etrzna, miara, miara Lebesgue a

Miara zewn etrzna, miara, miara Lebesgue a Ostatnio poprawiłem 14 luteg 2015 r. dziękuję p. Dorocie B. za wskazówkę Nie jest jasne, ile bł edów jeszcze zostawiłem Państwu do wykrycia. Prosz e w każdym razie o informacje o nich. Poprawi e! Jeśli ktoś czegoś nie zrozumie, to również prosze o kontakt, przyczyna może być bład w tekście. Zajmiemy sie teraz miara. Chodzi o to, że w przypadku funkcji wielu zmiennych czesto istnieje potrzeba rozważania funkcji określonych na dosyć skomplikowanych zbiorach i trzeba umieć określać wielkość tych zbiorów. Chcemy wiec uogólnić pojecie długości, pola i objetości. Okaże sie też, że również prawdopodobieństwo jest miara. W nastepnym semestrze przekonamy sie, że pola i długości rozmaitości dwu i jednowymiarowych w przestrzeni trójwymiarowej lub wiecejwymiarowej to też miary. Poza podaniem możliwie ogólnej definicji miary jest też problem przechodzenia do granicy pod znakiem całki. Teoria, która przedstawimy jest z tego punktu widzenia o wiele wygodniejsza od całki Riemanna. Twierdzenia bed a mieć proste dowody i bedzie można je łatwo stosować. Jakieś koszta trzeba jednak ponieść. Jesteśmy zmuszeni do ustalenia dla jakich zbiorów możemy określać miare. Miara powinna być nieujemna, zbiór ograniczony powinien mieć skończona miare. Miara sumy zbiorów rozłacznych powinna być równa sumie ich miar. Ten ostatni warunek powinien być spełniony również w przypadku przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłacznych, to podstawa przechodzenia do granicy (np. pole koła traktować można jako granice ciagu wielokatów foremnych wpisanych w to koło, to samo dotyczy pola ograniczonego łukiem paraboli i jej cieciw a, objetości kuli, pola powierzchni kuli itp.). Przejścia graniczne konieczne sa nawet w bardzo prostych sytuacjach. Na poczatku XX w. Dehn rozwiazał trzeci problem Hilberta i okazało sie, że sześcianu nie można pokroić na kawałki, z których da sie złożyć czworościan foremny. Wiadomo było, że np. kwadrat o polu jeden można pociać na kawałki, z których da sie ułożyć trójkat o polu jeden (dla różnych trójkatów trzeba ciać na różne kawałki, ale można to zawsze zrobić). Wynika stad, że do określenia pola wielokata na płaszczyźnie przejścia graniczne sa zbedne, natomiast w przypadku wielościanu (nawet foremnego) sa konieczne. Załóżmy teraz, że udało sie nam określić miare na wszystkich podzbiorach prostej, czyli funkcje µ: 2 R [0, ] w taki sposób, że ( ) 1 jeśli A n R dla n = 1, 2,... i A i A j = dla i j, to µ A n = µ(a n ), 2 µ(a) < dla każdego zbioru ograniczonego A R, 3 µ([a, b]) > 0 dla dowolnego przedziału [a, b], gdy a < b, czyli gdy przedział nie jest zdegenerowany, 4 jeśli zbiór D jest obrazem zbioru C w pewnym przesunieciu, to µ(d) = µ(c). Wykażemy za Giuseppe Vitalim, że nasze założenie prowadzi do sprzeczności. Używać bedziemy w tym dowodzie pewnika wyboru i od razu należy powiedzieć, że wiadomo, że bez pewnika wyboru konstrukcja ta nie jest możliwa (ale tymi kwestiami zajmować sie nie bedziemy). Powiemy, że x y wtedy i tylko wtedy, gdy x y Q. Relacja jest równoważnościa, bowiem: 111

x x, gdyż 0 Q (wiec jest zwrotna); x y y x, gdyż w Q w Q (wiec jest symetryczna), oraz x y i y z x z, gdyż w 1, w 2 Q w 1 + w 2 Q (wiec jest przechodnia). Klase abstrakcji liczby x oznaczymy jak zwykle przez [x]. Jeśli w Q, to dla każdego x R mamy [x] = [x + w]. Wynika stad, że dla każdej liczby x R istnieje liczba y [0, 1] taka, że [x] = [y], inaczej mówiac każda klasa abstrakcji ma reprezentanta w przedziale [0, 1]. Niech V [0, 1] bedzie zbiorem, który ma z każda klasa abstrakcji dokładnie jeden element wspólny. Zbiór taki istnieje dzieki pewnikowi wyboru. Niech V t = {v + t : v V }, czyli V t oznacza zbiór V przesuniety o t. Zauważmy, że [0, 1] V t [ 1, 2]. (vit) t [ 1,1] Q Zauważmy również, że jeśli t s sa liczbami wymiernymi, to V t V s = : jeśli a V t V s, to istnieja liczby u, v V takie, że u + s = v + t czyli u v = t s Q, ale to oznacza, że u v, a ponieważ V ma z każda klasa abstrakcji relacji dokładnie jeden element, wiec u = v i wobec tego t = s, wbrew założeniu. Ze wzgledu na warunek 4 mamy µ(v t ) = µ(v ) dla każdej ( liczby t. Wobec tego z warunku 1 wynika, że ) ( ) µ([0, 1]) µ V t µ([ 1, 2]) oraz µ V t = µ(v t ) t [ 1,1] Q i wobec tego 0 < µ([0, 1]) t [ 1,1] Q t [ 1,1] Q t [ 1,1] Q µ(v t ) µ([ 1, 2]) <. Nie jest to możliwe, bo z lewej nierówności wynika oczywiście, że 0 < µ(v t ) = µ(v ) i wobec tego µ(v t ) =, co przeczy prawej nierówności, bo µ([ 1, 2]) <. t [ 1,1] Q Z wykazanego twierdzenia Vitaliego wynika, że jeśli mamy ochot e określić miar e tak, by spełnione były jednocześnie warunki 1 4, to musimy koniecznie ograniczyć dziedzin e tej funkcji: nie możemy określać jej dla wszystkich zbiorów. Z drugiej strony chcemy, by dziedzina miary była możliwie duża. Zdefiniujemy teraz ciała i przeliczalnie addytywne ciała zbiorów. Definicja 7.1 (ciała i przeliczalnie addytywnego ciała (σ ciała) zbiorów) Rodzina F 2 X podzbiorów przestrzeni X nazywana jest ciałem zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione sa jednocześnie warunki: 1 F, 2 A F X \ A F, 3 A, B F A B F. Jeśli dodatkowo spełniony jest czwarty warunek: 4 Dla dowolnych A 1, A 2,... F zbiór A n F, rodzin e F nazywamy przeliczalnie addytywnym ciałem zbiorów. Przykład 7.2 Rodzina 2 X jest przeliczalnie addytywnym ciałem zbiorów. Przykład 7.3 Rodzina złożona ze wszystkich podzbiorów skończonych przestrzeni X i ich uzupełnień jest ciałem zbiorów, które nie jest ciałem przeliczalnie addytywnym, jeśli X ma nieskończenie wiele elementów. 112

Przykład 7.4 Rodzina złożona ze wszystkich podzbiorów przeliczalnych i skończonych przestrzeni X oraz ich uzupełnień jest ciałem przeliczalnie addytywnym. Przykład 7.5 Jeśli F 2 X jest rodzina zbiorów, to cześć wspólna wszystkich ciał zbiorów zawierajacych rodzine F jest ciałem zbiorów wynika to od razu z definicji ciała zbiorów. To samo jest prawda w przypadku ciał przeliczalnie addytywnych. Przykład 7.6 Jeśli X jest przestrzenia topologiczna (np. metryczna), to najmniejsze przeliczalnie addytywne ciało zbiorów zawierajace wszystkie zbiory otwarte jest oznaczana symbolem B(X) i nazywana rodzina zbiorów borelowskich ( E.Borel był francuskim matematykiem, jednym z głównych twórców teorii miary). Mówiac o najmniejszym przeliczalnie addytywnym ciele myślimy o cześci wspólnej wszystkich przeliczalnie addytywnych ciał zawierajacych wszystkie zbiory otwarte. Definicja 7.7 (miary zewnetrznej) Miara zewnetrzn a nazywamy dowolna funkcje µ : 2 X [0, ], która spełnia naste- pujace trzy warunki: 1 µ ( ) = 0, 2 A B = µ (A) µ (B), 3 µ ( ) A n µ (A n ) dla dowolnych zbiorów A 1, A 2,... X. Definicja 7.8 (miary przeliczalnie addytywnej) Niech F 2 X bedzie przeliczalnie addytywnym ciałem zbiorów. Miara (na F) nazywamy dowolna funkcje µ: F [0, ], która spełnia nastepuj ace warunki: 1 µ( ) = 0, 2 jeśli A j F dla j = 1, 2, 3,... i A i A j = dla i j, czyli gdy zbiory A 1, A 2,... sa parami rozłaczne, to µ ( ) A n = µ(a n ). Czasem warunek 2 zastepowany jest słabszym: żadamy by był równość zachodziła jedynie w przypadku rodzin skończonych. W takich sytuacjach mówimy o skończenie addytywnej mierze dla odróżnienia od miary, która ma być przeliczalnie addytywna. Przykład 7.9 Niech µ(a) oznacza liczbe elementów zbioru A, jeśli A jest zbiorem skończonym. W przypadku zbioru nieskończonego przyjmujemy µ(a) =. Jest jasne, że tak zdefiniowana funkcja jest miara. Nazywana jest miara liczac a na przeliczalnie addytywnym ciele wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X. Twierdzenie 7.10 (o monotoniczności miary) Jeśli µ jest miara A, B F oraz A B, to µ(a) µ(b). Dowód. Przyjmujemy A 1 = A, A 2 = B \ A, A n = dla n = 3, 4,... i korzystamy z równości: µ(b) = µ ( ) A n = µ(a n ) = µ(a 1 ) + µ(a 2 ) + µ(a 3 ) + = = µ(a) + µ(b \ A) + µ ( ) + µ ( ) + µ(a). 113

Twierdzenie 7.11 (o przeliczalnej podaddytywności miary) ( ) Jeśli A n F dla n = 1, 2,..., to µ A n µ(a n ). Dowód. Niech B n = A n \ (A 1 A 2... A n 1 ) dla n = 2, 3,... i niech B 1 = A 1. Dla każdego n zachodzi równość B 1 B 2... B n = A 1 A 2... A n. Zbiory B 1, B 2,... sa parami rozłaczne, wiec ( ) ( ) µ A n = µ B n = µ(b n ) µ(a n ) na mocy twierdzenia o monotoniczności miary. Twierdzenie 7.12 (o mierze sumy wstepuj acego ciagu zbiorów) ( ) Jeśli A n F i A n A n+1 dla n = 1, 2,..., to µ A n = lim µ(a n ). n Dowód. Niech B n = A n \ A n 1 dla n = 2, 3,... i niech B 1 = A 1. Zachodzi równość A n = B 1 B 2... B n. Zbiory B 1, B 2,... sa parami rozłaczne, zatem ( ) ( ) ( µ A n = µ B n = µ(b n ) = lim µ(b1 ) + µ(b 2 ) + + µ(b n ) ) = n lim µ(a n). n Twierdzenie 7.13 (o mierze cześci wspólnej zstepuj acego ciagu zbiorów) Jeśli A n F i A n A n+1 dla n = 1, 2,... i µ(a n0 ) < dla pewnego n 0, to zachodzi ( ) równość µ A n = lim µ(a n ). n ( ) ( ) Dowód. Niech A = A n =, B n = A n0 \ A n. Zachodza nastepuj a- n=n 0 A n ce inkluzje = B n0 B n0 +1... i równość A n0 \ A = B n0 B n0 +1..., wiec µ(a n0 \ A ) = lim µ(b n ). Dla n n 0 mamy µ(a n0 ) = µ(a ) + µ(a n0 \ A ) oraz n µ(a n0 ) = µ(a n ) + µ(a n0 \ A n ) i wobec tego ( µ(a n0 ) µ(a n ) = µ(a n0 \ A n ) = µ(b n ) µ ) B n = µ(a n0 \ A ) = n n=n 0 = µ(a n0 ) µ(a ), zatem lim µ(a n ) = µ(a ). n Zajmiemy sie teraz ważnym twierdzeniem pozwalajacym ograniczyć dziedzine miary zewnetrznej tak, by na mniejszej dziedzinie (przeliczalnie addytywnym ciele zbiorów) miara zewnetrzna stała sie miara. Zaczniemy od definicji. Definicja 7.14 (warunku Carathéodory ego) Zbiór A spełnia warunek Carathéodory go wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru Z X zachodzi równość µ (Z) = µ (Z A) + µ (Z \ A). (car) Mówimy wtedy, że zbiór A jest mierzalny w sensie Carathéodory ego lub µ mierzalny. Rodzin e zbiorów µ mierzalnych oznaczać b edziemy symbolem F(µ ). 114

Twierdzenie 7.15 (Carathéodory ego) Zbiory mierzalne w sensie Carathéodory ego tworza przeliczalnie addytywne ciało zbiorów. µ jest miara na tym σ ciele. Przed podaniem dowodu zauważmy, że nierówność µ (Z) µ (Z A) + µ (Z \ A) jest prawdziwa zawsze, bo Z = (Z A) (Z \ A). Wobec tego dowodzac, że dla jakiegoś zbioru A spełniony jest warunek Carathéodory ego, bedziemy wykazywać, że µ (Z) µ (Z A) + µ (Z \ A). Dowód. Mamy µ (Z ) + µ (Z \ ) = 0 + µ (Z) = µ (Z), a to oznacza, że zbiór pusty jest mierzalny w sensie Carathéodory ego. Jeśli µ (Z) = µ (Z A) + µ (Z \ A), to µ (Z) = µ (Z \ A) + µ (Z A) = µ (Z \ A) + µ (Z A) = = µ ( Z (X \ A) ) + µ (Z \ (X \ A)). Dowodzi to, że jeśli zbiór A jest mierzalny w sensie Carathéodory ego, to również jego dopełnienie X \ A jest mierzalne w sensie Carathéodory ego. Teraz wykażemy, że suma A B dwóch zbiorów A i B mierzalnych w sensie Carathéodory ego jest mierzalna w sensie Carathéodory ego. Mamy µ (Z) µ ( (A B) Z ) + µ ( Z \ (A B) ) µ (A Z) + µ ( B (Z \ A) ) + µ ( (Z \ A) \ B ) (car) === B = µ (A Z) + µ (Z \ A) === (car) = µ (Z). A Załóżmy teraz, że A, B F(µ ) sa zbiorami rozłacznymi. Dla dowolnego zbioru Z zachodzi równość µ ( Z (A B) ) (car) === µ ( Z (A B) A ) +µ ( Z (A B)\A ) = µ (Z A)+µ ( Z B ). A W szczególności miara zewnetrzna µ jest skończenie addytywna na F(µ ) (miara sumy dwóch rozłacznych zbiorów z F(µ ) to suma ich miar). Ponieważ suma dwóch zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego jest mierzalna w sensie Carathéodory ego, wiec również suma dowolnej skończonej liczby zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego ma te własność łatwa indukcja. Jeżeli A, B F(µ ), to również A \ B = A (X \ B) = X \ ( (X \ A) B ) F(µ ), zatem również różnica zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego jest mierzalna w sensie Carathéodory ego. Po drodze wykazaliśmy, że również cześć wspólna dwóch zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego jest mierzalna w sensie Carathéodory ego. Załóżmy teraz, że A n F(µ ) dla każdej liczby naturalnej n. Wykażemy, że zbiór A n jest mierzalny w sensie Carathéodory ego. Zaczniemy od przedstawienia zbioru A n w postaci sumy parami rozłacznych zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego. Niech B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ (A 1 A 2 ), B 4 = A 4 \ (A 1 A 2 A 3 ),... Zbiory B 1, B 2,... sa oczywiście parami rozłaczne i mierzalne w sensie Carathéodo- 115

ry ego. Oczywiście A n = B n, również m A n = m B n dla każdej liczby całkowitej m 1. Mamy wiec: µ (Z) = µ ( Z (B 1 B 2... B m ) ) + µ ( Z \ (B 1 B 2... B m ) ) = = µ (Z B 1 ) + µ (Z B 2 ) + + µ (Z B m ) + µ ( Z \ (B 1 B 2... B m ) ) µ (Z B 1 ) + µ (Z B 2 ) + + µ (Z B m ) + µ ( Z \ (B 1 B 2...) ) dla każdej liczby naturalnej m. Wobec tego zachodza nierówności µ (Z) µ (Z B 1 ) + µ (Z B 2 ) + + µ ( Z \ (B 1 B 2...) ) = ) ) ) = µ (Z B n ) + µ (Z \ B n µ (Z B n + µ (Z \ B n µ (Z), przedostatnia nierówność wynika z wzoru (Z B n ) = Z B n i z podaddytywności funkcji µ. Stad zaś wynika, że µ (Z) = µ (Z Wykazaliśmy, że zbiór B n = ) B n + µ (Z \ B n ). A n jest mierzalny w sensie Carathéodory ego. Z powyższych nierówności wynika też, że µ (Z ( ) każdego zbioru Z, w szczególności µ B n = ) B n = µ ( ) Z B n dla µ ( ) B n (dla Z = B n ). Funkcja µ rozpatrywana na zbiorach spełniajacych warunek Carathéodory ego jest wiec miara przeliczalnie addytywna. Miara otrzymana przez zmniejszenie dziedziny miary zewnetrznej µ oznaczana bedzie symbolem µ. Stwierdzenie 7.16 (o mierzalności zbiorów miary 0) Jeśli µ (A) = 0, to A F(µ ). Dowód. µ (Z) µ (A Z) + µ (Z \ A) µ (A) + µ (Z \ A) = µ (Z \ A) µ (Z), zatem µ (Z) = µ (A Z) + µ (Z \ A), a to oznacza, że A F(µ ). Zanim przejdziemy do konstrukcji najważniejszej z punktu widzenia tego wykładu miary wykażemy jeszcze jedno twierdzenie, które pozwala wykazywać, że w wypadku porzadnych miar na przestrzeniach metrycznych, zbiorów mierzalnych jest sporo, a właściwie trudno spotkać zbiory niemierzalne. Niech X bedzie przestrzenia metryczna z metryka ϱ. Jeżeli A, B X, to odstep zbiorów A i B definiujemy jako dist(a, B) = inf{ϱ(a, b) : a A, b B}. Jasne jest, że jeśli A B, to dist(a, B) = 0, zatem funkcja dist nie jest metryka. Jeśli p X, to definiujemy odległość punktu p od zbioru A wzorem ϱ(p, A) = dist({p}, A). Definicja 7.17 (miary metrycznej) Miara zewnetrzna nazywana jest miara metryczna wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, że dist(a, B) > 0 wynika, że µ (A B) = µ (A) + µ (B). 116

Twierdzenie 7.18 (o mierzalności zbiorów borelowskich) Jeśli µ jest miara metryczna określona na 2 X, to zbiory borelowskie sa mierzalne w sensie Carathéodory ego. Dowód. Wystarczy wykazać, że zbiory otwarte sa mierzalne w sensie Carathéodory ego. Załóżmy, że zbiór G jest otwarty. Niech G n = {p X : ϱ(p, X \ G) > 1 }. n Ponieważ G jest zbiorem otwartym, wiec G n = G. Mamy też G n G n+1. Niech D n = G n+1 \G n dla n = 1, 2,... oraz D 0 = G 1. Z tej definicji wynika od razu, że zbiory D 0, D 1, D 2,... sa parami rozłaczne oraz, że ich suma jest zbiór G. Jeśli i j 2, to dist(d i, D j ) > i j 1 > (i+1)(j+1) 0.1 Jeśli µ (Z) =, to ponieważ = µ (Z) µ (G Z) + µ (Z \ G), wiec zachodzi równość µ (Z) = µ (G Z) + µ (Z \ G). Załóżmy teraz dla odmiany, że µ (Z) <. Zachodza wzory µ (Z D 1 ) + µ (Z D 3 ) + + µ (Z D 2n+1 ) = = µ ( (Z D 1 ) (Z D 3 )... (Z D 2n+1 ) ) µ (Z) oraz µ (Z D 0 ) + µ (Z D 2 ) + + µ (Z D 2n ) = = µ ( (Z D 0 ) (Z D 2 )... (Z D 2n ) ) µ (Z). Wynika z nich, że µ (Z D n ) 2µ (Z) <. Mamy też n=0 zatem µ ( Z (G \ G m ) ) G \ G n = D n D n+1..., µ (Z D n ) 0 (reszta szeregu zbieżnego d aży n=m m do 0). Z nierówności dist(z G n, Z \ G) 1 > 0 i metryczności miary zewn etrznej n µ wynika, że µ (Z G n ) + µ (Z \ G) = µ ( (Z G n ) (Z \ G) ) µ (Z), zatem µ (Z) µ (Z G) + µ (Z \ G) = µ ( (Z G m ) (Z (G \ G m )) ) + µ (Z \ G) µ (Z G m ) + µ ( Z (G \ G m ) ) + µ (Z \ G) = =µ ( (Z G m ) (Z \ G) ) + µ ( Z (G \ G m ) ) µ (Z) + µ ( Z (G \ G m ) ) m µ (Z). Stad wynika od razu, że µ (Z) = µ (Z G) + µ (Z \ G), a to oznacza, że zbiór G jest mierzalny. Dowód został zakończony. Mamy już narzedzia pozwalajace na skonstruowanie naturalnej miary w przestrzeni R k. W zeszłym roku omówiony był poczatek konstrukcji w przypadku k = 1. Nie zajeliśmy sie wtedy w ogóle kwestiami przeliczalnej addytywności miary. Namiastka było stwierdzenie, że miara sumy przeliczalnie wielu zbiorów miary 0 jest równa 0 oraz stwierdzenie, że jeśli przedziały niezdegenerowane I j pokrywaja jakiś przedział P, to suma długości przedziałów I j jest nie mniejsza niż długość przedziału P. Uogólnimy teraz te stwierdzenia dopuszczajac wymiar wiekszy niż 1 oraz zbiory mierzalne, wiec nieomal dowolne. 1 Jeśli j > i + 1, x D i, y D j, to ϱ(x, y) > 1 i+1 1 j = j i 1 j(i+1) > 117 j i 1 (i+1)(j+1).

Definicja 7.19 (cześciowego porzadku w R k ) Niech x, y R k. Definiujemy: x y wtedy i tylko wtedy, gdy x i < y i dla i = 1, 2,..., k oraz x y wtedy i tylko wtedy, gdy x i y i dla i = 1, 2,..., k. Jest rzecza oczywista, że i to relacje cześciowego porzadku w przestrzeni k wymiarowej. Definicja 7.20 (przedziału k wymiarowego) Załóżmy, że p q. Przedziałem k wymiarowym otwartym o końcach p, q R k nazywamy zbiór tych x R k, dla których zachodzi nierówność podwójna p x q. Oznaczamy go symbolem (p, q) k. Przedziałem domknietym o końcach p, q R k nazywamy {x R k : p x q}, oznaczamy go symbolem [p, q] Jeśli k = 2, to przedziałami otwartymi sa prostokaty bez brzegu o bokach równoległych do osi układu współrzednych, przedziały domkniete to prostokaty z brzegami o bokach równoległych do osi układu współrzednych. W przypadku k = 3 mamy do czynienia z prostopadłościanami, których krawedzie sa równoległe do osi układu współrzednych. Oczywiście przedziały otwarte k wymiarowe sa zbiorami otwartymi w R k, natomiast przedziały domkniete sa zbiorami domknietymi, a ponieważ sa też ograniczone wiec sa zbiorami zwartymi. Definicja 7.21 (zawartości czyli k wymiarowej obj etości przedziału) Zawartość przedziału R 2 o końcach p, q to liczba vol(r) = (q 1 p 1 )(q 2 p 2 )... (q k p k ). Stosować b edziemy t e definicj e w odniesieniu do przedziałów domkni etych i do otwartych. Definicja 7.22 (k wymiarowej miary zewnetrznej Lebesgue a) l k (A) = inf { j J vol(r j) : {R j } j R j przedział, j J R j A }. Jeśli rodzina { } R j jest nieprzeliczalna, to j vol(r j) =, bo co najmniej jeden ze zbiorów { R j : vol(r j ) n} 1 musi być nieprzeliczalny (nam starczyłby nieskończony), wiec jeśli l k (A) <, to dla każdej liczby ε > 0 istnieje przeliczalna rodzina przedziałów {R j } pokrywajaca zbiór A taka, że j vol(r j) < l k (A) + ε. Jeśli l k (A) =, to możemy każdy z przedziałów pokrywaj acych zbiór A zastapić zawierajacym go przedziałem otwartym a z pokrycia przedziałami otwartymi można jak wiadomo wybrać podpokrycie przeliczalne, zreszta można założyć od razu, że te nieco wieksze przedziały otwarte maja końce w Q k, a takich przedziałów jest przeliczalnie wiele. Oznacza to, że w definicji można rozpatrywać tylko pokrycia przeliczalne. Ponieważ zawartość przedziału otwartego równa jest zawartości przedziału domknietego (o tych samych końcach), wiec można zastapić przedziały otwarte domknietymi nie zmieniajac sumy ich zawartości. Oznacza to, że w definicji miary l k można rozważać jedynie przedziały domkniete. Można też ograniczyć sie do przedziałów otwartych. Jeśli bowiem ε > 0 i n vol(r n) l k (A) + ε, przy czym przedziały numerowane s a liczbami naturalnymi, to zastepuj ac przedział R n współśrodkowym przedziałem otwartym 2 Pytanie: za ile lat ktoś przetłumaczy słowo rectangle na np. rektangiel? 118

R n takim, że vol( R n ) < vol(r n ) + ε otrzymujemy taka 2 n+1 rodzine { R n } przedziałów otwartych, że n vol( R n ) l k (A) + 2ε. Wynika st ad, że kres dolny sum n vol(r n) jest niezależny od tego, czy rozpatrujemy tylko przedziały otwarte, czy tylko przedziały domkniete, czy też przedziały wszystkich możliwych rodzajów. Stwierdzenie 7.23 l k jest miar a zewnetrzn a na R k. Dowód. l k ( ) = 0, bo dowolna rodzina przedziałów jest pokryciem zbioru pustego. Jeśli A B, to każde pokrycie zbioru B przedziałami jest też pokryciem zbioru A, zatem l k (A) l k (B). Niech teraz A 1, A 2,... oznaczaja dowolne podzbiory przestrzeni R k. Niech {R n,m } m N oznacza taka rodzine przedziałów pokrywajac a zbiór A n, że m vol(r n,m) l k (A n) + ε. Wtedy rodzina {R 2 n n,m } n,m N pokrywa zbiór n NA n, zatem ( ) l k A n n,m N vol(r n,m) ( ) l k (A n ) + ε 2 = l n k (A n ) + ε. n N ( ) Nierówność ta ma miejsce dla każdej liczby ε > 0, wiec l k A n l k (A n). Stwierdzenie 7.24 Niech p q i niech dla każdego j {1, 2, 3,..., k} dane bed a liczby p j = x j,0 < x j,1 < x j,2 <... < x j,mj = q j. Niech r w oznaczaja punkty przestrzeni R k ponumerowane za pomoca k wskaźników w = (w 1, w 2,..., w k ) przy czym w j {0, 1,..., m j } a kolejnymi współrzednymi punktu r w sa liczby x 1,w1, x 2,w2,..., x k,wk. Niech R bedzie rodzina wszystkich takich przedziałów [r w, r w ], że dla każdego j {1, 2, 3,..., k} zachodzi równość w j w j = 1. Wtedy: wnetrza przedziałów z rodziny R sa parami rozłaczne oraz R = [p, q] i vol(r) = vol([p, q]). R R R R Dowód. Zacznijmy od wyjaśnienia: w treści tego stwierdzenia opisany został formalnie podział przedziału k wymiarowego na mniejsze przedziały powstajacy w wyniku podzielenia każdej krawedzi dużego przedziału na mniejsze przedziały, punkty x j,1, x j,2,..., x j,mj 1 dziela j ta krawedź [p j, q j ] na m j mniejszych przedziałów jednowymiarowych, w wyniku tego wyjściowy przedział k wymiarowy został podzielony na m 1 m 2... m k przedziałów. Każdy przedział z rodziny R to produkt postaci [x 1,i1, x 1,i1 +1] [x 2,i2, x 2,i2 +1]... [x k,ik, x k,ik +1]. Stad wynikaja wszystkie cześci tezy tego stwierdzenia. Wnetrza przedziałów z rodziny R sa parami rozłaczne, bo jeśli przedziały sa różne, to na którejś współrzednej wystepuj a różne przedziały jednowymiarowe, wiec ich wnetrza sa rozłaczne. x j, czyli j ta współrzedna punktu x [p, q], należy do któregoś jednowymiarowego przedziału (jednego lub dwóch, wybieramy jeden), wiec x jest elementem produktu tak wybranych jednowymiarowych przedzialików, wiec [p, q] jest suma przedziałów rodziny R. Dzieki rozdzielności mnożenia wzgledem dodawania zachodzi równość n N 119

vol ( [p, q] ) = k (q j p j ) = j=1 m k j (x j,i+1 x j,i ) = j=1 i=0 k = j,ij +1 x j,ij ) = {i 1,i 2,...i k } I j=1(x vol(r), R R gdzie I = {0, 1,..., m 1 1} {0, 1,..., m 2 1}... {0, 1,..., m k 1}. Stwierdzenie 7.25 (o metryczności miary Lebesgue a) l k jest miar a zewnetrzn a metryczna na R k. Dowód. Niech dist(a, B) = δ > 0. Wtedy l k (A B) l k (A) + l k (B), bo l k jest miara zewnetrzn a. Trzeba wykazać nierówność przeciwna. Niech ε bedzie dowolna liczba dodatnia. Załóżmy, że R jest taka rodzina k wymiarowych przedziałów, że A B R RR i vol(r) l k (A B) + ε. R R Możemy każdy przedział z rodziny R podzielić na przedziały o średnicach (przekat- nych) mniejszych niż δ i usunać z powstałej rodziny przedziały rozłaczne ze zbiorem A B. Otrzymujemy rodzin e R przy czym vol(r) vol(r) l k (A B) + ε. R R R R Żaden przedział z rodziny R nie przecina jednocześnie A i B, wiec R rozpada sie na dwie rozłaczne rodziny: R A i R B, pierwsza złożona jest z przedziałów przecinaj acych zbiór A, a druga z przecinajacych zbiór B. Wynika stad, że A R, B R oraz l k (A) + l k (B) R R A R R A vol(r) + R R B R R B vol(r) = vol(r) l k (A B) + ε. R R Wobec tego, że ε jest tu dowolna liczba dodatnia możemy napisać: l k (A) + l k (B) l k (A B). Miara zewnetrzna l k ograniczona do zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory ego nazywana jest k wymiarowa miara Lebesgue a, a zbiory mierzalne w sensie l k zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a. Przeliczalnie addytywne ciało podzbiorów przestrzeni R k mierzalnych w sensie Lebesgue a oznaczać bedziemy przez L k. Z twierdzenia o mierzalności zbiorów borelowskich dla miary metrycznej i z tego, że l k jest miar a metryczna wynika, że wszystkie zbiory borelowskie w R k sa mierzalne w sensie Lebesgue a, czyli L k B(R k ). W rzeczywistości ta inkluzja równościa nie jest to wniosek z twierdzenia Vitali ego. Prawdziwe jest: Twierdzenie 7.26 (charakteryzujace zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a) Niech A R k. Nastepuj ace warunki sa równoważne 0 zbiór A R k jest mierzalny w sensie Lebesgue a; 1 dla każdej liczby dodatniej ε istnieje taki zbiór otwarty G R k, że A G oraz l k (G \ A) < ε; 120

2 istnieje taki zbiór G typu G δ (tzn. cześć wspólna przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych), że A G i l k (G \ A) = 0; 3 dla każdej liczby ε > 0 istnieje taki zbiór domkniety F R k, że F A oraz l k (A \ F ) < ε; 4 istnieje taki zbiór F typu F σ (tzn. suma przeliczalnej rodziny zbiorów domknie- tych), że F A i l k (A \ F ) = 0. Dowód. Definiujemy zbiory: A 1 = A B(0, 1), A 2 = A ( B(0, 2) \ B(0, 1) ), A 3 = A ( B(0, 3) \ B(0, 2) ),... Jeśli A jest zbiorem mierzalnym, to również zbiory A 1, A 2,... sa mierzalne, bo kule otwarte sa mierzalne w sensie Lebesgue a, a dodajac i odejmujac zbiory mierzalne otrzymujemy w wyniku zbiory mierzalne. Niech ε > 0. Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje taki zbiór otwarty G n A n, że l k (G n \ A n ) < ε. W definicji miary zewnetrznej 2 n l k można rozważać jedynie pokrycia zbioru A n przedziałami k wymiarowymi otwartymi. Istnieja zatem takie przedziały otwarte R n,j, że G n = j R n,j A n, wiec j vol(r n,j) l k (A n) + ε = l 2 n k (A n ) + ε. 2 n Wynikaja stad nierówności l k (A n ) l k (G n ) j l k(r n,j ) j vol(r n,j) l k (A n ) + ε 2 n ( ) l k B(0, n) + ε <. 2 n Wobec tego, że zbiory A n i G n A n sa mierzalne i wiekszy z nich ma miare skończona, możemy napisać l k (G n \ A n ) = l k (G n ) l k (A n ) ε. Niech G = 2 n n G n. Zbiór G jest otwarty, bo jest suma zbiorów otwartych. Zachodza nierówności l k (G \ A) n l k(g n \ A n ) ε n = ε. Warunek 1 został wywnioskowany z mierzalności 2 n zbioru A. 3 Teraz zakładamy, że dla pewnego zbioru A spełniony jest warunek 1. Niech G n oznacza zbiór otwarty taki, że l k (G n \A) < 1 i G n n A. Niech G = G n. Oczywiście G jest zbiorem typu G δ. Mamy też l k (G \ A) l k (G n \ A) < 1 0, zatem n n l k (G \ A) = 0. Załóżmy teraz, że spełniony jest warunek 2. Zbiór G jest mierzalny, bo jest borelowski. Zbiór G \ A jest mierzalny, bo l k (G \ A) = 0. Wobec tego zbiór A = G \ (G \ A) też jest mierzalny. Warunek 1 jest spełniony dla zbioru R k \ A wtedy i tylko wtedy, gdy warunek 3 jest spełniony dla zbioru A. Analogicznie warunek 2 jest spełniony dla zbioru R k \ A wtedy i tylko wtedy, gdy warunek 4 jest spełniony dla zbioru A wynika to natychmiast z tego, że uzupełnieniem zbioru typu G δ jest zbiór typu F σ i odwrotnie (prawa de Morgana). Dowód został zakończony. Z definicji miary wynika od razu, że dla każdego k wymiarowego przedziału R zachodzi nierówność l k (R) vol(r). Nie należy sie w tym momencie spodziewać sensacji. Twierdzenie 7.27 (o mierze przedziału wielowymiarowego) l k (R) = vol(r) dla każdego k wymiarowego przedziału R. 3 Zbiory A n rozważaliśmy tylko po to, by skorzystać z równości µ(g n \A n ) = µ(g n ) µ(a n ), wi ec musieliśmy wiedzieć, że µ(g n ) <, w dowodzonym twierdzeniu nie zakładamy, że µ(a) <. 121

Dowód. Wystarczy wykazać, że dla każdego rodziny {R j } przedziałów otwartych pokrywajacej przedział domkniety R zachodzi nierówność j vol(r j) vol(r). Niech λ > 0 bedzie liczba Lebesgue a rodziny {R j } pokrywajacej zbiór zwarty R, tzn. jeśli A R i średnica diam(a) zbioru A jest mniejsza niż λ, to istnieje takie j = j(a), że A R j(a). Podzielmy przedział R na n k przystajacych przedzialików S i wybrawszy tak duże n, że diam(s i ) < λ. Niech T j bedzie suma wszystkich przedzialików S i zawartych w R j. Jasne jest, że T j jest k wymiarowym przedziałem domknietym lub zbiorem pustym. Z określenia wynika od razu, że T j R j, wiec vol(t j ) vol(r j ). Ponieważ każdy przedział S i jest zawarty w pewnym przedziale R j, wiec j T j R i wobec tego j T j = R. Ze stwierdzenia 7.23 wynika, że i vol(s i) = vol(r). Analogiczny wzór zachodzi dla przedziału T j w tym przypadku sumujemy zawartości tych przedziałów S i, których suma jest przedział T j. Wobec tego vol(r) = i vol(s i) j vol(t j) j vol(r j). 4 Twierdzenie 7.28 (o niezmienniczości miary Lebesgue a ze wzgledu na przesuniecia) Dla każdego zbioru A L k i dla każdego wektora v R k zachodzi równość l k (A) = l k (A + v), gdzie A + v = {x + v : x A}, czyli A + v to obraz A w przesunieciu o wektor v. Dowód. Wynika to od razu z tego, że vol(r + v) = vol(r) dla każdego przedziału k wymiarowego R : przesuwajac pokrycie zbioru A przedziałami o wektor v otrzymujemy pokrycie zbioru A + v przedziałami, których suma zawartości jest taka sama jak przedziałów pokrywajacych zbiór A, stad wynika, że l k (A + v) l k (A), druga nierówność jest równie oczywista. Niech K k = [0, 1] k bedzie kostka jednostkowa wymiaru k. Twierdzenie 7.29 (o jednoznaczności miary Lebesgue a) Załóżmy, że µ jest taka miara określona na L k, że 0 µ(a) = µ(a + v) dla każdego A L k i każdego v R k (tzn. µ jest przesuwalna); 1 0 < µ(r) < dla każdego przedziału otwartego R R k (miara każdego k wymiarowego przedziału jest skończona i dodatnia, czyli miary zbiorów zwartych sa skończone, a otwartych i niepustych dodatnie). Wtedy dla każdego zbioru A L k zachodzi równość µ(a) = µ(k k )l k (A). Dowód. (i) Niech A R k bedzie podprzestrzenia afiniczna wymiaru mniejszego od k. Wykażemy, że µ(a) = 0. Niech A m = A B(0, m). Niech v R k oznacza wektor prostopadły do A, v = 1. Niech A m,n = {x + 1 v : x A n m} = A m + 1 v. Miara n każdego ze zbiorów A m,1, A m,2,... równa jest µ(a m ), bo miara µ jest przesuwalna. Ponieważ A m B(0, n), wiec A m,n B(0, m + 1) przesuneliśmy zbiór A m o wektor o długości 1. Jasne jest również, że A m,i A m,j = dla i j. Wobec tego µ(b(0, n + 1)) µ( n A m,n ) = n µ(a m,n) = µ(a m ) + µ(a m ) +... 4 Nie ma żadnym podstaw do twierdzenia, że przedziały T j maja rozłaczne wnetrza nie musza i dlatego nierówność i vol(s i) j vol(t j) może być ostra! 122

Ostatnia suma jest skończona, a to jest możliwe jedynie wtedy, gdy µ(a m ) = 0. Oczywiście m A m = A, zatem µ(a) m µ(a m) = 0. (ii) Niech Q n = { m : m Z, n N}, Q 2 n 0 jest wiec zbiorem liczb całkowitych, Q 1 jest zbiorem złożonym z liczb 0, ± 1, ±1, ± 3 itd. Niech K 2 2 n bedzie rodzina kostek o 1 krawedziach długości i końcach dwójkowo wymiernych, tzn. przedziałów postaci 2 n [x, y] takich, że x, y Q k n (potega w sensie iloczynu kartezjańskiego), przy czym y j x j = 1 dla j = 1, 2,..., k. Niech K = 2 n n K n. Wykażemy, że każdy niepusty zbiór otwarty G można przedstawić w postaci sumy kostek należacych do K o wnetrzach parami rozłacznych. Niech G n oznacza sume kostek z K n zawartych w zbiorze otwartym G. Ponieważ każda kostka z K n jest suma kostek z K n+1 (tj. majacych dwa razy krótsze krawedzie), wiec G n G n+1. Jeśli p G, to istnieje liczba r > 0 taka, że B(p, r) G. Niech n bedzie liczba naturalna tak duża, że k < r. Istnieje kostka K K 2 n n zawierajaca punkt p. Jest ona zawarta w kuli B(p, r), bo diam(k) = k < r. Wynika stad, 2 n że dla każdego p G znajdzie sie n N takie, że p G n. Oznacza to, że n G n = G. Jasne jest też, że każdy ze zbiorów G n jest suma kostek o wnetrzach parami rozłacznych, G n+1 powstaje z G n przez dołaczenie do G n tych kostek z K n+1, które nie sa zawarte w G n, ale sa zawarte w G. (iii) Miary wszystkich kostek z K n sa równe µ ( [0, 1 ] k) wynika to od razu z przesuwalności miary µ: każda kostka z K n jest obrazem kostki [0, 1 ] k w pewnym prze- 2 n 2 n sunieciu. (iv) µ(k k ) = µ([0, 1] k ) = 2 k µ([0, 1 2 ]k ) = 2 2k µ([0, 1 ] k ) = 2 3k µ([0, 1 ] k ) =..., bo 2 2 2 3 miara µ jest przesuwalna, kostka [0, 1] składa sie 2 z 2k obrazów kostki [0, 1] w odpowiednich przesunieciach, 2 których wnetrza sa parami rozłaczne, itd. Z (i) wynika, że µ(bd(k)) = 0 dla każdej kostki K K, co pozwala na skorzystanie z przeliczalnej addytywności miary µ pomimo, że rozpatrywane kostki nie sa parami rozłaczne (staja sie parami rozłaczne po usunieciu zbioru miary 0). Stad natychmiast wynika, że µ ( [0, 1 2 ]k ] ) ( = 1 µ(k 2 k k ) = µ(k k )l k [0, 1 2 ]k ] ), µ ([ ( 0, 1 ] k ]) = 1 µ(k 2 2 2 2k k ) = µ(k k )l k [0, 1 ] k ] ) 2 2 itd. Ogólnie µ ([ ( 1 0, ] k ]) = 1 µ(k 2 m 2 mk k ) = µ(k k )l k [0, 1 ] k ] ). Wobec tego równość 2 m µ(k) = µ(k k )l(k) zachodzi dla każdej kostki K K. (v) Ponieważ zbiór otwarty G można przedstawić jako sume takiego zbioru H, że µ(h) = 0 = l k (H) (suma brzegów kostek z poprzednich punktów) i przeliczalnej rodziny parami rozłacznych kostek otwartych z rodziny K, dla których dowodzony wzór ma miejsce, wiec wzór jest prawdziwy dla każdego zbioru otwartego. Wynika stad, że jest też prawdziwy dla zbiorów borelowskich, których miara Lebesgue a jest równa 0: miara Lebesgue a zbioru A równa jest 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istnieje zbiór otwarty G ε A taki, że l k (G ε ) < ε. Wtedy µ(g ε ) < εµ(k k ), a ponieważ jest dla każdej liczby dodatniej ε, wiec µ(a) = 0. Jeśli B R k jest zbiorem mierzalnym a ε liczba dodatnia, to istnieje zbiór otwarty G ε B taki, że l k (G ε \ B) < ε. Stad wynika, że µ(b) µ(g ε ) = µ(k k )l k (G ε ) µ(k k ) ( l k (B) + l k (G ε \ B) ) µ(k k )l k (B) + εµ(k k ), a ponieważ ta nierówność zachodzi dla każdej liczby ε > 0, wiec µ(b) µ(k k )l k (B). 123

Jeśli zbiór mierzalny B jest zawarty w zbiorze otwartym G miary skończonej, to µ(k k )l k (G) = µ(g) = µ(b) + µ(g \ B) µ(k k )l k (B) + µ(k k )l k (G \ B) = µ(k k )l k (G) i wobec tego, że po obu stronach wystepuj a liczby (a nie nieskończoność), musza zachodzić równości µ(b) = µ(k k )l k (B) oraz µ(g \ B) = µ(k k )l k (G \ B). Dowodzona równość ma wiec miejsce dla każdego zbioru mierzalnego, którego miara Lebesgue a jest skończona (np. ograniczonego), a każdy zbiór mierzalny można przedstawić jako sume przeliczalnej rodziny parami rozłacznych zbiorów mierzalnych, ograniczonych. To kończy dowód. Umowa lokalna 0 = 0 (w teorii miary i całki). Twierdzenie 7.30 (o mierze obrazu zbioru mierzalnego w przekształceniu liniowym) Jeśli L: R k R k jest przekształceniem liniowym, zbiór A jest mierzalny w sensie Lebesgue a, to zbiór L(A) też jest mierzalny w sensie Lebesgue a i zachodzi równość ( ) l k L(A) = det(l) lk (A). Dowód. Zaczniemy od rozpatrzenia przypadku trywialnego. L(R k ) jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni R k. Jeśli wymiar tej podprzestrzeni jest mniejszy niż k, to jej miara Lebesgue a równa jest 0, punkt pierwszy dowodu poprzedniego twierdzenia. Wynika stad, że jeśli det(l) = 0, czyli gdy L nie jest izomorfizmem, to miara obrazu dowolnego zbioru równa jest 0, bo obraz całej przestrzeni ma miare 0, wiec równy jest 0 l k (A). Od tego momentu zakładać bedziemy, że L jest izomorfizmem R k, czyli że det(l) 0. Niech µ(a) = l k (L(A)) dla dowolnego zbioru A L k. Z tego, że L przekształceniem różnowartościowym odwzorowujacym R k na siebie, wynika, że rodzina zbiorów {L(A) : A L k } jest przeliczalnie addytywnym ciałem zbiorów. Ponieważ L jest homemomorfizmem, wiec zbiory otwarte przekształca na zbiory otwarte, domkniete na domkniete, borelowskie na borelowskie. Oczywiście µ jest miara na tym σ ciele: µ( n A ( n) = l k L( n A n) ) = n l ( ) k L(A) = n µ(a n) dla dowolnych parami rozłacznych zbiorów mierzalnych A 1, A 2,... µ jest miara przesuwalna, bowiem ( ) ( ) ( ) µ(a + v) = l k L(A + v) = lk L(A) + L(v) = lk L(A) = µ(a). Jest to miara skończona na zbiorach ograniczonych (L przekształca zbiory ograniczone na zbiory ograniczone) i dodatnia na zbiorach otwartych (L przekształca zbiory otwarte na zbiory otwarte). Wobec tego jest to miara Lebesgue a pomnożona przez ( pewna liczbe dodatnia, mianowicie przez l k L(Kk ) ). ( Niech c(l) = l k L(Kk ) ). Z definicji wynika, że c (L 1 L 2 ) = c (L 1 ) c (L 2 ), bo (( ( c(l 1 L 2 )l k (K k ) = l k L1 L 2 )(K k )) = l k L1 (L 2 (K k )) ) = ( = c(l 1 )l k L2 (K k ) ) = c(l 1 )c(l 2 )l k (K k )). Jest też oczywiste, że jeśli macierz przekształcenia L jest przekatniowa, to obrazem kostki K k jest przedział, a wartości bezwzgledne wyrazów na przekatnej to długości krawedzi tego k wymiarowego przedziału, wobec tego jego miara to ich iloczyn, czyli wartość bezwzgledna wyznacznika macierzy L. Niech L i,j (s) bedzie macierza, która 124

ma na głównej przekatnej same jedynki, poza nia zera z wyjatkiem j tego wyrazu w i tym wierszu, którym jest liczba s; L i to macierz, która poza główna przekatn a ma same zera, na głównej przekatnej sa same jedynki z wyjatkiem miejsca i-tego, na którym stoi 1. Macierz L i L różni sie od macierzy L tym, że i ty wiersz został pomnożony przez 1; macierz LL i tym, że i ta kolumna została pomnożona przez 1. W szczególności L i L i = I, gdzie I oznacza macierz jednostkowa wymiaru k. Wobec tego c(i) = c(l i L i ) = c(l i ) 2, zatem c(l i ) = 1, co zreszta i tak wynika z tego, że L i jest macierza przekatniow a. Mamy też L i,j ( s) = L i L i,j (s)l i i wobec tego c(l i,j )( s) = c(l i )c ( L i,j (s) ) c(l i ) = c ( L i,j (s) ). Macierz L i,j (s)l otrzymujemy przepisujac wszystkie wiersze macierzy L z wyjatkiem i tego bez zmian, a i ty wiersz zastepujemy suma wiersza i tego i iloczynu wiersza j tego przez liczbe s. Jasne jest wiec, że L i,j (s)l i,j ( s) = I, zatem 1 = c(i) = c ( L i,j (s)l i,j ( s) ) = c ( L i,j (s) ) c ( L i,j ( s) ) = c ( L i,j (s) ) 2, wiec c ( L i,j (s) ) = 1. Za pomoca operacji elementarnych przeprowadzanych na wierszach można sprowadzić macierz dowolnego izomorfizmu do macierzy przekatniowej. Te operacje to mnożenie danej macierzy z lewej strony przez L i,j (s), badź zamiana i tego wiersza z wierszem j tym, czyli mnożenie przez macierz M i,j, w której wiersze o numerach różnych od i, j sa takie, jak w macierzy jednostkowej, w i tym wierszu sa zera z wyjatkiem j tego miejsca, na którym znajduje sie 1, w j tym wierszu sa zera z wyjatkiem i tego miejsca, na którym znajduje sie 1. Jasne jest, że M i,j M i,j = I, zatem c(m i,j ) 2 = 1, wiec c(m i,j ) = 1. Wartości obu funkcji c i det pokrywaja sie na macierzach przekatniowych a przy wykonywaniu operacji elementarnych, czyli przy mnożeniu macierzy przez macierze postaci L i,j (s), M i.j oraz L i nie ulegaja zmianom. Wobec tego równość c(l) = det(l) zachodzi dla każdego izomorfizmu L. Wobec tego twierdzenie jest prawdziwe dla zbiorów borelowskich. Każdy zbiór A miary zero jest podzbiorem zbioru G typu G δ (wiec borelowskiego) miary zero, wiec 0 = det(l) l k (G) = l k (L(G)) l k (L(A)), zatem l k (L(A)) = 0 = det(l) l k (A). Wzór zachodzi wiec również dla dowolnego zbioru miary zero. Każdy zbiór mierzalny można przedstawić w postaci zbioru borelowskiego, np. typu F σ i zbioru miary 0. Wobec tego teza twierdzenia zachodzi dla wszystkich zbiorów mierzalnych. Dowód został zakończony. Twierdzenie 7.31 (o mierze iloczynu kartezjańskiego zbiorów mierzalnych) Jeśli zbiory A R k i B R l sa mierzalne w sensie Lebesgue a, to ich iloczyn kartezjański A B R k+l jest mierzalny w sensie Lebesgue a i zachodzi równość ( l k+l A B) = lk (A) l l (B). Dowód. Jeśli zbiory A i B sa odpowiednio k i l wymiarowymi przedziałami, to również zbiór A B jest przedziałem, tyle że k + l wymiarowym. W tym przypadku dowodzony wzór jest oczywiście prawdziwy, bo miara przedziału równa jest jego wielowymiarowej objetości. Wynika stad w szczególności, że jeżeli l l (B) = 0 i A jest przedziałem, to zachodzi wzór l k+l (A B) = 0: jeśli ε > 0, to istnieje takie pokrycie zbioru B przedziałami 125

{P n : n N}, że vol(p n ) < ε. Przedziały k + l wymiarowe {A P n : n N} pokrywaja zbiór A B, wiec l k+l (A B) < n l k(a) vol(p n ) < l k (A) ε. Tak samo wykazujemy, że jeśli B jest przedziałem i l k (A) = 0, to l k+l (A B) = 0. Z topologii wiadomo, że jeśli zbiory A R k i B R l sa otwarte, to również zbiór A B jest otwarty. Mamy też n (C n D n ) = ( n C ) ( n n D n). Wynika st ad, że iloczyn kartezjański zbiorów typu G δ jest zbiorem typu G δ. Analogicznie dla zbiorów typu F σ. Jeśli A i B sa mierzalne, to istnieja zbiory F, H typu F σ i zbiory C, D miary zero takie, że A = F C i B = H D. Wobec tego A B = F H [ F D C H C D ], czyli zbiór A B jest suma zbioru F H typu F σ i zbioru F D C H C D, którego miara jest równa zero, zatem jest mierzalny. Niech B bedzie ustalonym przedziałem. Niech ν(a) = l k+l(a B) l l. Jasne jest, że ν (B) jest miara przesuwalna określona na rodzinie zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue a. Jeśli A jest przedziałem, to ν(a) = l k+l(a B) l l = l k(a) l l (B) (B) l l = l (B) k (A). Stad wynika, że dla wszystkich zbiorów mierzalnych A mamy ν(a) = l k (A), zatem l k+l (A B) = =l k (A) l l (B) dla wszystkich zbiorów mierzalnych A i wszystkich przedziałów B. Niech teraz A R k bedzie dowolnym zbiorem mierzalnym, którego miara jest różna od 0. Definiujemy µ(b) = l k+l(a B) l l. µ jest miara (A) przesuwalna określona na rodzinie zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue a. Jeśli B jest przedziałem, to µ(b) = l l (B). Z twierdzenia o jednoznaczności miary Lebesgue a wynika, że µ(b) = l l (B) dla wszystkich zbiorów mierzalnych B. Zakończymy opowiadanie o miarach twierdzeniami, których nie wykorzystujemy w wykładzie, ale które maja jednak duże znaczenie, m. in. w rachnuku prawdopodobieństwa. Lemat 7.32 (o generowaniu ciała przeliczalnie addytywnego) Jeśli F 2 X jest ciałem zbiorów, to najmniejszym σ ciałem zbiorów σ(f) zawierajacym F jest najmniejsza rodzina zbiorów G F spełniajaca oba warunki: a. jeśli A G, to X \ A G, b. jeśli A i A j = dla i j oraz A n G dla n N, to n A n G. Dowód. Niech G(B) = {A G : A B G, A B G, A \ B G, B \ A G}. Jeśli A G(B), to (X \ A) B = X \ (A \ B) G, (X \ A) B = B \ A G, (X \ A) \ B = X \ (A B) G, B \ (X \ A) = A B G, wiec X \ A G(B). Niech B G. Załóżmy, że A n G(B) dla n N oraz A i A j = dla i j. Wtedy ( n N A ) ( n B = n N (A n \ B) ) B G, bo zbiory A n \ B G sa parami rozłaczne i nie maja wspólnych elementów ze zbiorem B. Mamy również ( n N A n ) B = n N (A n B) G. Mamy też ( n N A n) \ B = n N (A n \ B) G i wreszcie B \ ( n N A n) = B \ ( n N (A n B) ) = B ( X \ n N (A n B) ) G. W ten sposób wykazaliśmy, że n N A n G(B). Oznacza to, że jeśli B F, to G G(B), 126

jako że G jest najmniejsza z rodzin zawierajacych F, spełniajacych warunki a i b. Oznacza to, że G jest ciałem zbiorów. Przeliczalna addytywność wynika teraz z tego, że jeśli A n N dla każdego n, to n N A n = A 1 ( ) ( A 2 \ A 1 A3 \ (A 1 A 2 ) ) ( A 4 \ (A 1 A 2 A 3 ) )... oraz A n \ (A 1 A 2... A n 1 ) G. Uwaga 7.33 Czesto zamiast warunku A i A j = dla i j (rozłaczności zbiorów) używany jest warunek A 1 A 2 A 3... (monotoniczności ciagu zbiorów). Czytelnik samodzielnie powinien udowodnić te lekko zmieniona wersje lematu o generowaniu σ ciała. Warto też nieco uprościć dowód lematu można! Twierdzenie 7.34 (o rozszerzaniu miary) Jeśli F 2 X jest ciałem zbiorów, µ: F [0, ] taka skończenie addytywna miara, że a. jeśli An F dla każdego n N oraz A A n F i A F, to zachodzi nierówność µ ( A n) µ(a n ), b. istnieja takie zbiory B 1, B 2,... F, że µ(b n ) < i X = B n, 5 to istnieje dokładnie jedna przeliczalnie addytywna miara µ: σ(f) [0, ] pokrywajaca sie z miara µ na F, tzn. { µ(a) = µ(a) dla każdego A F. } Dowód. Niech µ (A) = inf j J µ(f j) : j F j A, A F, card(j) ℵ 0, card(j) oznacza moc zbioru J, dla każdego zbioru A X. Oczywiście µ ( ) = 0. Jasne jest również, że jeśli A B, to µ (A) µ (B). Wypada jeszcze stwierdzić, że dla dowolnych zbiorów A 1, A 2,... X zachodzi nierówność µ ( A n ) µ (A n ). Z definicji funkcji µ wynika, że dla każdego ε > 0 i każdego n N istnieje taka, co najwyżej przeliczalna rodzina {F n,m }, że µ (A n ) m µ (F n,m ) µ (A n ) + ε. Ponieważ n,m F n,m n A n, wiec 2 n µ ( n A n) n,m µ (F n,m ) n (µ (A n ) + ε ) = ( 2 n n (µ (A n ) ) + ɛ, co wobec dowolności liczby dodatniej ε, dowodzi, że µ ( n A n) ( n µ (A n ) ). Udowodniliśmy, że funkcja µ jest miara zewnetrzn a na 2 X. Z definicji µ wynika, że jeśli A F, to µ (A) = µ(a). Przyjmujemy µ(a) = µ (A) dla każdego zbioru mierzalnego w sensie Carathéodory ego. Wykażemy, że wszystkie zbiory F sa mierzalne w sensie Carathéodory ego. Niech Z X i niech A F. Niech Z n F n, F n F dla n N. Zachodzi wiec równość µ(f n ) = µ(a F n ) + µ(f n \ A), bo zbiory A F n i F n \ A sa rozłaczne i sa elementami ciała F. Można wiec napisać n µ(f n) = n µ(a F n) + n µ(f n \ A) µ (A Z) + µ (Z \ A) A Z ( n (A F n) i A F n F oraz Z\A n (F n\a) i F n \A F. Ponieważ jest tak dla dowolnego pokrycia zbioru Z zbiorami z F, wiec µ (Z) µ (A Z)+µ (Z \A), 5 Jeśli przestrzeń jest suma co najwyżej przeliczalnej rodziny zbiorów miary skończonej, to miare nazywamy półskończona lub σ skończona. 127

co dowodzi mierzalności w sensie Carathéodory ego zbioru A. Jeśli n F n A i F n F dla n N, to µ(a) n µ(f n), zatem µ (A) µ(a). Ponieważ przeciwna nierówność wynika z definicji µ, wiec µ (A) = µ(a). Niech µ 1 : σ(f) [0, ] bedzie taka miara, że µ 1 (A) = µ(a) dla każdego zbioru A F. Wykażemy, że rodzina zbiorów G, na których te miary µ i µ 1 pokrywaja sie, jest σ ciałem zbiorów zawierajacym F. Definiujemy G n = {A X : A B n σ(f) i µ(a B n ) = µ 1 (A B n )}. Jeśli A G n, to (X \ A) B n = B n \ (A B n ) σ(f) oraz µ((x \ A) B n ) = µ(b n ) µ(a B n ) = µ 1 (B n ) µ 1 (A B n ) = µ 1 ((X \ A) B n ). Oznacza to, że X \ A G n. Załóżmy, że A m G n, dla m N oraz A i A j = dla i j. Otrzymujemy wiec µ ( B n m N A ) m = m µ( ) B n A m = m µ ) ( 1( Bn A m = µ1 Bn n N A n), zatem dla rodziny G n sa spełnione oba warunki a i b lematu o generowaniu przeliczalnie addytywnego ciała zbiorów. Oczywiście G n F. Wobec tego G n σ(f). Dowód kończymy stwierdzeniem, że można przyjać, że zbiory B 1, B 2,... sa parami rozłaczne (zastapiwszy je w razie potrzeby zbiorami B 1, B 2 \ B 1, B 3 \ (B 1 B 2 ),... ). To pozwala napisać równość µ(a) = n µ(a B n) = n µ 1(A B n ) = µ 1 (A) dla dowolnego A σ(f) i w ten sposób zakończyć rozumowanie. Nastepne twierdzenia dotycza miary określanej na produkcie dwu przestrzeni z miara. To bardzo ważna operacja i tylko z braku czasu nie poświecamy jej wiecej uwagi w trakcie zajeć. Dalej X I Y oznaczaja przestrzenie z wyróżnionymi przeliczalnie addytywnymi ciałami M 2 X i N 2 Y. Definicja 7.35 (ciała i przeliczalnie addytywnego ciała produktowego) Ciałem produktowym M a N nazywamy najmniejsze ciało zbiorów zawierajace wszystkie zbiory postaci A B, gdzie A M, B N. Przeliczalnie addytywnym ciałem produktowym M N nazywamy najmniejsze przeliczalnie addytywne ciało zbiorów zawierajace wszystkie zbiory postaci A B, gdzie A M, B N. Można łatwo zauważyć, że (A B) (C D) = (A C) (B D) oraz że te równość można uogólnić zastepuj ac cześć wspólna dwóch zbiorów cześci a wspólna dowolnej liczby zbiorów (również nieskończenie wielu). Mamy też (X Y) \ (A B) = ( (X \ A) Y ) ( A (Y \ B) ). Stad bez trudu (szczegóły zechce Czytelnik uzupełnić samodzielnie) wyprowadzamy Stwierdzenie 7.36 (o postaci elementów ciała produktowego) Ciało produktowe M a N składa sie ze zbiorów postaci (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )... (A m B m ), m N, przy czym można zakładać, że A i A j =, gdy i j. Czytelnik zechce zastanowić sie nad tym dlaczego podobne twierdzenie nie jest prawdziwe w wypadku ciała przeliczalnie addytywnego zastapienie sum skończonych nieskończonymi niestety nie ratuje sytuacji. 128

Twierdzenie 7.37 (o mierze produktowej) Załóżmy, że dane sa dwie przeliczalnie addytywne miary µ: M [0, ] oraz ν : N [0, ], obie półskończone, to na przeliczalnie addytywnym ciele produktowym M N można określić dokładnie jedna taka miare µ ν : M N [0, ], że µ ν(a B) = µ(a)ν(b) dla dowolnych zbiorów A M, B N. Miara µ ν nazywana jest iloczynem kartezjańskim lub produktem miar µ i ν. Dowód. Najpierw zdefiniujemy skończenie addytywna miare na ciele zbiorów postaci (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )... (A m B m ). Przyjmujemy µ ν ( (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )... (A m B m ) ) = = µ(a 1 )ν(b 1 ) + µ(a 2 )ν(b 2 ) +... + µ(a m )ν(b m ). Trzeba teraz sprawdzić, że wynik nie zależy od przedstawienia, które oczywiście nie jest jednoznaczne. Załóżmy, że i A i B i = j C j D j, przy czym po obu stronach równości znajduje sie skończenie wiele składników oraz że zarówno zbiory A 1, A 2,..., A r jak i zbiory C 1, C 2,..., C s sa parami rozłaczne. Jeśli A i C j, to oczywiście B i = D j. Możemy wiec napisać i A i B i = i j (A i C j ) B i = i j (A i C j ) D j = j C j D j. Niektóre składniki moga być puste, ale to nie przeszkadza w niczym. Z napisanej równości wnioskujemy, że i µ(a i)ν(b i ) = i j µ(a i C j )ν(b i ) = i j µ(a i C j )ν(d j ) = j µ(c j)ν(d j ), co dowodzi niezależności miary od przedstawienia zbioru w rozpatrywanej postaci. Addytywność miary jest natychmiastowa konsekwencja określenia. Podobnie jest przeliczalna podaddytywnościa wystarczy dowieść, że jeśli A B n C n D n, to µ(a)ν(b) n µ(c n)ν(d n ), bo można założyć, że C i C j = dla i j również wtedy gdy składniki po prawej stronie tej nierówności pochodza z sumowanie nieskończenie wielu zbiorów bed acych sumami skończenie wielu produktów, szczególiki pozostawiamy Czytelnikom. Po tych stwierdzeniach stosujemy twierdzenie o rozszerzaniu miary. Twierdzenie można bez istotnych zmian uogólnić na produkty skończenie wielu, np. m, przestrzeni z miara. Można też też je udowodnić dla dla produktu nieskończenie wielu miar probabilistycznych, tj. takich, że µ n (X n ) = 1. W tej sytuacji zamiast iloczynów kartezjańskich postaci A 1 A 2... A m rozpatrujemy ciało zbiorów złożone z iloczynów nieskończonych postaci A 1 A 2... zakładajac jednak, że dla dostatecznie dużych n zachodzi równość A n = X n. Zajmować sie tym jednak tu nie bedziemy. Dodajmy jeszcze, że miara l k+l nie jest produktem miar l l i l l, bo jest określona na szerszym zbiorze. Aby miara produktowa stała sie miara Lebesgue a trzeba ja uzupełnić, czyli dołaczyć do dziedziny, czy do σ ciała produktowego, podzbiory zbiorów miary 0, co wymusza też dołaczenie innych zbiorów. Kilka zadań Zadanie 7.1 Dowieść, że każdy otwarty podzbiór dowolnej przestrzeni metrycznej jest suma przeliczalnej rodziny zbiorów domknietych, wiec jest zbiorem typu F σ. Sformułować twierdzenie dualne dla zbiorów domknietych. 129

Zadanie 7.2 Dowieść, że zbiór liczb algebraicznych nie jest zbiorem typu G δ w przestrzeni metrycznej R i jest zbiorem typu F σ. Zadanie 7.3 Podać przykład podzbioru borelowskiego przestrzeni metrycznej R, który nie jest suma przeliczalnej rodziny zbiorów domknietych, ani też nie jest cześci a wspólna przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych. Definicja 7.38 π układem nazywamy niepusta rodzine zbiorów P, która wraz ze zbiorami A, B zawiera ich cześć wspólna A B. Definicja 7.39 λ układem nazywamy rodzine zbiorów D 2 X, która spełnia naste- pujace warunki: D, jeśli A D, to X \ A D, jeśli A 1 A 2 A 3... oraz A n D dla każdego n N, to A n D. Zadanie 7.4 Podać przykład π układu, który nie jest λ układem oraz λ układu, który nie jest π układem. Zadanie 7.5 Udowodnić, że jeśli rodzina podzbiorów zbioru X jest zarówno π układem jak i λ układem, to jest σ-ciałem zbiorów. Zadanie 7.6 Udowodnić, że w definicji λ układu trzeci warunek można zastapić warunkiem: jeśli A n D dla każdego n N i A i A j = dla i j, to A n D. Zadanie 7.7 Wykazać, że liczby x [0, 1], majace rozwiniecie dziesietne, w którym nie pojawia sie blok 2011, tworza zbiór zerowej miary Lebesgue a. Zadanie 7.8 Niech A R bedzie zbiorem miary Lebesgue a dodatniej. Dowieść, że istnieja w zbiorze A dwie różne liczby, których różnica jest liczba wymierna. [Wskazówka. Moga sie przydać pewne idee z przykładu (Vitaliego) zbioru niemierzalnego w sensie Lebesgue a.] Zadanie 7.9 Niech f : R R bedzie funkcja jednostajnie ciagł a. Czy stad wynika, że obraz (w przekształceniu f) każdego zbioru miary zero jest zbiorem miary zero? Zadanie 7.10 Zbudować przykład funkcji f : [0, 1] [0, 1] o własnościach: f jest ciagła; f jest ściśle rosnaca; prawie wszedzie (tj. poza pewnym zbiorem miary zero) f ma pochodna f (x) = 0. Zadanie 7.11 Wykazać, że B(R k ) jest rodzina mocy kontinuum. Można to zrobić np. definiujac kolejno rodziny zbiorów: pierwsza zbiory otwarte, druga zbiory otwarte i ich uzupełnienia, trzecia przeliczalne sumy elementów drugiej itd. Trzeba użyć liczb porzadkowych i wykazać, że ta procedura ma koniec, oczywiście stosujemy indukcje pozaskończona. Liczb porzadkowych nieskończonych trzeba użyć ze wzgledu na przeliczalne sumowania. 130