SŁAWOMIR WIAK (redakcja)

SŁAWOMIR WIAK (redacja Aademca Ofcyna Wydawncza EXIT

Recenzenc: Prof. Janusz Turows Potechna Łódza Prof. Ewa Naperasa Juszcza Unversty Le Nord de France, LSEE, UA, Francja Autorzy rozdzałów: Prof. Potr Ostaczy (rozdz., Prof. Edward Jezers (rozdz. Dr hab. nż. Zbgnew Gmyre (rozdz. 4 Dr hab. nż. Ryszard Szczerbanows, prof. PŁ (rozdz. 5 Dr nż. Grzegorz Tos (rozdz. 6 Prof. Zbgnew Ls (rozdz. 6 Dr hab. nż. Jace Gołębows, prof. PŁ (rozdz. 7 Dr hab. nż. Krzysztof Pachos, prof. PŁ (rozdz. 8, 9 Prof. Krzysztof Gnote (rozdz. Dr hab. nż. Iwona Frydrych, prof. PŁ (rozdz. Dr hab. Inż Ryszard Koryc, prof. PŁ (rozdz. Dr nż. Grażyna Sobczewsa (rozdz. Dr hab. Mara Dems, prof. PŁ (rozdz., 5 Prof. Sławomr Wa (rozdz., 4, 5, 6, 7 Dr nż. Wojcech Rosa (rozdz., 5 Dr nż. Paweł Drzymała (rozdz. 4, 6, 7 Dr nż. Henry Wefe (rozdz. 4, 6, 7 Dr nż. Ryszard Lasota (rozdz. 8 Dr nż. Mare Jan Gaba (rozdz. 9 Monografa przygotowana w ramach projetu "Innowacyjna dydatya bez ogranczeń - zntegrowany rozwój Potechn Łódzej - zarządzane Uczeną, nowoczesna oferta eduacyjna wzmacnana zdonośc do zatrudnana, taże osób nepełnosprawnych", współfnansowanego przez Unę Europejsą w ramach europejsego Funduszu Społecznego - Programu Operacyjnego Kaptał Ludz "Prorytet IV, poddzałane 4... Wzmocnene potencjału dydaty-cznego uczen". Utwór w całośc an we fragmentach ne może być poweany an rozpowszechnany za pomocą urządzeń eetroncznych, mechancznych, opujących, nagrywających nnych, w tym równeż ne może być umeszczany an rozpowszechnany w postac cyfrowej zarówno w Internece, ja w secach oanych bez psemnej zgody posadacza praw autorsch. ISBN 978-8-644-85-7 Copyrght by EXIT, Potechna Łódza Łódź

Edward Jezers. Podstawy roboty. Wprowadzene Słowo robot zostało przejęte przez wszyste społeczeństwa z języa czesego, w tórym pojawło sę po raz perwszy w 9 rou (w dramace Karea Čapa - Rozumov Unversání Robot oznaczało sztucznego robotna. Ten sztuczny robotn jest najtańszy, ma mnmum potrzeb jest pozbawony wszystego, co bezpośredno ne wąże sę z wyonywanem pracy. Obecne robotem jest nazywany unwersany system technczny zastępujący przez swoje dzałane nteetuane manpuacyjne funcje człowea. Cecham charaterystycznym robotów są: unwersaność poegająca na łatwym przystosowanu go do reazacj różnych funcj, możwość wyonywana pewnych czynnośc automatycznych np. powtarzane nauczonych ruchów, podejmowane decyzj o rodzaju pracy w zaeżnośc od nformacj pochodzących z otoczena robota. Manpuatorem nazywane jest urządzene technczne naśadujące manpuacyjne wysęgnowe ruchy udzej rę. Manpuatoram są np. teeoperatory powtarzające ruchy rą operatora ub urządzena dźwgowotransportowe z bezpośrednm sterowanem przez człowea. Manpuatorem automatycznym nazywa sę manpuator wyonujący założone ruchy według stałego programu. Robotem przemysłowym ub robotem manpuacyjnym nazywane jest urządzene technczne przeznaczone do zastępowana człowea przy wyonywanu oreśonych czynnośc manpuacyjnych przystosowane do reazacj różnych, łatwo zmenanych programów ruchu manpuacyjnotransportowego. Cechą odróżnającą roboty od manpuatorów jest ch unwersaność poegająca na możwośc zastosowana tego samego urządzena techncznego do reazacj różnych funcj w procese producj. Wymaga to zapewnena węszych możwośc ruchowych oraz reazacj mnej ub 97

bardzej złożonych czynnośc zwązanych z procesem sterowana ruchem. Podstawowym obszarem zastosowań manpuatorów automatycznych jest producja weoseryjna masowa, przy tórej opłacane jest zaprojetowane wyonane specjazowanych manpuatorów. Roboty przemysłowe są obecne stosowane w procesach producyjnych mało średnoseryjnych, przy operacjach technoogcznych ucążwych ub nebezpecznych da człowea oraz w eastycznych systemach producyjnych wyposażonych w numeryczne sterowane maszyny urządzena technoogczne (stoły obrotowe, przenośn taśmowe tp., pozwaających na wytwarzane produtów w rótch serach ub u produtów jednocześne. Bezpośrednm poprzednem współczesnych manpuatorów automatycznych były teeoperatory zastosowane w czase II wojny śwatowej, tóre umożwały przenoszene substancj radoatywnych przy zachowanu bezpecznej odegłośc od operatora. Powszechne uważa sę, że we roboty rozpoczął sę w rou 954, w tórym George Devo opatentował w USA perwszy manpuator wyposażony w pamęć programu. Urządzene to mogło wyonywać zaprogramowane ruchy z jednego puntu do drugego. W 96 rou Devo sprzedał swoje orygnane patenty zwązane z robotam frme Consodated Dese Corporaton, tóra utworzyła nowy oddzał Unmaton Incorporaton. Frma ta rozwnęła wrótce producję prostych robotów nazywanych Unmate. Jeden z perwszych egzemparzy został zanstaowany w rou 96 w załadach samochodowych Genera Motors przy obsłudze n odewana cśnenowego. Koebą robotów przemysłowych stały sę Stany Zjednoczone, jednaże ch dynamczny rozwój nastąpł w zupełne nnym raju - Japon. Równeż Europa mała swój znaczący udzał w rozwoju perwszych onstrucj robotycznych. Współczesne statysty wsazują, ż Japona jest cąge potentatem w ośc stosowanych robotów, oejne mejsce zajmuje Una Europejsa, a następne USA. Z rajów europejsch najwęsza czba robotów jest zanstaowana w Nemczech, Włoszech, Francj Weej Brytan. Porównane popuacj udnośc robotów da całego śwata oraz wybranych rajów wyonane na podstawe opubowanych w rou 7 przez Mędzynarodową Federację Roboty przedstawono w tabe.. Prognozy rozwoju roboty opracowywane w atach 7. ubegłego weu załadały roczny przyrost ośc robotów na pozome 5-%. Rzeczywste tempo przyrostu robotów oazało sę wonejsze. Atuane jest ono szacowane na 4,5% roczne. Przeracza ono znaczne przyrost popuacj udnośc śwata (ooło,% roczne, co oznacza, że następuje systematyczny wzrost nasycena gospodar śwatowej robotam. Roboty znajdują zastosowane tam, gdze praca jest zbyt ucążwa ub nebezpeczna da człowea. Podstawowym obszaram zastosowań robotów są: obsługa maszyn, spawane, szfowane poerowane, 98

odewnctwo, montaż, paetyzacja, maowane, obróba pastyczna, uce, obróba cepna, przenoszene materałów, cęce, nspecja. Ostatno bardzo szyb postęp można zaobserwować w rozwoju robotów mobnych. Wymenć tu naeży zarówno roboty ołowe ja różne odmany robotów roczących. Tab... Lczba robotów przemysłowych czba meszańców Lczba meszańców [mony] Lczba robotów przemysłowych [tysące] Lczba meszańców/czba robotów Śwat 664 999 665 Japona 7 4 Nemcy 8 4 59 USA 96 96 Robotya jest dzedzną nau techncznych zajmującą sę teorą, budową oraz espoatacją robotów przemysłowych. Powstała ona na baze mechan asycznej, mechan precyzyjnej, techn napędu, teor techn sterowana. Ważnejszym dzałam współczesnej roboty są: nematya manpuatorów, dynama manpuatorów, panowane ruchów, sterowane robotów, systemy sensoryczne robotów, robotya specjana (roboty mobne, podwodne, nspecyjne tp., espoatacja robotów, eastyczne systemy producyjne, eonomczne socjoogczne aspety robotyzacj. Dość powszechne uważa sę, że robotya jest wyspecjazowaną gałęzą automaty. Chocaż strutury mechanczne, eetryczne czy też systemy sterowana robotów mogą znaczne różnć sę mędzy sobą, to jedna wszyste mają cztery wspóne podzespoły: manpuator, uład zasana, system sensoryczny oraz sterown. Operator Energa Uład zasana Sterown Uład sensoryczny Manpuator Rys... Strutura systemu robota przemysłowego 99

Ponżej zostaną omówone róto podstawowe funcje cechy tych podzespołów.. Manpuator. Manpuator jest utworzony przez szereg ognw połączonych złączam, tóre wspóne tworzą łańcuch nematyczny. Na ońcu łańcucha nematycznego znajduje sę efetor robota, tórym jest najczęścej chwyta ub głowca służąca do mocowana narzędza. Poszczegóne złącza są napędzane odpowednm zespołam napędowym, tj. snam wraz z przeładnam ub słownam, tóre zapewnają ruchy efetora manpuatora w różnych erunach. Można powedzeć, że manpuator wyonuje pracę robota przemysłowego. Często węc pojęca robota manpuatora są utożsamane, choć ne jest to poprawne.. Uład zasana. Ten eement sładowy robota przetwarza energę perwotną dostarczaną do robota (najczęścej jest to energa eetryczna na odpowedn rodzaj energ stosowne do rodzaju zespołów napędowych manpuatora. Zwye jest to zestaw wzmacnaczy mocy w przypadu robotów z napędam eetrycznym, bądź ompresor z zespołem ftrów zaworów w przypadu zespołów napędowych pneumatycznych ub hydraucznych.. System sensoryczny. System sensoryczny dostarcza sterownow robota nformacj o stane manpuatora jego otoczena. Może być to reazowane w sposób cągły poprzez pomar pozycj poszczegónych os, ub przez przesyłane nformacj z dysretnych czujnów położena. Sensory stosowane we współczesnych robotach dzeą sę na dwe zasadncze grupy. Perwszą z nch są sensory wewnętrzne, tóre zwązane są z łańcuchem nematycznym manpuatora służą do pomaru wzajemnych przemeszczeń prędośc poszczegónych złączy. Drugą grupę stanową sensory zewnętrzne, tóre służą do pomarów wzajemnych położeń efetora robota eementów otoczena. Przyładam tych sensorów są czujn zbżenowe, dotyowe czy systemy wzyjne. 4. Sterown. Sterown robota reazuje następujące cztery funcje: przechowuje w pamęc sewencje danych dotyczących pożądanych ruchów manpuatora; zbera przetwarza nformacje z systemu sensorycznego robota; ncjuje oordynuje ruchy poszczegónych zespołów napędowych manpuatora; omunuje sę z nnym podzespołam zrobotyzowanego stanowsa.

Typowy manpuator robota przemysłowego może być modeowany jao łańcuch sztywnych członów nazywanych ognwam. Ognwa są połączone za pomocą złączy. Łańcuchy nematyczne można podzeć na trzy grupy: proste otwarte (a, proste zamnęte (b oraz złożone (c, ja poazano na ponższym rysunu. Rys... Strutury łańcuchów nematycznych robotów Ognwa prostego łańcucha mają połączena ruchowe z dwoma sąsednm ognwam, natomast netóre człony łańcucha złożonego mogą meć połączena ruchowe z węszą czbą sąsednch ognw. Najczęścej manpuator współczesnego robota przemysłowego jest budowany w postac łańcucha otwartego prostego, na ońcu tórego znajduje sę unwersany łączn, do tórego można przymocować efetor manpuatora. Dwa ognwa manpuatora połączone złączem tworzą parę nematyczną. Najczęścej stosowane są dwa rodzaje złączy pomędzy ognwam łańcucha nematycznego: złącza obrotowe złącza przesuwne. Złącza obrotowe zapewnają wzajemny ruch obrotowy sąsednch ognw, a złącza przesuwne zapewnają wzajemny ruch nowy. Każdy z powyższych typów złączy zapewna tyo jeden stopeń swobody mechancznej do oreśena wzajemnego położena ognw stosuje sę jedną weość saarną, nazywaną zmenną złączową. Zmenną złączową jest węc odpowedno ąt obrotu ub przesunęce nowe złącza. a b c d Rys... Typowe oznaczena złączy o jednym stopnu swobody mechancznej Jeże dane złącze jest napędzane, to nazywane jest złączem atywnym. Do napędu złącza jest używany sn w przypadu gdy jest to złącze obrotowe, abo słown w przypadu złącza przesuwnego. Needy są stosowane równeż złącza pasywne, tóre ne są napędzane. W tam

przypadu złącze może posadać węcej stopn swobody mechancznej. Na przyład złącze teesopowe zapewna dwa stopne swobody, tj. ruch nowy ruch obrotowy. Z oe złącze uowe ma aż trzy stopne swobody, tj. dwa ruchy obrotowe w płaszczyznach wzajemne prostopadłych ruch obrotowy woół os jednego z ognw. Złącza manpuatora są napędzane w ceu uzysana odpowednej położena orentacj narzędza w trójwymarowej przestrzen. Aby zaprogramować ruch efetora manpuatora naeży przede wszystm oreść zaeżnośc pomędzy zmennym złączowym a pozycją orentacją efetora. Równeż ważnym będze oreśene zwązów pomędzy prędoścam ruchów poszczegónych os a wypadową prędoścą efetora w przestrzen artezjańsej. Aby ułatwć oreśane powyższych zaeżnośc w sposób możwe zwarty arowny, naeży stosować rachune wetorowo-macerzowy. Chocaż rozwązana mechanczne manpuatorów mogą być bardzo różnorodne, to wszyste są przeznaczone do przemeszczana efetora robota do wybranego puntu w przestrzen. W tym ceu są stosowane zwye trzy podstawowe złącza o jednym stopnu swobody, nazywane needy osam manpuatora. Stąd też węszość robotów naeży do jednej z pęcu ategor ze wzgędu na rodzaj stosowanych złączy zwązany z tym uład współrzędnych. Manpuatory robotów przemysłowych są asyfowane jao: artezjańse, cyndryczne, sferyczne, typu SCARA ub wyłączne ze złączam obrotowym []. Naeży podreść, że ta asyfacja uwzgędna jedyne główne ose manpuatora. Jednaże w robotach są stosowane ne tyo trzy ose, umożwające osągnęce przez ońcówę dowone wybranego puntu w przestrzen roboczej. Zwye na ońcu ostatnego ognwa jest umeszczona ść (głowca, tóra umożwa zamocowane chwytaa ub odpowednego narzędza, tóre są ogóne nazywane efetoram manpuatora. Kść jest wyposażona w dodatowe zespoły napędowe, tóre pozwaają na uzysane odpowednej orentacj efetora. Z reguły są stosowane tutaj zespoły ruchów obrotowych o osach prostopadłych do sebe. Typową ść robota przedstawono na rysunu. Rys..4. Ruchy obrotowe śc manpuatora

Tradycyjne ruch obrotowy woół os ostatnego ognwa nazywany jest ro, obrót w płaszczyźne ponowej przechodzącej przez ramę jest nazywany ptch (pochyane narzędza, a yaw oznacza ruch obrotowy woół os prostopadłej do os dwóch poprzednch ruchów jest nazywany ątem odchyena ub ątem erunowym. W najbardzej popuarnym rozwązanu taej śc ose trzech ruchów obrotowych przecnają sę w jednym punce. Kść jest zaończona ołnerzem umożwającym przymocowane efetora manpuatora. Needy podstawa manpuatora jest umeszczana na patforme, poruszającej sę po podłożu. W tam przypadu robot ma dodatowe stopne swobody mechancznej może być efetywnej wyorzystywany. Podsumowując powyższy przegąd strutur nematycznych naeży podreść, że ruchy manpuatora robota mogą być zaasyfowane do jednej z trzech grup: ruchy gobane, to jest ruchy podstawy manpuatora wzgędem podłoża; ruchy regonane, to jest ruchy podstawowych członów nematycznych manpuatora w ceu umożwena osągnęca zadanego puntu w przestrzen roboczej; ruchy oane, to jest ruchy śc w ceu uzysana odpowednej orentacj efetora manpuatora. Termnooga notacja matematyczna odgrywają dość stotną roę w szczegółowych rozważanach poszczegónych zagadneń roboty, będze użyteczne omówene w tym mejscu stosowanej onwencj dotyczącej saarów, wetorów, macerzy zborów. Obety te są stosowane do uproszczena opsów ch przeształceń w przestrzenach weowymarowych. Szczegóne jest wsazane wyraźne odróżnane wetorów macerzy od saarów, ja podano to w ponższej tabe. Tab... Stosowana notacja w rachunu wetorowo-macerzowym Saary Wetory Macerze Zbory Oznaczene Małe tery Małe tery pogrubone Duże tery pogrubone Duże tery Przyłady α x m t v, r, f A, X, R X, Y, Z

. Knematya manpuatorów.. Wprowadzene Knematya manpuatorów, czy ops ruchu poszczegónych ognw łańcucha nematycznego bez uwzgędnana przyczyn, tóre ten ruch wywołują, jest przedstawona w tym rozdzae w sposób podporządowany potrzebom daszej częśc wyładu. Zostaną omówone wyłączne zagadnena zwązane z nematyą ta zwanych manpuatorów sztywnych. Pod pojęcem tym rozume sę manpuatory, tórych ognwa są bryłam deane sztywnym. W tym przypadu z ażdym ognwem może być zwązany oany uład współrzędnych. Do jednoznacznej oazacj ognwa w przestrzen wystarczy wtedy podać położene początu tego uładu oraz jego orentację w podstawowym uładze współrzędnych, tóry jest zwązany z neruchomym otoczenem robota. Najczęścej podstawowy uład współrzędnych jest prawosrętnym artezjańsm uładem współrzędnych prostoątnych, zwanym daej w sróce uładem artezjańsm. Znaczne rzadzej stosowane są obecne w robotyce ułady współrzędnych cyndrycznych (wacowych ub sferycznych (ustych. Podstawowy uład współrzędnych artezjańsch będze oznaczany symboem {}. Z oejnym ognwam będą zwązane ułady artezjańse {}, {}, {} td. W ogónym przypadu ułady te mogą być usytuowane wzgędem sebe w sposób dowony. Istotnym zagadnenem staje sę wtedy wyrażane współrzędnych wybranego puntu przestrzen w tych różnych uładach. Zagadnene to będze przedmotem anazy przedstawonej w następnym podrozdzae. Po tych ogónych rozważanach przedstawony zostane agorytm Denavta-Hartenberga, dzę tóremu można bardzo efetywne rozwązywać proste zadane nematy manpuatorów. Koejny podrozdzał jest pośwecony probemom zwązanym w wyznaczanem odwrotnego zadana nematy, tóre z puntu wdzena przyszłego sterowana robota ma bardzo ważne znaczene. Ostatna część tego rozdzału zwązana jest z anazą prędośc ruchu poszczegónych ognw manpuatora. Omówono taże jaobany manpuatora oraz osobwośc nematyczne... Przeształcane uładów współrzędnych... Przesunęca uładów współrzędnych Zostaną rozważone zwąz pomędzy opsem wybranego puntu w przestrzen w dwóch uładach współrzędnych artezjańsch {} {}, 4

tórych ose są wzajemne równoegłe. Poazano to na ponższym rysunu. Z A Z r A p, O r A Y O Y X X Rys..5. Przesunęce równoegłe uładów Uład {} jest otrzymywany poprzez przesunęce uładu {} o wetor p,. Prawe done ndesy przy tym symbou oznaczają, że wetor ten wsazuje odegłość od początu uładu {} do początu uładu {}, natomast poprzedzający górny ndes wsazuje, że sładowe tego wetora są wyrażone w uładze {}. Nech położene wybranego dowone puntu A będze opsane w uładze {} przy pomocy wetora r [ ] T A rxa rya rza, a przy tym położene tego puntu będze oreśone w uładze przesunętym {} za pomocą wetora r [ ] T A rxa rya rza. Oczywste jest, że te dwa wetory są połączone następującą prostą zaeżnoścą rxa px, rxa rya p y, rya (. r za pz, rza tóra może być zapsana w zwartej postac jao r A p, ra.... Obroty podstawowe uładów współrzędnych Jeże uład współrzędnych {} jest otrzymywany przez obrót uładu podstawowego {} woół jednej z jego os, to ta obrót jest nazywany podstawowym, a odpowadające mu przeształcene jest nazywane obrotem podstawowym. W przestrzen R stneją trzy możwośc tach podstawowych obrotów. Perwszy z nch przedstawono na rysunu. 5

Z Z A Y X X ϕ ϕ θ Rys..6. Obrót uładu {} woół os Y X o ąt θ Podobne ja poprzedno, dowone wybrany punt A jest opsany r A rxa rya rza, podczas gdy ten sam punt w uładze {} jest opsany przy użycu wetora w uładze {} za pomocą wetora [ ] T [ r r r ] T r A xa ya za. Na podstawe rysunu można wyprowadzć oejno zaeżnośc pomędzy sładowym dwóch ostatnch wetorów: r ya r ya r ya r za r za cosϕ cosϕ cosθ r ya r ya r r za za cos( ϕ θ snϕ snθ (. r za r ya r ya r za r za snϕ snϕ cosθ r ya r ya r r za za sn( ϕ θ cosϕ snθ (. Borąc pod uwagę, że zachodzą zwąz rya rza cosϕ rya rya rza rza snϕ otrzymuje sę daej r ya r cosθ r snθ, r r cosθ r snθ (.4 ya Ostatne dwa równana, razem z trzecm, tj. za za za xa ya r r w postac następującego zwązu macerzowego: xa, mogą być zapsane 6

r r r xa ya za r xa cosθ snθ rya (.5 snθ cosθ rza ub w zwartej postac jao gdze r A (.6 R( X, θ ra R ( X, θ cosθ snθ (.7 snθ cosθ jest podstawową macerzą obrotu woół os X. W podobny sposób można wyazać, że pozostałe dwe podstawowe macerze obrotów są postac cosθ R (Y, θ snθ snθ cosθ cosθ snθ R ( Z, θ snθ cosθ (.8 Ostateczne można zameuważyć, że z ażdym podstawowym obrotem uładu {} można zwązać podstawową transformację obrotu, tóra zapsana jest w postac macerzowo-wetorowej jao r A R ra. Warto podreść, że ażda z trzech podstawowych macerzy obrotu jest macerzą ortonormaną. Oznacza to, że po przedstawenu jej w postac R a b c, otrzymuje sę następujące zwąz: wetorowej [ ] a b c, a o b, b o c, c o a, a b c, b c a, c a b. Macerz odwrotna do macerzy ortonormanej jest równa macerzy transponowanej. Można to wyazać obczając wartość następującego T oczynu macerzy obrotu jej transpozycj, czy R R. Dowód podano np. w []. Ta właścwość macerzy obrotu jest bardzo użyteczna przy przeształcenach pomędzy wszystm uładam współrzędnych zwązanych z łańcuchem nematycznym manpuatora. 7

... Obroty złożone Jeże pewna czba macerzy obrotów podstawowych jest oejno mnożona przez sebe, to macerz wypadowa reprezentuje sewencję obrotów woół os oejnych uładów współrzędnych. Tae weorotne obroty nazywamy obrotam złożonym. Każdy obrót podstawowy jest reprezentowany w sposób jednoznaczny przez macerz obrotu. Jednaże operacja mnożena macerzy ne jest przemenna, co oznacza w ogónym przypadu, że nawet da macerzy wadratowych A B mamy AB BA. Stąd wyna, że przy sładanu obrotów naeży zwracać uwagę na to, w jaej oejnośc są one wyonywane. Na przyład, jeże perwszy obrót jest wyonywany woół os X o pewen ąt α, a oejny obrót jest wyonywany woół os Y o ąt β to mówmy o obrotach woół os uładu stałego. Wypadowy obrót będze nny nż w przypadu gdybyśmy wyona drug obrót o ta sam ąt β woół os Y uładu otrzymanego po perwszym obroce. A zatem naeży wyraźne odróżnać przypad gdy oejne obroty wyonywane są woół os uładu stałego ub uładów beżących, tóre są otrzymywane w wynu poprzednch obrotów. Rozważmy doładnej obroty woół os beżących uładów. W perwszym rou uład {} jest otrzymywany z uładu podstawowego {} przez pewen obrót podstawowy, a następne uład {} jest otrzymywany przez oejny podstawowy obrót uładu {}, woół jednej z os tego beżącego uładu. Nech wetory r A, r A r A opsują położene wybranego puntu A w tych trzech uładach. Wtedy zachodzą dwa następujące zwąz r A R ra r A R ra, z tórych wyna, że obrót złożony będze opsany reacją r R R r R r A A A. Naeży podreść, że macerz obrotu złożonego, będąca oczynem macerzy obrotów podstawowych, jest równeż macerzą ortonormaną. Można to wyazać następująco: 8 T T T T T ( R ( R R ( R R R R ( R ( R R ( R R (.9 Właścwość ta pozostaje prawdzwą da dowonej czby złożeń obrotów podstawowych. Dowony obrót uładu współrzędnych wzgędem nnego uładu w przestrzen R może być przedstawony jao złożene trzech oejnych obrotów woół os beżących uładów. Przy oreśanu tach obrotów naeży podać trzy oejne nazwy tych os ąty obrotu woół nch. Kąty te nazywane są w teraturze ątam Euera, a odpowadające m obroty noszą często nazwę obrotów Euera. Perwszy obrót może być wyonany woół jednej z trzech os uładu podstawowego. Koejny obrót może być

wyonany woół jednej z dwóch os uładu beżącego, otrzymanego po perwszym obroce. Ostatn obrót, podobne ja poprzedn, może być wyonany woół jednej z dwóch os uładu beżącego, otrzymanego po drugm obroce. A zatem czba możwych obrotów Euera wynos aż. Z ażdym obrotem Euera jest zwązana macerz obrotu, w tórej naeży zaznaczyć oejność wyonywana obrotów oraz trzy oejne argumenty, czy ąty Euera. Chocaż wszyste ułady tych obrotów są równoprawne, to jedna najbardzej naturanym jest wyróżnene perwszego z nch, w oejnośc X-Y-Z. a b c Z Z Z Z γ Y β Y Y Y Y α X X X X Rys..7. Koejne obroty X-Y-Z woół beżących os X Odpowadająca temu obrotow macerz obrotu jest oreśona następująco R X-Y-Z ( α, β, γ R( X, α R(Y, β R( Z, γ cos β cos sn α α snα cosα sn β cos β cosγ snα sn β cosγ cosα snγ cosα sn β cosγ snα snγ sn β cosγ snγ snγ cosγ cos β cos β snγ snα sn β snγ cosα cosγ cosα sn β snγ snα cosγ sn β snα cos β. cosα cos β (. Innym przyładem obrotów Euera jest złożene obrotów podstawowych w oejnośc X-Y-X, a odpowadająca temu złożenu macerz wypadowa ma postać R X-Y-X ( α, β, α R( X, α R(Y, β R( X, α cos β sn β cosα snα cosα snα snα cosα sn β cos β snα cosα cos β sn β snα sn β cosα snα sn β cosα cosα snα cos β snα cosα snα snα cos β cosα cosα sn β snα cosα cosα cos β snα snα snα cosα cos β cosα (. 9

Koejnym, ważnym przypadem obrotów Euera jest złożene obrotów podstawowych w oejnośc Z-Y-X. Łatwo sprawdzć, że złożona macerz obrotu ma w tym przypadu postać R ( Z Y X cosβ cosγ cosβ snγ snβ γ, β, α R(Z, γ R(Y, β R( X, α snα snβ cosγ cosα snγ snα snβ snγ cosα cosγ snα cosβ cosα snβ cosγ snα snγ cosα snβ snγ snα cosγ. cosα cosβ (. Z przedstawonych przyładowych macerzy obrotów Euera wdać, że macerze te znaczne różną sę od sebe. Stąd płyne wnose, że w czase anazy obrotów złożonych w przestrzen R naeży zachować dużą ostrożność oraz precyzję opsu. Dotychczas rozpatrywano złożene szeregu obrotów, z tórych ażdy był wyonywany woół jednej z os uładu beżącego, to jest otrzymywanego w wynu poprzednego obrotu. Naeży równeż rozważyć sytuację gdy oejne obroty są wyonywane woół stałych os. W przypadu wetorów przestrzennych będą to ose X, Y Z uładu {}. Perwszy obrót może być wyonany woół jednej z trzech os tego uładu. Następny obrót może być wyonany woół jednej z dwóch pozostałych os uładu {}. Trzec obrót może być równeż wyonany woół jednej z dwóch os tego uładu. A zatem czba możwych złożeń tach obrotów, podobne ja w przypadu obrotów Euera, wynos. Z ażdym przypadem złożena obrotów woół stałych os uładu podstawowego jest zwązana odmenna macerz obrotu. Rys..8. Ruchy obrotowe śc manpuatora Podstawowym złożenem obrotów woół stałych os są trzy oejne obroty woół os X, Y Z, odpowedno o ąty α, β, γ. Uład ten utożsamany w tym przypadu z uładem współrzędnych zwązanym z ostatnm ognwem ruchów regonanych. Aby odpowedno zorentować narzędze w przestrzen, naeży wyonać obroty o odpowedne ąty woół os tego uładu współrzędnych. Zwyczajowo ąty te są nazywane yaw (woół stałej os X, ptch (woół stałej os Y oraz ro (woół stałej os Z. Poneważ występują rozbeżnośc pomędzy tłumaczenam na języ pos tych słów, datego w daszej częśc tego rozdzału będą stosowane pełne nazwy

angese. W nawązanu do sytuacj przedstawonej na ponższym rysunu, ąt yaw odpowada za odchyene erunowe narzędza, ąt ptch za pochyene narzędza, a ro za jego obrót. Można udowodnć, że złożona macerz obrotów wyonywanych w tej oejnośc jest równa [,]: R yaw ptch ro( cosβ cosγ cosβ snγ snβ α, β, γ snα snβ cosγ cosα snγ snα snβ snγ cosα cosγ snα cosβ cosα snβ cosγ snα snγ cosα snβ snγ snα cosγ cosα cosβ (. Oazuje sę, że ta sama macerz równa jest oczynow macerzy obrotów w odwrotnej oejnośc, tj. R yaw ptch ro ( α, β, γ R( Z, γ R(Y, β R( X, α (.4.. Przeształcena jednorodne Najbardzej ogónym przypadem przemeszczena uładu współrzędnych jest przesunęce obrót. Przedstawono to na ponższym rysunu. Z ' Z A Z Y r A p, ' X X r A Y ' Y X Rys..9. Przesunęce obrót uładu współrzędnych Po przesunęcu równoegłym uładu podstawowego {} o wetor p, otrzymywany jest nowy uład { }. Z oe doonując obrotu tego uładu, zgodne z macerzą obrotu R, otrzymuje sę ostateczny uład {}.

Borąc pod uwagę wyn przedstawone w dwóch ostatnch podrozdzałach otrzymuje sę zwąze pomędzy opsem dowone wybranego puntu A w uładach {} {}: r p R (.5 A, r A Zaps ten jest bardzej złożony nż w przypadu samych przesunęć ub obrotów. Przy sładanu tego typu przeształceń wyrażena tracą dotychczasową jednorodność stają sę coraz bardzej sompowane. Aby zachować jednorodność opsu da dowonych przypadów wzajemnych położeń uładów współrzędnych ostatn zwąze zapsuje sę w postac zwartej jao r A R p, ra (.6 Występująca w tym zwązu macerz boowa o ogónej postac R p A (.7 T przy czym RR det ( R, jest nazywana macerzą jednorodną przeształcena. W macerzy tej można wyróżnć dwa eementy zawerające nformację o przeształcenu: macerz obrotu R wetor przesunęca p. Pozostałe dwa eementy, tj. wetor werszowy [ ] saar w prawym donym rogu są weoścam stałym. Macerz jednorodna ma wymary 4 4. Macerz odwrotna do macerzy jednorodnej przyjmuje stosunowo prostą postać T T R R p A (.8 Najprostszym sposobem wyazana tej postac macerz odwrotnej jest wymnożene macerzy boowych występujących w ostatnch dwóch wzorach: T T T R R p R p R R (.9 z czego wyna że obe te macerze są odwrotnym wzgędem sebe. Macerz A jest równeż macerzą jednorodną.

Czteroeementowe wetory o ogónej postac r r ˆ są nazywane jednorodnym reprezentacjam wetorów r. Szczegónym przypadam macerzy przeształceń jest jednorodna macerz obrotu jednorodna macerz przesunęca Ru (, θ Rot( u, θ p Trans(p (...4 Agorytm Denavta-Hartenberga Manpuator robota słada sę z szeregu ognw połączonych mędzy sobą złączam. Z ażdym ognwem łańcucha nematycznego można zwązać artezjańs uład współrzędnych. Aby postępowane tae mało charater systematyczny, numerowane są najperw ognwa złącza w sposób przedstawony na ponższym rysunu Ognwo n Złącze n Złącze ( Ognwo Złącze Ognwo Ognwo Złącze Rys... Numeracja ognw złączy w warance podstawowych agorytmu D-H Podstawe manpuatora przypsuje sę numer, a oejne ognwa przyjmują numery od do n. W podobny sposób są oznaczane złącza, przy czym perwsze przy podstawe ma numer, a ostatne n. Zatem -te ognwo jest umeszczone pomędzy złączam o numerach oraz (. Złącze to jest scharateryzowane przez dwa parametry defnowane w odnesenu do os obu złączy. W przypadu złącza obrotowego oreśene jego os ne budz żadnych wątpwośc. W przypadu złącza przesuwnego za tę oś można przyjąć dowoną prostą równoegłą do erunu ruchu postępowego. Na oejnym rysunu poazano ja defnuje sę dwa podstawowe parametry ognwa.

Oś złącza Ognwo Oś złącza ( a α Wspóna normana Rys... Długość ąt sręcena ognwa Istotną roę przy oreśanu tych parametrów odgrywa wspóna normana do os złączy oraz (. Jeże obe ose ne są równoegłe, to wspóna normana jest oreśona jednoznaczne. Z oe gdy obe ose są równoegłe, to stneje nesończene wee wspónych normanych do daszych rozważań można przyjąć dowoną z nch. Długość ognwa a jest odegłoścą pomędzy osam złączy jest merzona wzdłuż wspónej normanej do tych os. W szczegónym przypadu gdy ose przecnają sę to a. Warto podreść, że parametr a ma dość uźny zwąze z rozmaram ognwa. Kąt sręcena ognwa α jest ątem pomędzy obema osam jest merzony woół wspónej normanej. W ceu poazana tego ąta jest wygodne narysować półprostą równoegłą do os -tego złącza przechodzącą przez punt przecęca os złącza ( z wspóną normaną. Atuane w robotach przemysłowych są stosowane sztywne ognwa, to znaczy tae tórych ugęca są pomjane małe. W tam przypadu omówone wyżej parametry złącza mają stałe wartośc. Upraszcza to znaczne daszą anazę nematy manpuatora. Gdyby jedna tratować ognwa manpuatora jao eementy eastyczne, to parametry ognwa byłyby zaeżne od obcążeń dynamcznych łańcucha nematycznego. Naeży podreść, że w przypadu pojedynczego ognwa zarówno jego długość ja ąt sręcena są dodatnm parametram. Natomast po połączenu ognw w łańcuch nematyczny weośc te będą obdarzone odpowednm znaam. 4

Z Ognwo Z Złącze ( Ognwo (- Złącze Z α X O Złącze (- a O ε θ X Rys... Ułady współrzędnych zwązane z oejnym ognwam Na tym rysunu są poazane dwa oejne ognwa wraz z oanym uładam współrzędnych, tóre są zwązane z tym ognwam zgodne z agorytmem Denavta-Hartenberga. Z ognwem -tym zwązany jest -ty uład współrzędnych w ta sposób, że oś Z jest osą (-go złącza, a zwrot tej os może być przyjęty dowone; oś X jest wspóną normaną do os złączy -tego (-go serowana jest w stronę ognw o wyższych numerach; oś Y jest uzupełnenem dwóch poprzednch os do prawosrętnego, artezjańsego uładu współrzędnych. Poneważ jest ona jednoznaczne oreśona przez położena os Z oraz X zatem netórzy autorzy pomjają ją aby zwęszyć czyteność rysunów. W agorytme Denavta-Hartenberga jedyne cztery charaterystyczne weośc służą jednoznacznemu oreśenu położena oejnego uładu współrzędnych wzgędem uładu poprzednego. Weoścam tym są: ąt sręcena ognwa α I merzony woół os X od Z do Z, zgodne z zasadą śruby prawosrętnej; długość ognwa a merzona wzdłuż os X od Z do Z ; przesunęce nowe w złączu ε merzone wzdłuż os do X ; Z od X 5

ąt obrotu złącza θ merzony woół os Z od X do X, zgodne z zasadą śruby prawosrętnej. Spośród powyższych weośc trzy są zawsze stałe nazywane są parametram złączowym, a jedna jest zmenną - nazywaną zmenną złączową. Da złącza obrotowego zmenną złączową jest ąt θ, a przesunęce ε jest stałym parametrem. Z oe da złącza przesuwnego zmenną jest przesunęce ε a ąt θ jest stałym parametrem. Po oreśenu parametrów zmennych złączowych można wyznaczyć zwąz mędzy oejnym uładam współrzędnych przy użycu jednorodnych przeształceń. Aby przejść od uładu {-} do uładu {} naeży wyonać oejno następujące przeształcena: obrót woół os Z o ąt θ ; przesunęce wzdłuż beżącej os Z o odcne ε ; przesunęce wzdłuż beżącej os X o odcne a ; obrót woół beżącej os X o ąt α. Ioczyn czterech jednorodnych macerzy eementarnych operacj, w oejnośc wyonywana tych przeształceń, daje ostateczne postać macerzy jednorodnej o wymarach 4 4, wążącej uogónony ops położena dowone obranego puntu w uładach {-} oraz {}: rˆ A rˆ, gdze: A Rot( Z, θ Trans(,, ε Trans( a,, Rot( X, α cosθ snθ a sn cos θ θ ε cos sn α α. snα cosα (. 6

Po wyonanu operacj mnożena otrzymuje sę ostateczne zwartą postać macerzy A cosθ snθ cosα snθ snα a cosθ snθ cos cos cos sn a sn θ α θ α θ A (. snα cosα ε Przypomnjmy, że trzy weośc występujące w tej macerzy jednorodnej są stałym parametram, a czwarta jest zmenną złączową, tóra da zachowana jednotośc zapsu jest zwye oznaczana symboem, czy jest równa odpowedno θ ub ε. Rozwązane prostego zadana nematy da manpuatora poega na znaezenu położena początu uładu współrzędnych zwązanego z narzędzem (ub chwytaem oraz orentacj tego uładu w stosunu do uładu podstawowego. Przeształcene pomędzy tym dwoma uładam może być oreśone przez złożene przeształceń pomędzy oejnym uładam zwązanym z łańcuchem nematycznym. Da manpuatora o n- stopnach swobody otrzymuje sę zwąz n n rˆ A( rˆ, rˆ A ( rˆ,..., rˆ A ( rˆ n n (. Zatem reacja pomędzy uładem podstawowym uładem efetora może być przedstawona następująco n n rˆ A( A (... A ( rˆ H rˆ (.4 n n n gdze złożona macerz jednorodna, oznaczana jao postać H n przyjmuje Rn( p,n( H n( A( A(... An( n (.5 Tutaj symboem oznaczono wetor zmennych złączowych defnowany. K n jao [ ] T Taa złożona macerz jednorodna może być dowone dzeona przy j zastosowanu ogónej zasady H H H,, j, n. Poprzedzający górny ndes w tej macerzy dentyfuje uład odnesena, a ndes dony j 7

8 występujący za symboem macerzy H dentyfuje uład ońcowy. Warto zauważyć, że mnożene złożonych macerzy jednorodnych jest możwe pod warunem, że ndes dony perwszej macerzy jest ta sam ja poprzedzający ndes górny drugej macerzy. Jest oczywste, że 4 4 H, a zatem z ostatnego zwązu uzysuje sę ( j j H H. W złożonej macerzy jednorodnej występuje taże złożona macerz obrotu złożony wetor przesunęca, np.: p R p R R p R p R A A H H H,,,, (.6 Jao przyład postępowana przy wyznaczanu macerzy jednorodnych zostane rozważony manpuator o trzech złączach obrotowych, tórego struturę wraz z uładam współrzędnych poazano na rysunu: X θ θ θ X Y Z X Y Z Y Z Z X Y Y X Z X Z X Y Z X Y Z Y Rys... Oznaczena D-H w manpuatorze o trzech złączach obrotowych

Ułady współrzędnych zostały przyjęte zgodne z agorytmem Denavta- Hartenberga. Następnym roem jest wyznaczene parametrów zmennych wążących te ułady, zestawono je w tabe: Tab... Parametry zmenne da manpuatora o trzech złączach obrotowych Ognwo a α ε θ π / θ θ θ Koejne macerze jednorodne przyjmują postac H A cosθ snθ snθ cosθ cosθ snθ cosθ snθ cosθ sn H A, θ cosθ snθ snθ cosθ θ H A cosθ sn (.7.Po wyznaczenu oczynu tych trzech macerzy otrzymuje sę macerz jednorodną H da całego łańcucha nematycznego tego manpuatora: 9

H cosθ cos( θ θ snθ c( θ θ sn( θ θ cosθ sn( θ θ snθ s( θ θ cos( θ θ ( cosθ cos( θ θ ( cosθ cos( θ θ snθ cosθ cosθ snθ snθ sn( θ θ (.8 Posługując sę tą macerzą można łatwo oreść w uładze podstawowym położene dowone wybranego puntu, pod warunem, że znane jest jego położene w uładze współrzędnych zwązanym z trzecm ognwem. Na przyład położene początu tego ostatnego uładu można oreść r na podstawe zaeżnośc H, po stosunowo prostych operacjach mnożena macerzy jednorodnej uogónonego wetora położena otrzymuje sę r x ( cosθ cos( θ θ cosθ r y ( cosθ cos( θ θ snθ (.9 r z snθ sn( θ θ W ceu wygodnejszego wyznaczana macerzy jednorodnej odpowadającej całemu łańcuchow nematycznemu często wprowadza sę trzy najważnejsze ułady współrzędnych. Są nm uład podstawowy (ang. base, uład nadgartsowy (ang. wrst uład narzędzowy (ang. too. To bardzo efetywne deomponuje proste zadane nematy do dwóch podprobemów. Perwszy jest zwązany z rucham regonanym łańcucha nematycznego w ceu osągnęca zadanego położena w przestrzen. Drug jest zwązany z rucham oanym odpowadającym za orentację narzędza. Deompozycję tę można zustrować odpowednm oczynem dwóch macerzy jednorodnych: base base wrst H too H wrst H too (. Warto podreść, że przy stosowanu agorytmu Denavta-Hartenberga ujawna sę pewna swoboda przy wyborze uładu podstawowego oraz ostatnego uładu współrzędnych. W przypadu ostatnego uładu współrzędnych, zwązanego z ońcem ostatnego ognwa, erować sę naeży geometrą efetora, tórym najczęścej jest chwyta.

..5 Odwrotne zadane nematy W poprzednm rozdzae przedstawono procedurę wyznaczana położena orentacj narzędza w zaeżnośc od zmennych złączowych. Obecne zostane omówone postępowane odwrotne, to jest znajdowane wartośc oejnych zmennych złączowych przy narzuconym położenu orentacj narzędza. Probem ten jest nazywany odwrotnym zadanem nematy, a jego rozwązane jest znaczne trudnejsze nż prostego zadana nematy. Możwość rozwązana odwrotnego zadana nematy jest nezwye stotna ze wzgędu na efetywność sterowana manpuatorem robota przemysłowego. Zadana do wyonana przez robota są bowem w sposób naturany formułowane w ategorach pożądanych położeń orentacj narzędza, wyrażonych w uładze artezjańsm zwązanym z podstawą robota. Sytuacja taa występuje na przyład wtedy, gdy scena zrobotyzowanego stanowsa jest obserwowana przez zewnętrzny system wzyjny. Podobne jest w sytuacj gdy manpuator ma reazować tor ruchu zdefnowany przez system omputerowego wspomagana projetowana, np. w ceu reazacj operacj montażowych czy obróbczych. Rozwązane prostego zadana nematy było systematyczną procedurą opartą o wyorzystane agorytmu Denavta-Hartenberga. Koejne przeształcena pomędzy oanym uładam współrzędnych prowadzły do wyznaczena jednorodnej macerzy zwązanej z całym łańcuchem nematycznym. Macerz ta reprezentuje położene orentację narzędza oreśone w uładze podstawowym przez wetor p macerz obrotu R. Obe te weośc są w ogónym przypadu funcją wetora zmennych złączowych, co zapsujemy jao p p( R R(. Może to być efetywne wyorzystane na przyład do oreśena zboru możwych położeń orentacj narzędza przy oreśonych zaresach zman poszczegónych zmennych złączowych. Jednaże najważnejszym pożytem wynającym z prostego zadana nematy manpuatora jest stworzene podwan do rozwązana odwrotnego zadana nematy. Wetor zmennych złączowych jest wyrażony w podzborze n n-wymarowej rzeczywstej przestrzen wetorowej R, tórą nazywamy n przestrzeną złączową. Zapsujemy to w sróce jao R. Z oe położene orentacja narzędza ( p, R są zwązane z podzborem 6 przestrzen R, tórą nazywać będzemy przestrzeną onfguracj narzędza. Przestrzeń tę można równeż nazwać sześcowymarową przestrzeną artezjańsą. W tam przypadu do oreśena onfguracj 6 narzędza służyć może wetor x R. Trzy sładowe tego wetora oreśają położene narzędza, najczęścej są to trzy perwsze sładowe

są one po prostu równe wetorow p. Pozostałe trzy sładowe wetora x oreśają orentację narzędza są z reguły ątam typu yaw-ptch-ro. Rozwązane prostego zadana nematy jest równoważne wyznaczenu przeształcena przestrzen złączowej na przestrzeń onfguracj narzędza, natomast rozwązane odwrotnego zadana nematy jest równoważne wyznaczenu przeształcena przestrzen onfguracj narzędza na przestrzeń złączową. Wzajemne reacje pomędzy tym dwoma zagadnenam zustrowano na ponższym rysunu: Równana nemat prostej x Przestrzeń złączowa R n Równana nematy odwrotnej x Przestrzeń onfguracj narzędza R 6 Rys..4. Reacje pomędzy prostym odwrotnym zagadnenem nematy Odwrotny probem nematy jest znaczne trudnejszy nż prosty probem nematy, poneważ ne stneje bezpośredna systematyczna procedura pozwaająca na jego rozwązane. W zwązu z tym ażdy robot, czy też asa robotów, mus być tratowany ndywduane. Jednaże stneją pewne charaterystyczne cechy rozwązań, tóre mają właścwośc ogóne. Ponżej zostaną one róto scharateryzowane Istnene rozwązań Rozważmy najperw warun oneczne stnena rozwązana odwrotnego zadana nematy. Perwszy z nch dotyczy wymarowośc przestrzen złączowej przestrzen onfguracj narzędza. Jeże manpuator ma operować w trójwymarowej przestrzen artezjańsej, to czba stopn swobody łańcucha nematycznego mus wynosć co najmnej sześć. Można poazać jedna odstępstwa od tej zasady. Na przyład jeże narzędze jest osowo symetryczne, to do pełnego operowana może wystarczyć manpuator o pęcu stopnach swobody. Needy manpuatory są z góry przeznaczone do operowana na płaszczyźne. W tam przypadu manpuator pownen posadać co najmnej trzy stopne swobody, z tórych dwa odpowadają za oazację narzędza a jeden za jego orentację. Przyład strutury taego manpuatora poazano na rysunu Rys..5.

Rys..5. Strutura manpuatora panarnego o trzech stopnach swobody Koejny ważny warune stnena rozwązań jest zwązany z przestrzeną roboczą manpuatora, czy zborem puntów tóre mogą być osągnęte przez efetor robota. Pojęce to zostane omówone na przyładze powyższego manpuatora panarnego, tóry posada trzy wzajemne równoegłe ose ruchów obrotowych. Jeże ruchy obrotowe w dwóch perwszych złączach ne są ogranczone jednocześne złącze trzece jest zaboowane w ustaonym położenu, to zbór puntów, tóre może osągnąć chwyta ma ształt perścena o promenu zewnętrznym równym ( wewnętrznym promenu. W ażdym z tych puntów efetor będze posadał ścśe oreśoną orentację, tóra często ne pozwo na wyonane zadanej operacj technoogcznej. Zbór puntów przestrzen, tóre efetor może osągnąć z co najmnej jedną orentacją jest nazywany przestrzeną roboczą osąganośc. Z oe zbór puntów przestrzen, tóre efetor może osągnąć z dowone zadaną orentacją jest nazywany przestrzeną roboczą pełnej zręcznośc. Często stneje duża dysproporcja pomędzy przestrzenam obu typów da onretnego robota. W przedstawonym przyładze, przy zaboowanym trzecm złączu ne stneje przestrzeń robocza pełnej zręcznośc. Z oe w szczegónym przypadu, gdy przestrzeń pełnej zręcznośc słada sę tyo z jednego puntu, to jest eżącego w płaszczyźne ruchu chwytaa, przez tóry przechodz oś perwszego złącza. Jeże jedna trzece złącze ma możwość wyonywana pełnego obrotu, to obe przestrzene robocze są dentyczne. Jest oczywste jest, że przestrzeń robocza pełnej zręcznośc jest podzborem przestrzen roboczej osąganośc.

Y θ max X E F A D θ mn θ mn θ max B C Rys..6. Przestrzeń robocza manpuatora panarnego o trzech stopnach swobody W ogónym przypadu ształt wymary przestrzen roboczej zaeżą od strutury manpuatora oraz dopuszczanych zaresów zmennych złączowych. Ogranczena zaresów ruchów w oejnych złączach zawężają przestrzeń roboczą oraz najczęścej znaczne deformują jej ształt. Zustrowano to na oejnym rysunu, tóry poazuje przestrzeń roboczą omawanego manpuatora przy ogranczenach ruchów dwóch perwszych złączy. Jednoznaczność rozwązań Jeże stneje rozwązane odwrotnego probemu nematy w danym punce przestrzen roboczej, to zwye ne jest ono jednoznaczne. Weorotne rozwązana mogą być spowodowane dwema zasadnczym przyczynam. Perwszą przyczyną nejednoznacznośc rozwązań może być nadmarowość stopn swobody łańcucha nematycznego w stosunu do wymarów przestrzen zadana. Na przyład, jeże manpuator o czbe stopn swobody węszej nż trzy, przystosowany do operowana w przestrzen, wyonuje zadane panarne, czy wymagające narzucana tyo dwóch położeń nowych jednego obrotowego, to stneje zwye nesończene wee rozwązań odwrotnego probemu nematy. Manpuatory, da tórych stneje nesończene wee rozwązań odwrotnego zadana nematy w danym fragmence przestrzen roboczej nazywane są manpuatoram redundantnym. Dodatowe stopne swobody manpuatorów redundantnych mogą być wyorzystane do omjana przeszód pozwaają na efetywne operowane narzędzem w mejscach o trudnym dostępe. Tae roboty o czbe stopn swobody węszej nż 4

sześć są dość powszechne stosowane w przemyśe samochodowym do zgrzewana aroser czy do bardzej złożonych operacj montażowych. Inną przyczyną nejednoznacznośc rozwązań odwrotnego zadana nematy może być występowane złączy obrotowych w łańcuchu nematycznym. Wtedy bowem równana nematy zawerają funcje trygonometryczne. Ja wadomo, rozwązane tach równań jest na ogół nejednoznaczne, gdyż funcje trygonometryczne ne są monotonczne. Dobrym przyładem jest przedstawony na ponższym rysunu manpuator o trzech złączach obrotowych. Jeże zaresy ruchów w dwóch ostatnch złączach są dostateczne duże, to prawe w ażdym punce przestrzen roboczej można uzysać tę samą orentację chwytaa przy czterech różnych wartoścach wetora zmennych złączowych. Dwe z nch poazane są w sposób oczywsty na tym rysunu, a pozostałe dwe otrzymuje sę po obroce oumny o ąt półpełny. Konfguracja górna Konfguracja dona Rys..7. Nejednoznaczność rozwązań odwrotnego zagadnena nematycznego Metody rozwązywana odwrotnego zadana nematy Poneważ zaeżnośc nematyczne da węszośc manpuatorów mają charater nenowy, zatem ne można oreść ogónego agorytmu, tóry mógłby być przydatny do rozwązywana odwrotnego zadana nematy da ażdego manpuatora. Generane metody rozwązywana tego zadana można podzeć na anatyczne numeryczne. Manpuator jest nazywany nematyczne rozwązywanym, jeże udaje sę da nego uzysać pełny zbór rozwązań odwrotnego zadana nematy w sposób anatyczny. Rozwązana anatyczne wyorzystują metodę agebraczną (czyste przeształcena trygonometryczne ub metodę geometryczną, wyorzystującą właścwośc geometryczne fgur płasch ub przestrzennych do wyznaczena zwązów pomędzy zboram rozwązań. Manpuatory, da tórych stneją rozwązana anatyczne charateryzują sę z reguły tym, że ąty sręcena ch ognw są weorotnoścą ąta π. Ponadto rozwązana te są stosunowo proste, w przypadu gdy trzy oejne ose złączy w odcnu ruchów oanych 5

przecnają sę w jednym punce. W ta właśne sposób są budowane obecne głowce robotów. Przy podejścu geometrycznym do rozwązywana odwrotnego zadana nematy oneczne jest zdeomponowane przestrzennego zagadnena geometrycznego do szeregu zagadneń panarnych. Da weu manpuatorów (zwłaszcza gdy α π ub α może to być zrobone stosunowo łatwo. Przy tej metodze zmenne złączowe mogą być wyznaczone za pomocą metod stosowanych w płasej geometr. Uzasadna to ceowość doładnejszej anazy robota panarnego. Ponżej przedstawono przyład zastosowana metody geometrycznej do rozwązana odwrotnego zadana nematy da manpuatora panarnego o złączach obrotowych. Rozważony zostane ponowne manpuator przedstawony na rysunu: Y Φ θ θ C( x, y C c θ X Rys..8. Manpuator panarny o trzech stopnach swobody Danym wejścowym są: położene ostatnego złącza oreśone dwema współrzędnym xc, yc w artezjańsm uładze zwązanym z podstawą oraz orentacja chwytaa Φ. Poszuwane są trzy ąty złączowe. θ, θ θ. Da tego panarnego manpuatora mogą stneć dwa rozwązana probemu, da donej górnej onfguracj łańcucha nematycznego. Da onfguracj donej poszuwane rozwązana oznaczono jao θ a, θ a, θa. Z oe da onfguracj górnej poszuwanym rozwązanam są θ, θ θ Poazano to na oejnym rysunu. b b, b 6

θ a Y y C φ B θ b C( x C, y C ϕ d A θ a ϕ O θ a θ b δ x C X Rys..9. Iustracja metody geometrycznej rozwązywana OZK Aby uzysać pełny zbór rozwązań odwrotnego zadana nematycznego da manpuatorów stosuje sę najczęścej twerdzene cosnusów oraz funcję arcustangens dwuargumentowy. Twerdzene cosnusów oreśa zwąze pomędzy wybranym ątem trójąta oraz długoścam wszystch boów tego trójąta, może być zapsane w postac przypomnającej twerdzene Ptagorasa: c a b abcosγ, przy czym ąt γ eży naprzecwo bou c. Z oe funcja arcustangens dwuargumentowy jest zdefnowana następująco: arctan( y x x > arctan ( y, x π arctan( y x y x < (. π arctan( y x y < x < Przecwdzedzną tej funcj jest ąt pełny, czy przedzał ( π ;π. Przypomnjmy, że przecwdzedzną funcj arcustangens jest przedzał ( π ; π. Aby wyznaczyć ąt θ wyorzystuje sę twerdzene cosnusów zastosowane do trójąta OAC ub OBC, tj. d cos( π θ. Poneważ zachodz zaeżność cos( π θ cosθ oraz da dowonej 7

onfguracj manpuatora jest spełnony zwąze d x C y C, to xc yc uzysuje sę daej: cosθ. Istneją dwe wartośc ąta θ spełnające ten zwąze: xc yc θ ± arccos. Netrudno zauważyć, że zna obowązuje da θ a, a zna - da θ b. W ceu obczena wartośc ątów θ a θ b naeży wyznaczyć ąty ϕ oraz δ, zachodz bowem θ a δ ϕ, a θ b δ ϕ. Perwszy z tych ątów jest obczany z twerdzena cosnusów w postac xc yc d d cosϕ. Stąd uzysuje sę ϕ. Z oe xc yc ąt δ jest równy δ arctan( y C, x. C Ostateczne ąty θ a θ b wyznaczane są z prostych zaeżnośc: θa φ θ a θa, θ b φ θ b θb...6 Jaoban anatyczny manpuatora Pożądane ruchy efetora robota są zwye defnowane w przestrzen onfguracj narzędza, nazywanej też przestrzeną zadanową. W przestrzen tej położene orentacja narzędza są wyrażane przez m wetor zmennych zadanowych x R, m 6. W najbardzej ogónym przypadu m 6 wtedy trzy sładowe wetora x oreśają położene efetora, a pozostałe trzy oreśają jego orentację. Często jedna przestrzeń zadanowa ma mnejszy wymar. Na przyład przy reazacj ruchów panarnych wetor x posada tyo trzy sładowe, z tórych dwe oreśają położene efetora na płaszczyźne, a trzeca oreśa orentację efetora. Jeszcze nnym przyładem może być wyonywane zadana manpuacyjnego z użycem narzędza osowo symetrycznego. Wtedy wymar przestrzen onfguracj narzędza wynos 5. Wyonywane założonych ruchów ne odbywa sę w sposób bezpośredn w przestrzen zadanowej, bowem sterowane robota jest reazowane w przestrzen złączowej. Uład napędowy robota oddzałuje na poszczegóne złącza manpuatora powodując zmany wartośc zmennych złączowych,,,..., n. Konfguracja łańcucha nematycznego jest 8

9 oreśona przez wetor zmennych złączowych n R. Reacja pomędzy wetorem zmennych złączowych wetorem onfguracj narzędza jest oreśona przez równane nematy prostej manpuatora ( x. Zwye narzucona jest trajetora ruchu efetora, czy funcja czasu ( t x, tórą naeży reazować. Wymaga to przeczena tej funcj na odpowadającą jej zaeżność ( t w przestrzen złączowej. Sposób przeczana zmennych da wybranej chw czasowej omówono w rozdzae poprzednm poazano, że zadane tae może być stosunowo trudne. Jeże jedna narzucona funcja ( t x jest dostateczne głada, to można anazować zaeżnośc różnczowe da obu tych funcj. Użytecznym będze zwłaszcza znaezene zwązu pomędzy pochodnym wzgędem czasu tych funcj, czy prędoścam złączowym artezjańsm. Ostatne równane wetorowe może być zapsane w postac rozwnętej,,, (,,, (,,, ( x x x n m n n m K M K K M (. Zatem różncza zupełna wetora x będze oreśona przez wyrażene n n m m m n n n n m d d d d d d d d d dx dx dx K M K K M (. tóre można zapsać w postac wetorowo-macerzowej n n m m m n n m d d d dx dx dx M K M K K M (.4 Po wprowadzenu oznaczena da macerzy pochodnych cząstowych

... n... J a ( n (.5...... m m m... n otrzymuje sę zwartą postać wyrażena oreśającego tę różnczę: d x Ja ( d (.6 Macerz pochodnych cząstowych funcj wetorowej jest znana w anaze matematycznej pod nazwą macerzy Jacobego. Z tego powodu w robotyce macerz J a( jest nazywana jaobanem anatycznym manpuatora. Dzeąc obe strony ostatnej równośc przez eementarny przyrost czasu dt uzysuje sę d x d J a ( (.7 dt dt Na tej podstawe jaoban anatyczny może być tratowany jao transformacja wetora prędośc zmennych złączowych d dt na wetor prędośc zmennych zadanowych d x dt x. Ostatne równane opsuje proste zadane nematy da prędośc. Ze wzgędu na sterowane robota zapewnające reazację zadanej trajetor ruchu narzędza, nezbędne jest znaezene zaeżnośc wetora prędośc zmennych złączowych w funcj wetora prędośc zmennych zadanowych, czy wyznaczene reacj odwrotnej. Ta sformułowany probem jest nazywany odwrotnym zadanem nematy da prędośc. Poneważ jaoban anatyczny reprezentuje odwzorowane nowe, to oreśene warunów stnena odwrotnego zadana nematy ne jest trudne. Jeże jaoban anatyczny jest macerzą wadratową ( m n, to rozwązane tego zadana jest szczegóne proste wyraża sę wzorem J ( x a. Oczywśce, rozwązane tae stneje tyo wtedy gdy spełnony jest warune det( J a(, to znaczy gdy macerz J a( jest neosobwa. Z oe w onfguracjach łańcucha nematycznego, przy tórych zachodz det( J a (, co najmnej jeden wersz macerzy jaobanowej jest ombnacją nową pozostałych werszy wtedy macerz ta trac rząd.