Modele wielorównaniowe. Problem identykacji

Transkrypt

1 Moele wielorównaniowe. Problem ientykacji Anrzej Torój 4 grunia Specykacja moelu Estymacja Ientykacja parametrów postaci strukturalnej y t A + x t B ε t y t x t ( ) BA + ε t A {{ BA Π Π v t posta strukturalna posta zreukowana posta strukturalna Elementy macierzy B i A nie zawsze mo»na zientykowa na postawie macierzy Π. Z czego wynika ewentualny brak tej mo»liwo±ci i po jakimi warunkami ientykacja jest mo»liwa? Przykªay:. Rozwa»my moel konkurencyjnego rynku pozostaj cego w równowaze, skªaaj cy si ze stochastycznych równa«popytu i poa»y oraz to»samo±ci b cej warunkiem równowagi: t α α p t + ε t β + β p t + ε t ( q t ) gzie - popyt, s - poa», α, β >, α > β. Zmienne enogeniczne to q t i p t. Po uwzgl nieniu to»samo±ci zapisujemy posta strukturaln : { q t + α p t α ε t q t β p t β ε α β + α β ε t ε Posta zreukowana: α β + ε α β t ε π π + v v α β

2 π π Rozwa»my α β α β α β α β αβ +β α α β α +β α +β 4 oraz α β α β. Oba wektory mogªyby wynika z oszacowania wektora parametrów postaci zreukowanej strukturalnej nie jest ientykowalny. 5 α +β α β β α π 3 π. aen z parametrów postaci. Równanie popytu w tym samym moelu uzupeªniamy o ochó rozporz zalny konsumentów y t z parametrem α. t α α p t + α y t + ε t β + β p t + ε t ( q t ) Posta strukturalna: { q t + α p t α α y t ε t q t β p t β ε + α y β α β t α ε t ε Posta zreukowana: α β yt + ε α α β t ε π y π t + v π π v α β π π π π α β α α β αβ +β α α β α +β α +β α β α α +β α +β Po rozszerzeniu specykacji parametry równania poa»y staªy si ientykowalne: β π π α β ( β ) α + β {{ π π π + α β + β α α + β {{ π β

3 π π Niech β i β : π π α 5 jak i la α 6 α+α α + α α +, speªniona jest równo± Π α 4 wci» s zatem nieientykowalne. α α + α α +. Zarówno la α α α 3,. Parametry równania popytu 3. Równanie poa»y z przykªau uzupeªniamy o zasób kapitaªu w±ró proucentów na rozwa»anym rynku: t α α p t + α y t + ε t β + β p t + β r t + ε t ( q t ) Posta strukturalna: Posta zreukowana: α β { q t + α p t α α y t ε t q t β p t β β r t ε + y t r t α β α β ε t ε α β y t r t α + ε α β β t ε 3 3 π π y t r t π π + v v π 3 π 3 α β π π π π π 3 π 3 α β α β α β α β +β α α β α +β α +β α β α α +β α +β α β β α +β α +β β i β ustalamy jak wcze±niej. 3

4 α π3 π 3 β β α + β {{ α + β π 3 π π π 3 π 3 α α α + β {{ α + β π 3 π π π 3 π α α β α + α α + α π 3 π π 3 + β f(π) α πα+β π Po rozszerzeniu specykacji równie» parametry równania popytu staªy si ientykowalne. q (α,α ) s(β,β ) (α,α ) s(β,β ) (α,α,α y ) q (α,α, α y ) (α,α, α y ) s(β,β ) (α,α,α y ) p p q s(β,β,β r ) (α,α, α y ) (α,α, α y ) s(β,β,β r ) p Wnioski:. Brak ientykowalno±ci parametrów postaci strukturalnej wynika ze specykacji moelu. 4

5 . Nie jest to w szczególno±ci efekt zbyt krótkiej próby czy bª ów w procesie estymacji. 3. Brak ientykowalno±ci parametrów postaci strukturalnej nie musi oznacza,»e moel jest zªy; oznacza jeynie,»e na gruncie ost pnych anych nie jest mo»liwe ustalenie warto±ci poszczególnych jego parametrów. Ewentualny brak ientykowalno±ci otyczy wszystkich parametrów anego równania (por. przykªay,, 3). St mówimy o ientykowalno±ci równa«, a gy wszystkie równania s ientykowalne - o ientykowalno±ci moelu. Ogólnie: Liczba parametrów postaci strukturalnej Σ ε;m M symetryczna A M M B {{ K M {{ M + KM + M (M + ) Ró»nica wynosi maksymalnie M. Liczba parametrów postaci zreukowanej Σ v;m M symetryczna Π K M {{ KM + M (M + ) W przykªazie 3 osi gni cie ientykowalno±ci wymagaªo przyj cia M 4 oatkowych zaªo»e«:. o normalizacji ze wzgl u na zmienn q t w pierwszym i rugim równaniu, st A i A ;. o wykluczeniu niektórych zmiennych z niektórych równa«, st B i B 3. Posta strukturalna: y t A + x t B ε t, A M M, B K M, M zmiennych enogenicznych (o warto±ciach la t w poziomym wektorze y t ), K zmiennych egzogenicznych (o warto±ciach la t w poziomym wektorze x t ). j-te równanie postaci strukturalnej: y t A :,j + x t B :,j ε j,t, gzie A :,j, B :,j to j-ta kolumna macierzy opowienio A i B. Ze wzgl u na normalizacj w równaniu j oraz wykluczenie niektórych zmiennych z tego równania klasykujemy jego zmienne i wªa±ciwe im parametry: Zmienne Oznaczenie Rozaj Liczba Parametry y j zmienna obja±niania w równaniu j, wzgl em niej normalizacja Enogeniczne Ỹ j zmienne wyst puj ce w równaniu j jako M j à :,j zmienne obja±niaj ce Ỹ j zmienne nie wyst puj ce w równaniu j M j à :,j jako zmienne obja±niaj ce Egzogeniczne Xj zmienne wyst puj ce w równaniu j jako K j B:,j zmienne obja±niaj ce X j zmienne nie wyst puj ce w równaniu j jako zmienne obja±niaj ce K j B:,j Moel w postaci zreukowanej: yj,t ỹ j,t ỹ j,t xj,t x j,t y t x t {{ j M j {{ D () M j {{ D () K j j D (3) D (4) Kj Π 5 + v j,t ṽ j,t ṽj,t {{ v t

6 Poniewa» Π BA czyli ΠA B, la j-tej kolumny macierzy A i B mo»emy zapisa : ΠA :,j B :,j j D () D () j D (3) D (4) Ã :,j B:,j St : { j + D () Ã :,j B :,j j + D (3) Ã :,j K j rownan Kj rownan z M j parametrami { D (3) Ã :,j j Kj rownan z M j niewiaomymi ( ) B :,j j D () Ã :,j wzor na pozostale K j parametrow Dla ka»ego równania ( j ) mo»liwe s nast puj ce przypaki:. K j < M j niesko«czenie wiele rozwi za«, parametry postaci strukturalnej równania j nie s ientykowalne;. K j M j okªanie jeno rozwi zanie, ientykowalno± jenoznaczna; 3. Wniosek: K j > M j ientykowalno± namierna, mo»na testowa czy sprzeczno±ci s istotne statystycznie. Warunkiem koniecznym ientykowalno±ci równania j jest Kj M j, tzn. by liczba zmiennych egzogenicznych nie wyst puj cych w tym równaniu byª przynajmniej taka, jak liczba zmiennych enogenicznych wyst puj cych w tym równaniu jako zmienne obja±niaj ce. Przykªay (c..):.. 3. K < M brak ientykowalno±ci równania K < M brak ientykowalno±ci równania K < M brak ientykowalno±ci równania K M równanie jest ientykowalne K M równanie jest ientykowalne K M równanie jest ientykowalne Fakt: Warunek konieczny ientykowalno±ci jest speªniony la wszystkich równa«moelu, je»eli w ka»ym z nich wyst puje wªasna, unikalna zmienna egzogeniczna. Warunkiem wystarczaj cym istnienia jenoznacznego rozwi zania ukªau równa«( ) jest nie tylko K j M j, lecz równie» peªen rz kolumnowy (liniowa niezale»no± wszystkich kolumn) macierzy D (3) : 6

7 ( r D (3)) M j Wniosek: warunek wystarczaj cy ientykowalno±ci j-tego równania zawiera w sobie warunek konieczny, bowiem przy Kj < M j liczba wierszy macierzy D (3) jest ni»sza o liczby kolumn, a taka macierz nie mo»e mie M j kolumn liniowo niezale»nych. W praktyce speªnienie warunku koniecznego mo»na równie» baa korzystaj c z nast puj cej metoy:. Zapisujemy parametry postaci strukturalnej (tzn. takiej, w której wszystkie zmienne z parametrami s po jenej stronie znaku równo±ci) w tabeli, w której wiersze opowiaaj zmiennym enogenicznym (równaniom), a kolumny - wszystkim zmiennym w moelu (parametry przyporz kowujemy tym zmiennym).. W celu sprawzenia ientykowalno±ci parametrów j-tego równania wykre±lamy z tabeli: (a) wiersz opowiaaj cy temu równaniu (j); (b) kolumny opowiaaj ce zmiennym, które s w tym równaniu (y j,t, ỹ j,t, x j,t ). 3. Sprawzamy, czy macierz parametrów, która pozostaªa po wykre±leniach, ma tyle liniowo niezale»nych kolumn, ile wierszy. Przykªay (c..) t α α p t + ε t β + β p t + ε t t α α p t + α y t + ε t β + β p t + ε t t p t α - α β - β - t p t y t α - α α β - β - la równania :, la równania : wiersze > wektor - brak ientykowalno±ci obu równa«la równania : wiersze > wektor - brak ientykowalno±ci; la α równania : wektory liniowo niezale»ne - równanie ientykowalne 3 t α α p t + α y t + ε t β + β p t + β r t + ε t t p t y t r t α - α α β - β β - β la równania :, α la równania :, wektory liniowo niezale»ne - oba równania ientykowalne Restrykcje nakªaane na parametry stochastyczne: 7

8 W ogólnym przypaku symetryczna macierz wariancji-kowariancji wektora skªaników losowych postaci strukturalnej Cov (ε) E ( ε T ε ) Σ ε zawiera M (M + ) ró»nych elementów, poobnie jak mo»liwa o oszacowania macierz wariancji-kowariancji wektora skªaników losowych postaci zreukowanej Cov (v) E ( v T v ) ( (εa E ) T ( )) ( εa (A E ) ) T ε T εa ( ) A T Σε A Σ v. Zaªo»enie o wzajemnej niezale»no±ci skªaników losowych postaci strukturalnej pozwala umie±ci zera na M (M + ) M nieiagonalnych miejscach macierzy Σ ε, co mo»e pozwoli wykorzysta równanie ( A ) T Σε A Σ v w procesie ientykacji elementów macierzy A. σ. Przykªa (c..). Zaªó»my,»e Σ ε σs. Wówczas β σ β Σ v σ v,, σv,,. σv,, ( A ) T Σε A ( ) β σ + α σs β σ α σs α +β. σ + σ s α +β α +β α α +β α +β σ s α +β α α +β α +β α +β z 3 równo±ci wykorzystujemy o ustalenia σ oraz σ s, trzecia za± ustanawia zale»no± mi zy α a β. Ta zale»no± oraz wie równo±ci π... i π... (por. wcze±niej) to wci» za maªo, by zientykowa 4 parametry postaci strukturalnej. σ. Przykªa (c..). Wykorzystajmy zaªo»enie Σ ε σs w rugim moelu. Po uwzgl nieniu trzeciej zale»no±ci miezy α i β mo»emy zientykowa 3 parametry równania popytu na postawie 3 równa«. Zaªó»my,»e wyniki estymacji parametrów postaci zreukowanej moelu uzupeªnimy o wyniki estymacji wariancji-kowariancji wektora skªaników losowych postaci zreukowanej v t : σ Σ v v,, σv,, ( ). σv,, β σ + α σs β σ α σs α +β. σ +. Zgonie z otychczasowymi ustaleniami, β i β. Mo»emy zatem zapisa 3 oatkowe równania: σ s ( σv,, (4σ ) α +) + ασ s ( σv,, (σ ) α +) α σs ( σv,, ) (σ α +) + σs Wyznaczamy z ostatniego równania σs i postawiamy o pozostaªych wóch: ( σv,, α α + ) ( 4σ + α ( σ v,, (α + ) σ )) ( (4 ) α +) α σ + ασ v,, +α σ + α σv,, ( ) ( ( )) ( σv,, α + σ α σv,, (α + ) σ α +) ( + α ) σ α σv,, +α σ α σv,, Z ukªau mo»na wyrugowa σ : σv,, ασ v,, ( α ) ( σv,, + α σv,,) σ v,, + α σv,, α σv,, ασ v,, Po reukcji powtarzaj cych si skªaników i rozwi zaniu ze wzgl u na α otrzymujemy: α σ v,, σ v,, σ v,, σ v,, Niech (z wyników estymacji) Σ v równo±ci z przykªau pozwalaj zientykowa 8. Wówczas α 3. Pozostaªe wie 3 4 α 3 α. α

9 Do ientykowalno±ci mog te» prowazi inne, liniowe i nieliniowe restrykcje nakªaane na parametry stochastyczne i strukturalne. 9