε f(x) dx x e ixξ f(ξ) dξ dx sin xξ x dx dξ gdzie h(ξ) = π 2iσ(ξ). Zatem transformatę Fouriera dystrybucji H można utożsamić z funkcją ograniczoną h. 3. Funkcje maksymalne i zbieżność prawie wszędzie 1. Lemat Wienera. Niech X będzie przestrzenią metryczną z miarą σ-skończoną. Jeśli rodzina B kul B α = B(a α, r α ) stanowi pokrycie zbioru E X i R 0 = sup α r α <, to istnieje przeliczalna podrodzina parami rozłącznych kul B k = B k (a k, r k ), taka że E k B k, gdzie B k = B(a k, 4r k ). 2. Dowód: Kulę B 1 wybieramy tak, by r 1 2R 0 /3. Przypuśćmy, że kule B 1, B 2,..., B k już zostały wybrane. Niech B k = {B B : B B s = dla 1 s k}. Jeśli B =, to kończymy proces wyboru. Jeśli nie, to wybieramy kulę B k+1 = B(a k+1, r k+1 ) tak, aby r k+1 2R k /3, R k = sup{r : B(a, r) B k }. W ten sposób zdefiniowaliśmy (skończony lub nieskończony) ciąg kul (B k ) parami rozłącznych. Jeśli k B k =, to teza jest spełniona w sposób trywialny. Jeśli zaś B k <, k to B k 0, a więc i r k 0. Pokażemy, że wtedy E k B k. Jeśli x E, to x B dla pewnej kuli B B. Wystarczy pokazać, że B k B k. W tym celu wystarczy rozpatrzeć kule B = B(a, r), które nie wchodzą w skład ciągu (B k ). Istnieje wtedy najmniejsze k, takie że r k+1 < 2r/3 (bo ciąg r k dąży do zera). 6

Wtedy też B musi przecinać, B s dla pewnego s < k, bo inaczej B B k i r > 3r k+1 /2 R k, a to jest sprzeczność. Co więcej, r 3r s /2. W takim razie co było do okazania. B B(a s, r s + 2r) B(a s, 4r s ) = B s, 3. Niech M(R n ) oznacza przestrzeń wszystkich funkcji mierzalnych. Mówimy, że odwzorowanie T : L p (R n ) M(R n ) jest słabego typu (p, p), jeśli istnieje stała C > 0, taka że dla każdego α > 0 {x R n : T (f)(x) > α} 1/p C f p α. Warto w tym miejscu warto przypomnieć nierówność Kołmogorowa: Dla f 0 {x R n : f(x) > α} 1/p f p, 1 p <. α Nierówność Kołmogorowa mówi, że odwzorowanie tożsamościowe jest słabego typu (p, p) dla 1 p <. 4. Operator Mf(x) = sup f(y) dy x B B nazywamy operatorem maksymalnym Hardy ego Littlewooda. 5. Twierdzenie. Operator maksymalny Hardy ego Littlewooda jest słabego typu (1, 1). 6. Dowód: Niech α > 0 i niech E = {x R n : Mf(x) > α}. Z definicji, dla każdego x E istnieje kula B(x), taka że B(x) < α 1 B(x) f(y) dy, B(x) α 1 f 1. Kule te stanowią pokrycie zbioru E. Na mocy lematu Wienera można wybrać spośród nich ciąg parami rozłącznych kul B k, taki że E 4 n k B k, skąd E 4 n k α 1 f 4n f 1 B k α. 7

7. Twierdzenie Lebesgue a. Niech f będzie funkcją lokalnie całkowalną na R n. a) Jeśli B k jest ciągiem kul zawierających 0 o promieniach dążących do zera, to lim B k 1 f(x + y) dy = f(x) k 0 B k prawie wszędzie. b) Jeśli Q k jest ciągiem kostek zawierających 0 o promieniach dążących do zera, to prawie wszędzie. lim Q k 1 f(x + y) dy = f(x) k 0 Q k 8. Dowód: Przez wybór odpowiedniej normy możemy ograniczyć się do przypadku kul. Niech Ωf(x) = lim sup B 1 f(y) f(x) dy. k B k Chcemy udowodnić, że Ωf(x) = 0 p.w. dla f L 1 (R n ). Zauważmy, że tak jest, gdy f pochodzi z podprzestrzeni C c (R n ), która jest gęsta w L 1 (R n ). Zauważmy też, że Ωf(x) Mf(x) + f(x), a więc jest operatorem słabego typu (1, 1). Dla zadanego ε > 0 i N > 0 niech ϕ C c (R n ) i f ϕ 1 < ε/n. Wtedy {x R n : Ωf(x) > 1/N} = {x R n : Ω(f ϕ)(x) > 1/N} CN f ϕ 1 < Cε, co wobec dowolności ε i N pokazuje, że Ωf(x) = 0 prawie wszędzie. 9. Interpolacja Marcinkiewicza. Niech 1 p < q. Niech T : L p (R n )+L q (R n ) M(R n ) będzie odwzorowaniem podaddytywnym, tzn. spełniającym warunek T (f + g) T f + T g. Jeśli T jest jednocześnie słabego typu (p, p) i (q, q), to dla każdego p < r < q istnieje stała C r, taka że T f r C r f r. Innymi słowy, T jest mocnego typu (r, r). 10. Wniosek. Operator maksymalny Hardy ego Littlewooda jest mocnego typu (p, p) dla każdego 1 < p. 4. Całki osobliwe. Teoria L 2 1. Niech k : R n \ {0} C będzie funkcją o własnościach: 8 a) k(tx) = t n k(x), x 0, t > 0, b) 1 x 2 k(x) dx = 0,

c) k jest różniczkowalna w sposób ciągły. Niech K, f = lim k(y)f(y) dy ε 0 x ε będzie dystrybucją wyznaczoną przez funkcję k. Dla ε > 0 niech k ε (x) = k(x)χ y ε (x). Jak widać, k ε L 2 (R n ). Mamy też Kf = K f(x) = lim ε 0 k ε f(x) dla f S(R n ) i x R n. Operatory tej postaci stanowią podstawowy model wszystkiego, co obejmuje się nazwą osobliwych operatorów całkowych. Będziemy się zajmować następującymi pytaniami: 1) Czy istnieje stała C, taka że K f C f 2, f S(R n )? 2) Czy istnieje stała C, taka że K f C f p, f S(R n ) dla 1 < p <? 3) Czy zachodzą zbieżności k ε f Kf, ε 0, w normie L p, gdy f L p (R n )? 4) Czy zachodzą zbieżności k ε f Kf, ε 0, p.w., gdy f L p (R n )? 2. Z warunków a) i c) wynika warunek Hörmandera: Istnieje stała B > 0, taka że k ε (x + y) k ε (x) dx B, y R n, ε > 0. x 2 y Rzeczywiście, k ε (x) k ε (x y) C y x n+1, x 2 y. 3. Twierdzenie. Operator liniowy f K f zadany początkowo na gęstej podprzestrzeni S(R n ) przedłuża się jednoznacznie do ciągłego operatora na przestrzeni L 2 (R n ). 4. Dowód: Jako pierwszy krok dowodu pokażemy, że dla f S(R n ) 9 K f = lim ε 0 k ε f

w normie przestrzeni L 2 (R n ). Istotnie, niech 0 < ε < η. Niech g ε,η (x) = k ε f(x) k η f(x) = k(y)f(x y) dy. ε y η Oszacowanie dla g ε,η wyniknie z warunku skracania b). Rzeczywiście, g ε,η (x) = k(y)(f(x y) f(x)) dy = ε y η 1 0 ε y η k(y)f (x ty) y dydt, skąd g ε,η 2 C f 2 y η y k(y) dy 0, η 0. Widzimy zatem, ze ciąg k ε f jest fundamentalny, a zatem zbieżny w L 2 (R n ). Jako że ciąg ten jest zbieżny punktowo do K f, cel został osiągnięty. 5. W tym punkcie przeprowadzimy drugą część dowodu. Pokażemy mianowicie, że transformaty Fouriera wszystkich funkcji k ε są ograniczone w sposób niezależny od ε. Aby to udowodnić, ustalmy ξ 0. Wtedy k ε (ξ) = e ixξ k ε (x) dx + x 2π ξ 1 e ixξ k ε (x) dx = I 1 (ξ) + I 2 (ξ). x 2π ξ 1 Oszacujmy najpierw całkę I 1. Korzystając z własności b), mamy I 1 (ξ) (e ixξ 1)k ε (x) dx x 2π ξ 1 C ξ x n+1 dx C 1, x 2π ξ 1 gdzie stała C 1 nie zależy ani od ξ, ani od ε. Aby oszacować drugą całkę, skorzystamy z tożsamości e ixξ f(x) dx = 1 2 ( e ixξ f(x) dx ) e ixξ f(x z ξ ) dx, gdzie z ξ = π ξ 2 ξ. Zauważmy, że z ξ = π ξ 1. Mamy I 2 (ξ) 1 e ixξ (k 2 ε (x) k ε (x z ξ )) dx x 2π ξ 1 więc na mocy warunku Hörmandera I 2 (ξ) B/2 = C 2, co kończy dowód jednostajnej ograniczoności transformat Fouriera k ε. Widzimy więc, że operatory K ε f = k ε f 10

są wspólnie ograniczone w normie na przestrzeni L 2 (R n ) i jednocześnie zbieżne mocno do operatora Kf = K f na pewnej gęstej podprzestrzeni. Stąd wynika nasza teza. 5. Całki osobliwe. Teoria Calderóna Zygmunda 1. Lemat Calderóna Zygmunda. Niech f 0 będzie funkcją całkowalną i niech α > 0. Istnieje wówczas domknięty podzbiór F R n, taki że f(x) α, x F, oraz ciąg parami rozłącznych kostek Q k, taki że α < Q k Q 1 f(x) dx 2 n α, R n \ F = Q k. k 2. Dowód: Niech Q 0 = [0, 1) n będzie kostką jednostkową i niech Q oznacza rodzinę wszystkich kostek postaci a + 2 k Q 0, gdzie a Z n, k Z. Oznaczmy f Q = Q 1 Q f(x) dx. Niech Ω = {x R n Q Q : x Q & f Q > α}. Ω jest zbiorem otwartym. Ponadto, dla każdego x Ω istnieje maksymalna kostka Q = Q(x) o własności f Q > α, bo Q α 1 Q f α 1 f 1. Oczywiście Q(x) Ω i każde dwie takie kostki są albo identyczne, albo rozłączne. Zatem Ω = Q j, Q j = Q(x j ), gdzie suma jest rozłączna. Dla Q = a + 2 k Q 0 niech Q = a + 2 k+1 Q 0. Ponieważ dla danego x Q j kostka Q j jest maksymalna, α f Q j 2 n f Qj, skąd nierówność f Qj 2 n α. Pozostaje zauważyć, że dla x F = R n \ Ω Q 1 f(y) dy α 11

dla wszystkich Q Q zawierających x, więc na mocy twierdzenia Lebesgue a f(x) α dla p.w. x F. 3. Rozkład C Z funkcji całkowalnej. Niech f L 1 (R n ). Dla każdej liczby α > 0 istnieje ciąg parami rozłącznych kostek (Q k ), takich że Q k α 1 f 1, k oraz przedstawienie f = g + k b k, g, b k L 1 (R n ), gdzie g 1 f 1 i g 2 n α, a funkcje b k mają nośniki w rozłącznych kostkach Q k i następujące własności: b k 1 2 n+1 α Q k, b k = 0. 4. Dowód: Rzeczywiście, definiujemy f(x), x F, g(x) = f Qk, x Q k, oraz f(x) f Qk, x Q k, b k (x) = 0, x / Q k, zgodnie z rozkładem C-Z dla liczby α. 5. Nadal rozważamy dystrybucję K, f = lim k(y)f(y) dy ε 0 ε x 1/ε wyznaczoną przez funkcję k : R n \ {0} C o własnościach: a) k(tx) = t n k(x), b) 1 x 2 k(x) dx = 0, c) k jest różniczkowalna w sposób ciągły. 6. Twierdzenie. Dla każdego ε > 0 operator liniowy f K ε f = k ε f jest słabego typu (1, 1) ze stałą niezależną od ε. 7. Dowód: Niech α > 0 i niech f = g + b będzie rozkładem C-Z funkcji f L 1 (R n ). Jeśli 12 E α (f) = {x R n : K ε f(x) > α},

to E α (f) E α/2 (g) E α/2 (b), więc wystarczy oszacować miary składników. W pierwszym przypadku wynika to łatwo z jednakowej ograniczoności K ε na L 2. Rzeczywiście, E α/2 4α 2 K ε g 2 2 4Cα 1 g 1 4Cα 1 f 1, gdzie C jest wspólnym ograniczeniem norm K ε. W drugim przypadku wystarczy oszacować miarę zbioru E = E α/2 (b) \ Ω, Ω = Q k, k bo Ω = k Q k 4 n α 1 f 1. Zatem E = {x / Ω : K ε b(x) > α/2} 2α 1 R n \Ω K ε b(x) dx. Jeśli teraz y k jest środkiem kostki Q k, to dzięki b k = 0 i warunkowi Hörmandera spełnianemu jednostajnie przez k ε R n \Ω K ε b(x) dx k R n \Q k k ε (x y) k ε (x y k ) b k (y) dy dx. Jako że x y k 2 y y k dla x / Q k i y, y k Q k, R n \Ω K ε b(x) dx k x 2 y k ε (x y) k ε (x) b k (y + y k ) dx dy B k b k 1 2 n+1 B f 1, co daje E 2 n+2 Bα 1 f 1. 8. Wniosek. Operatory liniowy Kf = K f zadany początkowo na gęstej podprzestrzeni S(R n ) jest ograniczony w normie L p (R n ) dla każdego 1 < p <, a zatem przedłuża się jednoznacznie do ciągłego operatora liniowego na tej przestrzeni. 6. Operatory liniowe translacyjnie niezmiennicze 1. Niech L: S(R n ) C (R n ) będzie ciągłym odwzorowaniem translacyjnie niezmienniczym. Istnieje wtedy dystrybucja T, taka że Lf = T f. Rzeczywiście, prosty rachunek pokazuje, że jeśli 13 T, f = Lf(0),

to Lf(x) = T f(x), T, f = f( x)t (dx). 2. Jeśli µ jest miarą borelowską ograniczoną, to odwzorowanie L 1 (R n ) f µ f L 1 (R n ) jest ciągłe. Każde ciągłe odwzorowanie liniowe translacyjnie niezmiennicze przestrzeni L 1 (R n ) jest tej postaci. 3. Jeśli K jest dystrybucją, taką że K L (R n ), to odwzorowanie L 2 (R n ) f T f L 2 (R n ) jest ciągłe. Każde ciągłe odwzorowanie liniowe translacyjnie niezmiennicze L 2 (R n ) jest tej postaci. 4. W ogólnym przypadku 1 p < dysponujemy łatwym warunkiem koniecznym: Jeśli L jest translacyjnie niezmienniczym odwzorowaniem liniowym L p (R n ) dla pewnego 1 p <, to L jest splotem z dystrybucją o ograniczonej transformacie Fouriera. Wszelkie warunki dostateczne są już trudne. 5. Twierdzenie mnożnikowe Hörmandera. Jeśli T jest dystrybucją temperowaną, taką, że T (ξ) = m(ξ) jest funkcją różniczkowalną k-krotnie, gdzie k > n/2, i spełniającą oszacowania Dξ α m(ξ) C ξ α, α k, to operator liniowy f T f jest ograniczony na L p (R n ) dla każdego 1 < p <. 6. Twierdzenie mnożnikowe Marcinkiewicza. Jeśli T jest dystrybucją temperowaną, taką, że T (ξ) = m(ξ) jest funkcją klasy C 1 spełniającą oszacowania n Dξ α m(ξ) C ξ j α j, α {0, 1} n, j=1 to operator liniowy f T f jest ograniczony na L p (R n ) dla każdego 1 < p <. 7. Jeśli n = 1, to twierdzenie Marcinkiewicza i twierdzenie Hörmandera mówią to samo. Klasycznym przykładem mnożnika m spełniającego założenia obu twierdzeń jest transformata Fouriera dystrybucji Hilberta. W tym przypadku jednak prawdziwa jest mocniejsza wersja twierdzenia Marcinkiewicza: Twierdzenie. Jeśli m(ξ) B oraz 2 k ξ 2 k+1 dm(ξ) B niezależnie od k Z, to operator T f(x) = e ixξ m(ξ) f(ξ) dξ jest ograniczony na L p (R) dla 1 < p <. 8. Przykład. Funkcja charakterystyczna odcinka jednostkowego [ 1, 1] R jest mnożnikiem Marcinkiewicza. Tymczasem twierdzenie Feffermana mówi, że funkcja charakterystyczna koła jednostkowego ξ1 2 + ξ2 2 1 w R2 nie jest mnożnikiem dla żadnego L p (R 2 ), 1 p < (patrz Stein [5], X.2.5). 14

9. ZADANIE DOMOWE. Korzystając z wyłożonej teorii i podanej literatury, udowodnij że operator maksymalny K f(x) = sup k ε f(x) ε>0 jest słabego typu (1, 1). Wyciągnij stąd wniosek o istnieniu granicy lim ε 0 k ε f(x) dla prawie wszystkich x R n, jeśli f L p (R n ), 1 p <. Paweł Głowacki Paweł Głowacki jest profesorem na Uniwersytecie Wrocławskim, autorem około 20 publikacji m.in. w Inventiones Math., J. Functional Anal., Duke Math. J., Studia Math. Zajmuje się abstrakcyjną analizą harmoniczną, grupami Lie i cząstkowymi równaniami różniczkowymi. W 1980 roku doktoryzował się w Instytucie Matematycznym PAN na podstawie rozprawy Calculus of Symbols and Convolution Semigroups on the Heisenberg Group napisanej pod kierunkiem profesora A. Hulanickiego. Był profesorem wizytującym w Scuola Normale Superiore w Pizie (Włochy) oraz University of Washington (USA). Jest znany jako bardzo dobry wykładowca. 15