Po co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji

Transkrypt

1 ODSTWY STTYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. opulacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne 6. Testy nieparametryczne 7. Korelacja liniowa i rangowa 8. Regresja prosta 9. naliza wariancji

2 WSTĘ o co nam statystyka matematyczna? róba pobieranie opulacja wnioskowanie Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji

3 WSTĘ Statystyka matematyczna umożliwia wnioskowanie ogólne (na temat całej populacji) na podstawie próby rzykład? Np. ięć kotek pewnej rasy urodziło kocięta. yło ich w sumie 23, czyli średnio jedna kotka miała 4,6 kotka (23 : 5 = 4,6). ytania: Czy ten wynik to czysty przypadek, czy norma? Ile kociąt średnio w jednym miocie uzyskuje się w tej rasie kotów? ięć kotek to próba; wszystkie kotki (samice) tej rasy - populacja Żeby uzyskać odpowiedzi używając statystyki matematycznej, trzeba znać prawdopodobieństwa urodzenia się 1 kotka, 2 kotków. n (najwyższej zaobserwowanej liczby kotków), czyli: zbiór prawdopodobieństw dla wszystkich wartości cechy o nazwie liczba kociąt w miocie

4 RWDOODOIEŃSTWO

5 RWDOODOIEŃSTWO 1. Co to jest prawdopodobieństwo? 2. Symbole i definicje 3. Obliczanie prawdopodobieństwa brzegowego, warunkowego, łącznego 4. Wzór ayesa 5. Zdarzenia zależne i niezależne 6. Elementy kombinatoryki 7. Schemat ernoulliego

6 RWDOODOIEŃSTWO rawdopodobieństwo (potocznie) przypuszczalna możliwość: dziś prawdopodobnie będzie padać rawdopodobieństwo obserwowana wielokrotnie lub wynikająca z teorii częstość zdarzenia w 1 na wyźrebień klaczy pełnej krwi angielskiej rodzą się bliźnięta (prawdopodobieństwo urodzenia się bliźniąt wynosi 1/) prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki w rzucie kostką do gry wynosi 1/6 rawdopodobieństwo ang.: probability

7 RWDOODOIEŃSTWO Definicja klasyczna, tzw. prawdopodobieństwo a posteriori k n liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu (sukcesów) liczba wszystkich zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne: pojedynczy możliwy wynik doświadczenia, pomiaru, obserwacji, np. rzutu kostką do gry Zdarzenie losowe może obejmować wiele zdarzeń elementarnych, np. uzyskanie parzystej liczby oczek w rzucie kostką

8 RWDOODOIEŃSTWO k n rawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia oznaczamy () przyjmuje wartości od 0 do 1 kiedy () = 1? kiedy () = 0? ( - zdarzenie pewne) ( - zdarzenie niemożliwe)

9 RWDOODOIEŃSTWO - symbole SUM ZDRZEŃ lub : ILOCZYN ZDRZEŃ i : ZDRZENIE RZECIWNE (nie ): RZYKŁDY?

10 RWDOODOIEŃSTWO - definicje RWDOODOIEŃSTWO WRUNKOWE (conditional probability) prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie ( ) RWDOODOIEŃSTWO RZEGOWE (marginal probability) prawdopodobieństwo konkretnego zdarzenia, np. osoba jest chora, spośród całego zbioru rozpatrywanych zdarzeń, np. jest kobietą, C jest niska, D ma ponad 50 lat, itp., uwzględniające zależności między zdarzeniami różnych typów

11 RWDOODOIEŃSTWO definicje rawdopodobieństwo brzegowe trzeba czasem obliczać jako RWDOODOIEŃSTWO CŁKOWITE (total probability) Jeśli zdarzenie warunkują dwa wykluczające się zdarzenia ( i nie ), to: ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) RZYKŁD: obliczanie prawdopodobieństwa natrafienia w populacji na osobę chorą, jeśli częstość choroby określona została osobno u kobiet i u mężczyzn Według teorii jest to tzw. prawdopodobieństwo a priori

12 OLICZNIE RWDOODOIEŃSTW łeć Kolor oczu Kobieta (K) Mężczyzna (M) Niebieskie (N) Zielone (Z) 5 15 rązowe () Czarne (C)

13 RWDOODOIEŃSTWO pojedynczego zdarzenia (brzegowe) Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą, (K) 45 K 0, 45 rawdopodobieństwo, że wylosowana osoba ma niebieskie oczy, (N) 38 N 0, 38

14 RWDOODOIEŃSTWO zadrzeń dopełniających się łeć Kolor oczu Kobieta (K) Mężczyzna (M) Niebieskie (N) Zielone (Z) 5 15 rązowe () Czarne (C) rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą, (K) rawdopodobieństwo, że wylosowano mężczyznę, (M) 55 K K 1 M K 0, K 0, 45

15 RWDOODOIEŃSTWO iloczynu zdarzeń (łączne) Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą i ma niebieskie oczy rawdopodobieństwo łącznego zajścia zdarzeń K i N, prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń, (KN) K N 0, 2

16 RWDOODOIEŃSTWO WRUNKOWE Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) rawdopodobieństwo, że losowo osoba ma niebieskie oczy, o ile jest kobietą (!) Warunek osobą wylosowaną jest kobieta rawdopodobieństwo zdarzenia N pod warunkiem, że zaszło zdarzenie K, (N/K) 45 N / K 0, 44

17 WZÓR YES prawdopodobieństwo warunkowe prawdopodobieństwo łączne N K ( N K) ( K) prawdopodobieństwo brzegowe

18 WZÓR YES przekształcenie N K ( N K) ( K) Obliczanie prawdopodobieństwa łącznego (prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń) N K ( N K) ( K)

19 WZÓR YES wykorzystanie w przykładzie Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) rawdopodobieństwo, że losowo wybrana kobieta ma niebieskie oczy ( N K) ( K) 45 N K 0, 44 rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą i ma niebieskie oczy N K ( N K) ( K) 0, 2

20 RWDOODOIEŃSTWO iloczynu zdarzeń Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą i ma niebieskie oczy K N 0, 2

21 RWDOODOIEŃSTWO SUMY ZDRZEŃ Kolor oczu Niebieskie (N) Zielone (Z) rązowe () Czarne (C) łeć Kobieta (K) Mężczyzna (M) rawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest kobietą lub ma niebieskie oczy, (K N) L N K N K ,63

22 ZDRZENI ZLEŻNE I NIEZLEŻNE ZDRZENI NIEZLEŻNE (independent events) ZDRZENI ZLEŻNE (dependent events) Na przykład: rzucamy dwa razy kostką do gry wyrzucenie szóstki w pierwszym rzucie wyrzucenie liczby parzystej w drugim rzucie wyrzucenie szóstki w pierwszym rzucie wyrzucenie w sumie co najmniej 10 oczek w obu rzutach

23 ZDRZENI ZLEŻNE I NIEZLEŻNE rawdopodobieństwo warunkowe ZDRZENI NIEZLEŻNE ZDRZENI ZLEŻNE ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( bo:

24 ZDRZENI ZLEŻNE I NIEZLEŻNE ZDRZENI NIEZLEŻNE ZDRZENI ZLEŻNE rawdopodobieństwo łączne (prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń i ) ( ) ( ) ( ) ( ) bo: ( ) ( ) ( ) ( )

25 ZDRZENI ZLEŻNE I NIEZLEŻNE rawdopodobieństwo sumy zdarzeń ZDRZENI NIEZLEŻNE ZDRZENI ZLEŻNE ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Zdarzenia ROZŁĄCZNE: albo albo Zdarzenia ROZŁĄCZNE

26 WZÓR YES ogólne zastosowanie prawdopodobieństwo warunkowe prawdopodobieństwo łączne ( ) ( ) prawdopodobieństwo (brzegowe) całkowite

27 WZÓR YES ogólne zastosowanie prawdopodobieństwo warunkowe prawdopodobieństwo łączne ( ) ( ( ) / ) ( ) ( / ) prawdopodobieństwo całkowite

28 KOMINTORYK

29 ERMUTCJE Liczba możliwych zestawień wszystkich n elementów zbioru z uwzględnieniem kolejności n! 3! Grafika z wykładu J. Szydy, 09

30 WRICJE Liczba wszystkich możliwych zestawień k elementów ze zbioru n elementów z uwzględnieniem kolejności n! 3! 6 n k! 1! Grafika z wykładu J. Szydy, 09

31 KOMINCJE Liczba możliwych k-elementowych podzbiorów zbioru n elementów (bez uwzględnienia kolejności) n k k! n! n k! 3! 2!1! Grafika z wykładu J. Szydy, 09

32 KOMINTORYK o co nam znajomość kombinatoryki? M.in. żeby łatwo określać liczbę zdarzeń będących wynikiem np. kombinacji, a w efekcie określać częstość (prawdopodobieństwo a posteriori) konkretnych zdarzeń rzykład: Jakie jest prawdodobieństwo trafienia szóstki w Lotto? Liczba WSZYSTKICH możliwych szóstek to liczba kombinacji sześciu liczb ze zbioru 49 liczb: 49 6 k! n! n k! 49! 6!(49 6)!? Obliczenia na ćwiczeniach!

33 SCHEMT ERNOULLIEGO Doświadczenie o dwóch wynikach (orzeł lub reszka, chłopiec czy dziewczynka, itp.) nosi nazwę próby ernoulliego. Oznaczmy jako p prawdopodobieństwo wyniku, na którym nam zależy (sukcesu), np. wyrzucenie orła. Wtedy prawdopodobieńtwo przeciwnego wyniku (reszki) wynosi 1 - p = q. rzy rzucie monetą p = q = 0,5. Wielokrotna próba ernoulliego (np. 10 rzutów monetą) to tzw. schemat ernoulliego. ytanie: jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania k orłów w n rzutach monetą (np. 7 orłów w 10 rzutach)?

34 SCHEMT ERNOULLIEGO Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania k orłów w n rzutach monetą? ( n; k; p) n k p k q n k Na przykład: 7 orłów w 10 rzutach? (10;7;0,5) 10 0, , , Szczegóły na ćwiczeniach ZRSZM!!!

35 ODSUMOWNIE 1. Co to jest prawdopodobieństwo? 2. Symbole i definicje 3. Obliczanie prawdopodobieństwa brzegowego, warunkowego, łącznego 4. Wzór ayesa 5. Zdarzenia zależne i niezależne 6. Elementy kombinatoryki 7. Schemat ernoulliego