Inżynieria Finansowa: 6. Wycena martyngałowa, dynamiczna replikacja i model dwumianowy

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Inżynieria Finansowa: 6. Wycena martyngałowa, dynamiczna replikacja i model dwumianowy"

Transkrypt

1 Inżynieria Finansowa: 6. Wycena martyngałowa, dynamiczna replikacja i model dwumianowy Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Kwiecień 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa

2 Wycena pochodnych: ułatwiona Stworzenie statycznego portfela replikującego służącego do określenia ceny pewnego instrumentu wymaga: Istnienia odpowiedniej ilości płynnych aktywów bazowych Liniowej zależności pomiędzy ceną instrumentu replikowanego i aktywów użytych do replikacji Jeśli cena instrumentu pochodnego zmienia się liniowo wraz ze zmianą ceny aktywu bazowego możliwa jest statyczna replikacja, gdyż wartość portfela replikującego zmienia się proporcjonalnie do zmian cen bazowego

3 Wycena pochodnych: utrudniona Kiedy: Istnieje odpowiednia ilość płynnych aktywów bazowych, ale Zależności pomiędzy ceną instrumentu replikowanego i aktywów bazowych (używanych do replikacji) jest nieliniowa zmiany cen obydwu nie są stabilnie proporcjonalne Konieczna jest dynamiczna replikacja.

4 Przykład: zabezpieczenie pozycji opcyjnej Wystawiliśmy opcję kupna 100 akcji o terminie zapadalności 1Y, K=105, przy cenie bieżącej S0=100. Stopa procentowa wynosi 5%. Chcemy zabezpieczyć ryzyko, jakie generuje pozycja opcyjna (koszt tego zabezpieczenia powie nam jednocześnie ile opcja powinna kosztować). Rozważmy trzy strategie zabezpieczenia: 1. Kupujemy 100 akcji już dziś za pożyczone pieniądze 2. Brak zakupu jakichkolwiek akcji 3. Kupujemy 50 akcji już dziś za pożyczone pieniądze (np. szacujemy, że istnieje 50% szans na wykonanie kontraktu) Przy trzech scenariuszach zmiany cen: 1. Cena wzrośnie do Cena pozostanie bez zmian 3. Cena spadnie do 80

5 Przykład: zabezpieczenie pozycji opcyjnej Wyniki z poszczególnych strategii są następujące: 1. π T = max S T K, 0 + S T K e rτ S t π T = max S T K, π T = max S T K, S T K e rτ S t % 0% 50% S T = ,5 S T = ,5 S T = ,5 Wniosek: żadna ze strategii nas nie zabezpieczyła (zabezpieczenie oznaczałoby, że niezależnie od scenariusza nasz wynik pozostaje taki sam i wynosi 0)

6 Dynamiczna replikacja Portfel replikujący: Dokładnie odzwierciedla końcowe wypłaty z wycenianego instrumentu Nie wymaga wypłat ani wpłat pieniędzy Zwykle ma zmienną strukturę na przestrzeni czasu Ta metoda wymaga określenia charakteru współzależności pomiędzy cenami instrumentu wycenianego (replikowanego) i aktywu bazowego Model (drzewo) dwumianowe Równania różniczkowe cząstkowe Stochastyczne równania różniczkowe

7 Jednookresowy model dwumianowy - schemat p S T,U = S t0 U S t0 1 p S T,D = S t0 D t0 T

8 Jednookresowy model dwumianowy - założenia Rozpatrujemy tylko dwa punkty w czasie: t0 (w skrócie 0) oraz T Dwa aktywa na rynku: pozbawiona ryzyka obligacja zerokuponowa B(0,T), która jest także utożsamiana z rachunkiem bankowym i daje deterministyczny dochód B 0, T = DF 0, T = 1/(1 + Lr) = e rτ gdzie τ = (0, T) Aktywo obarczone ryzykiem, którego wartość (cena) w chwili obecnej jest znana: S 0 nie przynosi dochodu w okresie [0,T] i ma losową wartość (cenę) w T: gdzie 0 < D < U S T = ቊ S 0U z prawdopodobieństwem "p" S 0 D z prawdopodobieństwem "1 p"

9 Jednookresowy model dwumianowy - założenia Wartość ryzykownego aktywu w momencie T możemy także zapisać jako: S T = S 0 Z gdzie Z jest zmienną losową: Z = ቄ U D z prawdopodobieństwem "p" z prawdopodobieństwem "1 p" Wartość europejskiego instrument pochodnego X wystawionego na aktywo S w terminie zapadalności jest zmienną losową opisanego pewną funkcją φ: X T = φ(s T ) Np. dla opcji kupna ta funkcja ma postać: X T = φ(s T ) = max S T K, 0 = max S 0 Z K, 0

10 Model dwumianowy - przykład U = = D = = 30 Bieżąca cena obligacji wolnej od ryzyka: B 0, T = Cena obligacji w terminie zapadalności (pewna): B T = 1 B 0, T = 1/(1 + r) zatem stopa wolna od ryzyka: r = 3.6% Jak jest oczekiwana stopa zwrotu z ryzykownego aktywu?

11 Przykład c.d. 0.7 S T = 35.1 U = = 41 B(T) = 1 S 0 = 35.1 B(0, T) = E P S T = = 37.7 stąd: p = 35.1 < e Cena S 0 jest niższa niż bieżąca wartość oczekiwana wypłat e r E P S T : Jaka jest oczekiwana stopa zwrotu z akcji? S T = 35.1 D = = 30 B(T) = 1 E P R S = p S 0U S p S 0D = S R S = 1 + r = 7.4% = = 1.074

12 Cena = wartość oczekiwana wypłat? Zgromadziliśmy 10 mln PLN majątku: W t =10 mln Czego spodziewamy się w przyszłości? P W t+1 = 0 = 1% P W t+1 = W t = 98% P W t+1 = 2W t = 1% Stany natury i przypisane im prawdopodobieństwa 1% 98% 1% Wypłaty

13 Cena = wartość oczekiwana wypłat? Oferuje się nam instrumenty U i D, gdzie U wypłaca 10 mln w pozytywnym scenariuszu, a D 10 mln w negatywnym. Stany natury i przypisane im prawdopodobieństwa 1% 98% 1% Wypłaty D Pytanie: Czy za instrument U i D bylibyśmy skłonni zapłacić tyle samo? U

14 WZÓR wyceny aktywów Cena p i = E(mx i ) Oczekiwania (prawdopodobieństwo) Czynnik dyskontujący Wypłaty Asset prices should equal expected discounted cashflows John Cochrane, JoF (2011) Co jest ważne? Wypłaty x Mechanizmy oczekiwań E Czynnik dyskontujący m (zależny od preferencji stochastic discount factor, zwany zależnie od okoliczności także state-price density, pricing kernel)

15 Przykład Przestrzeń stanów S=(załamanie gospodarcze, kryzys, stagnacja, wzrost, silny wzrost) π S = (2%, 10%, 20%, 50%, 18%) x 1 obligacja bez ryzyka x 2 obligacja korporacyjna o ratingu A x 3 akcja x 4 ubezpieczenie x 5 venture capital X = x 1s1 x 1s5 = x 5s1 x 5s

16 Wycena - przykład Preferencje Co jest dla nas ważne (zwykle z punktu widzenia majątku/konsumpcji)? S=(załamanie gospodarcze, kryzys, stagnacja, wzrost, silny wzrost) M S = Ceny p x 1 = E mx 1 = π s m s x 1s = = = = p X = s

17 Przykład c.d. Ceny cd. Ile kosztowałyby papiery, gdyby patrzeć tylko na wartość oczekiwaną? Jak obie ceny mają się do siebie? p x 1 = E x 1 = π s x 1s = = = 1 p X = p X p X = = (1 + r) Ich relacja określa oczekiwaną stopę zwrotu z aktywu, która stanowi kompensację za ryzyko s

18 Równoważne spojrzenia na równanie wyceny Stochastyczny czynnik dyskontujący p(x) = E(mx) Ceny przestrzeni stanów (Arrow-Debreu) p(x) = pc s x s Miara martyngałowa (equivalent martingale measure, risk-neutral valuation) p(x) = 1 1+r f E Q (x) gdzie π Q s = R f pc s

19 Ceny przestrzeni stanów (AD) Niech S będzie zmienną losową opisującą przyszłe stany natury, a s ich realizacjami Instrument Arrow-Debreu wypłaca 1 jeśli wystąpi stan s i 0 w przeciwnym wypadku. Cena takiego instrumenty to pc(s). Ile kosztuje instrument, który wypłaca x(s)? Zdefiniujmy pc s = m s π(s) 1, wtedy p(x) = π s m s x s = pc s x(s) Cena aktywu jest sumą cen składających się na niego instrumentów A-D. Inżynieria finansowa wydobywa ceny AD z cen rynkowych.

20 Ceny przestrzeni stanów (AD) A gdybyśmy chcieli stworzyć aktywa, które wypłacają 1 w pewnym stanie i 0 w pozostałych? Portfel je opisujący byłby macierzą jednostkową XX 1 = I = Ile by te aktywa kosztowały? p = X q q = X 1 p q = Ceny q są iloczynem prawdopodobieństw każdego ze stanów i przypisywanej mu wagi. p(x) = pc s x s = π s m(s) x s Mając je możemy wycenić dowolny papier

21 Wycena arbitrażowa Ile kosztowałoby aktywo dające poniższe wypłaty? x 6 = Zwrócimy uwagę, że składa się ona z 4 instrumentów A-D dla pierwszego stanu, 1 dla drugiego i 0.5 dla trzeciego. Mając ceny A-D q = przykładamy je do składu dowolnego portfela p(x 6 ) = i otrzymujemy cenę tegoż portfela p(x 6 ) = W jakich warunkach możemy w jednoznaczny sposób uzyskać ceny A-D?

22 Kompletny rynek Rynek jest kompletny jeśli za pomocą odpowiedniego portfela inwestycyjnego można otrzymać dowolną wypłatę we wszystkich stanach Warunek konieczny i wystarczający: rz(m) = S (tzn. J S) X = Jeśli rynek jest kompletny możemy jednoznacznie odtworzyć ceny A-D. Portfel je opisujący byłby macierzą jednostkową XX 1 = I = Jeśli nie jest kompletny, nie można odwrócić macierzy, a równanie opisujące ceny A-D ma wiele rozwiązań (jest nieoznaczone): wiele kombinacji cen A-D daje ceny rynkowe

23 Risk-neutral valuation Zdefiniujmy q s jako: q s = R f m s π s = R f pc s = pc s /E(m) q s spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa: Jest wszędzie dodatnie, mniejsze (równe) 1 i sumuje się do 1 Zapiszmy równanie dla ceny jeszcze raz: p x = pc s x s = 1 q s x s = EQ x R f R f Cena równa się zdyskontowanej wartości oczekiwanej (liczonej wg nowej miary prawdopodobieństwa) Nazywa się ją także ekwiwalentną miarą martyngałową, gdyż deflując ceny ryzykownych aktywów ceną obligacji : p x = E Q x 1 + r f

24 Risk-neutral valuation - intuicja Ceny A-D (EMM) Risk-neutral measure Wypłata Cena = Prawdopodobieństwo Użyteczność, czynnik dyskontujący Źródło: Opracowanie własne 8

25 Model dwumianowy i risk-neutral pricing - przykład? 35.1 U = = ? 35.1 D = = 30 Czy możemy znaleźć takie wartości prawdopodobieństwa dla których cena bieżąca będzie równa zdyskontowanej wartości oczekiwanej przyszłych cen? S 0 = 1 R f E Q X T Te nowe prawdopodobieństwa zawierałyby łączny wpływ obiektywnego prawdopodobieństwa i premii za ryzyka różnych stanów.

26 Model dwumianowy - rozwiązanie Szukamy takich q U, D by: S 0 = 1 R f E Q S T = 1 R f (q U S 0 U + q D S 0 D) Uprościmy zapis q U = q U pamiętając, że q U = 1 q D 35.1 = (qu (1 q U ) ) Dzielimy obie strony przez S 0, mnożymy przez 1 + r f : 1 + r f = q U U + (1 q U ) D q U = 1 + r f D U D = = 0.58 q D = r f D U D = U 1 + r f U D = = 0.42

27 Dwa prawdopodobieństwa zmiana miary Jak te wartości miały się do obiektywnych prawdopodobieństw? q U = 0.58 podczas gdy p U = 0.7 q D = 0.42 podczas gdy p D = 0.3 Dzięki zmianie miary, tak by nowe prawdopodobieństwo uwzględniało zarówno prawdopodobieństwo zajścia, jak i wagę poszczególnych zdarzeń aktywa możemy wyceniać w formie wartości oczekiwanej. E Q X T 1 + r f = E P mx T

28 Model dwumianowy inne spojrzenie Nasz rynek możemy przedstawić jako (wiersze to aktywa, kolumny to wypłaty w poszczególnych stanach): = pc D pc U (Rynek jest kompletny, bo liczba stanów równa się liczbie niezależnych aktywów i można odwrócić macierz portfela) pc D pc U = pc D pc U = Jak ceny AD wiążą się z prawdopodobieństwami R-N? q s = R f pc s q D q U = = pc D pc U R f =

29 Wycena instrumentu pochodnego Chcemy wycenić roczną opcję z kursem wykonania K=35.1 Ile powinna kosztować? S 0 = 35.1 B 0, T = S T = 35.1 U = = 41 B(T) = 1 C T = max S T K, 0 = 5. 9 C 0 (K = 35. 1, T) S T = 35.1 D = = 30 B(T) = 1 C T = max S T K, 0 = 0

30 Wycena risk-neutral (EMM) Każdy instrument możemy wycenić stosując prawdopodobieństwa martyngałowe (risk-neutral): X 0 = 1 R f E Q X T C 0 = 1 R f q U C T (U) + q D C T (D) C 0 = qu q D 0 Jak wcześniej policzyliśmy q U = 0.58 a q D = 0.42 C 0 = = 3.3 Przy okazji: jaka jest oczekiwana stopa zwrotu z opcji E P C T? E P C T /C 0 = = r = 25.2% 3.3

31 Risk-neutral valuation - intuicja Aktywo 1 Aktywo 2 (np. risk-free) P up Q = p up m up S T,U = S t0 U P up Q = p up m up B T,U = 1 S t0 B t0 Q P down = p down m down S T,D = S t0 D Q P down = p down m down B T,D = 1 Prawdopodobieństwo Użyteczność, czynnik dyskontujący Źródło: Opracowanie własne 8

32 Risk-neutral valuation - intuicja Aktywo 1 Aktywo 2 (np. risk-free) P up Q = p up m up S T,U = S t0 U P up Q = p up m up B T,U = 1 S t0 B t0 Q P down = p down m down S T,D = S t0 D Q P down = p down m down B T,D = 1 Zupełny rynek: liczba stanów = liczbie niezależnych instrumentów, można jednoznacznie wyznaczyć ceny A-D i miarę martyngałową. Nasz rynek: dwa stany, dwa instrumenty Dwa równania, dwie niewiadome = jedno rozwiązanie = R f P up Q Q P down 8

33 Model dwumianowy - warunek braku arbitrażu Jeśli zachodzi: 1 + r f = q U U + q D D To spełnione jest również: D < 1 + r f < U A na rynku nie jest możliwy arbitraż.

34 Portfel - definicja Portfel rynkowy h definiujemy jako parę: h = (x, y) gdzie x jest kwotą zainwestowaną w obligację, a y ilość ryzykownego aktywu; x, y (, + ) Przykład: Portfel h=(-50,50): pożyczamy 50 i kupujemy 50 akcji Portfel h=(10,-50): sprzedajemy 50 akcji i składamy depozyt Wartość portfela w czasie t0: V 0 h = x + ys 0 Wartość portfela w czasie T jest zmienną losową zależną od Z: V T h = x(1 + Lr) + ys 0 Z L to operator przenoszący roczną stopę na czas trwania kontraktu

35 Portfel arbitrażowy To portfel rynkowy h(x,y) spełniający trzy warunki: Koszt jego utworzenia wynosi 0: V 0 h = 0 Na pewno nie przyniesie strat: P(V T h 0) = 1 Być może przyniesie zysk: P(V T h > 0) > 0

36 Brak arbitrażu - dowód Konstruujemy portfel ( y S 0 to ilość akcji w portfelu, czyli ich wartość to y) V 0 h( y, y S 0 ) = 0 W terminie zapadalności jego wartość wyniesie: V T h = y (U 1 + r f ) y (D 1 + r f ) w stanie"u" w stanie"d" Jeśli 1 + r f D U V T h = y (U 1 + r f ) 0 y (D 1 + r f ) 0 w stanie"u" w stanie"d" Czyli mamy arbitraż. (jeśli D U 1 + r f konstruujemy odwrotny portfel)

37 Wycena na bazie replikacji-przykład Rozpatrzmy portfel składający się z: Δ jednostek aktywu bazowego S 0 sprzedanego instrumentu pochodnego X T po cenie Π 0 (X T ) (opcji kupna K=35.1) Wartość portfela w terminie zapadalności wynosi: V T h = S 0U φ(s 0 U) S 0 D φ(s 0 D) w stanie"u" w stanie "D" V T h = ቄ 30 0 w stanie"u" w stanie "D" Chcemy by portfel był pozbawiony ryzyka, tj. by jego wartość była taka sama niezależnie od stanu rynku: S 0 U φ(s 0 U) = S 0 D φ(s 0 D) = 30

38 Wycena na bazie replikacji - przykład c.d. Rozwiążmy z uwagi na Δ: = φ(s 0U) φ(s 0 D) S 0 (U D) = = 0.53 Przy ilości Δ zakupionego aktywu bazowego zmiany ceny obydwu składników portfela wzajemnie się znoszą Koszt utworzenia portfela w czasie 0 wynosi: V 0 h = S 0 Π 0 (X T ) Jako pozbawiony ryzyka (bo jego wartość jest taka sama niezależnie od stanu natury w przyszłości) musi dawać dochód równy obligacji B(0,T): 1 + Lr f V 0 h = V T h 1 + Lr f S 0 π X 0 = S 0 U φ(s 0 U) = S 0 D φ(s 0 D)

39 Wycena na bazie replikacji - przykład c.d. Rozwiązujemy równanie z uwagi na Π X 0 : 1 + Lr f S 0 Π 0 (X T ) = S 0 U φ(s 0 U) = S 0 D φ(s 0 D) Π 0 (X T ) = S r f (S 0 U φ(s 0 U)) Używając naszego przykładu liczbowego: Π 0 (X T ) = ( ) = 3.3 czyli tyle samo ile stosując wycenę risk-neutral!

40 Wycena na bazie replikacji - założenia Cenę instrumentu pochodnego Π t (X) powinna być równa kosztowi jego replikacji, dokonywanej w oparciu o aktywa bazowe: Π t X = V t h gdzie h = x, y, x jest kwotą zainwestowaną w obligację, a y ilością ryzykownego aktywu, czyli V 0 h = x + S 0 y Instrument pochodny jest osiągalny jeśli: P(V T h = Π T X ) = 1 Portfel h(x) nazywamy replikującym, a h zabezpieczającym Aby instrument był osiągalny konieczne jest by: V T h = φ(s 0U) φ(s 0 D) w stanie"u" w stanie "D"

41 Wycena na bazie replikacji - założenia Z warunku: V T h = φ(s 0U) φ(s 0 D) w stanie"u" w stanie "D" oraz V T h = 1 + Lr f x + S 0 Zy wynika, że (przyrównujemy wypłat w obydwu stanach (Rów. 1) z wartością portfela (Rów. 2)): 1 + Lr f x + S 0 Uy = φ(s 0 U) 1 + Lr f x + S 0 Dy = φ(s 0 D) Rozwiązując układ równań otrzymujemy: x = 1 Uφ(S 0 D) Dφ(S 0 U) = Lr f (U D) y = φ(s 0U) φ(s 0 D) = = S 0 (U D)

42 Wycena na bazie replikacji inne spojrzenie Nasz rynek możemy przedstawić jako: = pc D pc U Gdzie wiersze odpowiadają poszczególnym aktywów, a kolumny stanom. Zapisujemy każdy aktyw jak zbiór instrumentów AD Jeśli mamy sprzedać obligacji za 15.1, to ile ich mamy sprzedać? = Tworzymy portfel przy kupując i sprzedając odpowiednie ilości x i y: = = 3.3

43 Replikacja a risk-neutral Jak jest relacja pomiędzy dwiema metodami? Zacznijmy od replikacji: Π 0 X = x + S 0 y = 1 Uφ(S 0 D) Dφ(S 0 U) φ(s 0 U) φ(s 0 D) + S 1 + Lr f (U D) 0 S 0 (U D) Mnożymy drugi wyraz przez 1 + Lr f i porządkujemy zmienne φ(s 0 D): = Lr f D φ(s 1 + Lr f U D 0 U) + U 1 + Lr f U D φ(s 0 D) = Lr f q U φ(s 0 U) + q D φ(s 0 D) = Lr f E Q (φ(s T )) = 1 R f E Q X T

44 Dwa spojrzenia Przy założeniu kompletności rynku inżynieria finansowa sprowadza się do: Wydobywania z cen aktywów na rynku cen AD i używaniu ich do wyceny dowolnego instrumentu, którego wypłaty w różnych stanach możemy określić (risk-neutral valuation) lub do tworzenia portfela, którego skład (pod względem instrumentów AD) dokładnie odzwierciedla skład replikowanego instrumentu (replikacja) Koncepcyjnie wydają się różne, ale (przy założeniu zupełnego rynku) dają ten sam rezultat.

45 Wycena martyngałowa Co musimy znać, by wyznaczyć miarę martyngałową? Cenę bieżącą i cenę (wypłatę) w przyszłych stanach. Innymi słowy musimy znać charakterystykę procesu, który opisuje zmiany ceny. Jeśli przyjmiemy złe założenia co do powyższego procesu, to wycena będzie niepoprawna i może prowadzić do arbitrażu. Czego nie musimy znać? Prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych stanów.

Moduł 1: Opcje wprowadzenie i przypomnienie

Moduł 1: Opcje wprowadzenie i przypomnienie Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Styczeń 2018 Materiał e-learningowy w formie 2 modułów z dodatkowym zestawem pytań dotyczącym całego wykładu, mającym stanowić

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 5. Opcje

Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Piotr Bańbuła atedra Ekonomii Ilościowej, AE wiecień 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Amounts outstanding of assets and derivatives Derivatives Derivatives Note:

Bardziej szczegółowo

Zatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. j=1

Zatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. j=1 Model Rynku z czasem dyskretnym n = 0,1,2, S 1 (n), S 2,, S m (n) - czas - ceny m aktywów obciążanych ryzykiem (akcji) w momencie : dodatnie zmienne losowe. - cena aktywa wolnego od ryzyka (obligacji)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 1. Wprowadzenie: zasady wyceny, spekulacja, arbitraż

Inżynieria Finansowa: 1. Wprowadzenie: zasady wyceny, spekulacja, arbitraż Inżynieria Finansowa: 1. Wprowadzenie: zasady wyceny, spekulacja, arbitraż Piotr Bańbuła pbanbu@sgh.waw.pl Katedra Rynków i Instytucji Finansowych, KES 5 marca 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Opcje - wprowadzenie. Mała powtórka: instrumenty liniowe. Anna Chmielewska, SGH,

Opcje - wprowadzenie. Mała powtórka: instrumenty liniowe. Anna Chmielewska, SGH, Opcje - wprowadzenie Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony wcześniej kurs terminowy. W dniu rozliczenia transakcji terminowej forward:

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 5. Opcje

Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Piotr Bańbuła atedra Ekonomii Ilościowej, AE Listopad 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Opcje - typy Opcja jest asymetrycznym instrumentem. Opcja (standardowa, prosta,

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 2. Ceny terminowe i prosta replikacja

Inżynieria Finansowa: 2. Ceny terminowe i prosta replikacja Inżynieria Finansowa: 2. Ceny terminowe i prosta replikacja Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Marzec 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zadanie z ostatniego wykładu: ustal cenę terminową

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Opcje (2) delta hedging strategie opcyjne

Opcje (2) delta hedging strategie opcyjne Opcje (2) delta hedging strategie opcyjne 1 Co robi market-maker wystawiający opcje? Najchętniej zawiera transakcję przeciwstawną. Ale jeśli nie może, to ją replikuje. Dealer wystawił opcję call, więc

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE RYNKI FINANSOWE OPCJE Wymagania dotyczące opcji Standard opcji Interpretacja nazw Sposoby ustalania ostatecznej ceny rozliczeniowej dla opcji na GPW OPCJE - definicja Kontrakt finansowy, w którym kupujący

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym. Opcje Strategie opcyjne

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym. Opcje Strategie opcyjne Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Opcje Strategie opcyjne 1 Współczynniki greckie Współczynniki greckie określają o ile zmieni się kurs opcji w wyniku zmiany wartości poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty poniesione

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 1. Wprowadzenie: zasady wyceny, spekulacja, arbitraż

Inżynieria Finansowa: 1. Wprowadzenie: zasady wyceny, spekulacja, arbitraż Inżynieria Finansowa: 1. Wprowadzenie: zasady wyceny, spekulacja, arbitraż Piotr Bańbuła pbanbu@sgh.waw.pl Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Październik 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zajęcia

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 2. Ceny terminowe i prosta replikacja

Inżynieria Finansowa: 2. Ceny terminowe i prosta replikacja Inżynieria Finansowa: 2. Ceny terminowe i prosta replikacja Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Październik 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zadanie z ostatniego wykładu: ustal cenę

Bardziej szczegółowo

Artykuł przedstawia w zarysie problematykę inŝynierii finansowej, wyjaśniając podstawowe pojęcia, takie jak:

Artykuł przedstawia w zarysie problematykę inŝynierii finansowej, wyjaśniając podstawowe pojęcia, takie jak: InŜynieria finansowa Prof. Leszek S. Zaremba Autor jest wykładowcą w POU WyŜsza Szkoła Zarządzania / Polish Open University wprowadza do programu nauczania wykład poświęcony inŝynierii finansowej, przeznaczony

Bardziej szczegółowo

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Opcje. istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii).

Opcje. istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). 1 Mała powtórka: instrumenty liniowe Takie, w których funkcja wypłaty jest liniowa (np. forward, futures,

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 4. FRA i IRS

Inżynieria Finansowa: 4. FRA i IRS Inżynieria Finansowa: 4. FRA i IRS Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Marzec 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zakup syntetycznej obligacji +1 mln PLN: emisja obligacji/krótka sprzedaż/pożyczka

Bardziej szczegółowo

r u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ.

r u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ. Wprowadzenie Mamy ustalone T > 0 horyzont, (Ω, F, P) z F filtracja, F = {F t } t [0,T ] oraz Proces chwilowej stopy procentowej r = (r t ) t [0,T ], tzn. rachunek bankowy spełnia ODE: db t = B t r t dt,

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Rozwiązania zadań Wersja z dnia 1 marca 2005, z drobnymi poprawkami

Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Rozwiązania zadań Wersja z dnia 1 marca 2005, z drobnymi poprawkami Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia 2005 Rozwiązania zadań Wersja z dnia marca 2005, z drobnymi poprawkami Uwaga: Dla uproszczenia we wszelkich obliczeniach przyjęliśmy, że długość n-miesięcznego

Bardziej szczegółowo

Pożyczki papierów i krótka sprzedaż w działalności inwestycyjnej

Pożyczki papierów i krótka sprzedaż w działalności inwestycyjnej Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. Pożyczki papierów i krótka sprzedaż w działalności inwestycyjnej Krzysztof Mejszutowicz Dział Instrumentów Finansowych Dlaczego krótka sprzedaż jest niezbędna

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Strategie inwestycyjne na rynku kapitałowym Inwestowanie na rynku dr Piotr Stobiecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 13 października 2011 r. PLAN WYKŁADU I. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia. Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.

Bardziej szczegółowo

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy Część I Czas dyskretny Kursy otwarcia czy zamknięcia pojawiaja się w kolejnych ustalonych momentach czasu. Jeśli pominiemy dni wolne od handlu otrzymamy ciag kolejnych momentów pojawiania się notowań (0,

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. RozwaŜmy

Bardziej szczegółowo

7.2. Rozwiąż problem z zadania 7.1 stosując Twierdzenie 7.16.

7.2. Rozwiąż problem z zadania 7.1 stosując Twierdzenie 7.16. Rozdział 7 Funkcje użyteczności 7 Rozważ model dwumianowy z cenami akcji S0 R { S S = U = S0 + U z prawdopodobieństwem p S D = S0 + D z prawdopodobieństwem p oraz walorem wolnym od ryzyka A0 = A = + r

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy

Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy Piotr Bańbuła Katedra Rynków i Instytucji Finansowych, KES Październik 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zakup syntetycznej obligacji +1 mln PLN: emisja obligacji/krótka

Bardziej szczegółowo

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Wybór Międzyokresowy

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Wybór Międzyokresowy 2010 W. W. Norton & Company, Inc. Wybór Międzyokresowy Wybór Międzyokresowy Dochód często jest otrzymywany w stałych kwotach, np. miesięczna pensja. Jaki jest podział dochodu na kolejne miesiące? (oszczędności

Bardziej szczegółowo

Opcje giełdowe. Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu

Opcje giełdowe. Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu Opcje giełdowe Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu NAJWAŻNIEJSZE CECHY OPCJI Instrument pochodny (kontrakt opcyjny), Asymetryczny profil wypłaty, Możliwość budowania portfeli o różnych profilach

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

STOPA DYSKONTOWA 1+ =

STOPA DYSKONTOWA 1+ = Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowujące do egzaminu z wykładu Inżynieria Finansowa

Zadania przygotowujące do egzaminu z wykładu Inżynieria Finansowa Zadania przygotowujące do egzaminu z wykładu Inżynieria Finansowa Rozpisywanie przepływów gotówkowych, zabezpieczanie, spekulacja: 1. Za 9 miesięcy musisz zapłacić za wycieczkę 1500 EUR. Posiadasz konto

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy

Bardziej szczegółowo

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu .5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe

Bardziej szczegółowo

1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu

1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu Przykład 1 Przedsiębiorca będący importerem podpisał kontrakt na zakup materiałów (surowców) o wartości 1 000 000 euro z datą płatności za 3 miesiące. Bieżący kurs 3,7750. Pozostałe koszty produkcji (wynagrodzenia,

Bardziej szczegółowo

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU SEZAM IX FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO AKTYWÓW NIEPUBLICZNYCH Z DNIA 16 STYCZNIA 2014 R.

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU SEZAM IX FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO AKTYWÓW NIEPUBLICZNYCH Z DNIA 16 STYCZNIA 2014 R. OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU SEZAM IX FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO AKTYWÓW NIEPUBLICZNYCH Z DNIA 16 STYCZNIA 2014 R. Niniejszym, SKARBIEC Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A., na podstawie art.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia przygotowujące do egzaminu z wykładu Inżynieria Finansowa w semestrze zimowym 2013/2014

Zagadnienia przygotowujące do egzaminu z wykładu Inżynieria Finansowa w semestrze zimowym 2013/2014 Zagadnienia przygotowujące do egzaminu z wykładu Inżynieria Finansowa w semestrze zimowym 2013/2014 Jakie warunki musi spełniać strategia inwestycyjna, by z teoretycznego punktu widzenia móc nazwać ją

Bardziej szczegółowo

10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures

10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures 10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty

Bardziej szczegółowo

- w art. 8 ust. 3 Statutu otrzymuje nowe, następujące brzmienie:

- w art. 8 ust. 3 Statutu otrzymuje nowe, następujące brzmienie: KBC Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. działające, jako organ KBC Alfa Specjalistycznego Funduszu Inwestycyjnego Otwartego, uprzejmie informuje o dokonaniu zmian statutu dotyczących polityki inwestycyjnej

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Teoria opcji 2018/19. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański. (IM UG) Teoria opcji 1 / 49

Teoria opcji 2018/19. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański. (IM UG) Teoria opcji 1 / 49 Teoria opcji Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański 2018/19 (IM UG) Teoria opcji 1 / 49 Sprawy organizacyjne Kontakt i strona E-mail: mwrzosek@mat.ug.edu.pl Konsultacje: środa, 12 14, p.323 Materiały:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Z/S Premia (P) np. 100 Kurs wykonania opcji (X) np. 2500 Punkt opłacalności X + P 2500+100=2600 WIG20 2 Kupno opcji Profil wypłaty dla

Bardziej szczegółowo

STOPA ZWROTU NIEUBEZPIECZONY PARYTET STÓP PROCENTOWYCH

STOPA ZWROTU NIEUBEZPIECZONY PARYTET STÓP PROCENTOWYCH STOPA ZWROTU 1 Stopy zwrotu z aktywów denominowanych w złotówkach i walucie zagranicznej mówią nam jak ich wartości zmieniają się w ciągu pewnego okresu czasu. Inną informacją, której potrzebujemy by móc

Bardziej szczegółowo

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU MCI.BioVentures Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego z dnia 31 lipca 2013 r.

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU MCI.BioVentures Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego z dnia 31 lipca 2013 r. OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU MCI.BioVentures Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego z dnia 31 lipca 2013 r. Niniejszym, MCI Capital Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. z siedzibą w Warszawie, ogłasza

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 Rynek akcji nisza inwestorów indywidualnych Rynek akcji Jeden z filarów rynku kapitałowego (ok 24% wartości i ok 90% PK globalnie) Źródło: http://www.marketwatch.com (dn. 2015-02-12) SGH, Rynki

Bardziej szczegółowo

OGŁOSZENIE Z DNIA 05 lipca 2016 r. O ZMIANIE STATUTU UNIFUNDUSZE SPECJALISTYCZNEGO FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO OTWARTEGO

OGŁOSZENIE Z DNIA 05 lipca 2016 r. O ZMIANIE STATUTU UNIFUNDUSZE SPECJALISTYCZNEGO FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO OTWARTEGO OGŁOSZENIE Z DNIA 05 lipca 2016 r. O ZMIANIE STATUTU UNIFUNDUSZE SPECJALISTYCZNEGO FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO OTWARTEGO Niniejszym, Union Investment Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. ogłasza o zmianie

Bardziej szczegółowo

Wersja 1.1 16.10.2013r.

Wersja 1.1 16.10.2013r. Metodologia SPAN Obliczenia depozytów dla portfeli kontraktów terminowych na stawki referencyjne WIBOR i kontraktów terminowych na obligacje skarbowe z rozliczeniem pieniężnym Wersja 1.1 16.10.2013r. Spis

Bardziej szczegółowo

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,

Bardziej szczegółowo

Załącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje DODATKOWE UBEZPIECZENIE Z FUNDUSZEM W RAMACH:

Załącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje DODATKOWE UBEZPIECZENIE Z FUNDUSZEM W RAMACH: Załącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje DODATKOWE UBEZPIECZENIE Z FUNDUSZEM W RAMACH: GRUPOWEGO UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE WARTA EKSTRABIZNES GRUPOWEGO UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE WARTA EKSTRABIZNES

Bardziej szczegółowo

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165 behawioralne Plan wykładu klasyczne a behawioralne Kiedy są przydatne narzędzia finansów behawioralnych? Przykłady modeli finansów behawioralnych klasyczne a behawioralne klasyczne opierają się dwóch założeniach:

Bardziej szczegółowo

O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH

O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych

Bardziej szczegółowo

TRANSAKCJE KASOWE. Sekcja I (produkty inwestycyjne)

TRANSAKCJE KASOWE. Sekcja I (produkty inwestycyjne) Kwestionariusz oceny odpowiedniości w odniesieniu do transakcji skarbowych Zgodnie z Dyrektywą MIFID, Alior Bank SA, świadcząc usługi nabywania i zbywania instrumentów finansowych na własny rachunek, jest

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy. Młody inwestor na giełdzie Strategie inwestycyjne Grzegorz Kowerda EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy. Młody inwestor na giełdzie Strategie inwestycyjne Grzegorz Kowerda EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Młody inwestor na giełdzie Strategie inwestycyjne Grzegorz Kowerda Uniwersytet w Białymstoku 8 maja 2014 r. Początki giełdy przodek współczesnych giełd to rynek (jarmark,

Bardziej szczegółowo

Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Analiza Portfela współczynnik Beta (β) Opcje giełdowe wprowadzenie Podstawowe strategie opcyjne Strategia Protective

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko Jajuga Krzysztof, Jajuga Teresa SPIS TREŚCI Przedmowa Wprowadzenie - badania w zakresie inwestycji i finansów Literatura Rozdział 1. Rynki i instrumenty finansowe

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

II ETAP EGZAMINU EGZAMIN PISEMNY

II ETAP EGZAMINU EGZAMIN PISEMNY II ETAP EGZAMINU NA DORADCĘ INWESTYCYJNEGO EGZAMIN PISEMNY 20 maja 2012 r. Warszawa Treść i koncepcja pytań zawartych w teście są przedmiotem praw autorskich i nie mogą być publikowane lub w inny sposób

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie portfelem inwestycyjnym

Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Dr hab. Renata Karkowska Strategie opcyjne Opcje egzotyczne 2 Współczynniki greckie Współczynniki greckie określają, o ile zmieni się kurs opcji w wyniku zmiany wartości

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

OGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój

OGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój Warszawa, 31 lipca 2013 r. OGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój Niniejszym Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych AGRO Spółka Akcyjna z siedzibą w Warszawie ogłasza poniższe zmiany statutu

Bardziej szczegółowo

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014

Bardziej szczegółowo

Ryzyko stopy procentowej

Ryzyko stopy procentowej Ryzyko stopy procentowej Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 37 1. Ryzyko inwestowania w obligacje inwestycja w obligacje jest obarczona ryzykiem trzy podstawowe rodzaje ryzyka związane z inwestowaniem

Bardziej szczegółowo

9 Funkcje Użyteczności

9 Funkcje Użyteczności 9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 Model wyceny aktywów kapitałowych Najczęściej stosowana metoda zakłada wykorzystanie danych historycznych do wskazania korelacji między stopa zwrotu z danej inwestycji a portfelem rynkowym.

Bardziej szczegółowo

Marcin Bartkowiak Krzysztof Echaust INSTRUMENTY POCHODNE WPROWADZENIE DO INŻYNIERII FINANSOWEJ

Marcin Bartkowiak Krzysztof Echaust INSTRUMENTY POCHODNE WPROWADZENIE DO INŻYNIERII FINANSOWEJ Marcin Bartkowiak Krzysztof Echaust INSTRUMENTY POCHODNE WPROWADZENIE DO INŻYNIERII FINANSOWEJ Spis treści Przedmowa... 7 1. Rynek instrumentów pochodnych... 9 1.1. Instrumenty pochodne... 9 1.2. Rynek

Bardziej szczegółowo

1. Charakterystyka obligacji. 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji.

1. Charakterystyka obligacji. 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji. mgr Maciej Jagódka 1. Charakterystyka obligacji 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji. Wierzycielski papier wartościowy, w którym emitent obligacji jest dłużnikiem posiadacza

Bardziej szczegółowo

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Strategie inwestowania w opcje Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Opcje giełdowe Zabezpieczenie portfela Spekulacja Strategie opcyjne 2 Opcje giełdowe 3 Co to jest opcja? OPCJA JAK POLISA Zabezpieczenie

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Ekonomii, Zarządzania i Turystyki Katedra Ekonometrii i Informatyki

Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Ekonomii, Zarządzania i Turystyki Katedra Ekonometrii i Informatyki Wydział Ekonomii, Zarządzania i Turystyki Katedra Ekonometrii i Informatyki http://keii.ue.wroc.pl Analiza ryzyka transakcji wykład ćwiczenia Literatura Literatura podstawowa: 1. Kaczmarek T. (2005), Ryzyko

Bardziej szczegółowo

dr hab. Renata Karkowska

dr hab. Renata Karkowska dr hab. Renata Karkowska Rodzaje i źródła ryzyka stopy procentowej: Ryzyko niedopasowania terminów przeszacowania, np. 6M kredyt o stałym oprocentowaniu finansowany miesięcznymi lokatami o zmiennym oprocentowaniu.

Bardziej szczegółowo

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 1 TROCHĘ HISTORII 1973 Fisher Black i Myron Scholes opracowują precyzyjną metodę obliczania wartości opcji słynny MODEL BLACK/SCHOLES 2 TROCHĘ HISTORII 26 kwietnia 1973

Bardziej szczegółowo

8. Papiery wartościowe: obligacje

8. Papiery wartościowe: obligacje 8. Papiery wartościowe: obligacje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Najchętniej odwraca pozycję. Ale jeśli nie może, to replikuje transakcję przeciwstawną. strategie opcyjne

Najchętniej odwraca pozycję. Ale jeśli nie może, to replikuje transakcję przeciwstawną. strategie opcyjne Opcje (2) delta hedging strategie opcyjne 1 Co robi market-maker maker wystawiający opcje? Najchętniej odwraca pozycję Ale jeśli nie może, to replikuje transakcję przeciwstawną SGH, Rynki Finansowe, Materiały

Bardziej szczegółowo

UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE

UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo