Europejska opcja kupna akcji callopion Nabywca holder: prawo kupna long posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę C Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy sprzedaży akcji w okresie na wezwanie nabywcy po cenie K w zamian za premię C uzyskaną w chwili nabycia opcji
Opcja call funkcja wypłay
Europejska opcja sprzedaży akcji puopion Nabywca holder: prawo sprzedaży shor posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę P Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy zakupu akcji w okresie na wezwanie nabywcy opcji po cenie K w zamian za premię P uzyskaną w chwili nabycia opcji
Opcja pu funkcja wypłay
andardowe założenia modeli wyceny brak koszów ransakcyjnych handel odbywa się w sposób ciągły króka sprzedaż jes dosępna wspólna sopa wolna od ryzyka akywa są doskonale podzielne akcje dosarczają ylko korzyści kapiałowe 5
Kapializacja ciągła i warość bieżąca PV Obligacja zerokuponowa: db rbd Zmiana ceny obligacji: - deerminisyczna - wzros wykładniczy - ciągłe składanie - dyskono ciągłe B B 0 e r 4 0 8 6 4 B 0 B e r 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 6
Ruch Browna: w : R w 0 0 w w ~ N 0 s dla s s > 3 w w... w w 3 w n w n są niezaleŝne dla... n Primbs M&E 345 7
Procesy sochasyczne Proces błądzenia losowego Random Walk RW: w h w ε h Proces Wienera RW w czasie ciągłym: dw w d w ε d E Proces RW z dryfem w cz. dyskrenym Uogólniony proces Wienera w cz. ciągłym: h d [ dw ] 0 E[ dw d] 0 E[ dw ] d h µ h σε h h d µ d σdw
Procesy sochasyczne Uogólniony proces Wienera: d µ d σdw Proces Iôdalsze uogólnienie Wienera: d µ d σ dw Np. odpowiednik geomerycznego ruchu Browna: ln ln σε Można w ciągłej dziedzinie przedsawić jako d ln σdw d d
Geomeryczny ruch Browna: ąd jes on procesem Iô: d σdw dla µ 0 σ σ d µ d σ dw Jeżeli naomias: d µ d σdw Ile ym razem wynosi d d ln?
Iô95 dla dowolnej funkcji f klasy C kórej argumenami są realizacje procesu Iôi czas pokazał że dynamika jes wyznaczona przez: dw f d f f f df σ σ µ Lema Iô Lema Iôwyznacza rozwiązanie sochasycznego równania różniczkowego dla dowolnego : dw f d f f f df σ σ µ dw d d σ µ
Lema Iôdla geomerycznego Browna: Dla geomerycznego ruchu Browna: d µ d σdw Na przykład fln E ln / D ln / σ µ σ ln h Dla zwykłego ruchu Browna d µ d σdw Na przykład fep σ d ln µ d σdw / σ ~ N µ h σ h
Rozkład log-normalny ln y d ln ~ N µ σ y ~ log N µ σ σ
Założenia modelu B- Porfel o warości V: kupno akcji rynek pieniężny pożyczka lub inwesycja wg sopy wolnej od ryzyka r. cena akcji zmienia się zgodnie z geomerycznym ruchem Browna: 8 d / µ d σdw E D 0 e 0 µ e µ e σ 7 6 5 4 3 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0
Wycena opcji call Zdefiniujmy cenę opcji kupna akcji: f f Ile kupić akcji po cenie po cenie aby porfel V złożony z akcji opcja callbył pozbawiony ryzyka dw? d µ d σ dw df f f f µ σ d σ f dw V f dv d df
Równanie Blacka-cholesa f Należy posiadać akcji A warość porfela wyniesie: f V f ąd zmiana warości porfela dana jes wzorem: dv f σ f d Przy braku możliwości arbirażu: dv rvd Podsawiając dosajemy równanie różniczkowe B-: f σ f r f rf
Formuła Blacka-cholesa Równanie różniczkowe na f ma wyznaczyć cenę opcji w zależności od ceny akcji: f σ f f r i przy zachowaniu warunków końcowych opcja kupna w okresie jes wara c: f rf [ 0 c K 0 a opcja sprzedaży p: f p K
Rozwiązanie sprawdź je sam : d N Ke d N c r rc c r c c σ Cena opcji kupna B- 0 0 c K c 0 d N Ke d N c r r K d σ σ / ln d d σ N Dysrybuana rozkładu Gaussa N0
Cena opcji kupna 0 rm c N d Ke N d d ± ln / K r ± σ σ Cena opcji call zależy od: ceny insrumenu pierwonego ceny wykonania opcji K - wariancji zmienności volailiy insrumenu pierwonego σ erminu wykonania opcji sopy wolnej od ryzyka r. Nie zależy od siły rendu zmian cen
Parye Call-Pu Rozważmy dwa porfele: Pierwszy opcja call goówka Drugi opcja pu jedna akcja ma K K K K c V ma ' K K p V Ke r Mają ą samą warość a zaem powinny być yle samo ware dzisiaj: ma ' K K p V r p Ke c
Greckie liery o pochodne cząskowe c: Dela hea Gamma Vega Rho Psi ρ υ ψ Γ θ
Przykłady dla opcji call Dela Gamma hea c N d > 0 ' ' c N d d N d >0 σ r σ ' c rke N d N d <0
Opion value
Lieraura Black F. and M. choles he pricing of opions and corporae liabiliies Journal of Poliical Economy 8 637-659 973. Meron R. C. heory of raional opion pricing Bell Journal of Economics and Managemen cience 4 4-83 973. Hull J. Opions Fuures and Oher Derivaives 4 h Ed. Prenice Hall 000. 4