1 Poj cia wst pne. 1.1 Sprawiedliwy podziaª. 1.2 Strategie

Transkrypt

1 1 Poj cia wst pne 1.1 Sprawiedliwy podziaª Chc c podzieli np. tort na dwie sprawiedliwe cz ±ci mo»emy przyj stary sposób: jeden wspólnik kroi a drugi wybiera kawaªek. Jak rozdzieli tort mi dzy trzech lub wi cej partnerów? Rozwi zanie podaª H. Steinhaus w swoim artykule: H. Steinhaus, The problem of fair division, Econometrica 16 (1948): , patrz te»: H. Steinhaus, Kalejdoskop matematyczny. Zostaªo ono zaproponowane przez jego dwóch wspóªpracowników: Stefana Banacha i Bronisªawa Knastera. Prze±ledzimy je na przykªadzie 5 osób. Niech wspólnicy nazywaj si A, B, C, D, E. A ma prawo odci z tortu dowoln porcj ; B mo»e mu zmniejszy t porcj, ale nie musi; C z kolei ma prawo zmniejszon lub nie zmniejszon porcj zmniejszy lub pozostawi bez zmiany - i tak dalej. Gdy ju» E wykonaª swoje prawo (lub zachowaª si biernie), stwierdzamy, kto ostatni dotkn ª porcji. Przypu± my,»e to D. Wtedy D dostaje porcj, a reszta tortu (wraz z cz stkami odci tymi) idzie do podziaªu pomi dzy A, B, C, E. W drugiej rundzie znowu jeden partner zostaje obdzielony, a w trzeciej jeszcze jednej - i zostanie dwóch; ci dwaj podziel reszt tortu wedªug zasady: jeden dzieli, drugi wybiera. 1.2 Strategie Strategi wygrywaj c nazywamy taki sposób post powania, który zapewnia wygran niezale»nie od ruchów przeciwnika. W poni»szych zadaniach nale»y znale¹ odpowiednie strategie wygrywaj ce. 1. Plansza do gry skªada si z 15 ustawionych w rz dzie kwadratów. Pierwszy z graczy kªadzie swój pionek na skrajnym lewym, a drugi na skrajnym prawym kwadracie. Nast pnie gracze na przemian wykonuj ruchy (pierwszy rozpoczyna) - ruch polega na przesuni ciu pionka na s siedni wolny kwadrat (w prawo lub lewo). Przegrywa gracz, który nie mo»e wykona ruchu. Który z graczy posiada strategi wygrywaj ca i na czym ona polega? 2. W pudeªku znajduje si 11 kul biaªych i 11 kul niebieskich. Ja± i Maªgosia graj w nastepuj ca gr, któr rozpoczyna Maªgosia. Wyjmuje ona z tego pudeªka wybrane przez siebie dwie kule. Je»eli wybierze kule jednakowego koloru, to do pudeªka dokªada jedn kul biaª ; je»eli wybierze kule ró»nych kolorów, to dokªada kul niebiesk. Nast pnie swój ruch, wedªug tych samych zasad, wykonuje Ja± i znów Maªgosia, znów Ja± itd., a» w ko«cu w pudeªku zostanie tylko jedna kula. Je»eli ta kula b dzie biaªa, wygrywa Maªgosia. W przeciwnym wypadku wygrywa Ja±. Czy Maªgosia mo»e tak prowadzi t gr, aby wygra? Odpowied¹ uzasadnij. 3. Na tablicy narysowany jest k t foremny. Michaª i Jurek dorysowuj na zmian jedn przek tn, nie maj c wspólnych punktów wewn trznych ani wspólnych ko«ców z wcze±niej narysowanymi przek tnymi. Przegrywa ten z graczy, który nie mo»e wykona ruchu. Gr rozpoczyna Michaª. Który z graczy ma strategi wygrywaj c? 1.3 Drzewo gry 1.4 Gra w NIM 1.5 Racjonalino± -»ony matematyków 1.6 Gry w postaci macierzowej Teoria gier zajmuje si logiczn analiz sytuacji koniktu i kooperacji. O grze w takim rozumieniu mo»emy mówi wsz dzie tam, gdzie:

2 1. Mo»na wskaza co najmniej dwóch graczy. Graczem mo»e byc czªowiek, ale tak»e rma, pa«stwo, czy nawet gatunek w znaczeniu biologicznym. 2. Kazdy gracz ma do wyboru pewn liczb mozliwych strategii, okre±laj cych sposób rozgrywania przez niego gry 3. Wynik gry jest determinowany przez kombinacj strategii wybranych przez poszczególnych graczy 4. Ka»demu mo»liwemu wynikowi gry odpowiada zestaw wypªat dla poszczególnych graczy, których wysoko± mo»na wyrazi liczbowo. Ograniczenia teorii gier: 1. Gry rozgrywane w rzeczywistym ±wiecie s zwykle bardzo skomplikowane, trudno wskaza w nich wszystkich graczy, dokªadnie opisa ich mo»liwe strategie i wskaza do jakich wyników prowadz 2. Teoria gier zakªada,»e gracze postepuj racjonalnie i zakªadaj, ze ka»dy przeciwnik post puje racjonalnie (patrz przykªad z»onami matematyków) 3. Trudno jest przewidzie przebieg gier, w których interesy obu graczy nie s dokªadnie przeciwstawne, a tak»e takich, w których bierze udziaª wi cej ni» dwóch graczy. W pierwszej cz ±ci wykªadu skupimy si na grach, w których bierze udziaª dwóch graczy. Przebieg gry i mo»liwe wypªaty prezentujemy zwykle w macierzy A (2,-2) (-3,3) B (0,0) (2,-2) C (-5,5) (10,-10) Dla ka»dego wyniku pierwsza liczba oznacza wypªat a, a druga Kolumny. Jest to gra o sumie zerowej, tzn. wypªaty zwi zane z ka»dym wynikiem sumuj si do zera. Wystarczy poda zatem wypªaty jednego gracza - pana a: A 2-3 B 0 2 C d»y do wyniku, przy którym wpisana liczba jest najwi ksza, pani Kolumna przeciwnie. Zaªó»my,»e chce osi gn wypªat 10, wybiera zatem strategi C, licz c na to,»e Kolumna zagra B. Problem w tym,»e je»eli Kolumna domy±li si,»e tak zrobi, sama zagra A i dostanie -5. przewiduj c to, powinien zagra A, co dawaªoby mu wtedy wypªat 2, ale przewiduj c taki obrót rzeczy Kolumna powinna zagra B, co oznacza,»e powinien zagra C... i tak dalej. Mo»emy to przedstawi w postaci diagramu: A B C

3 2 Gry dwuosobowe o sumie zerowej 2.1 Dominacje i punkty siodªowe Zagramy 20 razy w nast puj c gr : C D A B C D Analizuj c wyniki eksperymentu zauwa»amy,»e strategia C Kolumny wybierana byªa bardzo rzadko. Dlaczego? Otó» strategia B Kolumny jest bezwzgl dnie lepsza ni» C. Denicja 1 Strategia S dominuje strategi T, je»eli ka»dy wynik dawany przez S jest co najmniej równie korzystny, co odpowiedni wynik dawany przez T, a przynajmniej jeden wynik dawany przez S jest korzystniejszy ni» wynik dawany przez T. Kryterium 1 (dominacji) Racjonalny gracz nigdy nie wybiera strategii zdominowanej. Druga obserwacja to fakt,»e strategie C a i B Kolumny byªy wybierane znacznie cz ±ciej ni» pozostaªe. Dlaczego? Przyjrzyjmy si diagramowi przesuni naszej gry. C D A B C D Denicja 2 Wynik gry macierzowej nazywamy punktem siodªowym je»eli jego warto± jest mniejsza lub równa ka»dej warto±ci w jego wierszu, a wi ksza lub równa ka»dej warto±ci w jego kolumnie. Kryterium 2 (punktu siodªowego) Je»eli gra macierzowa ma punkt siodªowy, obaj gracze powinni wybra zawieraj ce go strategie. Denicja 3 Dla ka»dej gry macierzowej, dla której istnieje taka liczba w,»e ma strategi gwarantuj c mu wygranie co najmniej w, a Kolumna ma strategi gwarantuj c,»e nie wygra wi cej, w jest warto±ci gry. Je»eli gra ma punkt siodªowy, to jego warto± jest warto±ci gry. Niektóre gry punktu siodªowego w ogóle nie maj, inne natomiast maj ich kilka. C D A B C D

4 Twierdzenie 1 (o ekwiwalentno±ci i wymienno±ci punktów siodªowych) Ka»de dwa punkty siodªowe tej samej gry maj tak sam warto±. Je»eli zarówno jak i Kolumna zagraj strategie zawieraj ce punkty siodªowe, to wynik gry zawsze b dzie punktem siodªowym Znale¹ punkty siodªowe mo»na wypisuj c najmniejsze warto±ci z ka»dego wiersza i zaznaczy najwi ksz spo±ród nich, a nast pnie wypisa najwi ksze warto±ci z ka»dej kolumny i zaznaczy najmniejsz. Je»eli maksimin (najwi ksza z najmniejszych warto- ±ci) wierszy i minimaks (najmniejsza z najwi kszych warto±ci) kolumn jest taki sam, oznacza to,»e le»y on w punkcie siodªowym. Rozwa»ymy przykªad C D A B C D Je»eli w grze maksimin wierszy i minimaks kolumn s ró»ne (patrz pierwszy przykªad), to gra nie ma punktu siodªowego. Zadanie domowe 1. Wska» w nast puj cej grze wszystkie strategie zdominowane i dominuj ce C D A B C Wyznacz w poni»szych grach wszystkie punkty siodªowe, a dla gier b) i c) narysuj diagramy przesuni. (a) C D A B C (b) (c) C A B C C A B C 2 7 6

5 2.2 Strategie mieszane W niektórych grach minimaks wierszy i maksimin kolumn maj ró»ne warto±ci i w efekcie gry te nie maj punktów siodªowych. Dotyczy to na przykªad takiej gry: A 2-3 B 0 3 aden z graczy nie ma strategii, któr opªacaªoby mu si stale stosowa. Przy braku punktu siodªowego znajomo± strategii przeciwnika mo»na skutecznie wykorzysta przeciwko niemu. W tej sytuacji jedynym sensownym rozwi zaniem jest ka»dorazowy wybór konkretnej strategii w drodze losowania (na przykªad rzut monet ). Taka strategia, polegaj ca na losowaniu jednej z kilku strategii z okre±lonymi prawdopodobie«stwami, nazywa si strategi mieszan w odró»nieniu od strategii czystej, gdy gracz wybiera, bez losowania, jedn konkretn strategi. Aby zbada jakie skutki mo»e mie zastosowanie przez jednego albo obu graczy strategii mieszanych, nale»y posªu»y si warto±ci oczekiwan. Na przykªad, gdyby posªu»yªa si rzutem monet i wybieraªa strategi A z prawdopodobie«- stwem 1/2, strategi B z prawdopodobie«stwem 1/2, to gdy gra strategi A uzyskuje ona wypªat 2 z prawdopodobie«stwem 1/2 oraz -3 z prawdopodobie«stwem 1/2. Warto±ci oczekiwan w tym przypadku byªoby ( 3) = 1. Gdyby jednak zagraª B, to wynosiªaby ona = 3. Gdyby wiedziaª,»e Kolumna stosuje tak strategi, to powinien wybra strategi B. Kryterium 3 (warto±ci oczekiwanej) Je±li wiesz,»e twój przeciwnik gra okre±lon strategi mieszan i b dzie j stosowa niezale»nie od tego, jak ty grasz, powiniene± stosowa strategi daj c ci najwi ksz warto± oczekiwan wypªaty. Co si stanie je±li Kolumna zagra inn strategi mieszan? Czy mo»e ona wybra tak strategi mieszan,»e nawet je±li b dzie j znaª, to nie b dzie mógª tego wykorzysta przeciwko niej? Zaªó»my,»e Kolumna gra strategi mieszan polegaj c na wyborze A z prawdopodobie«stwem p i wyborze B z prawdopodobie«stwem 1 p, gdzie 0 p 1. Warto±ci oczekiwane wynosz wtedy je±li zagra A: p 2 + (1 p) ( 3) = 3 + 5p je±li zagra B: p 0 + (1 p) 3 = 3 3p nie odnosi»adnej korzy±ci ze znajomo±ci strategii mieszanej Kolumny wtedy, gdy ta warto± oczekiwana jest w obu przypadkach taka sama, czyli gdy 3 + 5p = 3 3p, rozwi zuj c to równanie otrzymujemy p = 3. Oznacza to,»e je±li Kolumna zagra strategi mieszan 3A, 1 B, to mo»e by pewna,»e ±rednio wygra nie wi cej ni» 3 w jednej grze, niezale»nie od tego, jakie b dzie wybieraª strategie. 4 A jak powinien gra? Je±li wybiera strategi A z prawdopodobie«stwem p, a strategi B z prawdopodobie«stwem 1 p, to analogiczne rachunki jak dla i Kolumny daj je±li Kolumna zagra A: p 2 + (1 p) 0 = 2p je±li Kolumna zagra B: p ( 3) + (1 p) 3 = 3 6p

6 Rozwi zuj c równanie 2p = 3 6p otrzymujemy p = 3. Je±li zagra strategi 8 mieszan 3A, 5 B, to gwarantuje sobie oczekiwan warto± wygranej co najmniej niezale»nie od tego, jak strategi stosuje. Analogicznie jak dla punktu siodªowego przyjmuje si,»e warto± tej gry wynosi 3 4, optymaln strategi i Kolumny jest 3 4 A, 1 4 B, optymaln strategi a a jest 3 8 A, 5 8 B. Warto± gry oraz obie optymalne strategie stanowi ª cznie rozwi zanie gry. Rozwa»my teraz gr, któr ju» analizowali±my w rozdziale 1.6 A 2-3 B 0 2 C Tutaj ma trzy mo»liwe strategie i tak gr mo»na spróbowa rozwi za gracznie. Dla ka»dej strategii a na lewej osi zaznaczylismy wypªat a, gdy kolumna gra A, na prawej osi wypªat a, gdy Kolumna gra B, a nast pnie narysowali±my odcinek ª cz cy te dwa punkty. Warto± drugiej wspóªrz dnej (wysoko± ) punktu nale» cego do tego odcinka, le» cego nad punktem p, odpowiada warto±ci oczekiwanej wypªacie a, gdy Kolumna gra strategi (1 p)a, pb. Je±li wie lub domy±la si, jak strategi mieszan zagra, to mo»e wybra strategi b d c najlepsz odpowiedzi na strategi Kolumny - w takim wypadku wynik gry b dzie odpowiadaª któremu± z punktów na górnej ªamanej. wybierze p w taki sposób, aby wypªata a byªa jak najmniejsza - wybierze wi c tak strategi mieszan by wynik wypadª w najni»szym punkcie górnej ªamanej. Poniewa» punkt ten le»y na przeci ciu linii odpowiadaj cej strategiom A i B a, rozwi zaniem caªej gry b dzie rozwi zanie podgry

7 A 2-3 B 0 2 Otrzymujemy tutaj dla a a: p 2 + (1 p) 0 = p ( 3) + (1 p) 2, st d p = 2 7, dla i Kolumny: p 2 + (1 p) ( 3) = p 0 + (1 p) 2, st d p = 5 7 warto±ci gry jest 4 7. Podobnie mo»na rozwi za ka»d gr m 2 oraz 2 n. Rozwi zywanie gier, w których obaj gracze mog wybiera spo±ród wi cej ni» dwóch strategii jest ju» bardziej skomplikowane, ale zawsze mo»liwe. Twierdzenie 2 (von Neumanna o minimaksie) Ka»da gra macierzowa m n ma rozwi zanie, tzn. istnieje dokªadnie jedna liczba w zwana warto±ci gry oraz optymalne strategie (czyste lub mieszane) obu graczy, takie»e 1. je»eli gra swoj optymaln strategi, to jego oczekiwana wypªata b dzie wi ksza lub równa w, niezala»nie od tego, jak strategi bedzie graªa ; 2. je»eli Kolumna gra swoj optymaln strategi, to oczekiwana wypªata a b dzie mniejsza lub równa w, niezale»nie od tego, jak strategi b dzie graª. Ponadto, rozwi zanie gry macierzowej m n zawsze jest rozwi zaniem jakiej± jej podgry k k. Zadanie domowe. 1. Rozwi» nast puj c gr A -1 6 B Rozwi» nast puj c gr (a) (b) A -3 5 B -1 3 C 2-2 D 3-6 A -2 5 B 1 2 C 0-2 D 0 4

8 2.3 Ryboªówstwo na Jamajce Pierwszym przypadkiem zastosowania teorii gier dwuosobowych do ilo±ciowego rozwi - zania problemu antropologicznego byª klasyczny i wci» kontrowersyjny artykuª W. C. Davenporta z 1960 o ryboªówstwie na Jamajce. Dwustu mieszka«ców jednej z wiosek poªo»onej na wybrze»u eksploatowaªo ªowiska rozci gaj ce si okoªo 35 km od brzegów wyspy. Šowiska dzieliªy si na le» ce wewn trz i na zewn trz laguny. W wodach zewn trznych ªowisk regularnie wzbudzaªy si bardzo silne pr dy. Pojawianie si pr dów nie byªo w»aden widoczny sposób powi zane z pogoda lub stanem morza w okolicy. Na ªowiskach wewn trznych pr dy te byªy w zasadzie nieodczuwalne. Dowódcy ªodzi mogli stosowa trzy ró»ne strategie: wewn trzn : ustawi wszystkie kosze na ªowiskach wewn trznych; zewn trzn : ustawi wszystkie kosze na ªowiskach zewn trznych; po±redni : ustawi cz ± koszy na ªowiskach wewn trznych, a pozostaªe na zewn trznych. Strategie te miaªy swoje wady i zalety: dopªyni cie do ªowisk zewn trznych byªo czasochªonne, wi c zaªogi stosuj ce strategi zewn trzn lub po±redni ustawiaªy mniejsz liczb koszy, pr dy przynosiªy wiele szkód na ªowiskach zewn trznych - boje oznaczaj ce miejsce ustawienia koszy byªy przesuwane, zªowione ryby gin ªy, poªowy na ªowiskach zewn trznych dawaªy znacznie lepsze ryby, na ªowiskach zewn trznych potrzebne byªy lepsze ªodzie, rybacy polujacy na nich z reguªy wygrywaj zawody»eglarskie zdobywaj c prestiz i warto±ciowe nagrody. Obserwacje W. C. Davenporta prowadziªy do ustalenia nast puj cej tabeli wypªat - ±rednich dochodów miesi cznych rybaków stosuj cych odpowiednie strategie. strategia rybaków pr dy aktywne nieaktywne wewn trzna 17,3 11,5 zewn trzna -4,4 20,6 po±rednia 5,2 17,0 Traktuj c t sytuacj jako gr 3 2, mo»emy znale¹ optymaln strategi rybaków i porówna j z rzeczywistym post powaniem mieszka«ców wioski. Gra nie ma punktu siodªowego ani strategii zdominowanych. Jej graczne rozwi zanie wygl da nastepuj co.

9 Najni»szy punkt górnej ªamanej le»y na przeci ciu strategii wewn trznej i po±redniej. Rozwi zuj c wªa±ciw gr 2 2 znajdujemy optymaln strategi rybaków: w 67% przypadków powinni stosowa strategi wewn trzn, a w 33% po±redni. Optymaln strategi dla pr dów jest by aktywnym przez 31% czasu i by nieaktywnym przez 69% czasu. Warto± gry wynosi 13,3. W okresie, w którym Davenport prowadziª swoje obserwacje, 69% rybaków stosowaªo strategi wewn trzn, a 31% strategi po±redni. Analiza Davenporta byªa krytykowana, poniewa» przeciwnikiem rybaków w grze jest pr d morski, zjawisko przyrodnicze. Nie umie on racjonalnie podejmowa decyzji, a jego zachowanie pozostaje caªkowicie niezale»ne od post powania rybaków, w szczególno±ci je±li rybacy nie b d stosowali swojej strategii optymalnej, przyroda nie zmieni swojej strategii, aby to przeciw nim wykorzysta. W tej sytuacji rybacy powinni posªugiwa si kryterium warto±ci oczekiwanej. Znaj c strategi pr du - aktywno± przez 25% czasu, nieaktywno± przez 75% czasu - powinni wybra strategi przynosz c najwi ksz warto± oczekiwan wypªaty. Otrzymujemy strategia wewn trzna: 0, 25 17, 3 + 0, 75 11, 5 = 12, 95 strategia zewn trzna: 0, 25 ( 4, 4) + 0, 75 20, 6 = 14, 35 strategia po±rednia: 0, 25 5, 2 + 0, 75 17, 0 = 14, 05. Wszyscy rybacy powinni ªowi wyª cznie na ªowiskach zewn trznych. Jednak tak nie robili. Wyja±nieniem mo»e by to, o czym mówili zreszt sami rybacy - strategia zewn trzna jest zbyt ryzykowna. Zachowania pr dów morskich nie da si przewidzie. Nawet je±li ±rednio aktywne s przez 25% czasu, to okresowo mo»e to byc znacznie wi cej lub mniej. Zalet stosowania strategii minimaksowej jest to,»e gwarantuje ona wypªat co najmniej 13,3 funta miesi cznie niezale»nie od zachowania pr dów. W tego typu sytuacjach wybór takiej strategii moze by wyborem racjonalnym tak»e wtedy, gdy przeciwnik nie jest zdolny do przeprowadzenia jakiegokolwiek rozumowania. 2.4 Teoria gier a biznes 3 Gry dwuosobowe o sumie niezerowej 3.1 Równowagi Nasha 3.2 Wynik optymalny w sensie Pareto 3.3 Podatki: wymuszanie wªa±ciwych zachowa«3.4 Dylemat wi ¹nia 4 Literatura Powy»sze notatki powstaªy w oparciu o ksi»ki 1. Philip D. Stran, Teoria gier, Wydawnictwo Naukowe SCHOLAR, Warszawa Paweª Sztonyk (