1.2. Ostrosłupy. W tym temacie dowiesz się: jak obliczać długości odcinków zawartych w ostrosłupach, jakie są charakterystyczne kąty w ostrosłupach.

Transkrypt

1 12 Ostrosłupy W tym temacie dowiesz się: jak obliczać długości odcinków zawartych w ostrosłupach, jakie są charakterystyczne kąty w ostrosłupach Ostrosłup prosty to ostrosłup, który ma wszystkie krawędzie boczne równej długości Spodek wysokości tego ostrosłupa znajduje się w środku okręgu opisanego na jego podstawie Wzór na objętość ostrosłupa: V objętość Pp pole podstawy H wysokość ostrosłupa Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: Pc pole powierzchni całkowitej Pp pole podstawy Pb pole powierzchni bocznej Ostrosłup prawidłowy to ostrosłup prosty, który ma w podstawie wielokąt foremny W ostrosłupie prawidłowym wszystkie krawędzie boczne są równej długości, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi Czworościan foremny to ostrosłup prawidłowy trójkątny (czworościan), którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi

2 Przykład 1 Obliczmy objętość poniższego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego Rozwiązanie Podstawą tego ostrosłupa jest kwadrat o boku długości 8 Zatem pole podstawy jest równe: Zauważmy, że aby obliczyć objętość ostrosłupa, musimy znać jego wysokość Zaznaczamy w ostrosłupie wysokość oraz jej spodek (punkt SS) w miejscu przecięcia przekątnych podstawy Następnie łączymy spodek wysokości ze środkiem boku kwadratu W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy równanie: Podstawiamy wyznaczone pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość ostrosłupa i otrzymujemy: Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa jest równa Ćwiczenie 1 Oblicz objętość ostrosłupa prostego o podstawie prostokąta przedstawionego na rysunku

3 Przykład 2 Obliczmy objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi bocznej długości 8 i krawędzi podstawy długości 4 Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku Zauważmy, że trójkąt ABS (gdzie S jest spodkiem wysokości) to trójkąt prostokątny, w którym odcinek SA jest połową długości przekątnej kwadratu o boku 4 Wobec tego Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABS i obliczamy długość wysokości ostrosłupa:, czyli W podstawie naszego ostrosłupa znajduje się kwadrat o boku długości 4 Zatem pole podstawy jest równe: Podstawiamy wyznaczone pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość ostrosłupa i otrzymujemy: Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi

4 Ćwiczenie 2 Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi bocznej długości 12 i krawędzi podstawy długości 8 Przykład 3 Obliczmy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 12 i wysokości 8 Rozwiązanie Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, musimy obliczyć pole jego podstawy oraz pole powierzchni bocznej W podstawie tego ostrosłupa znajduje się trójkąt równoboczny o boku 12, zatem jego pole podstawy jest równe: Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego stanowią trzy przystające ściany boczne, będące trójkątami równoramiennymi o podstawie 12 i wysokości h Aby obliczyć wysokość ściany bocznej h, rozpatrzmy trójkąt prostokątny, w którym odcinek h jest przeciwprostokątną, odcinek x jedną przyprostokątną, a wysokość ostrosłupa długości 8 drugą przyprostokątną

5 Ponieważ w trójkącie równobocznym punkt S dzieli wysokość w stosunku 1:2, to odcinek x stanowi wysokości trójkąta równobocznego będącego podstawą ostrosłupa Wysokość trójkąta równobocznego o boku 12 wynosi, a zatem Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy równanie: Wobec tego Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe Ćwiczenie 3 Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 6 i wysokości 8

6 Kąty w ostrosłupach Na poniższych rysunkach zostały zaznaczone charakterystyczne kąty w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym Takie kąty możemy też znaleźć w innych ostrosłupach Przykład 4 Obliczmy objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości 6, którego krawędź boczna nachylona jest do przekątnej podstawy pod kątem Rozwiązanie W podstawie tego ostrosłupa znajduje się kwadrat o boku 6 Zatem Zauważmy, że aby obliczyć objętość ostrosłupa, musimy jeszcze znać długość jego wysokości Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, gdzie S to spodek wysokości ostrosłupa Zauważmy, że odcinek AS jest połową przekątnej kwadratu o boku 6, a zatem jest równy

7 Z kolei trójkąt ABS to trójkąt o kątach więc Wobec tego Ćwiczenie 4 Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego przedstawionego na rysunku ZADANIA 1 Wyjaśnij, skąd wiadomo, że poniższe rysunki nie przedstawiają siatek ostrosłupów 2 Z drutu o długości 280 dm wykonano szkielet ostrosłupa prawidłowego ośmiokątnego Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa, jeśli wiadomo, że krawędź boczna i krawędź podstawy pozostają do siebie w stosunku 3:2 3 Oblicz objętość ostrosłupa: a prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 10 i wysokości 9,

8 b prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 4 i wysokości 3, c prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 2 i wysokości 9, d o wysokości 6, którego podstawą jest trapez o podstawach 2 i 4 oraz wysokości 1,5 4 Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego: a czworokątnego o krawędzi podstawy 5 i wysokości ściany bocznej 9, b trójkątnego o krawędzi podstawy 7 i wysokości ściany bocznej 8, c czworokątnego o polu podstawy równym 36 i wysokości ściany bocznej 5, d sześciokątnego o obwodzie 30 i wysokości ściany bocznej 8 5 Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość ściany bocznej i krawędź podstawy są tej samej długości, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 72 6 Oblicz długość krawędzi czworościanu foremnego, którego pole powierzchni całkowitej wynosi Oblicz długości odcinków zaznaczonych na czerwono na rysunku ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, gdzie S oznacza spodek wysokości ostrosłupa 8 Oblicz długości odcinków zaznaczonych na czerwono na rysunku ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, gdzie S oznacza spodek wysokości ostrosłupa 9 Oblicz długości odcinków zaznaczonych na czerwono na rysunku ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, gdzie S oznacza spodek wysokości ostrosłupa 10 Oblicz długość odcinka zaznaczonego na rysunku ostrosłupa prostego, gdzie oznacza spodek wysokości ostrosłupa

9 11 Objętość ostrosłupa o podstawie rombu, w którym spodek wysokości znajduje się na przecięciu przekątnych podstawy o długościach i, jest równa Oblicz wysokość oraz długości krawędzi bocznych tego ostrosłupa 12 Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe, a pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi Oblicz objętość ostrosłupa 13 Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość ostrosłupa prostego przedstawionego na rysunku 14 Oblicz objętość poniższego ostrosłupa prostego 15 Zaznaczony na rysunku kąt w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ma miarę Wiadomo, że wysokość tego ostrosłupa ma długość Oblicz długość krawędzi podstawy ostrosłupa

10 16 Z sześcianu o krawędzi 6 cm odcinamy naroża w sposób pokazany na rysunku Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanej bryły Propozycja rozwiązania: Dla przykładu wycięto czworościany w czterech narożach sześcianu W zadaniu wycinamy je ze wszystkich naroży Narysujmy osobno taki czworościan np a obok jego podstawę Wszystkie krawędzie sześcianu wychodzące z jednego wierzchołka są do siebie prostopadłe więc również krawędzie czworościanu są do siebie prostopadłe Zapiszmy dane Punkty są środkami krawędzi sześcianu czyli

11 Obliczmy objętość otrzymanej bryły Odcinając naroża sześcianu zmniejszyliśmy objętość sześcianu o objętość odciętych czworościanów Możemy zapisać: Pole powierzchni bocznej otrzymanej bryły jest polem powierzchni bocznej sześcianu pomniejszonym o pola trójkątów (6 ścian a w każdej takie trójkąty) takich samych jak i powiększonym o pól trójkątów takich jak Trójkąt jest trójkątem równoramiennym, którego każdy bok ma długość równą połowie długości przekątnej kwadratu o boku (przekątna kwadratu ) Sprytny uczeń zauważy, że po wycięciu naroży, każda ściana stanie się kwadratem o boku równym połowie przekątnej Pole powierzchni bocznej otrzymanej bryły można obliczyć sumując pól tych kwadratów i pól trójkątów Odp, 17 Krawędź czworościanu foremnego ma długość 6 cm Oblicz jego objętość 18 Każda krawędź ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość równą 8 cm Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa 19 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, którego siatka przedstawiona jest poniżej

12 20 Projekt namiotu cyrkowego ma kształt graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego połączonego z ostrosłupem prawidłowym (patrz: rysunek poniżej) Czy materiału wystarczy do pokrycia dachu i ścian tego namiotu? 21 Oblicz wysokość poniższego namiotu, którego sufit stanowi powierzchnia boczna ostrosłupa prawidłowego 22 Na płaskim terenie ustawiono maszt wysokości 11 m i przyczepiono go do podłoża trzema linami równej długości, zamocowanymi w punktach odpowiadających wierzchołkom trójkąta równobocznego o boku 12 m (patrz: rysunek) Oblicz długości tych lin 23 Oblicz odległość spodka wysokości S od krawędzi bocznej w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym przedstawionym na rysunku

13 Propozycja rozwiązania: Opiszmy rysunek i zapiszmy dane jest wysokością w trójkącie równobocznym o boku więc Obliczam pole na dwa sposoby: i Zatem stąd Odp Czy już potrafisz? 1 Objętość ostrosłupa jest równa 3636, a jego wysokość wynosi 1212 Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe Pole podstawy tego ostrosłupa wynosi A 33 B 99 C 144 D Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 6 i krawędzi podstawy 12 jest równe A B C D 3 Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny o wymiarach jak na rysunku Wskaż wszystkie prawdziwe zapisy A B C D 4 Oblicz długość wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego przedstawionego na rysunku poniżej

14 5 Oblicz długości odcinków zaznaczonych na rysunku poniżej