Geometryczie o liczbach
Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly i elemetary sposób zaleźć jawe wzory a wyrazy pewych ciągów oraz ujrzeć związki między tymi ciągami Przyjmijmy ozaczeia T = + + + + ( ) +, () S = T + T + T + + T + T, () K = + + + + ( ) + () (I) Ciąg (T ) azywa się ciągiem liczb trójkątych, właśie ze względu a iterpretację geometryczą pojawiających się w im liczb (rys ) Zauważmy, że z dwóch liczb trójkątych T moża ułożyć prostokąt o wymiarach ( + ) (rys ) To ozacza, że zachodzi rówość T = ( + ), czyli ( + ) T = () T T T T rys rys Powyższe rozumowaie polegało a przedstawieiu pola pewej figury, w tym wypadku prostokąta, a dwa sposoby i przyrówaiu uzyskaych wyików W te sposób ciąg określoy wzorem () okazał się spełiać także zależość () Podobie uzasadimy koleje własości (II) Rozważmy sumę początkowych liczb ieparzystych (rys ) Możemy zauważyć, że omawiaa figura jest sumą dwóch kolejych liczb trójkątych (rys ), które z kolei da się ułożyć w taki sposób, aby dopełiały się do kwadratu o boku (rys 5) Wobec tego + + + 5 + + ( ) = T + T = (5) 5 rys rys rys 5 (III) Ciąg (S ) określoy wzorem (), czyli ciąg sum początkowych liczb trójkątych, bywa azyway ciągiem liczb czworościeych Jeśli bowiem zamiast kwadratów jedostkowych rozważyć jedostkowe sześciay i liczbę aturalą utożsamić z bryłą o objętości zbudowaą z takich sześciaów, to liczby S moża przedstawić jako przypomiające czworościay przestrzee struktury (rys ), których warstwami są koleje liczby trójkąte
T T T T rys T T T T rys 7 Do prowadzeia rozumowań w dwóch wymiarach wygodie jest przedstawić liczbę S jako sklejoych ze sobą coraz większych liczb trójkątych (rys 7) Do każdego trójkątego składika możemy dokleić drugi taki sam, uzyskując tym samym przedstawieie liczby S jako sumy prostokątów (rys 8) T T T T T T T T + rys 8 rys 9 Rozważmy figurę, której brakuje, aby uzupełić rysuek 8 do prostokąta z rysuku 9 Jest oa złożoa z poziomych pasków o wysokości, których długości są kolejymi liczbami trójkątymi Wobec tego cała omawiaa figura ma powierzchię S Skoro prostokąt o wymiarach T ( + ) udało się przedstawić jako sumę trzech liczb S, to S = T ( + ) Stąd S = ( + )( + ), () przy czym, aby otrzymać ostatią rówość, skorzystaliśmy ze wzoru () (IV) Na rysuku 9 moża ujrzeć także uzasadieie rówości + ( ) + ( ) + + = S (7) Rzeczywiście, suma po lewej stroie powyższego wyrażeia odpowiada prostokątom (rys 0), z których zbudoway jest jede ze składików S przedstawioych a rysuku 9 T rys 0 rys (V) Rysuek 9 może rówież posłużyć do wyzaczeia wzoru jawego a wyrazy ciągu sum kwadratów (K ) określoego rówością () Wyodrębieie odpowiediej części rysuku (rys ) wraz ze wzorem () pozwala przekoać się, że K = S + S = ( )( + ) + ( + )( + ) = ( + )( + )
(VI) Zajmiemy się teraz wyprowadzeiem wzoru a sumę K + K + K + + K Chociaż aturalą geometryczą iterpretacją powyższego wyrażeia jest liczb K ułożoych od ajmiejszej do ajwiększej (rys ), okazuje się, że warto arysować tę sumę iaczej Ustawmy miaowicie w porządku iemalejącym ie całe liczby K, a ich małe kwadratowe składiki Wówczas z dwóch takich figur moża ułożyć prostokąt (rys ) T T rys T + S rys Prostokąt te ma wysokość +, a jego szerokość jest rówa S, o czym możemy przekoać się albo korzystając ze wzoru (7), albo patrząc a rysuek (przed zmiaą kolejości składików szerokość figury była taka sama) W związku z tym (K + K + K + + K ) = S ( + ), skąd K + K + K + + K = ( + ) ( + ) (VII) Umiemy już wyzaczyć wzór a sumę kolejych liczb aturalych oraz sumę kwadratów kolejych liczb aturalych Zajmijmy się więc sumą sześciaów + + + + ( ) + Do rozważeia tej sumy a płaszczyźie skorzystamy z astępującej obserwacji: liczbę k moża przedstawić w postaci prostokąta złożoego z k kwadratów o boku k, czyli prostokąta o wymiarach k k Wobec tego omawiaą sumę sześciaów możemy zilustrować jako takich prostokątów, ułożoych jede ad drugim (rys ) T T T rys Korzystając z rówości (5), podzielmy każdy z prostokątych pasków k k a prostokąty o szerokościach będących kolejymi liczbami trójkątymi T k oraz T k (przyjmujemy T 0 = 0)
Prostokąty uzyskae z podziału możemy połączyć w dwie figury (rys 5), które uzupełiają się do kwadratu o boku T (rys ) T Uzasadiliśmy więc, że rys 5 T rys + + + + = T = ( + ), gdzie aby uzyskać ostatią rówość, skorzystaliśmy z tożsamości () Na zakończeie propoujemy kilka zadań, do rozwiązaia których mogą przydać się opisae metody Zachęcamy rówież do lektury artykułu Liczby trójkąte i czworościee, Gazetka Olimpiady Matematyczej Gimazjalistów Kwadrat r (grudzień 0) Niech m, będą dodatimi liczbami całkowitymi Zaleźć wartości wyrażeń: a) T m+ T m T ; b) 8T + ; c) + + 5 + + ( ) ; d) K m+ K m K Zaleźć zwięzły wzór a wartość sumy S + S + S + + S Wskazówka Prostokąty odpowiadające liczbom S, takie jak pokazay a rysuku 9, moża ułożyć obok siebie i otrzymaą figurę uzupełić do większego prostokąta ( + )( + ) Wyprowadzić wzór K = jeszcze dwoma sposobami: korzystając z rysuków 7 i 8 oraz wykorzystując iterpretację przestrzeą liczb K (rys 9) rys 7 rys 8 rys 9 Wskazówka Rysuek 7 przedstawia liczbę K (zob tożsamość (5) i rys ) Po zmiaie kolejości pięter tej figury moża uzupełić ją do prostokąta jeszcze dwiema sumami K (rys 8) Z sześciu brył przystających do przedstawioej a rysuku 9 moża ułożyć prostopadłościa o wymiarach ( + ) ( + )