3. Fale akustyczne dźwięk? co to takiego? Wykład 0 0/ Falami akustycznymi (dźwiękowymi) nazywamy fale sprężyste rozchodzące się w dowolnym ośrodku i charakteryzujące się częstotliwościami z przedziału od 6 do 0 000Hz. Takie fale docierając do ludzkiego ucha wywołują wrażenie dźwięku. Fale o częstotliwościach mniejszych od 6 Hz to infradźwięki, o wyższych od 0kHz ultradźwięki. Źródłami fal akustycznych są drgające pręty, struny, membrany, słupy powietrza, ogólnie: ciała sprężyste pobudzone do drgań za pomocą zewnętrznych bodźców. Rozchodząca się w ośrodku fala akustyczna jest falą podłużną. Cząsteczki ośrodka wykonują drgania w kierunku ruchu fali, w wyniku czego powstają następujące po sobie obszary zwiększonego i obniżonego ciśnienia, czyli jego zagęszczenia i rozrzedzenia.
3.. Prędkość fali akustycznej Przypomnijmy - prędkość fal mechanicznych w ośrodku: v własności sprężyste bezwładność. Prędkość fali akustycznej w ciele stałym zależy od własności sprężystych ośrodka, które charakteryzuje moduł Younga E oraz od gęstości ρ m/v: v E / ρ E - stosunek naprężenia σ F/S do względnej zmiany długości wywołanej takim naprężeniem: E σ l / l W cieczach i gazach prędkość dźwięku zależy od ściśliwości (sprężystości objętościowej) ośrodka, którą charakteryzuje moduł ściśliwości B oraz bezwładności ośrodka i charakteryzującej ją gęstości ρ: v B / ρ http://www.pbase.com/jjnv/disneyl and B - stosunek przyrostu ciśnienia do względnej zmiany objętości wywołanej taką zmianą ciśnienia: B V p / V Wykład 0
Wykład 0 3.. Natężenie fali akustycznej 0/ Falę dźwiękową można traktować jako falę ciśnieniową, przesuniętą o 90 0 ψ ( x, t) Asin ( kx ω t + względem fali przemieszczeń ψ(x,t), np. dla : π ) p pm sin( kx ω t), ρω v A, p m (amplituda ciśnienia) (gdzie k π/λ liczba falowa, ω π f - częstość kołowa) ψ(x,t) przemieszczenie względem położenia równowagi x, w chwili t, w kierunku propagacji fali, p - zmiana ciśnienia w x w chwili t. 3
Natężenie fali I to średnia moc P śr przenoszona przez jednostkowy element powierzchni S ustawiony prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali: Dla fali akustycznej: v B /, i dostajemy I I P śr ρ B ω A / S, natężenie harmonicznej fali dźwiękowej Ze względu na szeroki zakres natężeń, na który reaguje ludzkie ucho w akustyce wprowadza się poziom natężenia fali akustycznej Λ: Λ log I I Próg słyszalności natężenie najsłabszego dźwięku: I 0 0 W/m Jednostką jest B (bel) i db0,b. Szkodliwy hałas powyżej 85dB. 0 Wykład 0 ρ 0/ P śr µω A v (B - moduł ściśliwości, ρ - gęstość), 4
3.3. Odbieranie dźwięków prze ludzkie ucho Wykład 0 0/ Wrażenia słuchowe wywołane przez fale akustyczne: Szmery, huki, za które odpowiedzialne są fale nieperiodyczne, Tony, wywoływane przez fale harmoniczne o określonej częstotliwości, np. drgający kamerton, http://i.ehow.com/images/globalphoto/ar ticles/4866933/47739-main_full.jpg dźwięki, za które odpowiedzialne są okresowe fale niesinusoidalne będące złożeniem pewnej liczby tonów. http://www.navaching.com/shaku/shaku.gifs/timbre.gif 5
Wykład 0 Słyszalne dźwięki charakteryzują się: 0/ wysokością, którą jest związana z częstotliwością drgań, (fale harmoniczne o określonej częstotliwości noszą nazwę tonów) głośnością dźwięku zależną od energii niesionej przez fale akustyczne, czyli natężenia dźwięku oraz jego częstotliwości. Głośność to subiektywne odczucie natężenia dźwięku. Ale przy stałym natężeniu dźwięki niskie i wysokie wydają się cichsze niż dźwięki o średniej częstotliwości ( - 4 khz). Ma to bezpośredni związek z czułością ucha, które w tym zakresie wykazuje największą wrażliwość. barwą dźwięku, o której decyduje widmo akustyczne, czyli charakterystyczne dla danego źródła dźwięku nakładanie się na podstawowe drgania harmoniczne (mod podstawowy) drgań harmonicznych o większych częstotliwościach (zestaw tonów). Gdy na różnych instrumentach grana jest ta sama nuta, której odpowiada pewna częstotliwość podstawowa, to już wyższe harmoniczne tych instrumentów będą się różnić natężeniami. Stąd powstające fale wypadkowe różnią się między sobą brzmieniem i możliwe jest rozróżnienie wysyłających je instrumentów. 6
3.4. Efekt Dopplera Wykład 0 0/ Jedziesz samochodem i nagle rozlega się dźwięk syreny samochodu policyjnego. Skąd nadjeżdża? Jest za tobą, czy przed? Można zorientować się po wysokości dźwięku. Kiedy źródło dźwięku i odbiornik poruszają się względem siebie obserwujemy zjawisko zmiany częstotliwości dźwięku, zwane efektem Dopplera. 7
Wykład 0 0/ f 0 / T0 Źródło wysyła fale dźwiękowe o częstotliwości i długości λ 0 poruszające się z szybkością. v Rozpatrujemy przypadek, gdy źródło i odbiornik poruszają się względem siebie wzdłuż łączącej je prostej. Gdy źródło porusza się względem obserwatora (odbiornika) z szybkością u z, to podczas jego zbliżania do obserwatora docierają fale o długości: λ λ0 u z T 0 (ponieważ odległość między kolejnymi powierzchniami falowymi maleje o u z T) Czas, po którym kolejna powierzchnia falowa dotrze do odbiornika jest krótszy i wynosi T. v f v f u z 0 f 0, f λ vt v / f, λ0 v T0 v / f0 v f0 v u z Odbierana częstotliwość dźwięku rośnie. Gdy źródło się oddala, częstotliwość maleje. f f 0 v v + u z 8
Dla obserwatora poruszającego się w kierunku źródła dźwięk ma większą prędkość względną: v' v + u o Wykład 0 0/ i rejestruje on więcej maksimów fal niż będąc w spoczynku. Stąd wysokość docierającego dźwięku jest dla niego wyższa niż rzeczywista: v u o v' v + u f o, v + u f o f, λ 0 λ 0 0 v Dla obserwatora oddalającego się v u o od źródła dźwięku: f, Przy wzajemnym ruchu źródła dźwięku i obserwatora z powyższych wzorów dostaniemy: v f 0 f v v ± u u (Górne znaki odnoszą się do zbliżania, dolne do oddalania źródła i obserwatora.) o z f 0, 9
Wykład 0 0/ Efekt Dopplera dla fal dźwiękowych jest określony przez prędkość ruchu źródła i odbiornika względem ośrodka, w którym rozchodzi się dźwięk. Zastosowania efektu Dopplera Akustyczny prędkościomierz ( acoustic Doppler velocimeter - ADV) mierzy prędkości przepływu cieczy, wykorzystując przesuniecie dopplerowskie pomiędzy długością fali wysłanej i odbitej od cząsteczek poruszających się w strumieniu cieczy. W głębinach morskich, gdzie nie dociera światło, łodzie podwodne używają urządzeń zwanych sonarami, pozwalających im orientować się w otoczeniu. Fale akustyczne, emitowany przez sonar, po odbiciu od obiektu powracają. Wykorzystanie efektu Dopplera pozwala dodatkowo określić jego prędkość. http://www.gdcanada.com/content/53ac0af-9e37-470f-a879- f8cd680bf/images/gdcanada-integrated-sonar-suite.jpg 0
Wykład 0 0/ Zastosowanie ultradźwięków i efektu Dopplera w medycynie USG do badanie przepływu krwi.
3.5. Dudnienia Wykład 0 0/ Co zaobserwujemy wzbudzając do drgań dwa kamertony o różnych częstościach? ψ ψ ( x, t) + ψ ( x, t) A sin ( kx ω t) + A sin ( kx ω t + α), Każdy z nich emituje ton, który rozprzestrzenia się w postaci fali głosowej i dociera do naszego ucha. Drgania błony bębenkowej są superpozycją dwu drgań harmonicznych: x wyp x t) + x ( t) A sin ( ω t) + A sin ( ω t + ( α ). Usłyszymy dudnienia, czyli okresowe zwiększanie się i zmniejszanie głośności, gdy dwa tony o zbliżonych częstotliwościach brzmią jednocześnie.
Wykład 0 x ( t) + x ( t) Asinω t + Asinω t x wyp 0/ Rozważmy superpozycję dwu drgań harmonicznych o jednakowym kierunku i zbliżonych częstościach ω i ω. Dla uproszczenia przyjmujemy jednakowe amplitudy i fazy obu drgań równe zeru. ω + ω Asin t ω ω cos t ω śr ω + ω ω ω, ωmod,, x [ Acosωmodt] sinωśrt. T mod T Dostaliśmy równanie drgania harmonicznego o częstości ω śr i pulsującej, wolnozmiennej amplitudzie: x mod ( t) Acosωmodt. 4π T π / ωśr, ω + ω 4π Tmod π / ωmod ω ω, 3
x mod Wykład 0 Nasze ucho rejestruje kwadrat amplitudy, czyli: dudnienie T mod 0/ T t x mod ( t) 4A cos ωmodt. Częstość powtarzania się maksymalnego natężenia dźwięku częstość dudnień - jest dwukrotnie większa od częstości modulacji: ω dud ω ω ω, mod Nasze ucho potrafi rozróżnić dwa dźwięki docierające do niego równocześnie, jeśli różnią się częstotliwościami więcej niż o 6% ich średniej wartości. Jeśli różnią się o mniej niż o 0 Hz raczej nie zarejestrujemy ich w postaci odrębnych tonów, lecz jako pojedynczy dźwięk o częstotliwości f śr i wolnozmiennej amplitudzie. 4
Wykład 0 0/ Lecąc samolotem można często słyszeć fluktuujący dźwięk są to dudnienia wywołane nakładaniem się dźwięków od dwu silników, których częstotliwości niewiele się różnią. Wykorzystanie dudnień przy strojeniu instrumentów muzycznych. w angielskim gwizdku policyjnym (posiadającym dwie piszczałki!). 5
Wykład 0 0/ III. WYBRANE ZAGADNIENIA Z ELEKTRODYNAMIKI. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 6
. Pole elektryczne Wykład 0 0/ Ładunek elektryczny q, podobnie jak masa, jest własnością cząstek materialnych. C (kulomb) - jednostka ładunku Występujące w przyrodzie ładunki (dodatnie lub ujemne) są skwantowane, tj. są wielokrotnością ładunku elementarnego e,60 0-9 C (elektron posiada ładunek e, proton +e) Ładunki są źródłami pola elektrycznego. W przestrzeni, w której istnieje pole elektryczne na umieszczony w niej ładunek q 0 działają siły pola F e pochodzące od wytwarzających je ładunków. F q 0 e q q Definiujemy natężenie pola elektrycznego: Fe E lim, Jednostka E - N/CV/m (wolt/metr) q0 0 q0 gdzie q 0 jest ładunkiem próbnym, dodatnim i tak małym, że nie zakłóca rozkładu pola. http://www.heresee.com/img/science/tesla-high-voltage- Generator Tesli wytwarza olbrzymi ładunek elektrostatyczny, a wokół niego pole elektryczne. 7
Wykład 0 0/ Graficznie przedstawiamy rozkład natężenia pola elektrycznego za pomocą linii pola elektrycznego. + Rozkład natężenia pola elektrycznego od dwu ładunków +q i q. Wektor natężenia pola jest w każdym punkcie styczny do linii pola. Wizualizacja pola elektrycznego wokół molekuły organicznej. E Siła oddziaływania elektrostatycznego między dwiema ładunkami q i q znajdującymi się w odległości r od siebie dana jest prawem Coulomba q q 9 gdzie k ( 4πε0) 8,99 0 N m / C rˆ, F k r - stała elektrostatyczna, ε 0 8,85 0 - C /(N m ) przenikalność elektryczna próżni. Mamy tu do czynienia z III zasadą dynamiki: każda cząstka oddziałuje na drugą siłą o takiej samej wartości. Ładunki przeciwnego znaku przyciągają się. Ładunki jednoimienne odpychają się. 8
Atom wodoru +e F -e Wykład 0 0/ ( + e)( e) F C k rˆ. r Ujemny elektron i dodatni proton poruszają się pod wpływem wzajemnego przyciągania kulombowskiego i są ze sobą związane poprzez to oddziaływanie: ma doś F C, v e m k r r Bohr założył, że istnieją tylko pewne dozwolone orbity elektronu. Poruszając się po nich elektron posiada skwantowany moment pędu, tzn. że może przyjmować tylko pewne wartości: L r mv nh /(π ), n,,... Oddziaływanie kulombowskie występuje pomiędzy elektronem i protonem w atomie wodoru. Z takiego równania ruchu dostaje się niepoprawną wartość promienia orbity elektronu i nie można wytłumaczyć widma atomu wodoru. h6,63 0-34 J s - stała Plancka, n - liczba kwantowa, A wówczas z, promień orbity: r n h n 4π mke. 9
Wykład 0 0/ Energia elektronu na dozwolonej orbicie jest również skwantowana: E n m v ( + e)( e) + k r Przechodząc do stanu o niższej energii elektron oddaje nadmiar energii - obserwowana jest linia widmowa o długości fali: λ 4π k me h hc E http://www.chem.com/acad/webtext/atoms/atpt-images/balmer_abs&em.png e k r n. 4 n. E (ev) 0 0,85 n n5 n4,5 n3 Porównanie widma emisyjnego i absorpcyjnego wodoru (seria Balmera) 3,40 n 0
.. Prawo Gaussa Rozważmy element powierzchni S dostatecznie mały, aby w całym jego obszarze i wprowadźmy wektor S E const S nˆ, będący iloczynem elementu powierzchni S i wektora normalnego nˆ (jednostkowego wektora prostopadłego do S). S E Definiujemy strumień natężenia pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię S : Φ E E S E S cosα, gdzie α - kąt między wektorami. Całkowity strumień przez dowolną powierzchnię S będzie sumą takich strumieni Φ E : n n Φ Φ E S. E i Ei i i i E i nˆ Wykład 0
Ładunek punktowy +q wytwarza pole elektryczne, którego natężenie jest dane zależnością: E q 4πε r 0 rˆ, Wykład 0 Otoczmy ten ładunek sferą o promieniu R. 0/ Obliczmy strumień pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek +q. (ε 0 8,85 0 - F/m przenikalność elektryczna próżni) R ds + q E Ze względu na E symetrię, w każdym punkcie na powierzchni sfery wektor jest do niej prostopadły i ma tą samą wartość. Całkowity strumień przez powierzchnię sfery jest równy: Φ E Φ n i E i 4πε S i q E n i (4π R S E 0 R ε 0 ) i E 4π R q., Dostaliśmy wynik, że całkowity strumień natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest proporcjonalny do zawartego wewnątrz niej ładunku.
Okazuje się, że wybór hipotetycznej powierzchni otaczającej ładunek nie wpłynie na otrzymany wynik (najwyżej skomplikuje obliczenia): E Φ E q ε 0. E + q + q Jeśli ładunek znajduje się poza rozważaną powierzchnią zamkniętą całkowity strumień przez tę powierzchnię jest równy zeru: Φ E 0. Prawo Gaussa: Całkowity strumień natężenia pola elektrycznego przez hipotetyczną zamkniętą powierzchnię jest równy wypadkowemu ładunkowi zamkniętemu wewnątrz niej, podzielonemu przez ε 0. W granicy S 0 sumowanie przechodzi w całkowanie po powierzchni: S n Ei Si 0 i S lim i E ds, Φ E S E ds ε 0 i 3 Wykład 0 n q i.
Prawo Gaussa pozwala wyznaczyć natężenie pola elektrycznego E, jeśli rozkład ładunków cechuje pewna symetria. Przykład: Zastosujmy prawo Gaussa do znalezienia natężenia pola wewnątrz kulistego rozkładu ładunku Q. Q r R E Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu r <R n n Φ E S E S E 4π r, E i 3 3 Ładunek wewnątrz tej powierzchni: q ( r) Qr / R, Φ E q( r), ε 0 Qr 3 3 4π r E Qr / ε 0R, E( r). 3 4π ε 0R Q Podobnie postępujemy dla r >R i dostajemy: E( r). 4π ε 0r i i i i Prawo Gaussa można sformułować również dla pola grawitacyjnego. Wykład 0 4
. Pole magnetyczne Wykład 0 Źródłem pola magnetycznego są np. magnesy stałe oraz prądy elektryczne. 0/ B Podstawowym wektorem pola magnetycznego jest wektor indukcji magnetycznej B. Jeśli ładunek q porusza się z prędkością v w polu magnetycznym, to działa na niego siła F : F qv B Siła Lorentza Powyższy wzór stanowi B definicję wektora indukcji magnetycznej. Jednostką B jest tesla: TV s m - elektromagnes Pole magnetyczne wywiera siłę tylko na poruszające się w nim ładunki. Oznacza to, że działa również na przewodniki z płynącym w nich prądem elektrycznym. 5
Wykład 0 0/.. Ruch ładunku w polu magnetycznym Naładowana cząstka porusza się w jednorodnym polu magnetycznym po linii śrubowej, jeśli wektor v ma składową w kierunku wektora B. Jeśli wektory te są do siebie prostopadłe, to torem jest okrąg. Równanie ruchu, z którego wyznaczamy tor: ma qv B, Ruch po linii śrubowej w jednorodnym polu magnetycznym: v e B FB Wektor prędkości prostopadły do B - cząstka porusza się po okręgu. v B madoś qvb r mv/(qb). 6
Wykład 0 0/ Wiązka elektronów poruszająca się po orbicie kołowej w stałym polu magnetycznym. Świecenie wywołane jest wzbudzeniami atomów gazu w bańce. W niejednorodnym polu magnetycznym cząstka może zostać uwięziona i poruszać się po linii śrubowej tam i z powrotem między obszarami silnego pola na obydwu końcach (tzw. butelka magnetyczna). 7