Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Wykªad 3: Testowanie obecno±ci procesów przestrzennych (3) Ekonometria Przestrzenna 1 / 25

Plan wykªadu 1 Testowanie efektów przestrzennych 2 Testy ogólne Test Morana I Globalne a lokalne miary zale»no±ci przestrzennej 3 Testy szczegóªowe (3) Ekonometria Przestrzenna 2 / 25

Plan prezentacji 1 Testowanie efektów przestrzennych 2 Testy ogólne 3 Testy szczegóªowe (3) Ekonometria Przestrzenna 3 / 25

Testowanie efektów przestrzennych Co i kiedy testujemy? Testy obecno±ci procesów przestrzennych mo»emy przeprowadzi : dla obserwowalnej zmiennej; dla reszt z modelu regresji liniowej szacowanego KMNK (aby zobaczy, czy zachodzi potrzeba modelowania przestrzennego); dla reszt z niektórych modeli przestrzennych (aby wykry mo»liwe bª dy specykacji). Warunek Musimy mie okre±lon struktur przestrzenn danych, W. To oznacza,»e wyniki testów s warunkowe wzgl dem tej informacji! (3) Ekonometria Przestrzenna 4 / 25

Testowanie efektów przestrzennych Klasyczny model regresji liniowej (szacowany KMNK) (3) Ekonometria Przestrzenna 5 / 25

Testowanie efektów przestrzennych Gdy testujemy reszty z takiego modelu... (3) Ekonometria Przestrzenna 6 / 25

Testowanie efektów przestrzennych Rodzaje testów efektów przestrzennych Wyró»niamy nast puj ce procedury testowe (wymieniam te najcz ±ciej stosowane): 1 Testy ogólne: bez sprecyzowanej hipotezy alternatywnej 1 globalne: test Morana I, Getisa-Orda G i Gearyego C (dla danych ci gªych), test liczby poª cze«(dla danych binarnych) 2 lokalne: lokalna wersja testu Morana I i Getisa-Orda G 2 Testy szczegóªowe: ze sprecyzowan hipotez alternatywn 1 ró»ne warianty testów LM 2 pozwalaj na wybór mi dzy ró»nymi modelami 3 zostan omówione pó¹niej (przy poszczególych modelach) (3) Ekonometria Przestrzenna 7 / 25

Test Morana I Globalny test Morana I hipotezy i komenda Czy wyst puje autokorelacja przestrzenna? Mo»na stosowa do reszt ze liniowej regresji uzyskanych przy pomocy OLS lub do zmiennych. H 0 : nie wyst puj efekty przestrzenne. H 1 : wyst puj efekty przestrzenne (nie zakªadamy»adnego konkretnego procesu, który je generuje). H 1 mo»e by jedno- lub dwustronna. Lewostronne odrzucenie oznacza ujemn autokorelacj przestrzenn. Test Morana I: komenda lm.morantest(model, W, alternative = greater) gdzie model nazwa wcze±niej oszacowanego modelu, W macierz wag (3) Ekonometria Przestrzenna 9 / 25

Test Morana I Globalny test Morana I problemy Zastosowanie do zmiennych jest w zasadzie niekonkluzywne, bo nawet je»eli proces przestrzenny w zmiennej istnieje, to by mo»e nie ma potrzeby modelowania go (je»eli zachodzi w±ród regresorów i jest adekwatnie uchwycony przez model liniowy). Innymi sªowy: twierdzenie Gaussa-Markowa nie zakªada niezale»no±ci y i, a jedynie niezale»no± ε i, Zale»no± y i mo»e wynika z zale»no±ci x i. Zastosowanie do reszt mo»e prowadzi do innego paradoksu: obci»enie oszacowa«ols wynikaj ce z braku procesu przestrzennego mo»e prowadzi do usuni cia wzorca przestrzennego z reszt. W ten sposób uzyskamy znieksztaªcone oszacowania i nie zauwa»ymy tego problemu. Wbrew sztuce, testujemy tu od szczegóªu do ogóªu: model regresji liniowej jest szczególnym przypadkiem modeli przestrzennych. (3) Ekonometria Przestrzenna 10 / 25

Test Morana I Test Morana I statystyka Moran (1950), Cli i Ord (1972): punktem wyj±cia jest statystyka I opisana wzorem: I = N ε T Wε S 0 ε T ε gdzie S 0 suma elementów macierzy wag. W przypadku normalizacji wierszami uªamek N S 0 ulega skróceniu. Zauwa»my,»e szczególnym przypadkiem testu Morana jest test Durbina-Watsona (po odpowiednim zdeniowaniu prostszej macierzy W jako wskazuj cej pierwsze opó¹nienie czasowe w szeregu). Oba testy bazuj na porównaniu kowariancji (licznik) z wariancj (mianownik). Miara DW zakªada przy tym równo± wariancji obu zmiennych, dla których liczona jest kowariancja (ε t, ε t 1 ). St d normalizacja na odcinku [0; 4]. Miara I takiej normalizacji nie posiada, gdy» co do zasady: Var (ε) > Var (Wε) zob. Arbia, 1989. (3) Ekonometria Przestrzenna 11 / 25

Test Morana I Test Morana I rozkªad statystyki Statystyka ma rozkªad N, o ile wykazuj go reszty z modelu; w przeciwnym razie asymptotycznie rozkªad N. Takie zaªo»enie jest przyjmowane w standardowej komendzie R. Warto± oczekiwana w tym rozkªadzie: E (I ) = N tr(mxw) S o (N k), przy czym M x = I X ( T X T X ) 1 X Wariancja: ( ) 2 N tr(mxwm xw Var (I ) = T )+tr[(m xw) 2 ]+[tr(m xw) 2 ] S 0 E (I ) 2 (N k)(n k+2) Cz sto ani rozkªad empiryczny reszt (sprawd¹my go!), ani wielko± próby (np. dla grupy pa«stw) nie pozwalaj obroni tych zaªo»e«. Wówczas rozkªad jest symulowany metodami randomizacyjnymi (permutacje próby funkcja moran.mc). (Podobnie jest zreszt w przypadku statystyki Durbina-Watsona st d jej obszary niekonkluzywno±ci.) Anselin i Kelejian (1997) proponuj poprawk ze wzgl du na endogeniczno± regresorów. (3) Ekonometria Przestrzenna 12 / 25

Test Morana I Opó¹nienie przestrzenne 0 w 1,2... w 1,N x 1 w 2,1 0... w 2,N x 2 Wx =.......... = w N,1 w N,2... 0 x N 0 + w 1,2 x 2 +... + w 1,N x N w 1 x w 2,1 x 1 + 0 + w 2,3 x 3 +... + w 1,N x N w 2 x. w N,1 x 1 + w N,2 x 2 +... + 0 =. w N x Wektor w i to i-ty wiersz macierzy W, czyli powi zania i-tej jednostki (np. wagi jej s siadów). Zatem w i x mo»emy uzna za u±rednion warto± zmiennej x dla jednostek powi zanych z i-t jednostk, wa»on zgodnie z naszym schematem powi za«w. Wx jest wektorem takich wielko±ci dla wszystkich jednostek przestrzennych. Tego typu wyra»enia, przez analogi do poj z analizy szeregów czasowych, nazywamy cz sto opó¹nieniem przestrzennym zmiennej. (3) Ekonometria Przestrzenna 13 / 25

Test Morana I Test Morana I intuicja (1) Zauwa»my,»e I = εt Wε ε T ε I =... = Σ[(ε i 0)(w i ε 0)] Σ(ε i 0) 2 = (ε 0)T (Wε 0) (ε 0) T (ε 0) = {Σ[(ε i 0)(w i ε 0)]}/(N k) Σ(ε i 0) 2 /(N k) = Σ[(ε i 0)(w i ε 0)] Σ(ε i 0) 2. = Cov(ε,Wε) Var(ε) Statystyka I jest wspóªczynnikiem regresji liniowej opó¹nienia przestrzennego reszt wzgl dem reszt. Je»eli dana obserwacja odchyla si od ±redniej w gór, i inna równie», a dodatkowo s siaduj, to taka para obserwacji wnosi dodatni kontrybucj do statystyki I. (3) Ekonometria Przestrzenna 14 / 25

Test Morana I Test Morana I intuicja (2) moran.plot(res, W1_list,...) (3) Ekonometria Przestrzenna 15 / 25

Test Morana I Macierz W a braki danych Przeprowadzenie testu Morana I wymaga wyznaczenia: macierzy powi za«w wektora reszt ε Co wa»ne, wymiar W (liczba wierszy = liczba kolumn) musi by taki sam jak dªugo± wektora ε. Ten warunek nie b dzie jednak speªniony, je»eli w modelowanych zmiennych wyst puj braki danych. Na przykªad przy 50 regionach i dwóch brakuj cych warto±ciach zmiennej obja±nianej (oraz kompletnej macierzy zmiennych obja±niaj cych), macierz W ma wymiar 50 50, a wektor dªugo± 48. R zwraca w takiej sytuacji komunikat o bª dzie niezgodno±ci wymiarów. Rozwi zaniem jest usuni cie z obietku SpatialPolygonsDataFrame obiektów z brakuj cymi warto±ciami przed wygenerowaniem macierzy W oraz oszacowaniem modelu. W ww. przykªadzie oznaczaªoby to wymiar 48 48 dla macierzy W oraz dªugo± 48 dla wektora ε. (3) Ekonometria Przestrzenna 16 / 25

Globalne a lokalne miary zale»no±ci przestrzennej Test Gearyego C Taki sam ukªad hipotez co w te±cie Morana. Ró»nica we wzorach sprawia,»e test C jest wra»liwszy na lokalne odst pstwa od globalnego wzorca przestrzennego. Test Gearyego: komenda geary.test(res, W,...) gdzie res wektor reszt z wcze±niej oszacowanego modelu, W macierz wag (uwaga na spójn kolejno± regionów w obu przypadkach!) (3) Ekonometria Przestrzenna 17 / 25

Globalne a lokalne miary zale»no±ci przestrzennej Lokalne testy Morana (1) LICA: local indicator of spatial association (Anselin, 1995). Sprawdzamy przestrzenn zale»no± dla ka»dej jednostki z osobna poprzez jej indywidualn kontrybucj do globalnej statystyki I (z dokªadno±ci do staªej skaluj cej). Identykacja lokalnych klastrów czy hot-spotów. Identykacja obserwacji odstaj cych (w tym sensie,»e nie uczestnicz one w globalnym procesie przestrzennym). Lokalne testy Morana: komenda localmoran(res, W) gdzie res wektor reszt z wcze±niej oszacowanego modelu, W macierz wag (3) Ekonometria Przestrzenna 18 / 25

Globalne a lokalne miary zale»no±ci przestrzennej Lokalne testy Morana (2) problemy 1 Problem wielokrotnego testowania hipotez musimy odpowiednio skorygowa poziom istotno±ci: 1 testuj c przy poziomie istotno±ci α, nale»y porównywa p-value z α N, a nie z α 2 technicznie pro±ciej jest wª czy opcj tzw. korekty Bonferroniego, aby generowa p-value porównywalne z α: p.adjust.method = bonferroni 2 Nieznane rozkªady statystyk testowych: aproksymacje za pomoc metod numerycznych. 3 Problem z korelacj mi dzy ró»nymi jednostkami (poszczególne jednostki maj cz sto tych samych s siadów). (3) Ekonometria Przestrzenna 19 / 25

Globalne a lokalne miary zale»no±ci przestrzennej Getis-Ord G Test G ró»ni si od testu Morana i innych konstrukcj hipotezy alternatywnej: Prawostronne odrzucenie H 0 (wysokie warto±ci statystyki) oznacza,»e proces przestrzenny polega na skupieniu obszarów o wysokich warto±ciach cechy. Lewostronne odrzucenie H 0 (niskie warto±ci statystyki) oznacza,»e proces przestrzenny polega na skupieniu obszarów o niskich warto±ciach cechy. W tym przypadku wyst powanie ujemnej autokorelacji przestrzennej prowadzi do nieodrzucenia H 0. Podobnie jak test Morana posiada wersj globaln i lokaln globalg.test(res, W) localg(res, W) gdzie res wektor reszt z wcze±niej oszacowanego modelu, W macierz wag (3) Ekonometria Przestrzenna 20 / 25

Globalne a lokalne miary zale»no±ci przestrzennej Test liczby poª cze«do analizy danych binarnych: Losowy dobór biaªych i czarnych pól pozwala oczekiwa pewnej liczby poª cze«(np. granic) mi dzy tymi samymi (biaªy-biaªy, czarny-czarny) i mi dzy ró»nymi (biaªy-czarny). Sprawdzamy odst pstwo (wg zadanej macierzy W ) od tego wzorca. Test liczby poª cze«: komenda joincount.test(as.factor(res > 0), listw = W1_list) Pierwszy argument musi by zmienn binarn typu factor. (3) Ekonometria Przestrzenna 21 / 25

Testy szczegóªowe Testy LM (1) Hipoteza zerowa o braku autokorelacji przestrzennej mo»e te» by rozwa»ana przy pomocy testów LM na tle konkretnych alternatyw: LMerr: model autokorelacji przestrzennej bª dów (SEM na kolejnych zaj ciach) LMlag: model autoregresji przestrzennej (SLM na kolejnych zaj ciach) RLMerr: odporna wersja LMerr, dopuszczaj ca mo»liwo± dodatkowej przestrzennej zale»no±ci y RLMlag: odporna wersja LMlag, dopuszczaj ca mo»liwo± przestrzennej zale»no±ci ε SARMA: zmodykowany test Morana procedura typu portmanteau ª cz ca LMerr + RLMlag (Kelejian i Prucha, 2001), nadaj ca si m.in. do analizy danych binarnych (3) Ekonometria Przestrzenna 23 / 25

Testy szczegóªowe Testy LM (2) Testy LM: komenda lm.lmtests(model, macierz_wag, test =...) Zamiast model mo»emy u»y szeregu reszt z konkretnego modelu, wówczas jednak jedynym dost pnym testem w R jest test LMerr. Szczegóªy zwi zane z konstrukcj tych testów poznamy na zaj ciach o wyborze optymalnego modelu. (3) Ekonometria Przestrzenna 24 / 25

Zadanie Zadanie domowe 3 Dla zmiennej, która byªa przedmiotem pierwszej pracy domowej, przeprowad¹ nast puj ce procedury i zinterpretuj ich wyniki: 1 Ocena wizualna. 2 Globalny i lokalne testy Morana. 3 Test Gearyego. 4 Podziel warto±ci zmiennej na dwie klasy (wg wyznaczonego przez siebie progu), a nast pnie przeprowad¹ test liczby poª cze«. Zbadaj wra»liwo± wyników testu na zaªo»ony próg podziaªu. (3) Ekonometria Przestrzenna 25 / 25