Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria I Zadanie F Maj c dan sum statystyczn Z H, T mo»emy wyznaczy energi swobodn na jeden spin ukªadu poprzez przej±cie do granicy termodynamicznej fh, T = k B T lim ln Z H, T Widom 965 zasugerowaª,»e w otoczeniu punktu krytycznego funkcja f powinna podlega reguªom skalowania w postaci λfh, t = fλ a t, λ b H, dla λ > 0, gdzie t = T T c /T c i T c jest temperatur w punkcie krytycznym, za± a i b s pewnymi rzeczywistymi parametrami Entropia s, magnetyzacja m, ciepªo wªa±ciwe c H przy staªym H oraz podatno± magnetyczna χ T mo»e by wyznaczona za pomoc wzorów s = f T M, M = µ 0 f H T, c H = T s T H, χ T = M H T Dla H = 0 i t = 0 wielko±ci termodynamiczne mog mie osobliwo±ci Asymptotyczne zachowanie wielko±ci termodynamicznych w otoczeniu punktu krytycznego mo»e by opisane przez wykªadniki krytyczne α, α, β, γ, γ, δ: { t β, gdy t 0 M0, T 0, gdy t 0 +, MH, T c ± h /δ, gdy h ±0, χ T 0, T { t γ, gdy t 0 + { t α t γ, gdy t 0, c, gdy t 0 + H0, T t α, gdy t 0 Zakªadaj c hipotez skalowania Widoma i dodatkowe zaªo»enie g y, y yc, gdy y dla pewnej staªej c, udowodnij,»e α = α = a, β = a, γ = γ = a, δ = β Wywnioskuj st d zwi zki mi dzy wykªadnikami krytycznymi α + β + γ =, γ = βδ Zadanie M pier±cie«isinga Spiny s i dla i =,, mog przyjmowa niezale»nie warto±ci ± z rozkªadem jdnostajnym Hamiltonian ukªadu dany jest wzorem Hs,, s = J s i s i+ H s i, gdzie s + = s i J > 0 Znajd¹ sum statystyczn Z H, T = exp βhs,, s, s,,s =± i= i=
gdzie β = /k B T Wyznacz MH, T i udowodnij,»e lim H 0 MH, T = 0 dla T > 0 Zatem nie ma przej±cia fazowego w niezerowej temperaturze Wskazówka: rozwa» macierz z Zadania 3 Zadanie 3 M Warto± ±redni funkcji mikrostanu A{s i } wzgl dem zespoªu kanonicznego deniujemy jako {s A = A{s i} i}e βh{si} = Z {s i} e βh{si} n A{s i }e βh{si} Udowodnij,»e w modelu z Zadania po przej±ciu do granicy termodynamicznej mamy j i s i s j = cos λ φ + sin φ, s i = cos φ, λ {s i} gdzie λ > λ s warto±ciami wªasnymi macierzy e K+h e K, K = J/k B T, h = H/k B T e K i cot φ = e K sinh h Zadanie 4 M e K h a Udowodnij,»e je±li r, r,, r s niezale»nymi rademacherami, to zmienne r r, r r 3,, r r s równie» niezale»nymi rademacherami; b Hamiltonian dla jednowymiarowego modelu Isinga ze swobodnymi warunkami brzegowymi oraz bez pola magnetycznego jest postaci Hs,, s = J i= s i s i+ Korzystaj c z cz ±ci a wyznacz sum statystyczn dla tego ukªadu Zadanie 5 M Znajd¹ wektory wªasne i warto±ci wªasne macierzy c c c n c n c c n M i,j=,,n = c c 3 c Poka»,»e w sytuacji gdy macierz M jest rzeczywista i symetryczna, warto±ci wªasne s równe n λ k = c s cos[πk s /n], k =,, n, s= i odpowiadaj im unormowane wektory wªasne n cos[πk s /n] + sin[πk s /n], k =,, n s=,,n
Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria II Zadanie M model gaussowski W modelu gaussowskim spiny mog przyjmowa warto±ci ci gªe z g sto±ci rozkªadu normalnego Zatem suma statystyczna jest równa Z H, T = exp R π i= Rozwa»my hamiltonian ukªadu spinów zadany wzorem Hs,, s = s i i,j= exp k B T Hs,, s ds ds J ij s i s j H s i, przy czym J ij = c j i mod n + Innymi sªowy mamy Hs,, s = s T Ms H i= s i, gdzie s = s, s,, s i macierz M ma posta jak w Zadaniu 5 Oznaczmy β = /k B T, h = H/k B T Udowodnij,»e i= h Z H, T = exp ln βλ i, βλ gdzie λ k s jak w zadaniu 5 Wyka»,»e w przypadku oddziaªywania najbli»- szych s siadów J ij = Jδ i j, mamy βfh, T = h 4K + 4π = h 4K + ln π 0 i= + ln 4K cos ω dω 6K Zadanie M delta Diraca a Udowodnij,»e dla funkcji f L R, hölderowskiej w zerze mamy lim M + fx +M e itx dt dx = f0 π M b Udowodnij,»e je±li σ jest miar Lebesgue'a na sferze S R i f : R R jest funkcj gªadk o zwartym no±niku, to S fs dσs = lim M +M fx e it x dt dx π R M
Zadanie 3 M model sferyczny Berlina i Kaca W modelu sferycznym spiny mog przyjmowa konguracje speªniaj ce warunek i= s i = Konkretniej, suma statystyczna jest równa exp S k B T Hs,, s dσs, gdzie σ jest standardow miar probabilistyczn, rotacyjnie niezmiennicz na euklidesowej sferze S Poka»,»e dla hamiltonianu z Zadania mamy Z H = 0, T = A n π / α+i exp z i πi lnz βλ dz, α i i= gdzie A du»a jest miar Lebesgue'a sfery S, a liczba α > 0 jest dostatecznie Zadanie 4 M a Przypu± my,»e g : R R jest funkcj gªadk speªniaj c g x 0 dla x supp f i niech f : R R b dzie funkcj gªadk o zwartym no±niku Udowodnij,»e fxe igx dx = o k dla wszystkich k R R b Je±li g ma sko«czenie wiele punktów krytycznych, które s niezdegenerowane, to π fxe igx dx = e 4 iπsgng x eigx fx + o 3/ g x x:g x=0 c Je±li g ma pojedyncze niezdegenerowane maksimum globalne w x = x 0, to fxe gx dx = fx 0 e gx0 π g x 0 + o 3/ γ R d Je±li f : C C jest funkcj analityczn i h : C C jest funkcj analityczn posiadaj c pojedyncze globalne maksimum cz ±ci rzeczywistej w punkcie z = z 0 i je±li γ jest konturem, to fze gz dz = e i arg[ g z 0] π g z 0 + o 3/ Oczywi±cie zakªadamy rozs dn caªkowalno± tych wyra»e«zadanie 5 M Korzystaj c z Zadania 4 oblicz energi swobodn w modelu Berlina i Kaca: βf = + [ + 4K ] / ln { + [ + 4K ] / }
Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria III Model Sherringtona-Kirkpatricka Zadanie M iech g ij i<j b d niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie 0, iech standardowo σ i {, +}, i =,, Deniujemy losowy hamiltonian H σσ = g ij σ i σ j i<j Zdeniujmy R, σ, σ = σi σi i oraz metryk Hamminga na konguracjach spinów dσ, σ = {i σ i σ i } Udowodnij,»e R, σ, σ = dσ, σ oraz E H σ, H σ = R,, EH σ = Zadanie M iech g i i M b d symetrycznymi gaussowskimi zmiennymi losowymi, dla których Egi τ dla i M nie zakªadamy niezale»no±ci Udowodnij,»e E max g i τ ln M i M Zadanie 3 M Udowodnij,»e Emax σ H σ/ ln Zadanie 4 M Deniujemy zmienn losow Z = σ e H σ Jest to losowa suma statystyczna Udowodnij,»e istnieje warto± oczykiwana energii swobodnej na jeden spin p = E ln Z Zadanie 5 M Zdeniujmy hamiltonian ukªadu spinów w polu magnetycznym h wzorem H σ = β g ij σ i σ j h σ i i i<j Udowodnij,»e ln p β 4 + ln + ln chh
Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria IV Zadanie M Udowodnij,»e dla hamiltonianu z Zadania III3 mamy 0 p β β E max σ H σ ln β Zadanie M Wprowadzamy nowy, losowy hamiltonian H σ = i σ i βz i q + h, gdzie q jest pewnym parametrem, a z, z, s niezale»nymi standardowymi zmiennymi gaussowskimi Deniujemy ±redni warto± funkcji f : Σ R gdzie Σ = {, } wzorem f = σ fσe βh σ σ e βh σ Zaobserwuj,»e miara Gibbsa zespóª kanoniczny generowana przez nowy hamiltonian jest produktowa, czyli dla funkcji f : Σ R postaci fσ = i f iσ i, gdzie f i : Σ R, mamy f = i f i i rednia i jest rozumiana jako ±rednia wzgl dem miary Gibbsa dla H i σ = σβz i q + h Udowodnij,»e σ i = thβz i q + h Udowodnij,»e Z = chβz i q + h, i p = ln + E ln chβz q + h, gdzie z jest standardow zmienn gaussowsk Zadanie 3 M Dla niezale»nych zmienych gaussowskich g,, g M deniujemy przestrze«gaussowsk G jako zbiór liniowych kombinacji z = i M a ig i Przestrze«liniow G jest naturalnie wyposa»ona w iloczyn skalarny z z = Ezz W tym sensie jest podprzestrzeni L Ω, F, P a Udowodnij,»e podprzestrzenie F, F przestrzeni G s ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy s niezale»ne b Dla dowolnego wektora z,, z M o rozkªadzie ª cznym gaussowskim istniej zmienne z,, z G takie,»e z,, z M z,, z M c dla dowolnej dodatnio okre±lonej macierzy q ij i,j M istniej zmienne y,, y M o rozkªadzie ª cznym gaussowkim speªniaj ce Ey i y j = q ij
Zadanie 4 M a Wyka»,»e je±li g jest symetryczn zmienn gaussowsk i F C R jest funkcj speªniaj c lim t F te at = 0 dla a > 0, to EgF g = Eg EF g b Wyka»e,»e je±li F C R n speªnia lim x F x e a x = 0 dla a > 0, to Egz,, z n = Egz i E F z,, z n, x i i n gdzie g, z, z,, z n s zmiennymi z pewnej przestrzeni gaussowskiej Zadanie 5 M Przypu± my,»e rodziny u i i i v i i s niezale»ne i maj rozkªad ª czny gaussowski Rozwa»amy losowe ±cie»ki u i t = tu i + tv i iech φt = EF ut Udowodnij,»e dla funkcji F jak w Zadaniu IV4 mamy φ t = i,j Eu i u j Ev i v j E F x i x j ut Zadanie 6 M Lemat Slepiana Przypu± my,»e rodziny u i i i v i i maj rozkªad ª czny gaussowski i F jak poprzednio Je±li F x i x j 0 dla i j, to Eu i = Ev i dla i j, Eu i u i Ev i v j dla i j, EF u EF v
Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria V Zadanie M nie martw si je±li nie umiesz zrobi! iech F : R M R b dzie funkcj L-lipschitzowsk wzgl dem metryki euklidesowej i niech g = g,, g M b dzie standardowym wektorem gaussowskim Wtedy dla ka»dego t > 0 mamy P F g EF g > t exp t 4L Zadanie M Dla ka»dego elementu s nale» cego do pewnego zbioru sko«czonego S rozwa»amy wektor as R M i liczb w s > 0 Deniujemy funkcj F : R M R wzorem F x = ln s S w s e x as iech g b dzie standardowym wektorem gaussowskim w R M Udowodnij,»e t P F g EF g > t exp, 4 max s S as dla t > 0, gdzie jest norm euklidesow Zadanie 3 M Udowodnij,»e losowa energia swobodna na jeden spin f = ln Z dla hamiltonianu speªnia nierówno± H σ = β g ij σ i σ j h σ i i i<j P f Ef > t exp t β
Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria VI Zadanie M iech u σ σ i v σ σ, σ Σ b d niezale»nymi rodzinami o rozkªadzie ª cznym gaussowskim Deniujemy ±cie»k mi dzi tymi rodzinami wzorem u σ t = tu σ + tv σ iech M = = card Σ i niech F : R M R b dzie zadana wzorem F x = ln ZX, Zx = σ w σ expx σ, gdzie w σ > 0 dla σ Σ Wprowadzamy oznaczenie Uσ, τ = Eu σu τ v σ v τ Dla f : Σ n R deniujemy σ f t =,,σ n fσ,, σ n w σ w σn expu σ t expu σn t w σ w σn expu σ t expu σn t Dla φt = EF ut udowodnij,»e φ t = E Uσ, σ t E Uσ, σ t Zadanie M iech g ij i<j i z i i b d niezale»nymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkªadzie gaussowskich iech h i i b d zmiennymi losowymi o tym samym rozkªadzie ze wszystkimi momentami sko«czonymi Deniujemy zmienne u σ = β i<j g ij σ i σ j, v σ = β i z i qσi, i funkcj φt = F ut jak w Zadaniu VI Udowodnij,»e φ t = β q E R 4, t + qe R, t, R, σ, σ = σi σi i w σ = exp h i σ i i
Wywnioskuj,»e φ t β 4 q, φ φ0 + β 4 q Zadanie 3 M Twierdzenie Guerra's replica-symmetric bound Dla hamiltonianu prawdziwe jest oszacowanie dla wszystkich q 0 Hσ = β g ij σ i σ j i<j i h i σ i p β, h ln + E ln chβz q + h + β 4 q, Zadanie 4 M Udowodnij,»e liczba q ekstremalizuj ca wyra»enie E ln chβz q + h + β q 4 speªnia q = Eth βz q + h Zadanie 5 M Latala-Guerra Lemma iech φ : R R b dzie rosn c funkcj nieparzyst, speªniaj ca φ y < 0 dla y > 0 Wówczas funkcja Ψx = Eφz x + h /x jest malej ca na R + i speªnia lim x + Ψx = 0 h R, z ma standardowy rozkªad normalny Zadanie 6 M Udowodnij,»e je±li Eh > 0, to równanie ma dokªadnie jedno rozwi zanie q = Eth βz q + h
Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria VII Zadanie M Deniujemy H σ = β g ij σ i σ j i<j i Udowodnij,»e h i σ i, p β, h = E ln Z p + β, h + p β, h + + p β, h Udowodnij,»e istnieje granica termodynamiczna pβ, h = lim p β, h Wskazówka: Rozwa» standardow ±cie»k od hamiltonianu H policz φ do hamiltonianu nieoddziaªuj cych podukªadów H σ = β g ij σ i σ j β g ij σ i σ j h i σ i i<j <i<j + i + i policz φ0 Wyznacz Uσ, σ, Uσ, σ i udowodnij,»e φ t > 0 patrz Zadania VI i VI Zadanie M Dla w σ > 0 i u σ R udowodnij,»e Φβ := ln σ w σ expβu σ jest funkcj wypukª Wywnioskuj st d,»e funkcja Φβ := ln Z β, h jest losow funkcj wypukª Udowodnij to równie» zauwa»aj c,»e dla dowolnej miary µ i funkcji f > 0 na pewnej przestrzeni mierzalnej funkcja β ln f β dµ jest wypukªa Zadanie 3 M Udowodnij,»e je±li ci g ró»niczkowalnych funkcji wypukªych φ : a, b R jest zbie»ny do funkcji wypukªej φ, to lim n φ x = φ x w punktach ró»niczkowalno±ci funkcji φ Zadanie 4 M Udowodnij,»e d dβ p β, h = β E R, Udowodnij istnienie granicy lim E R,
Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria VIII Rozwa»amy dwie rodziny o rozkªadzie ª cznym gaussowskim u σ σ Σ, v σ σ Σ Tworzymy ±cie»k mi dzy tymi rodzinami u σ t = tu σ + tv σ Dla funckcji f : Σ n R i liczb w σ > 0 okre±lamy f t = σ,,σ n fσ,, σ n w σ w σ n exp l n u σ lt σ,,σ n w σ w σ n exp l n u σ lt Okre±lamy te» ν t f = E f t i ν tf = d dt E f t U»ywali±my te» notacji l,l n Uσ l, σ l = Eu σ lu σ l Ev σ lv σ l Zadanie M Udowodnij,»e ν tf = ν t Uσ l, σ l f n ν t Uσ l, σ n+ f l n nν t Uσ n+, σ n+ f + nn + ν t Uσ n+, σ n+ f Poka»,»e je±li Uσ, σ nie zale»y od σ, to ν tf = ν t Uσ l, σ l f n ν t Uσ l, σ n+ f + l<l n Zadanie M iech teraz u σ = β i<j l n nn + ν t Uσ n+, σ n+ f g ij σ i σ j, v σ = β i z i qσi, w σ = exp i h i σ i, gdzie z i s niezale»nymi standardowymi zmiennymi gaussowskimi Wprowadzili±my ju» notacj R l,l = σ l iσi l i
Udowodnij,»e je±li f : Σ R, to ν tf = β ν t R, q f ν t R l,3 q f + 3ν t R 3,4 q f l Zadanie 3 M Udowodnij,»e dla λ > 0 mamy ν t R3,4 q expλr, q ν t R, q expλr, q Zadanie 4 M Udowodnij,»e ν t expλr, q β ν t R, q expλr, q Zadanie 5 M Udowodnij,»e dla t < λ mamy β d νt expλ tβ R, q 0 dt Zadanie 6 M Przypu± my,»e q = Eth βz q + h Udowodnij,»e dla λ < / mamy W tym celu: a Poka»,»e ν 0 σ i σ i = q, b Poka»,»e dla u R mamy ν 0 expλr, q λ ν 0 expuσ i σ i q = exp quchu + qshu c Udowodnij,»e dla q 0 mamy d Udowodnij,»e dla u R mamy chu + qshu exp qu expu / ν 0 expur, q expu / e Udowodnij,»e je±li g jest gaussowska o ±redniej 0 i Eg = τ, aτ <, to dla ka»dego b mamy E expag + bg = exp τ b aτ aτ f Rozwa» zmienn gaussowsk u o wariancji λ/ i uzyskaj tez Zadanie 7 M iech β < / i s < 4β Udowodnij,»e ν expsr, q s 4β, gdzie q jest rozwi zaniem równania q = Eth βz q + h
Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria IX Zadanie M iech H σ = β g ij σ i σ j i<j i h i σ i, p β, h = E ln Z, gdzie h i s niezale»nymi gaussowskimi zmiennymi losowymi o tym samym rozkªadzie niekoniecznie symetrycznymi Udowodnij,»e E ln Z β, h p β, h k K k/ i staªa K pozostaje ograniczona, gdy β i V arh s ograniczone Zadanie gaussowsk i niech M iech ak = Eg k, gdzie g jest standardow zmienn b = Eln chy E ln chy β q, gdzie Y = βz q + h Udowodnij,»e przy zaªo»eniach poprzedniego zadania dla β < / i k mamy k E ln Z β, h SKβ, h k/ akbk/ gdzie K nie zale»y od K k+/,
Constructions of onequilibrium Statistical Mechanics Piotr ayar, Seria X Zadanie M Udowodnij,»e dla p i 0 q mamy E σ σ p σ σ p KpνR, q W tym celu: a Zaobserwuj,»e wystarczy udowodni krok indukcyjny E σ σ p σ σ p σ p KpνR, q b Wprowad¹my oznaczenie σ i = σ i σ i Poka»,»e E σ σ p σ σ p σ p = νσ σ σ p σ p σ p σ p c Wykorzystuj c symetri mi dzy spinami udowodnij,»e p + νσσ σp σ p σ p σ p νσi σi σi σi σi p σi p σ i p σ i p = p ν R p, q p σ σ i,,i p d Udowodnij,»e ν R p, q p σ σ p νr, q / ν σ σ / e Poka»,»e σ σ σ σ 3 σ σ 4 4 R, q Wywnioskuj tez Zadanie M iech β < / iech G b dzie miar Gibbsa generowan przez standardowy gaussowski losowy Hamiltonian H iech G,n b dzie rozkªadem wektora σ,, σ n wzgl dem G iech µ n η = n i n + η i σ i Wówczas µ n i G,n s losowymi miarami na {, } n Udowodnij,»e E G,n µ n Kn,
gdzie jest caªkowit wariacj miary Wskazówka Rozwa» zbiór A η = {σ Σ i n, σ i = η i } iech σ I = i I σ i i η I = i I η i Poka»,»e I A σ = n i n + σ i η i = n I {,,n} σ I η I Zaobserwuj,»e G,n {η} = G A η = I A i udowodnij nierówno± G,n {η} µ n {η} n Korzystaj c z równo±ci I {,,n} σ I i I σ i G,n µ n = η G,n {η} µ n {η}, wywnioskuj tez