Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność

Transkrypt

1 Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność przypomnienie pojęć ĆWICZENIA Piotr Ciskowski

2 zdarzenie losowe ćwiczenie 1. zbiory Stanisz zilustruj następujące pojęcia: o A B o A B o A B o A B - zdarzenie A jest zawarte w zdarzeniu B - każde zdarzenie należące do A należy również do B - suma zdarzeń A i B - zbiór zdarzeń należących do co najmniej jednego ze zdarzeń A lub B - iloczyn zdarzeń A i B - zbiór zdarzeń należących zarówno do A, jak i do B - różnica zdarzeń A i B - zbiór zdarzeń należących do A i nie należących do B o A = Ω - A - zdarzenie przeciwne do A o A B = - zdarzenia rozłączne

3 zdarzenie losowe ćwiczenie 2. zbiory dane są dwa zbiory zdarzeń: o A1 = { a1, a2, a4, a6 } o A2 = { a1, a3, a5, a6 } wyznaczyć: o koniunkcję A1 A2 = o alternatywę A1 A2 = o różnicę A1 - A2 A1 A2 = o różnicę A2 A1 A2 A1=

4 prawdopodobieństwo warunkowe ćwiczenie 3. choroby zawodowe Stanisz Część pracowników pewnego zakładu jest narażona na działanie pewnej szkodliwej substancji, będącej częstą przyczyną pewnej choroby zawodowej Zdarzenia: o A losowo wybrany pracownik jest narażony na działanie substancji o A nie jest narażony o B losowo wybrany pracownik choruje na chorobę zawodową o B nie choruje Wśród n losowo wybranych pracowników przeprowadzono badania lekarskie. Otrzymano następujące wyniki: Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany pracownik cierpi na chorobę zawodową, jeśli wiadomo że jest narażony na działanie tej substancji szkodliwej odp.: prawdopodobieństwo, że choruje: P(B) = prawdopodobieństwo, że nie choruje: P(B ) = prawdopodobieństwo, że choruje i pracuje: P(A B) = prawdopodobieństwo, że choruje, gdy pracuje : P(B A) = A choruje A razem B pracuje B razem

5 zdarzenie losowe ćwiczenie 4. kule W pojemniku są kule białe i zielone Losujemy 3 razy po jednej kuli ze zwracaniem Zdarzenia: o A polega na wylosowaniu przynajmniej jednej kuli białej o B polega na wylosowaniu przynajmniej dwóch kul zielonych Opisać Ω, A B, A B, A-B, A, B, sprawdzić prawa de Morgana wszystkie zdarzenia: przynajmniej jedna biała: przynajmniej dwie zielone: Ω = A = B = A B = A B = A B = A = B = A B = A B =

6 prawdopodobieństwo warunkowe ćwiczenie 5. choroba zakaźna Stanisz Pewna choroba zakaźna występuje u 2% ludzi Przygotowano test do jej wykrycia daje on wynik pozytywny u 97% chorych i u 6% zdrowych Wybrano losowo osobę i zbadano nowym testem. Otrzymano wynik pozytywny Obliczyć prawdopodobieństwo, że ta osoba jest rzeczywiście chora o A 1 wybrana losowo osoba jest chora o A 2 wybrana osoba jest zdrowa o B wylosowana osoba ma wynik testu pozytywny o P(A 1 ) = P(B A 1 ) = o P(A 2 ) = P(B A 2 ) = P(B) = o ze wzoru Bayes a: P(A 1 B) =

7 prawdopodobieństwo warunkowe ćwiczenie 5. choroba zakaźna Stanisz Pewna choroba zakaźna występuje u 2% ludzi Przygotowano test do jej wykrycia daje on wynik pozytywny u 97% chorych i u 6% zdrowych Wybrano losowo osobę i zbadano nowym testem. Otrzymano wynik pozytywny Obliczyć prawdopodobieństwo, że ta osoba jest rzeczywiście chora Podrążyć temat: co by było, gdyby zwiększyć skuteczność testu na chorych do 98%, 99%...? - co by było, gdyby zwiększyć skuteczność testu na zdrowych do 96%, 98%, 99%, 99.5%, 99.9%...? - co by było, gdyby choroba występowała częściej: u 5%, 10%, 25%, 50%... społeczeństwa? - a gdyby test pokazał, że jestem zdrowy jakie mam szanse, że rzeczywiście jestem zdrowy? - jak najprościej zwiększyć wiarygodność wyniku dysponując pierwotnym testem? Utworzyć arkusz w Excelu ilustrujący to zadanie: - tabelka prawdopodobieństw aposteriori dla różnych wartości prawdopodobieństw apriori Napisać program w MATLABie ilustrujący to zadanie: - okienko z suwakami regulującymi prawdopodobieństwa apriori - wykres zależności prawdopodobieństwa aposteriori od zachorowalności - może jeszcze jakieś inne wykresy

8 niezależność zdarzeń ćwiczenie 6. kostki, Gaje&Kałszuka Rozważmy rzut kostką do gry. o Rzucamy raz. Sprawdzić czy zdarzenia: A - liczba wyrzuconych oczek jest parzysta B - liczba wyrzuconych oczek jest większa od trzech są od siebie zależne P(A) = P(B) = o odp.: P(A B) = o Rzucamy dwa razy kostką do gry. Zdarzenie A w obu rzutach liczba oczek jest parzysta Zdarzenie B wyrzucamy chociaż jedną szóstkę Zbadać czy zdarzenia A i B są niezależne P(A) = P(B) = o odp.: P(A B) =

9 prawdopodobieństwo warunkowe ćwiczenie 5. losowanie Ze zbioru n elementów, wśród których jest n 1 elementów mających cechę C losujemy dwukrotnie po jednym elemencie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obydwa wylosowane elementy mają cechę C jeżeli n=10, n 1 =7 dla dwóch przypadków: o przed losowaniem drugiego elementu nie zwracamy pierwszego o przed losowaniem drugiego elementu zwracamy pierwszy do całego zbioru elementów odp.: o nie zwracamy: o zwracamy:

10 prawdopodobieństwo ćwiczenie 7. praca z błędami Osoba X wykonuje pracę w ciągu 4, 5, albo 6-ciu godzin i może popełnić przy tym 0, 1 albo 3 błędy Zakładając jednakowe prawdopodobieństwo dla każdego z 9-ciu zdarzeń jednoelementowych znaleźć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: o A = Praca zostanie wykonana w ciągu 4 godzin o B = Praca zostanie wykonana bezbłędnie w czasie 6 godzin o C = Praca zostanie wykonana w czasie 5 godzin najwyżej z jednym błędem o D = Praca zostanie wykonana z co najwyżej jednym błędem odp.: 0 bł. 1 bł. 3 bł. 4 h p p p 5 h p p p 6 h p p p o o o o P(A) = P(B) = P(C) = P(D) =

11 prawdopodobieństwo warunkowe ćwiczenie 8. taśma Na taśmę trafiają jednakowe produkty wytwarzane przez dwa automaty Stosunek ilościowy produkcji pierwszego automatu do produkcji drugiego jest równy 3:2 Pierwszy automat wytwarza średnio 65% produktów pierwszej jakości drugi zaś 85% Spośród produktów na taśmie wybieramy losowo jeden o Obliczyć prawdopodobieństwo, że będzie to produkt pierwszej jakości o Losowo wybrany produkt okazał się pierwszej jakości Mógł on zostać wyprodukowany przez pierwszy lub drugi automat Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne? odp.: P(aut 1 ) = P(aut 2 ) = P(jak 1 aut 1 ) = P(jak 1 aut 2 ) = P(jak 1 ) = P(aut 1 jak 1 ) = P(aut 2 jak 1 ) =

12 prawdopodobieństwo całkowite ćwiczenie 9. kontrola jakości Gajek&Kałuszka Wiemy, że 95% produkcji jest dobrej jakości, a 5% złej Kontrola przepuszcza przedmioty dobrej jakości z prawdopodobieństwem 0.98, a przedmioty złej jakości z prawdopodobieństwem 0.05 o Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przedmiot przepuszczony przez kontrolę będzie dobrej jakości odp.: P(dobry) = P(przejdzie dobry) = P(zły) = P(przejdzie zły) = P(przejdzie) = P(dobry przeszedł) =

13 niezależność zdarzeń ćwiczenie 10. wykazać Wykazać, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to również zdarzenia: A i B są niezależne A i B są niezależne A i B są niezależne

14 prawdopodobieństwo ćwiczenie 11. kosz Koszykarz rzuca do kosza osobiste Wiadomo, że trafia do kosza z prawdopodobieństwem 0.9 Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi do kosza co najmniej raz? odp.: P(trafił) = P(pudło) = P(cnr) =

15 prawdopodobieństwo ćwiczenie 12. foto Trzech fotografów wykonuje zdjęcie Prawdopodobieństwo wykonania dobrej fotografii jest dla każdego z nich jednakowe i równe 0.8 Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwie fotografie będą udane? odp.: u - pojedyncza fotografia udana, P(u) = n pojedyncza fotografia nieudana, P(n) = P(co najmniej dwie udane) =

16 prawdopodobieństwo warunkowe ćwiczenie 13. praca Dwóch mężczyzn (m1, m2) i trzy kobiety (k1, k2, k3) starają się o pracę Szanse wygrania w ramach płci są takie same Każda z kobiet ma dwukrotnie większe szanse wygrania niż którykolwiek z mężczyzn Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że konkurs wygra kobieta? m1 i k1 są małżeństwem Jakie jest prawdopodobieństwo, że któreś z małżonków wygra konkurs? odp.: P(m1 m) = P(m2 m) = P(k1 k) = P(k2 k) = P(k3 k) = P(k) = P(m) = P(m1) = P(k1) = P( m1 lub k1 ) =

17 niezależność zdarzeń ćwiczenie 14. wykształcenie Przedsiębiorstwo zatrudnia 40% kobiet i 60% mężczyzn Wśród ogółu zatrudnionych znajduje się 50% osób z wykształceniem średnim a odsetek kobiet z wykształceniem średnim wynosi 30% o zdarzenie A: zatrudniona osoba jest kobietą o zdarzenie B: ma średnie wykształcenie Wybieramy jedną osobę Czy zdarzenia A i B są niezależne? Wyznacz P(A B) i P(A-B) odp.: P(A kobieta ) = P(B średnie A kobieta ) = P(B średnie ) = P(A mężczyzna ) = niezależność: = P(B A) = P(A B) = P(A)*P(B) = P(A-B) =