TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.

Transkrypt

1 TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.

2 Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga

3 Can a Round of Poker Solve Afghanistan's Problems? Richard J.H. Gash Wioska północna Za Koalicją Za Talibanem Wioska południowa Za Koalicją 2,2-6,6 Za Talibanem 6,-6-2,-2

4 Gry o sumie niezerowej konkurencja i współpraca W grach o sumie niezerowej interesy obu graczy nie są ani dokładnie przeciwstawne, ani też w pełni ze sobą zgodne: mamy do czynienia z konkurencją, nie wykluczającą jednak w pełnych sytuacjach współpracy.

5 Poziomy wymiany informacyjnej 1. Całkowity brak możliwości komunikacji między graczami 2. Możliwość komunikacji przed wyborem strategii (obietnice, zobowiązania) 3. Uzgadnianie strategii kooperacyjnych

6 Gra o sumie niezerowej z równowagą w strategii czystej A B A (2,3) (3,2) B (1,0) (0,1)

7 Gra o sumie niezerowej z równowagą w strategii mieszanej A B A (2,4) (1,0) B (3,1) (0,4)

8 Strategia wyrównująca Strategia wyrównująca strategia mieszana, która równoważy wartość oczekiwaną dla gracza, niezależnie od decyzji przeciwnika Strategia wyrównująca a: A: 3/7 B: 4/7 Wo: 16/7 2,29 A B Strategia wyrównująca Kolumny: A: ½ B: ½ Wo: 3/2=1,5 A (2,4) (1,0) B (3,1) (0,4)

9 Twierdzenie Nasha (1950) Każda dwuosobowa gra o sumie niezerowej ma przynajmniej jedną równowagę, albo w strategiach czystych, albo w mieszanych. Równowagę taką nazywamy Równowagą Nasha.

10

11 Piękny Umysł

12 Gra z dwiema nieekwiwalentnymi i niewymiennymi równowagami A B A (1,1) (2,5) B (5,2) (-1,-1)

13 Nieekwiwaletność i niewymienność A B A (1,1) (2,5) B (5,2) (-1,-1) Gra ma 2 równowagi w strategiach czystych: AB (2,5) i BA (5,2) Równowagi te nie są ekwiwaletne Równowagi te nie są wymienne Jeżeli oboje wybiorą strategie prowadzące do tych równowag, uzyskają wynik najgorszy z możliwych BB (-1,-1)

14 Gra z jedną równowagą, nieoptymalną w sensie Pareto A B A (3,3) (-1,5) B (5,-1) (0,0)

15 Optymalność w sensie Pareto Wynik gry jest nieoptymalny w sensie Pareto (albo subparetooptymalny, lub nieefektywny Pareto), jeśli gra ma inny wynik, dający obu graczom wyższe wypłaty, lub jednemu z graczy taką samą, a drugiemu wyższą. Wynik jest paretooptymalny, jeśli takiego innego wyniku nie ma.

16 Kryterium Pareto Kryterium Pareto. Tylko wynik optymalny w sensie Pareto może być akceptowany jako rozwiązanie gry

17 Metoda znajdywania strategii optymalnych w sensie Pareto A B A (2,3) (3,2) B (1,0) (0,1) A B A (2,4) (1,0) B (3,1) (0,4) A B A (1,1) (2,5) B (5,2) (-1,-1) A B A (3,3) (-1,5) B (5,-1) (0,0)

18 Równowagi Nasha wady i zalety Zalety Są stabilne Istnieje przynajmniej jedna dla każdej gry Wady Mogą być nieekwiwaletne Mogą być niewymienne Mogą być nieoptymalne w sensie Pareto

19 Zastosujmy metodę minimaksową A B A (2,4) (1,0) B (3,1) (0,4)

20 Strategia bezpieczeństwa i poziom bezpieczeństwa W grze o sumie niezerowej strategię optymalną a w grze a nazywamy strategią bezpieczeństwa a, zaś wartość gry a nazywamy poziomem bezpieczeństwa a

21 Co, jeśli oboje zagrają swoje strategie bezpieczeństwa? Jeśli zagra A, zaś 4/7A i 3/7 B, wynikiem będzie 4/7AA+3/7AB=(11/7, 16/7) A B A (2,4) (1,0) B (3,1) (0,4)

22 Strategia kontrbezpieczeństwa W grze o sumie niezerowej strategią kontrbezpieczną nazywamy strategię będącą najlepszą odpowiedzią na strategię bezpieczeństwa przeciwnika

23 Niestabilność w grach o sumie niezerowej Strategia a Strategia Kolumny Wypłata a Wypłata Kolumny bezpieczeństwa bezpieczeństwa 1,57 2,29 bezpieczeństwa kontrbezpieczna 2,00 4,00 kontrbezpieczna Bezpieczeństwa 1,71 2,29 kontrbezpieczna Kontrbezpieczna 3,00 1,00 Strategia bezpieczeństwa a Strategia bezpieczeństwa Kolumny Strategia kontrbezpieczna a Strategia kontrbezpieczna Kolumny A 4/7A, 3/7 B B A

24 Rozwiązywalność w ścisłym sensie Dwuosobowa gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie, jeżeli: Ma co najmniej jedną równowagę optymalną w sensie Pareto, oraz Jeśli równowag takich jest więcej, to są one ekwiwalentne i wymienne

25 Ile równowag? Które paretooptymalne? A B C A (0,-1) (0,2) (2,3) B (0,0) (2,1) (1,-1) C (2,2) (1,4) (1,-1)

26 Dwie równowagi, która paretooptymalna? A B C A (0,-1) (0,2) (2,3) B (0,0) (2,1) (1,-1) C (2,2) (1,4) (1,-1)

27 Znajdź równowagę Nasha i sprawdź, czy jest ona paretooptymalna A B A (3,2) (2,1) B (4,3) (1,4)

28 Czy ta gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie? A B A (2,2) (4,3) B (3,4) (1,1)

29 Czy ta gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie? A B A (2,2) (4,1) B (1,3) (3,4)

30 Czy ta gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie? A B C A (3,0) (5,2) (0,4) B (2,2) (1,1) (3,3) C (2,1) (4,0) (1,0)

31 Czy są jakieś pytania?

32 Następne zajęcia