Paweł Gładki Algebra B http://www.math.us.edu.pl/ ~ pgladki/
Konsultacje: Środa, 14:00-15:00, p. 527, Bankowa 14 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach, zadzwoń do jego pokoju, lub wyślij mu emaila.
Zasady zaliczania przedmiotu: 2 kolokwia, każde warte 15 punktów, 2 sprawdziany, każdy warty 6 punktów, aktywność na zajęciach, warta 3 punkty, zadania domowe, warte 15 punktów, egzamin, warty 40 punktów. Do egzaminu przystępują tylko te osoby, które uzyskają zaliczenie z ćwiczeń. Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest zdobycie co najmniej 30 punktów. Warunkiem zdania egzaminu jest zdobycie co najmniej 60 punktów. Każde kolokwium będzie trwało 90 minut, każdy sprawdzian 20 minut, a egzamin końcowy 180 minut. Sprawdziany odbędą się na zajęciach 24 października i 8 stycznia, a kolokwia na zajęciach 29 listopada i 31 stycznia.
Zadania domowe: Na każdych ćwiczeniach zostanie zadana praca domowa, którą będzie należało rozwiązać na czysto na kartkach A4 i przygotować do oddania na następnych ćwiczeniach, na których prowadzący wylosuje kilka osób, którym szczegółowo oceni zadanie. Każdy student będzie miał w ciągu semestru sprawdzone 2 prace, na podstawie których zostanie mu wystawiona ocena.
Plan wykładu: Wykład 1 Grupy i izomorfizmy grup. Podgrupy, podgrupy generowane przez zbiór. Wykład 2 Warstwy grupy względem podgrupy. Twierdzenie Lagrange a. Rząd elementu grupy. Grupy cykliczne. Wykład 3 Homomorfizmy grup, podgrupy normalne. Grupa ilorazowa, twierdzenie o homomorfizmie. Wykład 4 Grupy permutacji. Normalizator, centralizator, komutant. Grupy rozwiązalne. Wykład 5 Torsyjne grupy abelowe; grupy abelowe skończone. Wykład 6 Pojęcie pierścienia. Podpierścienie. Podpierścienie generowane przez zbiór. Specjalne typy elementów pierścienia. Wykład 7 Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Ideały pierwsze i maksymalne.
Wykład 8 Konstrukcja pierścienia wielomianów jednej zmiennej. Wartość wielomianu, pierwiastki wielomianu, funkcja wielomianowa. Wielokrotne pierwiastki wielomianu. Różniczkowanie wielomianów. Pierwiastki stopnia n. Pierwiastki z jedynki. Wielomiany podziału koła. Wykład 9 Wielomiany wielu zmiennych. Wielomiany symetryczne. Konstrukcja pierścienia ułamków względem zbioru multyplikatywnego. Wykład 10 Własności liczb całkowitych. Równania diofantyczne stopnia pierwszego. Kongruencje liniowe. Wykład 11 Podstawowe pojęcia teorii podzielności. Pierścienie z jednoznacznym rozkładem. Dziedziny ideałów głównych. Pierścienie euklidesowe.
Wykład 12 Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Charakterystyka pierścienia i ciała, ciała proste i klasyfikacja ciał prostych. Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Ciało algebraicznie domknięte. Wykład 13 Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. Algebraiczne domkniecie ciała. Wykład 14 Rozwiązywanie równań. Równania stopnia 2 i 3 oraz wzory Cardano. Równania stopnia 4 oraz wzory Ferrari. Wykład 15 Konstrukcje geometryczne. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki kwadratowe. Zasadnicze twierdzenie o punktach konstruowalnych. Przykłady zadań
Literatura: 1. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 2009. 2. A.I. Kostrykin, Wstęp do algebry, PWN, Warszawa 2004. 3. W. Marzantowski, P. Zarzycki, Elementarna teoria liczb, PWN, Warszawa 2006. 4. A. Iwaszkiewicz-Rudoszańska, Wstęp do algebry i teorii liczb, Wydawnictwo UAM, Poznań 2009. 5. A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1968. 6. W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa 2003. 7. W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1967.
Grupy i izomorfizmy grup.
Definicja Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym(lub, krótko, działaniem) w zbiorze Anazywamyfunkcję : A ˆA Ñ A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy funkcję : B ˆA Ñ A.
Uwaga To,żewzbiorze Aokreślonodziałaniewewnętrzne w szczególności oznacza, że: 1. @x,y P Ar px,yqistniejes, 2. @x,y P Ar px,yq P As. Zamiast px,yqbędziemynaogółpisać x y. Podobnie,jeśli B H,toto,żewzbiorze Aokreślonodziałanie zewnętrzne w szczególności oznacza, że: 1. @a P B@x P Ar pa,xqistniejes, 2. @a P B@x P Ar pa,xq P As. Zamiast pa,xqbędziemynaogółpisać a x. Na tym wykładzie będziemy zajmować się prawie wyłącznie działaniami wewnętrznymi.
Przykłady: 1. Dodawanie liczb naturalnych jest działaniem w zbiorze N. Zauważmy, że dodawanie możemy formalnie zdefiniować rekurencyjniejakofunkcję d : N ˆN Ñ Nwarunkiem: # dpx,0q x dpx,yq dpx,spyqq Spdpx,yqq, gdzie S : N Ñ Noznaczafunkcjęnastępnikaliczb naturalnych. Symbol ` dla oznaczenia dodawania wprowadził w 1489 roku Johannes Widmann.
2. Mnożenie liczb naturalnych jest działaniem w zbiorze N. Podobnie jak dodawanie, mnożenie możemy zdefiniować rekurencyjniejakofunkcję m : N ˆN Ñ Ndanąwarunkiem: # mpx,0q 0, mpx,yq mpx,spyqq mpx,yq `x, gdzie,jakpoprzednio, S : N Ñ Noznaczafunkcję następnika liczb naturalnych. Znak ˆ dla oznaczenia mnożenia wprowadził w 1631 roku William Oughtred, zaś symbol zaproponował Gottfried Wilhelm von Leibniz w roku 1698.
3. Odejmowanie i dzielenie nie są działaniami w zbiorze N: 3 5 R Noraz 1 2 R N. Z drugiej strony, odejmowanie jest działaniem w Z, a dzielenie jest działaniem w Qzt0u. 4. Mnożenie wektorów na płaszczyźnie przez skalary rzeczywiste jest przykładem działania zewnętrznego.
@x,y,z P Arx py zq x y x zs. Definicja Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. 1.Mówimy,że jestłączne,jeżeli @x,y,z P Arx py zq px yq zs. 2. Mówimy, że jest przemienne, jeżeli @x,y P Arx y y xs. 3.Mówimy,że maelementneutralny e,jeżeli @x P Arx e e x xs. 4.Mówimy,że yjestelementemodwrotnymdo x,jeżeli x y y x e. 5. Mówimy, że jest rozdzielne względem, jeżeli
Przykłady: 5. Dodawanie i mnożenie liczb naturalnych są łączne i przemienne. 0 jest elementem neutralnym dodawania, a 1 jest elementem neutralnym mnożenia. Ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. 1 nie ma elementu odwrotnego względem dodawania, a 2 nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.
6. Rozważmy dodawanie i mnożenie liczb całkowitych. Każda liczba całkowita ma element odwrotny względem dodawania, ale 2 nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia. 7. Rozważmy dodawanie i mnożenie liczb wymiernych. Każda liczba wymierna ma element odwrotny względem dodawania i każda niezerowa liczba wymierna ma element odwrotny względem mnożenia.
8.Rozważmydowolnyniepustyzbiór Xirodzinę A wszystkichfunkcji f : X Ñ Xorazdziałanieskładania funkcji. Jest to działanie łączne, ale nie jest przemienne. Funkcjaidentycznościowa X Q x ÞÑ x P Xjestelementem neutralnym tego działania, a jedyne funkcje, które mają elementy odwrotne, to funkcje różnowartościowe.
Definicja 1. Algebrą nazywamy ciąg pa, 1,..., n,b 1,...,B m, 1,..., mq, gdzie Ajestniepustymzbiorem, 1,..., ndziałaniami wewnętrznymiwzbiorze A,a 1,..., mdziałaniami zewnętrznymi w zbiorze A(wraz z odpowiadającymi im zbiorami B 1,...,B m q. 2.Grupąnazywamyalgebrę pg, q,gdzie jestłączne,ma element neutralny i każdy element w zbiorze G ma element odwrotny. Jeżeli ponadto jest przemienne, to grupę pg, q nazywamy przemienną(lub abelową).
Przykłady: 9. Przykładami algebr znanymi z wykładu z algebry liniowej sąciała,czylialgebry pf, `, q,gdzie `i sądziałaniami łącznymi, przemiennymi, mającymi elementy neutralne, odpowiednio, 0 i 1 oraz takie, że każdy element zbiorów, odpowiednio, Fi F maelementodwrotny. Przykładami algebr, w których występują działania zewnętrzne, są przestrzenie liniowe, czyli algebry pv, `,F, q,gdzie `jestdziałaniemwewnętrznymzbioru F, które jest łączne, przemienne, ma element neutralny i względem którergo każdy element zbioru V ma element odwrotny,natomiast : F ˆV Ñ Vjestpewnym działaniem zewnętrznym, przy czym F jest ciałem.
10.Grupyliczbowe. pz, `q, pq, `q, pr, `q, pc, `qsą przykładami grup przemiennych. pn, `q nie jest grupą. Podobnie pq, q, pr, q, pc, q,gdzie A Azt0u,są grupamiprzemiennymi. pn, qipz, qniesągrupami.
11. Grupy pochodzące od ciała. Uogólniając poprzedni przykład,dladowolnegociała pf, `, qalgebry pf, `qoraz pf, qsągrupamiprzemiennymi.
12.Grupyreszt.Niech n P Nioznaczmyprzez Z n t0,1,...,n 1u.Wzbiorze Z n definiujemy dodawanie modulo n: x n y resztazdzielenia x `yprzez n oraz mnożenie modulo n: Niech ponadto x b n y resztazdzielenia x yprzez n. UpZ n q tk P Z n : NWDpk,nq 1u. pz n, n qipupz n q, b n qsąprzykładamigrupprzemiennych. pz n, b n qnaogółniejestgrupą,chybaże njestliczbą pierwszą wówczas Z n UpZ n q.
13. Grupy macierzy. Niech F będzie dowolnym ciałem, niech Mpn,F qoznaczazbiórmacierzykwadratowychstopnia no współczynnikach z ciała F. pmpn,f q, `qjestgrupąprzemienną,przyczym `oznacza tu dodawanie macierzy. Niech GLpn,F q ta P Mpn,F q : deta 0u. pglpn,f q, qjestgrupą,któranaogółniejestprzemienna, przy czym oznacza tu mnożenie macierzy. Grupę tę nazywamy grupą liniową stopnia n nad ciałem F. Niech SLpn,F q ta P Mpn,F q : deta 1u. pslpn,f q, qjestgrupą,któranaogółniejestprzemienna. Grupę tę nazywamy specjalną grupą liniową stopnia n nadciałem F.
14. Grupy związane z przestrzenią liniową. Niech V będzie przestrzenią liniową. pv, `q jest grupą przemienną, przy czym ` oznacza tu dodawanie wektorów. Oznaczmy przez AutpV q zbiór automorfizmów liniowych przestrzeni V. pautpv q, qjestgrupą,któranaogółniejestprzemienna, przy czym jest tu działaniem składania przekształceń liniowych. Załóżmy, że w przestrzeni V zdefiniowaliśmy funkcjonał dwuliniowy ξ określający na V strukturę przestrzeni euklidesowej. Oznaczmy przez OpV q zbiór automorfizmów ortogonalnych przestrzeni V. popv q, qjestgrupą,któranaogółniejestprzemienna. Grupę tę nazywamy grupą ortogonalną przestrzeni pv, ξq.
15.Grupyfunkcji.Niech pg, qbędziegrupą,niech X H. W rodzinie funkcji definiujemy działanie G X tf : X Ñ G : fjestfunkcjąu pf gqpxq fpxq gpxq. pg X, qjestgrupą,którajestprzemienna,gdy Gjest przemienna.
16. Grupy zadane tabelkami Cayleya. Działania w grupach często wygodnie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Naprzykładtabelkadziałańwgrupie pz 5, b 5qwygląda następująco: b 5 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1
Przykładem grupy zadanej przez tabelkę Cayleya, która nie ma odpowiednika wśród grup liczbowych, jest grupa czwórkowa Kleina pk 4, q,gdzie K 4 ta,b,c,duorazdziałanie zdefiniowane jest następująco: a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a
17. Grupy przekształceń. Niech X H, niech SpXq tf : X Ñ X : fjestbijekcjąu. pspxq, q jest grupą, która na ogół nie jest przemienna, przy czym oznacza tu działanie składania funkcji. Jeśli X t1,2,...,nu,togrupę SpXqoznaczamyprzez Spnq i nazywamy grupą symetryczną stopnia n albo grupą permutacji stopnia n. Dla grup symetrycznych przyjmujemy następującą notację: jeśli σ P Spnqiσp1q i 1,...,σpnq i n,topiszemy ˆ 1 2... n σ. i 1 i 2... i n
Naprzykładdla n 3elementygrupy Sp3qtonastępujące funkcje: ˆ ˆ ˆ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 id 3 : o 1 2 3 1 : o 2 3 1 2 : ˆ ˆ ˆ 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 s 1 : s 1 3 2 2 : s 3 2 1 3 :. 2 1 3
Tym samym tabelka działań w grupie Sp3q wygląda następująco: id 3 o 1 o 2 s 1 s 2 s 3 id 3 id 3 o 1 o 2 s 1 s 2 s 3 o 1 o 1 o 2 id 3 s 2 s 3 s 1 o 2 o 2 id 3 o 1 s 3 s 1 s 2 s 1 s 1 s 3 s 2 id 3 o 2 o 1 s 2 s 2 s 1 s 3 o 1 id 3 o 2 s 3 s 3 s 2 s 1 o 2 o 1 id 3 Widzimy, że jest to przykład grupy nieprzemiennej: s 1 o 1 s 2 ale o 1 s 1 s 3.
18. Grupy izometrii własnych n-kąta foremnego. Dla n ě 3, n P N,oznaczmyprzez Dpnqzbiórizometrii własnych n-kąta foremnego. pdpnq, q jest grupą.
Na przykład grupa Dp3q składa się z następujących izometrii trójkąta równobocznego: ID 3 : O 1 : identyczność obróto120 O 2 : obróto240 S 1 : symetria względem symetralnej przechodzącej przez wierzchołek 1 S 2 : symetria względem symetralnej przechodzącej przez wierzchołek 2 S 3 : symetria względem symetralnej przechodzącej przez wierzchołek 3
Tabelka działań w grupie Dp3q wygląda zatem następująco: ID 3 O 1 O 2 S 1 S 2 S 3. ID 3 ID 3 O 1 O 2 S 1 S 2 S 3 O 1 O 1 O 2 ID 3 S 2 S 3 S 1 O 2 O 2 ID 3 O 1 S 3 S 1 S 2 S 1 S 1 S 3 S 2 ID 3 O 2 O 1 S 2 S 2 S 1 S 3 O 1 ID 3 O 2 S 3 S 3 S 2 S 1 O 2 O 1 ID 3
19.Skończonyproduktgrup.Niech pg 1, 1q,..., pg n, nq będą grupami. Wprodukciekartezjańskim G G 1 ˆ... ˆG n definiujemy działanie po współrzędnych : pa 1,...,a n q pb 1,...,b n q pa 1 1 b 1,...,a n n b n q. pg, qjestgrupą.
Jakoprzykładrozważmygrupy pz 2, 2 qipz 2, 2 q.wówczas Z 2 ˆZ 2 tp0,0q, p0,1q, p1,0q, p1,1qu i tablelka działań wygląda następująco: p0, 0q p0, 1q p1, 0q p1, 1q p0,0q p0,0q p0,1q p1,0q p1,1q p0,1q p0,1q p0,0q p1,1q p1,0q p1,0q p1,0q p1,1q p0,0q p0,1q p1,1q p1,1q p1,0q p0,1q p0,0q
Definicja Niech pg 1, 1qipG 2, 2qbędągrupami. Funkcję f : G 1 Ñ G 2 nazywamyizomorfizmemgrup,jeżeli jest bijekcją i spełniony jest warunek @x,y P G 1 rfpx 1 yq fpxq 2 fpyqs. Jeżeliistniejeizomorfizm f : G 1 Ñ G 2,togrupy G 1 i G 2 nazywamyizomorficznymi,cooznaczamyprzez G 1 G 2.
Przykłady: 20. Grupy Sp3q i Dp3q są izomorficzne. Istotnie,rozważmyfunkcję f : Sp3q Ñ Dp3q,którą,dla wygody oznaczeń, zdefiniujemy tabelką jako: σ id 3 o 1 o 2 s 1 s 2 s 3 fpσq ID 3 O 1 O 2 S 1 S 2 S 3 Oczywiście jest to bijekcja. Porównując tabelki działan w Sp3q i Dp3q widzimy, że jest to też izomorfizm grup.
21.Grupy K 4 i Z 2 ˆZ 2 sąizomorficzne. Istotnie,izomorfizmustalafunkcja f : K 4 Ñ Z 2 ˆZ 2 dana tabelką x a b c d fpxq p0,0q p0,1q p1,0q p1,1q
W dowolnej grupie pg, q wprowadzamy oznaczenie nź x i x 1... x n. i 1 Wszczególności ś n i 1 x xn.
Tradycyjnie używamy w teorii grup dwóch równoległych terminologii, addytywnej i multyplikatywnej, według następującego schematu: Definicja Notacja addytywna Notacja multyplikatywna działanie element neutralny potęga element odwrotny ` dodawanie suma 0 zero nx wielokrotność x element przeciwny mnożenie iloczyn 1 jedynka x n potęga x 1 element odwrotny
Twierdzenie Niech pg, q będzie grupą. Wówczas: 1. element neutralny e jest wyznaczony jednoznacznie; 2. ś m i 1 x i śm`n j m`1 x j ś m`n k 1 x k,dla x 1,...,x m`n P G; 3. x m`n x m x n,dla x P G; 4. px m q n x mn,dla x P G; 5. element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie; 6. px n 1 1... xn k k q 1 x n k k... x n 1 1,dla x 1,...,x k P G; 7. px 1 q 1 x,dla x P G; 8. px 1 y xq n x 1 y n x,dla x,y P G; 9.jeżeli x y x z,to y zorazjeżeli y x z x,to y z(prawoskracania).
Dowód. Udowodnimy dla przykładu część(1): jeśli eie 1 sądwomaelementamineutralnymi,towówczas. e e e 1 e 1
Podgrupy, podgrupy generowane przez zbiór.
Definicja Niech pg, q będzie grupą. Podzbiór H Hzbioru Gnazywamypodgrupągrupy G (piszemy H ă G),gdy ph, æ HˆH qjestgrupą.
Przykłady: 1. Z ă Rzdodawaniem; 2. R ă C zmnożeniem; 3. SLpn,F q ă SLpn,F qzmnożeniemmacierzy; 4. Z n niejestpodgrupągrupy Z.
Twierdzenie Niech H H Ă Giniech pg, qbędziegrupą. Następujące warunki są równoważne: 1. H ă G; 2. H ma następujące własności: 1G P H, @x,y P Hpxy P Hq, @x P Hpx 1 P Hq; 3. H ma następującą własność: @x,y P Hpxy 1 P Hq.
Dowód. Równoważność p1q ô p2q jest oczywista. Dladowoduimplikacji p2q ñ p3qustalmy x,y P H. Mamy,że y 1 P H,więc xy 1 P H. Pozostaje udowodnić implikację p3q ñ p1q. Ponieważ H H,więcistnieje x P H. Stąd 1 G xx 1 P H. Dalej: x 1 1 G x 1 P H. Ustalmy x,y P H. Wówczas y 1 P H,azatem: xy xpy 1 q 1 P H.
Przykłady: 5.Zauważmy,że µ n pcq tz P C : z n 1u ă C. Istotnie,ustalmy z 1,z 2 P µ n pcq,azatemniech z n 1 1i z n 2 1. Wówczas pz z 1 1 2 qn p z 1 z 2 q n zn 1 z 1 2 n 1 1,czyli z z 1 1 2 P µ n pcq. 6.Zauważmy,że t0,2,4u ă Z 6 zdodawaniem. Istotnie, 0 P t0,2,4u,dodawanienakażdejparzenie wychodzipozazbiór t0,2,4uoraz 0jestelementem symetrycznymdla 0, 2dla 4i4dla 2.
7.Zauważmy,że 2Z t2k : k P Zu ă Zzdodawaniem. Istotnie,ustalmy x,y P 2Z,azatemniech x 2kiy 2l. Wówczas x y 2k 2l 2pk lq,czyli x y P 2Z. 8.Zauważmy,żejeśli Gjestdowolnągrupą,to t1 G u ă Goraz G ă G. Podgrupy te nazywamy podgrupami niewłaściwymi, wszystkie pozostałe podgrupami właściwymi.
Twierdzenie Niech R th i : i P Iubędzierodzinąpodgrupgrupy G; 1. Ş ipi H ijestpodgrupągrupy G, 2. Ť ipi H ijestpodgrupągrupy G,oile Rjestłańcuchem.
Dowód. 1.Oznaczmy F Ş ipi H i.ustalmy x,y P F. Wtedy @i P Ipx,y P H i q, azatem @i P Ipxy 1 P H i q, czyli xy 1 P F. 2.Oznaczmy F Ť ipi H i. Ustalmy x,y P F. Wtedy Di 0 P Ipx,y P H i0 q, azatem Di 0 P Ipxy 1 P H i0 q, czyli xy 1 P F.
Definicja Niech pg, qbędziegrupąoraz A Ă Gpewnymzbiorem. Najmniejszą w sensie inkluzji podgrupę grupy G zawierającą zbiór A(tj. przekrój wszystkich podgrup grupy G zawierających A) nazywamy podgrupą generowaną przez A i oznaczamy xay.
Uwaga Podgrupa grupy G generowana przez zbiór A ma następujące własności: 1. xay ă G, 2. A Ă xay, 3.jeśli H ă Goraz A Ă H,towtedy xay ă H.
Definicja Każdyzbiór Aotejwłasności,że xay Gnazywamyzbiorem generatorów grupy G. Jeśli A ta 1,...,a n utooznaczamy xa 1,...,a n y xay. Mówimy, że grupa jest skończenie generowana, gdy istnieją elementy g 1,...,g n P Gtakie,że G xg 1,...,g n y.
Uwaga W szczególności grupa skończenie generowana nie musi być skończona, na przykład Z x1y.
Twierdzenie(o postaci elementów podgrupy generowanej przez zbiór) Niech pg, qbędziegrupą,niech A Ă G. Wówczas xay ta k 1 1 ak 2 2...akn n : n P N,k i P Z,a i P Au.
Dowód: Oznaczmy A 1 ta k 1 1 ak 2 2...akn n : n P N,k i P Z,a i P Au. Pokażemy,że A 1 ă G.
Zauważmy,że 1 G P A 1 : Istotnie,weźmy a 1 P A. Wtedyzdefinicjipotęgi a 0 1 1 G P A 1. Zauważmydalej,żedla x,y P A 1 zachodzi xy P A 1 : Istotnie,ustalmy x a k 1 k i,l i P Z, a i,b i P A. Mamy: 2...akn n, y b l 1 1 b l 2 2...b lm m, n,m P N, 1 ak 2 xy a k 1 1 ak 2 2...akn n bl 1 1 b l 2 2...b lm m P A 1. Nakonieczauważmy,żedla x P A 1 zachodzi x 1 P A 1 : Istotnie,ustalmy x a k 1 1 ak 2 2...akn n, n P N, k i P Z, a i P A. Mamy: x 1 pa k 1 1 ak 2 2...akn n q 1 a kn n a k n 1 n 1...a k 1 1 P A 1.
Pozostajepokazać,że A 1 xay. Inkluzja pąq jest oczywista, pozostaje wykazać inkluzję păq. Dowód prowadzimy przez indukcję względem n. Dla n 1ustalmy a 1 P A. Zdefinicjipodgrupy, a k 1 1 należy do wszystkich podgrup zawierających a 1,awięcizbiór A,zatemzdefinicji a k 1 1 P xay.
Załóżmy, że twierdzenie zachodzi dla pewnej ustalonej liczby n ą 1,awięcżedla a 1,a 2,...,a n P A, k 1,...,k n P Zzachodzi a k 1 1...akn n P xay. Wówczasdladla a 1,a 2,...,a n,a n`1 P A, k 1,...,k n,k n`1 P Z zachodzi a k 1 loooomoooon 1...akn n a k n`1 lomon n`1 P xay. PxAy PxAy
Wniosek 1.Niech Gbędziegrupąorazniech a P G. Wówczas xay ta k : k P Zu. 2.Niech pg, qbędziegrupąabelowąorazniech ta 1,...,a n u Ă G. Wówczas xa 1,...,a n y ta k 1 1...akn n : k i P Zu.
Przykłady: 9. x1y Z; 10. x1y Z n, n P N; 11. x2,3y t2k `3l : k,l P Zu ă Z; 12. x4,5y t4 n 5 m : n,m P Zu ă R ;
13.Wgrupie Dp3q tid 3,O 1,O 2,S 1,S 2,S 3 umamy: xid 3 y tid 3 u, xo 1 y tid 3,O 1,O 2 u, xo 2 y tid 3,O 1,O 2 u, xs 1 y tid 3,S 1 u, xs 2 y tid 3,S 2 u, xs 3 y tid 3,S 3 u, xo 1,S 1 y Dp3q;
14. Q xt p k 1 1...pkn n : n P N,k i P Z,p i P Puy,gdzie Poznacza zbiór liczb pierwszych;
15.Wgrupie GLpn,F qrozważmymacierzepostaci T ijpaq» 1 0... 0... 0... 0 0 1... 0... 0... 0........................ 0 0... 1... a... 0........................ 0 0... 0... 1... 0........................ 0 0... 0... 0... 1 fi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi fl i j i j oraz O ipaq» 1 0... 0... 0 0 1... 0... 0.................. 0 0... a... 0.................. 0 0... 0... 1 fi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi fl i i zwane, odpowiednio, transwekcjami oraz dylatacjami.
Wówczas GLpn,F q xtt ij paq,o i pbq : a,b P F,i,j P t1,...,nuuy.