Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1
Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie losowe, zdarzenie losowe, zdarzenie elementarne, przestrzeń zdarzeń elementarnych. Doświadczeniem losowym nazywamy proces przyrodniczy lub zaplanowane doświadczenie, odbywające się w określonych warunkach, którego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć. Zdarzeniem losowym nazywamy każdy możliwy wynik doświadczenia losowego, wyróżniony ze względu na pewien specyficzny warunek. 2
Przykład 1 Rzut kostką sześcienną do gry jest doświadczeniem losowym. Z góry nie znamy wyniku, może wypaść jedno, dwa, lub sześć oczek na górnej ściance. Każdy z sześciu możliwych wyników jest zdarzeniem losowym. Przykład 2 Urząd gminy w pewnej miejscowości Z zatrudnia osoby w wieku od 19 do 62 lat. W kartotece dokonano pogrupowania zatrudnionych osób według płci i wieku. Uwzględniono trzy grupy wiekowe: grupa I -do 30 lat, grupa II -od 30 do 50 lat, grupa III -powyżej 50 lat. Doświadczeniem losowym jest określenie płci i grupy wiekowej, w jakiej znajdzie się pracownik wybrany losowo z kartoteki. Możemy np. wylosować kobietę z III grupy wiekowej. Wyniku doświadczenia nie możemy przewidzieć. Zdarzeniem losowym jest np. wybranie osoby płci męskiej. 3
Zdarzenie elementarne jest to zdarzenie losowe, które nie rozkłada się na prostsze zdarzenia. Zdarzeniem elementarnym jest każdy z możliwych wyników doświadczenia losowego, np. wyrzucenie sześciu oczek przy rzucie kostką do gry, wylosowanie sprawnego komputera. Zdarzenia elementarne oznaczać będziemy ϖi. (omega) Przestrzenią zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych i oznaczamy (omega)ω = {ϖ1, ϖ2,..., ϖn}. 4
Wykorzystując powyższe pojęcia można określić zdarzenie losowe jako dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych, zawierający zdarzenia elementarne wyróżnione ze względu na pewien specyficzny warunek. Zdarzenia losowe oznaczamy A, B, C, itd. Jeżeli ϖi A, to mówimy, że zdarzenie elementarne ϖisprzyja zdarzeniu A. Często używa się określenia zdarzenie losowe A zachodzi. Ponieważ w teorii prawdopodobieństwa interesują nas wyłącznie doświadczenia losowe i zdarzenia losowe, będziemy często opuszczali słowo losowe. 5
Przykład 3 W przykładzie 1 zbiór Ω składa się z sześciu zdarzeń elementarnych; ϖ1 - wyrzucenie jednego oczka, ϖ2 -wyrzucenie dwóch oczek,..., ϖ6 -wyrzucenie sześciu oczek. Niech zdarzeniem losowym A będzie wyrzucenie parzystej liczby oczek. Składa się ono z trzech zdarzeń elementarnych: A = {ϖ2, ϖ4, ϖ6}, co symbolicznie możemy zapisać: A = {2, 4, 6}. Przykład 4 W przykładzie 2 mamy następujące zdarzenia elementarne: ϖ1 -mężczyzna z I grupy wiekowej, ϖ2 -mężczyzna z II grupy wiekowej, ϖ3 -mężczyzna z III grupy wiekowej, ϖ4 -kobieta z I grupy wiekowej, ϖ5 -kobieta z II grupy wiekowej, ϖ6 -kobieta z III grupy wiekowej. Rozważmy zdarzenia: A -z kartoteki wybrano kobietę i B -z kartoteki wybrano osobę w wieku powyżej 30 lat. Zdarzeniom A i B sprzyjają zdarzenia elementarne: A = {ϖ4, ϖ5, ϖ6} i B = {ϖ2, ϖ3, ϖ5, ϖ6}. 6
Zdarzeniem pewnym nazywamy zdarzenie, o którym wiadomo, że w określonym doświadczeniu losowym musi zajść, np. w rzucie kostką do gry wyrzucenie 1, 2,..., 6 oczek jest zdarzeniem pewnym. Zdarzenie pewne pokrywa się więc ze zbiorem zdarzeń elementarnych Ω. 7
Zdarzeniem niemożliwym nazywamy zdarzenie, o którym wiemy, że w określonym doświadczeniu losowym nie zajdzie. Zdarzenie niemożliwe nie zawiera żadnych zdarzeń elementarnych. Odpowiada mu zbiór pusty. 8
Sumę ( alternatywę ) zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A B. Jest to zdarzenie, które zachodzi wtedy, gdy zajdzie zdarzenie A lub zdarzenie B, albo oba te zdarzenia. Suma zdarzeń A B składa się ze wszystkich zdarzeń elementarnych wchodzących w skład A i ze wszystkich zdarzeń elementarnych wchodzących w skład B. 9
Sumę ( alternatywę ) zdarzeń A i B 10
Przykład 5 Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu jednego oczka w rzucie kostką do gry, B zdarzenie polegające na wyrzuceniu sześciu oczek na kostce, Suma zdarzeń A i B (A B) oznacza zdarzenie polegające na tym, że w rzucie kostką do gry wypadnie jedno lub sześć oczek. 11
Iloczyn (koniunkcja) zdarzeń A i B jest to zdarzenie, które zachodzi wówczas, gdy zachodzi zdarzenie A i jednocześnie zachodzi zdarzenie B. Iloczyn A i B oznaczamy A B. 12
Przykład 6 Niech D będzie iloczynem zdarzeń A i B określonych w przykładzie 4. D jest zdarzeniem polegającym na tym, że wybrany z kartoteki pracownik jest kobietą w wieku powyżej 30 lat. A zatem zdarzeniu D sprzyjają zdarzenia elementarne ϖ5, ϖ6 : D = {ϖ5, ϖ6}. 13
Różnica zdarzeń A i B jest to zdarzenie, które zachodzi wówczas, gdy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B. Różnicę zdarzeń A i B oznaczamy A B. 14
Przykład 7 Niech E będzie różnicą zdarzeń A i B określonych w przykładzie 4. E jest zdarzeniem polegającym na tym, że wybrany z kartoteki pracownik jest kobietą w wieku nie przekraczającym 30 lat. A zatem zdarzeniu E sprzyja tylko jedno zdarzenie elementarne ϖ4 : E = {ϖ4}. 15
Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A (dopełnienie zdarzenia A) jest to zdarzenie, które zachodzi wtedy, gdy nie zachodzi A. Oznaczamy je A = Ω A. Wynika z tego, że: A A = Ω oraz A A =. 16
Przykład 8 Rzucamy kostką do gry. Niech zdarzeniem A będzie wyrzucenie nieparzystej liczby oczek, zdarzeniem B wyrzucenie trzech oczek. Wtedy zdarzenie A i B, polegające na tym, że wyrzucono nieparzystą liczbę oczek i jednocześnie trzy oczka jest po prostu rzutem trzech oczek. Natomiast zdarzeniem A, przeciwnym do A, jest wyrzucenie parzystej liczby oczek. 17
Definicja i własności prawdopodobieństwa 18
Istnieje kilka definicji prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. Podamy dwie z nich: tzw. definicję klasyczną, sformułowaną przez francuskiego matematyka, astronoma i fizyka Pierre a Simona de Laplace'a (1749-1827), oraz definicję aksjomatyczną, której autorem jest wybitny matematyk Andriej Nikołajewicz Kołmogorow (1903-1987), uważany za twórcę aksjomatyki prawdopodobieństwa. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa -jeśli zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym, złożonym z N jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest liczbą określoną wzorem: P(A) = n/n gdzie n oznacza liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A (składających się na A). 19
Przykład 9 W rzucie kostką do gry jest sześć zdarzeń elementarnych. Wypadnięciu nieparzystej liczby oczek (A) sprzyjają trzy zdarzenia elementarne {(1),(3),(5)}, stąd: P(A) = 3/6 20
Gdy zbiór Ω jest nieskończenie liczny lub gdy zdarzenia elementarne nie są jednakowo możliwe, korzystamy z ogólniejszej, aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa. A.N. Kołmogorow sformułował trzy aksjomaty zastępując formalną definicję prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. 21
Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa: Każdemu zdarzeniu losowemu A zawartemu w Ω przyporządkowana jest jednoznacznie liczba P(A), zwana prawdopodobieństwem realizacji tego zdarzenia, taka że: 1. 0 P(A) 1 2. P(Ω) = 1 (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równe jest 1) 3. gdy zdarzenia A i B wykluczają się, tzn. A B =, wówczas: P(A B) = P(A)+ P(B) 22
Aksjomat 3 można uogólnić: Jeśli zdarzenia A1, A2, A3,..., An, An+1,... tworzą ciąg (skończony lub nieskończony) zdarzeń losowych parami się wykluczających, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw, tzn.: P(A1 A2... An An+1...) = P(A1) + P(A2) +... + P(An ) + P(An+1) +... 23
Z definicji aksjomatycznej prawdopodobieństwa wynikają następujące własności prawdopodobieństwa: 1. P( ) = 0, gdzie jest symbolem zdarzenia niemożliwego, 2. P(A ) = 1 P(A), 3. 0 P(A) 1, 4. gdy A B, to P(A) < P(B), 5. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) dla dowolnych zdarzeń A i B. 24
Przykład 10 Analizujemy dzienne obroty pewnego supermarketu S. Dotychczasowe obserwacje pozwalają przyjąć, że maksymalne dzienne obroty wynoszą 50 tys. zł. Określmy zdarzenia: a) A -zdarzenie polegające na tym, że dzienne obroty przyjmą wartość z przedziału <20 tys. zł, 35 tys. zł>, przy czym P(A) = 0,5, b) B -zdarzenie polegające na tym, że dzienne obroty przyjmą wartość z przedziału <30 tys. zł, 50 tys. zł>, przy czym P(B) = 0,7, c) suma A B jest zdarzeniem polegającym na tym, że dzienne obroty przyjmą wartość z przedziału <20 tys. zł, 50 tys. zł>, przy czym P(A B) = 0,8. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) obroty osiągną wartość mniejszą od 20 tys. zł lub większą od 35 tys. zł, b) obroty będą niższe niż 30 tys. zł, c) obroty przyjmą wartość z przedziału <30 tys. zł, 35 tys. zł>. 25
Rozwiązanie przykładu: a) interesujące nas zdarzenie jest zdarzeniem A -przeciwnym do zdarzenia A. Otrzymujemy więc: P(A ) = 1 P(A) = 1 0,5 = 0,5. A zatem prawdopodobieństwo tego, że obroty magazynu będą niższe niż 20 tys. zł lub wyższe niż 35 tys. zł wynosi 0,5. b) omawiane tu zdarzenie jest zdarzeniem przeciwnym do B, więc: P(B ) = 1 P(B) = 1 0,7 = 0,3. c) rozważane w tym punkcie zdarzenie jest iloczynem zdarzeń A i B. Najłatwiej to widać, gdy przedstawimy dane dotyczące obrotów na osi liczbowej. Przekształcając własność prawdopodobieństwa dotyczącą prawdopodobieństwa sumy dwóch zdarzeń (własność e) otrzymujemy: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), P(A B) = 0,5 + 0,7-0,8 = 0,4. Tak więc szukane prawdopodobieństwo wynosi 0,4. 26
Zdarzenia niezależne, prawdopodobieństwo warunkowe 27
Dany jest ciąg kilku doświadczeń losowych. O doświadczeniach tych mówimy, że są próbami niezależnymi, gdy wynik każdego z nich nie zależy od wyników pozostałych doświadczeń. Zdarzenia A i B są niezależne, gdy: P(A B) = P(A) P(B). 28
Przykład 11 Rzucamy dwa razy kostką do gry. Zdarzenie A polega na wyrzuceniu w obu rzutach parzystej liczby oczek, a zdarzenie B polega na wyrzuceniu sześciu oczek przynajmniej na jednej kostce. Sprawdzić, czy zdarzenia A i B są niezależne. Rozwiązanie przykładu: W celu sprawdzenia niezależności zdarzeń A i B sprawdzimy, czy spełniona jest równość P(A B) = P(A) P(B). Zdarzeniom A i B sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}, B = {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}, natomiast A B = {(2,6), (4,6), (6,6), (6,2), (6,4)}. Przestrzeń zdarzeń elementarnych przy rzucie dwa razy kostką zawiera 6 2 = 36 zdarzeń elementarnych, tak więc: P(A) = 9/36 P(B) = 11/36 P(A B) = 5/36 Widzimy więc, że P(A B) P(A) P(B), a to oznacza, że zdarzenia są zależne. 29
Przykład 12 Zorganizowano dwie loterie fantowe. Prawdopodobieństwo wygrania na pierwszej loterii wynosi 0,6, a na drugiej 0,75. Obliczyć prawdopodobieństwo wygrania na obu loteriach, jeżeli zakupiono po jednym losie na każdej z nich. Rozwiązanie przykładu: Oznaczmy: A -zdarzenie polegające na wygraniu na pierwszej loterii, B zdarzenie polegające na wygraniu na drugiej loterii, C -zdarzenie polegające na wygraniu na obu loteriach. Zdarzenia A i B są niezależne, przy czym C = A B. Tak więc prawdopodobieństwo wygrania na obu loteriach wynosi: P (C) = P(A) P(B) = 0,6 0,75 = 0,45. 30
Przykład 13 Pewien sklep może podpisać umowę dostawy towarów handlowych niezależnie z dwoma dostawcami D1 i D2. Prawdopodobieństwo podpisania umowy z dostawcą D1 wynosi 0,7, natomiast z dostawcą D2 wynosi 0,3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pierwsza dostawa będzie pochodzić: a) tylko od dostawcy D1, b) tylko od jednego dostawcy, c) od obydwu dostawców. Rozwiązanie przykładu: Wprowadźmy oznaczenia dla zdarzeń: A -dostawa pochodzi od dostawcy D1, przy czym P(A) = 0,7, B -dostawa pochodzi od dostawcy D2, przy czym P(B) = 0,3. a) niech zdarzenie C polega na tym, że pierwsza dostawa będzie pochodzić tylko od pierwszego dostawcy D1. C jest iloczynem zdarzeń A i B (zdarzenia przeciwnego do B). Ponieważ A i B są zdarzeniami niezależnymi, więc otrzymujemy: P(A B ) = P(A) P(B ) = P(A) ( 1 P(B)) = 0,7 (1 0,3) = 0,49. 31
b) jeśli dostawa ma pochodzić tylko od jednego dostawcy, oznacza to, że ma pochodzić tylko od dostawcy D1 lub tylko od dostawcy D2. Oznaczmy przez E interesujące nas zdarzenie. Wówczas E = (A B ) (A B). Ponieważ zdarzenia A B oraz A B są rozłączne, więc mamy: P(E) = P(A B ) + P(A B). Zdarzenia A i B są niezależne, podobnie niezależne są zdarzeniaa i B. Tak więc poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi: P(E) = P(A) P(B ) + P(A ) P(B) = 0,7 0,7 + 0,3 0,3 = 0,58. c) dostarczenie do sklepu dostawy od obydwu dostawców oznacza, że sklep podpisze umowę dostawy z dostawcą D1 i z dostawcą D2. Interesujące nas zdarzenie (zdarzenie F) jest równoważne iloczynowi zdarzeń A i B: F = A B. Z niezależności zdarzeń A i B mamy więc: P(F) = P(A) P(B) = 0,7 0,3 = 0,21. 32
Wzór P(A B) = P(A) P(B) o iloczynie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych można uogólnić na większą liczbę zdarzeń (n zdarzeń), wprowadzając pojęcie niezależności zespołowej (grupowej). Zdarzenia A1, A2,..., Ansą niezależne zespołowo, gdy dla dowolnej kombinacji m różnych zdarzeń spośród nich: P(Ai1 Ai2... Aim) = P(Ai1) P(Ai2)... P(Aim) (4,3) gdzie m n. Uwaga: Niezależność zespołowa zdarzeń pociąga za sobą niezależność parami (dowolnych dwóch z nich, różnych zdarzeń), np.: jeśli zdarzenia A1, A2 i A3 są niezależne zespołowo, to wówczas niezależne są zdarzenia: A1 i A2, A1 i A3 oraz A1 i A3. Należy jednak podkreślić, że nie jest na odwrót. Z niezależności zdarzeń parami nie wynika ich niezależność zespołowa. Może się zdarzyć, ze zdarzenia są niezależne parami, lecz nie są niezależne zespołowo. 33
Przykład 14 W firmie spożywczej pewien wyrób zapakowano w 3 paczki, po 10 sztuk wyrobu w jednej paczce. W pierwszej paczce są 2 wyroby z wadami, w drugiej 3, a w trzeciej 1. Z każdej paczki pobieramy losowo po jednej sztuce wyrobu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane wyroby będą miały wady. Rozwiązanie przykładu: Niech: A -zdarzenie polegające na wylosowaniu wadliwego wyrobu z pudełka pierwszego -P(A) = 0,2 B -zdarzenie polegające na wylosowaniu wadliwego wyrobu z pudełka drugiego -P(B) = 0,3 34
C -zdarzenie polegające na wylosowaniu wadliwego wyrobu z pudełka trzeciego -P(C) = 0,1 Ponieważ zdarzenia A, B i C są niezależne zespołowo, więc szukane prawdopodobieństwo wynosi: P(A B C) = P(A) P(B) P(C ) = 0,2 0,3 0,1 = 0,006. 35
Prawdopodobieństwo P(A B) nazywamy warunkowym i czytamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, przy warunku, że zaszło zdarzenie B. Dla zdarzeń niezależnych prawdziwe są wzory: P(A B) = P(A), P(B A) = P(B), co oznacza, że fakt zajścia zdarzenia B nie zmienia faktu zajścia zdarzenia A i na odwrót. 36
Natomiast dla dowolnych dwu zdarzeń prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) równe jest: P(A B) =P(A B) / P(B) stąd: P(A B) = P(A B) P(B), a także: P(A B) = P(B A) P(A) 37
Obliczając prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń, musimy zawsze uwzględnić to, czy zdarzenia są niezależne, czy też są zależne. Natomiast przy obliczaniu prawdopodobieństwa sumy zdarzeń musimy uwzględnić fakt, czy zdarzenia wykluczają się wzajemnie, czy też nie. Należy rozróżniać pojęcie niezależności zdarzeń od wykluczania się zdarzeń. Są to zupełnie różne pojęcia, mimo że istnieją zdarzenia jednocześnie wykluczające się i niezależne. Przykładem takich zdarzeń (wykluczających i niezależnych jednocześnie) jest: A -dowolne zdarzenie i -zdarzenie niemożliwe. A =, a zatem: P(A ) = P( ) = 0 = P(A) 0 = P(A) P( ). 38
Zasadniczo jednak zdarzenia niezależne nie muszą być zdarzeniami wykluczającymi się. Łatwo zauważyć, że zdarzeniami, które są niezależne, ale nie wykluczają się są: A -zdarzenie dowolne i Ω -zdarzenie pewne. Ponieważ A Ω = A, więc: P(A Ω) = P(A). P(Ω) = 1, a to oznacza, że: P(A Ω) = P(A) = P(A) 1 = P(A) P(Ω), mimo że: A Ω. 39
Przykład 15 Analiza sprzedaży nowego szamponu S pozwoliła stwierdzić, że po pierwszej fali reklam szampon kupowany jest przez 55% potencjalnych klientów. Następnie spada zainteresowanie nowym produktem tak, że po drugiej fali reklam szampon S kupowany jest już tylko przez 24% z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że klient, który nie kupił szamponu po pierwszej fali reklam, kupi go po drugiej fali? Rozwiązanie przykładu: Interesujące nas zdarzenia oznaczmy następująco: A - zdarzenie, że klient kupi szampon S po pierwszej fali reklam, B -zdarzenie, że klient kupi szampon S po drugiej fali reklam. P(A)=0,55 P(B A) = 0,24. A - zdarzenie, że klient nie kupi szamponu S po pierwszej fali reklam. P(A ) = 1 0,55 = 0,45, P(B A ) = 0,24. Niech C będzie zdarzeniem, którego prawdopodobieństwo mamy obliczyć, tzn., że klient nie kupi szamponu po pierwszej fali reklam i kupi go po drugiej fali reklam. C = A B. Zdarzenia A i B nie są niezależne, więc zgodnie ze wzorem mamy: P(A B) = P(B A ) P(A ). A zatem: P(C) = 0,24 0,45 = 0,108. Szukane prawdopodobieństwo wynosi 0,108. 40
Przykład 16 W dwóch supermarketach przeprowadzono badania ankietowe, czy klienci zadowoleni są z obsługi w tych supermarketach. Okazało się, że wśród klientów pierwszego supermarketu niezadowolonych jest 30% osób, natomiast w drugim supermarkecie 20% klientów ma zastrzeżenia do obsługi. Do badań ogólnokrajowych wybrano losowo jednego klienta z supermarketu pierwszego i jednego klienta z supermarketu drugiego. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) obydwaj klienci są zadowoleni, b) wśród wybranych nie ma klienta niezadowolonego. Rozwiązanie przykładu: Rozważmy następujące zdarzenia: A -klient z pierwszego supermarketu jest zadowolony -P(A) = 0,7, B -klient z drugiego supermarketu jest zadowolony -P(B) = 0,8. 41
Schemat Bernoulliego 42
Mówimy, że ciąg (seria) doświadczeń niezależnych jest wykonywany zgodnie ze schematem Bernoulliego, jeżeli spełnione są warunki: każde pojedyncze doświadczenie może zakończyć się jednym z dwóch wyników: zdarzeniem A zwanym sukcesem lub zdarzeniem A' przeciwnym do niego, zwanym porażką, prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu jest stałe, równe p. 43
Wtedy prawdopodobieństwo, że w serii n niezależnych doświadczeń sukces pojawi się dokładnie k razy, (k = 0, 1,..., n), wyraża się wzorem: gdzie: k = 0, 1,..., n, p -prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu. Symbol nazywamy symbolem Newtona 44
Wówczas: zdarzenia A i B są niezależne, gdyż zadowolenie klienta pierwszego supermarketu nie ma wpływu na zadowolenie klienta drugiego supermarketu. a) interesuje nas zdarzenie C = A B. P(C) = P(A B) = P(A) P(B) = 0,7 0,8 = 0,56. A zatem prawdopodobieństwo zadowolenia obu klientów wynosi 0,56. b) wylosowanych wśród dwóch wylosowanych klientów nie będzie klienta niezadowolonego, jeśli przynajmniej jeden z nich będzie zadowolony. A zatem rozważane tu zdarzenie (D) jest sumą zdarzeń A i B: D = A B. Zdarzenia A i B nie wykluczają się nawzajem, więc obliczamy: P(D) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P(D) = 0,7 + 0,8-0,56 = 0,94. Tak więc prawdopodobieństwo zadowolenia co najmniej jednego klienta jest wysokie i wynosi 0,94. 45
Symbol Newtona zaś symbol n! (n silnia) określony jest wzorem: n! = 1 2... n (dla n = 1, 2, 3,...). Ponadto z definicji: 0! = 1. 46
47
48
49