Algorytmy grficzne Kwntyzcj sklrn orzów cyfrowych
Pojęcie kwntyzcji Rys. 1. Podził zkresu dopuszczlnych wrtości zmiennej x n 8 przedziłów kwntyzcji określonych przez grnice decyzyjne (9 grnic decyzyjnych) orz poziomy rekonstrukcji y. M k 3 2 1 Numery przedziłów kwntyzcji Kwntyzcj jest procesem redukcji zioru możliwych wrtości jkie może przyjmowć zmienn reprezentując kwntyzowne źródło. W szczególności kwntyzcj może polegć n proksymcji zmiennej ciągłej przez zmienną dyskretną przyjmującą wrtości ze skończonego zioru dopuszczlnych wrtości. Projektownie ukłdu kwntyztor poleg n określeniu sposou podziłu przedziłu dopuszczlnych wrtości kwntyzownej zmiennej n określoną liczę przedziłów kwntyzcji orz wyznczeniu w kżdym z tkich przedziłów wrtości reprezentującej dny przedził. Wrtości reprezentujące przedziły nzywne są poziommi rekonstrukcji. Przedziły kwntyzcji schrkteryzowne są przez tzw. grnice decyzyjne. Dziłnie kwntyztor sprowdz się do mpowni wrtości pojwijącej się n wejściu n określony poziom rekonstrukcji: Wejście kwntyztor, x 11111111 c 11111110 00000011 00000010 00000001 00000000 Rys. 2. Schemt prcy kwntyztor. Zkceptowny przedził kwntyzcji Kody przedziłów gdzie Q ozncz dziłnie kwntyztor, x jest jego wejściem, ntomist y i jest poziomem rekonstrukcji przedziłu kwntyzcji wyznczonego przez grnice decyzyjne i-1 orz i. Kwntyzcj jest podstwową techniką metod kompresji strtnej. Jest odwzorowniem typu wiele do jednego, przez to wprowdz nieodwrclną utrtę informcji. Metody kwntyzcji różnią się sposoem podziłu zioru dopuszczlnych wrtości orz sposoem wyznczeni poziomów rekonstrukcji w dnym przedzile.
Kwntyzcj: postwienie prolemu Zgdnienie kwntyzcji dnych orzowych: dny jest przedził zmienności [0,L-1] funkcji orzu (np. poziomy jsności). Podny przedził nleży podzielić n podprzedziły kwntyzcji w tki sposó, y zminimlizowć łąd kwntyzcji orz średnią itową. Zgodnie z powyższym ogólnym sformułowniem prolemu kwntyzcji grnice decyzyjne orz poziomy rekonstrukcji powinny yć wyrne w tki sposó, y zminimlizowć znieksztłceni pojwijące się w orzie wynikowym (po kwntyzcji). Jko mirę znieksztłceni możn przyjąć średniokwdrtowy łąd kwntyzcji MSQE, który dl zmiennej f(x) proksymującej funkcję orzu opisny jest równniem: Biorąc pod uwgę, że wyjście kwntyztor jest dyskretne orz zleżne od wrtości x podnej n wejściu, powyższe równnie możn przepisć w równowżnej postci: W przypdku kodowni wyjść kwntyztor przy użyciu kodów stłej długości średni itow jest zleżn od liczy możliwych wyjść kwntyztor: liczy przedziłów kwntyzcji. Zleżność tk pokzuje, że w tym przypdku jednoczesn minimlizcj dwóch wymienionych wielkości nie jest możliw (sprzeczność). Kwntyztory minimlizujące średniokwdrtowy łąd kwntyzcji nzywne są kwntyztormi optymlnymi.
Kwntyzcj równomiern c i 56 157 177 157 49 22 15 198 y 155 17 104 22 244 23 180 116 11 134 55 52 168 182 124 216 106 197 16 220 155 101 157 150 96 253 138 153 8 58 206 144 114 86 23 15 124 195 209 254 j 36 229 197 181 63 37 212 195 z k 59 121 15 36 239 251 202 197 { 64 192 192 192 64 64 64 192 192 64 64 64 192 64 192 64 64 192 64 64 192 192 64 192 ij 64 192 64 192 192 64 192 192 yz 64 192 192 192 64 64 192 192 64 64 64 64 64 192 192 192 j 64 192 192 192 64 64 192 192 z k 64 64 64 64 192 192 192 192 { i 48 144 176 144 48 16 16 208 y 144 16 112 16 240 16 176 112 16 144 48 48 176 176 112 208 112 208 16 208 144 112 144 144 112 240 144 144 16 48 208 144 112 80 16 16 112 208 208 240 j 48 240 208 176 48 48 208 208 z k 48 112 16 48 240 240 208 208 { Njprostszą metodą kwntyzcji jest kwntyzcj równomiern sprowdzjąc się do równomiernego podziłu przedziłu zmienności nlizownej wielkości. Niech przedziłem zmienności wielkości wejściowej jest przedził [0,L-1] orz niech M określ zdną liczę przedziłów kwntyzcji. W tkim przypdku zdny przedził [0,L-1] powinien yć podzielony n M równych podprzedziłów, przy czym ich szerokość określon jest przez stosunek: W njprostszym przypdku, kwntyzcj równomiern może yć relizown zgodnie z równniem: Rys. 1. Przykłd kwntyzcji równomiernej dl orzu wejściowego przedstwionego w postci mcierzy n rysunku (). Rysunku () i (c) przedstwiją wynik kwntyzcji odpowiednio do M=2 orz M=8 przedziłów kwntyzcji, zgodnie z równniem podnym ook. Kwntyzcj do M=2 poziomów wprowdz oczywiście większe znieksztłcenie niż kwntyzcj do większej liczy poziomów. Kolorem czerwonym zznczon jest wrtość piksel w orzie wejściowym orz w orzie po kwntyzcji.
Przykłd: kwntyzcj równomiern dl źródł o rozkłdzie jednostjnym Jko przykłd rozptrzymy kwntyzcję równomierną do M poziomów dl źródł o rozkłdzie równomiernym (orzy o płskim histogrmie). Niech przedziłem zmienności wrtości pikseli jest przedził [0,L-1] i kżd wrtość nie jest reprezentown w orzie z częstością 1/L (zgodnie z złożeniem równomierności). W tkim przypdku długość kroku kwntyzcji wynosi: Δ=L/M. Grnice decyzyjne: Poziomy rekonstrukcji: Błąd średniokwdrtowy kwntyzcji w tkim przypdku jest równy:
Kwntyzcj równomiern - przykłdy MSE=7.67 c MSE=22.39 d MSE=84.52 e MSE=334.67 f MSE=1271.29 Rys. 1. Ilustrcj procesu kwntyzcji spreprownego orzu cyfrowego przedstwionego n rysunku (). Rysunki ()- (f) przedstwiją wynik kwntyzcji do odpowiednio 32, 16, 8, 4 orz 2 poziomów kwntyzcji. Zmniejszjąc się licz przedziłów (rosnąc długość kroku kwntyzcji) ujwni stopniowo corz rdziej widoczne znieksztłceni konturowe, szczególnie dorze zznczone w oszrze testowym.
Binryzcj (płszczyzny itowe) Płszczyzn 7 (njstrszy it) c d e Płszczyzn 0 (njmłodszy it) f g h Rys. Podził orzu cyfrowego n płszczyzny itowe: ) schemt podziłu, ) orz oryginlny poddwny podziłowi, (c) płszczyzn 7 (it njrdziej znczący wrtości pikseli); (d) płszczyzn 6; (e) płszczyzn 5; (f) płszczyzn 4 wrtości pikseli zostły wzmocnione x16; (g) płszczyzn 3 wzmocnienie x32; (h) płszczyzn 2 wzmocnienie x64; (i) płszczyzn 1 wzmocnienie x128; (j) płszczyzn 0 (it njmniej znczący) wzmocnienie x256; (k) orz powstły przez zsumownie płszczyzn 7, 6, 5. i j k
Kwntyzcj dptcyjn Jednym ze sposoów n zmniejszenie znieksztłceń wprowdznych przez kwntyzcję równomierną jest dostosowywnie (dptcj) prmetrów kwntyztor do loklnej chrkterystyki orzu. W kwntyzcji dptcyjnej orz dzielony jest n loki. Prmetry kwntyztor (grnice decyzyjne, poziomy rekonstrukcji, licz przedziłów kwntyzcji) ustlne są dl kżdego loku niezleżnie. Wdą tkiego rozwiązni jest konieczność dołączeni prmetrów kwntyzcji do strumieni itowego, co powoduje wzrost ojętości dnych po zkodowniu, tym smym zmniejszenie stopni kompresji w stosunku do rozwiązń trdycyjnych. Wyjście kżdego kwntyztor może yć dodtkowo kodowne dl zwiększeni stopni kompresji. Cechą kwntyztor dptcyjnego jest mniejsz podtność n kompresję RLE niż kwntyztorów prcujących w schemcie kwntyzcji glolnej (trdycyjnej). Dlczego?
Kwntyzcj dptcyjn. Przykłd d MSE=1271.3, itrte=1.0 MSE=84.2, itrte=1.25 e MSE=334.7, itrte=2.0 c MSE=20.7, itrte=2.25 Rys. Rysunek () przedstwi orz oryginlny (nie poddny kwntyzcji). N rysunkch () i (c) przedstwiony jest wynik kwntyzcji dptcyjnej do odpowiednio 2 orz 4 poziomów (odpowiednio 1 orz 2 ity n piksel). W tym przypdku orz jest dzielony n rozdzielne loki 8x8 pikseli. W kżdym loku wyznczny jest zkres poziomów jsności, nstępnie zkres ten jest dzielony n zdną liczę przedziłów kwntyzcji, zgodnie z regułą kwntyzcji równomiernej przedstwionej n poprzednich stronch. W tym przypdku, do kżdych 64 pikseli dołączn jest informcj dodtkow w postci minimlnej orz mksymlnej wrtości w loku, co jest konieczne do poprwnego zdekodowni strumieni dnych. Wiąże się to ze wzrostem średniej itowej z 1 it n piksel do 1.25 it n piksel w przypdku () orz 2 itów n piksel do 2.25 itów n piksel dl przypdku (c). Dl porównni, n rysunkch (d) i (e) przedstwiony jest wynik glolnej kwntyzcji równomiernej do odpowiednio 2 orz 4 poziomów.
Kwntyzcj lokow BTC (lock trunction coding) Innym przykłdem metod kwntyzcji dptcyjnej wymgjącej wstępnego podziłu orzu n loki i niezleżnego przetwrzni tkich loków jest metod dwupoziomowej kwntyzcji lokowej BTC. Ide metody BTC sprowdz się do dwupoziomowej kwntyzcji (inryzcj, kwntyztor dwupoziomowy, jednoitowy) orzu w poszczególnych lokch tk, y zchowć sttystykę orzu. W njprostszym przypdku sprowdz się to do zchowni średniej orz wrincji wrtości pikseli w dnym loku orzu. Wyznczmy prmetry kwntyzcji BTC zkłdjąc, że wrtości orzu w loku progowne są n podstwie wrtości średniej wyznczonej w loku nxn pikseli, N=nxn. Średni wrtość pikseli w loku orz średni kwdrtów wrtości pikseli w loku przed kwntyzcją określone są równnimi: Poniewż metod kwntyzcji BTC w podstwowej wersji sprowdz się do inryzcji orzu w loku, to po wykonniu kwntyzcji w loku występowć ędą tylko dwie wrtości: wrtości reprezentntów dwóch przedziłów kwntyzcji. Niech wrtości te oznczone są jko y 1 orz y 2. Przyjmijmy też, że liczy pikseli skwntownych do wrtości odpowiednio y 1 orz y 2 są równe: n 1 orz n 2. Wówczs średni orz średni kwdrtów w loku po kwntyzcji są równe: Przyrównując prwe strony powyższych równń otrzymuje się równni określjące wrtości poziomów rekonstrukcji wykorzystywnych w metodzie BTC: gdzie
Kwntyzcj lokow BTC Możliwe jest wykorzystnie innych metod określni wrtości poziomów rekonstrukcji niż przedstwion n poprzedniej stronie. Jedną z nich jest minimlizcj łędu średniokwdrtowego kwntyzcji: Wrunkiem koniecznym minimlizcji powyższego łędu, jk łtwo wykzć w ezpośrednim rchunku, jest: Stopień kompresji uzysknej przy użyciu metody kwntyzcji BTC możn opisć prostym równniem: gdzie n 2 jest rozmirem loku (liczą pikseli w loku) ntomist określ liczę itów koniecznych do reprezentcji pojedynczego piksel w orzie oryginlnym. Cechą chrkterystyczną jest nsycnie się wrtości stopni kompresji do wrtości orz wzrost stopni kompresji przy ustlonym rozmirze okn wrz ze wzrostem średniej itowej w orzie oryginlnym. Rozmir loku Stopień kompresji Rozmir loku Stopień kompresji 4x4 4 32x32 7.88 8x8 6.4 64x64 7.97 16x16 7.53 8 7 6 5 4 3 2 1 10 20 30 40 50 60 Rys. 1. Zleżność stopni kompresji przy użyciu kwntyzcji BTC od rozmiru loku.
Kwntyzcj lokow BTC. Przykłd 112 135 150 155 120 135 145 155 112 135 150 155 120 135 145 155 1 1 1 1 1 1 1 1 y 2 =134 y 1 =75 134 134 134 134 134 134 134 134 60 65 115 120 55 60 100 110 treshold=112 60 65 115 120 55 60 100 110 kodownie 0 0 0 0 1 1 0 0 dekodownie (dekompresj) 75 75 134 134 75 75 75 75 Rys. 1. Prezentcj schemtu prcy lgorytmu BTC kwntyzcji orzu: ) mcierz reprezentując lok 4x4 orzu; ) segmenty loku o wrtościch powyżej i poniżej wrtości progowej (tu: wrtość średni w loku); c) mp itow po kwntyzcji i kodowniu; d) reprezentcj loku po dekompresji. Orz oryginlny Kwntyzcj BTC Rys. 2. Przykłdowy orz wejściowy i wyjściowy.
Kwntyzcj lokow BTC przykłd 2/3 MSE=76.09 c MSE=133.7 d MSE=203.68 e MSE=402.68 Rys. Przykłd kwntyzcji metodą BTC (z zchownie sttystyki w lokch). N rysunku () przedstwiony jest orz oryginlny. Rysunki ()- (e) przedstwiją wynik kwntyzcji z lokiem rozmiru odpowiednio 8x8, 16x16, 32x32 orz 120x120 pikseli. Widoczn jest degrdcj jkości orzu towrzysząc wzrostowi rozmiru loku. N rysunku (e) rdzo wyrźny jest efekt postrzępieni krwędzi n grnicy loków. Efekt lokowni (lokowy) możn zmniejszyć stosując szereg metod: dithering, zmin ksztłtu okn (np. w postci krzyż), losownie położeni okn, etc.
Kwntyzcj lokow BTC przykłd 3/3 Orz oryginlny Orz kwntyzowny, BTC H4x4L Orz kwntyzowny, BTC H8x8L c d Orz kwntyzowny, BTC H16x16 L Orz kwntyzowny, BTC H32x32 L e Kwntyzcj BTC: Zlety: zchownie ostrych krwędzi orzu; szykość i mł złożoność oliczeniow (wersj podstwow BTC), względnie duże wrtości stopni kompresji przy niewielkim poziomie znieksztłceni. W prktyce lgorytmy kompresji BTC nleżą do njrdziej efektywnych w grupie lgorytmów gwrntujących średnią itową n poziomie 1-3 it n piksel. Istnieje wiele wricji opisnego lgorytmu BTC dodtkowo zwiększjących jego efektywność. Rys. Przykłd kwntyzcji orzu kolorowego (RGB) metodą BTC (kżd skłdow kwntyzown niezleżnie). Wdy: efekt lokowni widoczne krwędzie poszczególnych loków orzu; strzępienie krwędzi oiektów orzu.
Modyfikcje podstwowej wersji metody BTC Oprcownych zostło rdzo wiele modyfikcji podstwowej wersji lokowej kwntyzcji dwupoziomowej BTC. Jedną z metod jest metod wykorzystując korelcje pomiędzy sąsiednimi pikselmi loku w którym wykonywn jest kwntyzcj. Istnienie korelcji pozwl przewidywć (interpolowć) wrtości niektórych pikseli n podstwie wrtości pikseli sąsiednich. Tym smym kodownie informcji o kżdym pikseli loku może yć ndmirowe. Jednym z rozwiązń wykorzystujących powyższą oserwcję jest technik zgodnie z którą kodownych jest połow pikseli loku (zznczone kolorem zielonym n rysunku ()). N ich podstwie dekoder ustl wrtości rkujących pikseli, których wrtości nie zostły zkodowne w strumieniu. Interpolcj przeieg według poniższych reguł: - piksele B, E, L, O otrzymują wrtość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy co njmniej dw piksele z ich ezpośredniego sąsiedztw mją wrtość równą 1. Bezpośrednie sąsiedztwo wymienionych pikseli stnowią odpowiednio: {A,C,F}, {A,F,I}, {H,K,P} orz {N,K,P}. -D=Corz M=N - piksele G orz J otrzymują wrtość 1 wtedy i tylko wtedy gdy co njmniej dw piksele z ich ezpośredniego sąsiedztw mją wrtość równą 1. Bezpośrednimi sąsidmi pikseli G orz J są odpowiednio piksele {C,F,H,K} orz {F,K,N,I}. A B C D MSE=30.80 c MSE=56.10 E F G H I J K L M N O P Rys. () - Mp itow 4x4 piksele (wyjśnienie w tekście powyżej). Rysunki () i (c) przedstwiją wyniki kwntyzcji BTC w wersji odpowiednio: podstwowej orz wykorzystującej korelcje przestrzenne. Stopień kompresji dwóch metod wynosi odpowiednio: 4.0 orz 5.33.
Korekcj orzu skwntyzownego. Dithering losowy Główną metodą korekcji orzu skwntyzownego jest rozstrząsnie popełnionego łędu systemtycznego - dithering. Istnieją trzy podstwowe odminy tej techniki: dithering losowy lu pseudolosowy dithering systemtyczny dyfuzj łędu Dithering pseudolosowy poleg n dodniu do wrtości kżdego piksel orzu oryginlnego liczy pochodzącej ze zioru ustlonego n podstwie szerokości przedziłu kwntyzcji. Dopiero tk zmodyfikowny orz poddwny jest włściwej kwntyzcji. Wrtość licz tkiego zioru zleżn jest od szerokości podprzedziłów kwntyzcji, Δ. Przykłdowymi ziormi mogą yć ziory: D1={-Δ/4, -Δ/8, 0, Δ/8, Δ/4} lu D2={-Δ/8, -Δ/16, -Δ/32, 0, Δ/32, Δ/16, Δ/8}. Kontury orzu zostją rozmyte n skutek dyfuzji pikseli pomiędzy oszrmi wrtości nleżącymi w oryginlnym orzie do różnych podprzedziłów kwntyzcji.
Dithering losowy. Przykłd c d Rys. Przykłd ditheringu pseudolosowego: ) orz wyjściowy (ez ditheringu); () orz powstły po przeprowdzeniu kwntyzcji równomiernej do 4 poziomów; c) dithering przy użyciu zioru D1; d) dithering przy użyciu zioru D2. W przypdku (d) widoczne jest zmniejszenie promieni penetrcji pikseli do oszrów sąsiednich. W tym przypdku wykonn zostł kwntyzcj równomiern do czterech poziomów (kwntyztor z wyjściem dwuitowym).
Dithering systemtyczny Dithering systemtyczny sprowdz się do sumowni orzu wejściowego z orzem korygującym (tzw. sitk mikrowzorów, mcierz ditheringu). Systemtyczność metody poleg n korekcji loków pikseli o rozmirze odpowidjącym wymirowi mcierzy korekcji. Korekcje pomiędzy pikselmi w loku są ze soą skorelowne, np. sum elementów mcierzowych jest zerow. Przykłdow mcierz może mieć postć: W przypdku, gdy opercj wyprowdz wrtość piksel poz przedził [0,L-1], wrtości są ocinne do tego przedziłu. Rys. Przykłd ditheringu systemtycznego wykonnego przy użyciu mcierzy D przedstwionej wyżej.
Algorytm Floyd-Steinerg dyfuzji łędu (1976) Metod dyfuzji łędu poleg n korekcji wrtości pikseli orzu w zleżności od popełninego łędu kwntyzcji (!). Dziłnie poprzednich metod opier się n korekcji wrtości piksel liczmi wyrnymi ritrlnie, nie n podstwie łędu kwntyzcji. Popełniony łąd kwntyzcji, oliczny w kżdym kroku lgorytmu, jest dystryuowny pomiędzy sąsiednimi pikselmi, które nie zostły jeszcze przetworzone (poddne kwntyzcji). Algorytm Floyd-Steinerg dyfuzji łędu kwntyzcji: 1. przygotuj orz wejściowy (img) orz inicjlizuj orz rekonstrukcji (imgq). Ustl grnice decyzyjne i poziomy rekonstrukcji. Rozpocznij przeglądnie cłego orzu. 2. wyierz nowy piksel orzu i porównj jego wrtość z progiem. Przydziel mu odpowiedniego reprezentnt. 3. wyzncz łąd kwntyzcji 4. przeprowdź dystryucję łędu pomiędzy sąsidów piksel ieżącego 5. jeśli istnieją nieprzejrzne piksele, to przejdź do punktu 2, w przeciwnym przypdku ztrzymj lgorytm. Algorytm Floyd-Steinerg posid cechę przyczynowości, której pozwione są dwie metody omówione wcześniej. for i=1 to n for j=1 to m imgq[i,j]=(img[i,j] < 128)? 0 : 1; err=img[i,j] - imgq[i,j]*255; img[i+1,j]+=err*(7/16); img[i-1,j+1]+=err*(3/16); img[i,j+1]+=err*(5/16); img[i+1,j+1]+=err*(1/16); end for; end for; Rys. () schemt dystryucji łędu kwntyzcji dl lgorytmu Floyd-Steinerg; () listing lgorytmu.
Algorytm Floyd-Steinerg dyfuzji łędu. Przykłd Δ=2, itrte=1 Δ=2, itrte=1 c Δ=4, itrte=2 d Δ=4, itrte=2 e Δ=8, itrte=3 f Δ=8, itrte=3 Rys. 1. Porównnie wyników kwntyzcji równomiernej ez niwelowni łędu kwntyzcji (rysunki, c, e) orz kwntyzcji z dyfuzją łędu Floyd- Steinerg (rysunki, d, f).
Modyfikcje lgorytmu Floyd-Steinerg Dyfuzj łędów może powodowć pojwienie się znieksztłceń w postci geometrycznych wzorów (worms). Zproponowno wiele modyfikcji podstwowego lgorytmu dyfuzji. Modyfikcje sprowdzją się do zminy schemtu dystryucji łędu orz zwiększeni liczy sąsidów wśród których łąd jest dystryuowny. W drugim przypdku, wzrst koszt wykonywnych oliczeń. Rys. 1. Przykłd łędów (mikrowzorów) generownych przez lgorytmy dyfuzji łędu (w silnym pomniejszeniu). Rys. 2. Przykłd dyfuzji łędu w powiększeniu: ) wynik rzeczywisty; ) przypdek idelny. Rys. 3. Schemt dyfuzji łędu wg ) Jrvis, Judice nd Ninke (1976); ) Stucki (1995).
Kwntyzcj nierównomiern MSE=246.11 c Histogrm ceznne.tif W przypdku orzów o histogrmch nierównomiernych, kwntyzcj równomiern jest mło efektywn. Istnieje lepsze rozwiąznie: kwntyzcj nierównomiern. Kwntyzcj nierównomiern: przedziły kwntyzcji nie muszą mieć i njczęściej nie mją - jednkowej długości. Oszry większego prwdopodoieństw (większych wrtości histogrmu) otrzymują wyższą wgę i są dzielone przedziłmi o mniejszym kroku. Jednocześnie oszry mniejszego prwdopodoieństw (młe wrtości histogrmu) dzielone są przedziłmi o większej długości. Kwntyzcj nierównomiern uwzględni rozkłd prwdopodoieństw dnych wejściowych. Podził n przedziły kwntyzcji powinien yć wykonny w tki sposó, y poziomy rekonstrukcji poszczególnych przedziłów reprezentowły w przyliżeniu identyczną liczę pikseli. MSE=2.2 0.3% pikseli MSE=172.6 83% pikseli 64 128 192 256 Rys. Przykłd kwntyzcji równomiernej orzu o nierównomiernym histogrmie. () - orz oryginlny; () - wynik kwntyzcji równomiernej z krokiem Δ=64 wrz z nniesionym glolnym łędem MSE kwntyzcji; (c) histogrm orzu oryginlnego z zznczonymi przedziłmi i poziommi kwntyzcji, łędem kwntyzcji orz udziłem pikseli w dwóch wyrnych przedziłch.
Kwntyzcj nierównomiern pdf-optymlizown Zgdnienie kwntyzcji nierównomiernej w przypdku, gdy znny jest rozkłd prwdopodoieństw dnych: wyznczyć podził pierwotnego przedziłu [0,L) n M nowych przedziłów kwntyzcji z pomocą M+1 grnic decyzyjnych { i } i=1 M+1 wrz z M poziommi rekonstrukcji, {y i } i=1m tk, y zminimlizowć łąd kwntyzcji MSE q : Teoretyczne rozwiąznie tkiego zgdnieni uzyskuje się przez różniczkownie wyrżeni n MSE q względem prmetrów kwntyzcji grnic decyzyjnych i poziomów rekonstrukcji. W efekcie, otrzymujemy Twierdzenie o wrunkch optymlnej kwntyzcji Lloyd-Mx. Przedziły i reprezentnci optymlnej kwntyzcji spełniją nstępujące wrunki: Komentrz: powyższe równni są wzjemnie sprzężone, tzn. do wyznczeni poziomów rekonstrukcji wymgn jest znjomość grnic decyzyjnych, dl których z kolei wymg się znjomości poziomów rekonstrukcji. Równni tkie rozwiązuje się metodmi itercyjnymi, strtując od zdnego ustwieni początkowego (podził inicjlny) i stopniowo poszukując rozwiązń zmniejszjących łąd kwntyzcji. Rys. Funkcj rozkłdu prwdopodoieństw z zznczonymi grnicmi decyzyjnymi orz centroidmi przedziłów (czerwone kropki).
Kwntyzcj nierównomiern. Kwntyzcj Lloyd-Mx. Algorytm Lloyd-Mx: 0. Przyjęcie 0 =min(dne) orz M =mx(dne); ustlenie progu tolerncji (wrunku ztrzymni lgorytmu); wyór wrtości y 1. 1. Dl i=1..(m -1) () n podstwie znjomości y i orz korzystjąc z równni (1) wyznczmy wrtość i ; () znjąc wrtości i orz y i orz korzystjąc z (2) wyznczmy wrtość y i+1 : y i+1 =2 i -y i ; Proces ten jest kontynuowny ż do wyznczeni wrtości {y 1,,y M } orz { 1,, M-1 } 2. Oliczenie y =y M n podstwie równni (1). Wyznczenie różnicy y orz y M uzysknego n wyjściu itercji M-1. W przypdku, gdy różnic y M -y jest mniejsz od przyjętego progu - lgorytm jest ztrzymywny. 3. W przeciwnym wypdku wrtość y 1 jest korygown n podstwie znku różnicy wyznczonej w punkcie 2 i nstępuje przejście do kroku 1. 1 2 0.025 y 1 1 y 2 2 Gdy wrunek ztrzymni lgorytmu nie jest spełniony (1) (2) y M-1 M-1 Kwntyzcj nieró wnomiern opt. y M 0.02 0.015 Rys. 1. Schemt wyznczni prmetrów kwntyzcji przez lgorytm Lloyd-Mx. 0.01 0.005 Rys. 2. Przykłd optymlnego podziłu zkresu wejści dl rozkłdu przyliżonego przez rozkłd normlny. 50 100 150 200 250
Kwntyzcj nierównomiern.