Zaawansowana mikroekonomia: szkice rozwi za«wybranych zada«michaª Krawczyk GRY W POSTACI NORMALNEJ 4. W ka»dej z poni»szych dwuosobowych gier wska» strategie sªabo/±ci±le dominuj ce, strategie najbezpieczniejsze, wszystkie równowagi Nasha L M R U 0;2 2;0 3;6* I 4*;1 0;2* 2;0 D 1;2* 3*;0 5*;1 ROZW: strategia D ±ci±le dominuje U (wy»sze wypªaty dla gracza wierszowego w ka»dej kolumnie). Dla wierszowego najbezpieczniejsza jest D (bo w najgorszym razie dostanie 1, w innych 0). Podobnie dla kolumnowego najbezpieczniejsza jest L. Nie ma równowag w strategiach czystych (p. gwiazdki). Poniewa» U jest ±ci±le zdominowana, nie b dzie grana z dodatnim pr. w»adnej rów. w str. miesz. podobnie R nie b dzie grana, bo po wykre±leniu U jest ±ci±le zdominowana przez L. W pozostaªej grze 2x2 trzeba przyrówna oczekiwane wypªaty jak zwykle by znale¹ pr. grania poszczególnych strategii. L M R U 4*;4* 3;2 2*;0 I 2;3 5*;5* -3;1 D -1;4 0;3 1;6* Tu strategia U ±ci±le dominuje D. Najbezpieczniejsze strategie to U i L. Dwie równowagi w strategiach czystych (p. gwiazdki). Po wykre±leniu D mo»emy wykre±li te» R. W pozostaªej grze 2x2 mo»emy przyrównuj c oczekiwane wypªaty znale¹ trzeci, mieszan równowag. 6. (Malawski) Partnerzy w dwuosobowej spóªce niezale»nie od siebie decyduj o poziomach wysiªku wkªadanego w dziaªalno± spóªki. Przy poziomach wysiªku e 1 i e 2 spóªka przynosi dochód P (e 1, e 2 ) = 4(e 1 + e 2 + e1e2 4 ), który wspólnicy dziel po poªowie. Koszt wysiªku e i dla gracza i wynosi e 2 i. Przyjmujemy,»e e 1 i e 2 mog by dowolnymi liczbami z przedziaªu [0, 4]. 1
(a) Wyznacz równowag Nasha tej gry i dochód spóªki w tej równowadze. ROZW: Zysk netto gracza to 1 to 2(e 1 + e 2 + e1e2 4 ) e2 1. Bierzemy pierwsz pochodn i przyrównujemy do 0 by znale¹ f. reakcji (najlepszej odpowiedzi): e 1 = 1 + e 2 4 ªatwo wida,»e to istotnie maks. lokalne. Analogicznie dla drugiego gracza: e 2 = 1 + e 1 4. Oba równania s ª czne speªnione gdy e 1 = e 2 = 4/3 i to jest NE. (b) Jaki jest maksymalny mo»liwy dochód spóªki (netto) i przy jakich strategiach jest osi gany? ROZW: Maks. ª cznego zysku netto wymaga by obie pochodne 4(e 1 + e 2 + e1e2 4 ) e2 1 e 2 2 si zerowaªy. Zeruj c dowoln z nich i korzystaj c z symetrii mamy 2 + e 1 2 = e 1 czyli e 1 = e 2 = 4. (c) Poka»,»e strategie e 1 = 0, 5 oraz e 2 = 3 s zdominowane. ROZW: Šatwo policzy,»e 2(e1+e2+ e 1 e 2 4 ) e2 1 e 1 obliczona w punkcie e 1 =.5 jest dodatnia dla dowolnej warto±ci e 2. Czyli dla ka»dego e 2 mamy,»e.5 + ɛ jest lepsze od e 1 (±cisªa dominacja). Analogicznie (tylko w drug stron ) b dzie dla e 2 = 3. Oczywi±cie dla e 1 = 3 tak»e. 13. Drzewo gry przedstawiono na obrazku. Czarnym kolorem oznaczono nazwy graczy i akcji, a czerwonym pr. wyboru poszczególnych akcji w równowadze. Oczywi±cie je±li G1 otrzyma Kart W, to nie deklaruje nigdy N, bo to w tej podgrze opcja zdominowana. Nie wiemy natomiast co robi je±li dostanie kart N, bo deklaruj c W dostanie -4 albo 1 (zale»nie od strategii G2), wi c ani koniecznie wi cej ani mniej ni» gdy zadeklaruje N. Oznaczmy pr.,»e G1 deklaruje W pod warunkiem dostania N przez p. Wtedy Gracz 2 widz c deklaracj W musi zgodnie z twierdzeniem Bayesa przypisywa temu,»e Gracz 1 faktycznie ma W prawdopodobie«stwo 0.5/(0.5 + 0.5p) = 1/(1 + p). 2
Rysunek 1: Czy G2 mo»e gra Z z pr 1? wówczas oczywi±cie G1 deklaruj c W pod warunkiem otrzymania N spodziewaªby si wypªaty -4, wi c nie powinien tego robi. czyli mieliby±my w równowadze p = 0, G2 byªby pewien,»e deklaracja W jest prawdziwa, wi c oczywi±cie Z nie byªoby optymalne. Czy G2 mo»e gra P z pr. 1? Wówczas opªacaªoby si deklarowa W tak»e pod warunkiem zobaczenia N, p = 1, czyli oczekiwana wypªata G2 to 0 je±li wybierze Z, lepsze ni» -1, które otrzyma gdy wybierze P. Znów sprzeczno±. Zatem G2 musi faktycznie miesza, tj. gra Z z pewnym prawdopodobie«- stwem q, gdzie 0 < q < 1. Oczywi±cie G2 jest skªonny miesza tylko je±li obie opcje daj ±rednio tyle samo. Czyli mamy: 1 ( 4) 1 + p + 4 p 1 + p = 1 1 p = 1 + p 4 4 4p = 1 + p p = 3/5 Oczywi±cie tak»e G1 jest skªonny faktycznie miesza obserwuj c N je±li oczekiwane wypªaty s takie same. Czyli: 4q + (1 q) = 1 3
q = 2/5 AUKCJE 21. Kupuj cy i, i = 1, 2 wycenia przedmiot aukcji na v i, losowane niezale»nie z rozkªadu jednostajnego na [0, 1]. (a) Sprzedaj cy organizuje aukcj pierwszej ceny. Zakªadaj c,»e kupuj cy korzystaj z liniowych strategii, tj. b i (v i ) = a i v i, i = 1, 2, gdzie a i jest dodatni staª, znajd¹ równowag (tj. warto±ci a 1, a 2 ). ROZW: Je±li kupuj cy wygra aukcj, to zarobi v 1 b 1, w p.p. zero (pomijamy remisy, bo wida,»e zdarz si z pr. 0). Zatem oczekiwana wypªata wynosi: E(Π 1 v 1, b 1 ) = (v 1 b 1 )Prob(zwyc b 1 ) = (v 1 b 1 )Prob(b 1 > b 2 ) = (v 1 b 1 )Prob(v 2 < b 1 a 2 ) Oczywi±cie kupuj cemu 1 nigdy nie opªaca si licytowa ponad a 2. Zatem dla tego rozkªadu v 2 mamy E(Π 1 v 1, b 1 ) = (v 1 b 1 ) b 1 a 2 Dla dowolnego a 2 warto± ta jest maksymalizowana przez b 1 = v 1 /2 i to jest optymalna strategia. Analogicznie dla Kupuj cego 2. (b) Zaªó» teraz,»e sprzedaj cy korzysta z aukcji malej cej: ceny id w dóª a» który± z kupuj cych powie stop kupuj c po tej cenie. Znajd¹ równowag. ROZW: ten format jest strategicznie ekwiwalentny aukcji pierwszej ceny, zatem jak wy»ej (c) Zaªó» teraz,»e Kupuj cy 2 ma prawo kupi po cenie zaproponowanej przez Kupuj cego 1: K1 skªada swoj ofert b 1, po czym K2 kupuje po tej cenie lub rezygnuje (a wówczas po tej»e cenie kupuje K1). Znajd¹ SPNE. ROZW: Oczywi±cie K2 kupi wtedy i tylko wtedy gdy v 2 > b 1 (znów pomijamy remisy). K1 kupi w przeciwnym przypadku, zatem ten przypadek jest analogiczny do aukcji pierwszej ceny z a 2 = 1. Ale a 1 = 1/2 byªo optymalne niezale»nie od a 2, zatem i tu jest optymalne. 4
(d) Czy istniej równowagi Nasha w punkcie C, które nie s stabilne wzgl dem podgier? (hint: niewiarygodne gro¹by). ROZW: K2 mo»e zagrozi,»e kupi niezale»nie od swojej wyceny je±li K1 zaproponuje za wysok cen, np. wy»sz ni».4, natomiast post - pi racjonalnie w przeciwnym przypadku. Zatem oczywi±cie K1 nie opªaca si tyle oferowa nawet gdy normalnie powinien (bo v 1 >.8) bo wówczas miaªby 0 szans na kupienie, a b 1 =.4 daje 40% szans. Zatem gro¹ba nigdy nie musi by speªniona NE, które nie jest SP. Oczywi±cie to tylko przykªad warto±.4 jest arbitralna. (e) Porównaj przychody osi gane przez sprzedaj cego w przypadkach (a) i (c). Czy RET si stosuje? Je±li nie: czemu nie? ROZW: cena sprzeda»y nie b dzie nigdy wy»sza w (c), a czasem b dzie ni»sza (mianowicie gdy K2 miaª wy»sz wycen ni» K1). Zatem oczekiwane przychody sprzedaj cego s ró»ne. Nie stanowi to oczywi- ±cie pogwaªcenia RET, bo mechanizm z punktu (c) jest nieefektywny, np. gdy v 1 =.5, v 2 =.4, to zostanie zªo»ona b 1 =.25 i dobro kupi K2 (cho powinien K1). 22. Ka»dy z trzech kupuj cych obserwuje prywatny sygnaª s i wylosowany niezale»nie z rozkªadu jednostajnego na [0, 1]. Warto± dobra wynosi V = s 1 + s 2 + s 3. (a) Rozwa» aukcj rosn c (japo«sk ). Jaka jest maksymalna kwota, któr kupuj cy mo»e bezpiecznie zalicytowa zakªadaj c,»e nikt inny jeszcze nie zrezygnowaª? ROZW: Skoro w symetrycznej równowadze inni jeszcze nie zrezygnowali, maj przynajmniej takie same sygnaªy. Zatem mo»na bezpiecznie licytowa 3s i. (b) Korzystaj c z argumentów analogicznych do tych przedstawionych na wykªadzie wyka»,»e w równowadze kupuj cy z najni»szym sygnaªem, s (3), powinien przy tej wªa±nie kwocie zrezygnowa. ROZW: drobne przelicytowanie nic nie da, je±li inny gracz ma wy»szy sygnaª. Wi c trzeba zakªada,»e obaj maj taki sam i odpu±ci przy 3s i. 5
(c) W jaki sposób zmieni si przekonania pozostaªych na temat warto±ci dobra? ROZW: gdy jeden ju» odpu±ciª, mo»na wnioskowa,»e jego sygnaª to p (3) /3. O tym co jeszcze nie odpu±ciª, s dzimy,»e jego sygnaª jest wy»szy (a maks. 1). Zatem oczekiwana warto± dobra dla gracza, który zna swoje s i to s 1 + p (3) /3 + (p (3) /3 + 1)/2 (d) Jak wielko± mog teraz bezpiecznie licytowa pozostali? ROZW: p (3) /3 + 2s i, bo znów w symetrycznej równowadze pozostaªy gracz winien mie min. taki sygnaª jak my. (e) Wyka»,»e przy tej wªa±nie kwocie zrezygnuje kupuj cy o ±rodkowym sygnale. ROZW: znów, trzeba zakªada,»e jest remis, bo inaczej wszystko jedno. (f) Kto zrezygnuje przy jakiej cenie i ile wyniesie przychód sprzedaj cego je±li sygnaªy wynosz s 1 = 0, 6, s 2 = 0, 8, s 3 = 0, 4? ROZW: pierwszy odpadnie trzeci kupuj cy, przy cenie 1, 2. Pozostali b d ju» wiedzie,»e ma s 3 = 0, 4. zatem K1 odpadnie przy cenie 1, 6 i po tej wªa±nie kupi gracz 2. (g) A jakie oferty zªo»yliby kupuj cy zaobserwowawszy takie sygnaªy w aukcji drugiej ceny i ile wyniósªby wówczas przychód sprzedaj cego? ROZW: w aukcji drugiej ceny trzeba zakªada,»e remisujemy z jednym przeciwnikiem, a drugi ma jaki± mniejszy sygnaª (tylko wtedy korekta naszej strategii co± wnosi). Czyli K1 zaªo»y,»e jeden przeciwnik te» ma sygnaª 0, 6, a drugi ±rednio 0, 3, zalicytuje zatem 1, 5 i tyle wªa±nie wyniesie przychód (K2 zaproponuje 2, 5 0, 8 = 2) NEGOCJACJE 23. Dwóch graczy. Ciastko warte jest 1 w pierwszym okresie, przej±cie do kolejnego zawsze wi»e si z kosztem c dla ka»dego z graczy. W okresach nieparzystych propozycj podziaªu skªada gracz 1, w parzystych gracz 2. Gra ko«czy si gdy propozycja zostanie przyj ta, a wpp proceduje do nast pnego okresu. Znajd¹ stacjonarn, stabiln wzgl dem podgier równowag w przypadku 6
(a) Dwóch okresów (po odrzuceniu drugiej oferty obaj dostaj zero) ROZW: w drugim okresie caªo± dostanie gracz 2. Zatem w pierwszym okresie gracz 1 mo»e dla siebie wzi c, bo drugiemu jest wszystko jedno: dosta od razu 1 c vs. poczeka jeden okres by dosta 1. (b) Niesko«czonej liczby okresów ROZW: Zaªó»my,»e w równowadze G1 proponuje podziaª (x, 1 x). je±li drugi odmówi, to sam b dzie w tej samej sytuacji co obecnie G1, wi c mo»e spodziewa si podziaªu (1 x, x). Ale po drodze straci c, wi c by drugi byª co najmniej indyferentny powinni±my mie 1 x x c x (1 + c)/2 O ile tylko jest to mo»liwe (tj. gdy c 1), pierwszy gracz za» da dla siebie wªa±nie (1 + c)/2, bo przecie» chce mo»liwie du»o. (c) Do czego d» równowagowe wypªaty gdy c d»y do zera? Zinterpretuj ten wynik. ROZW: do 1/2, czyli gdy gracze s b. cierpliwi (maªo trac na przedªu»aj cych si negocjacjach) nie ma znaczenia kto akurat ma inijatyw. Jest to naturalne i analogiczny wyniki widzieli±my dla przypadku staªej stopy dyskonta. 7