Trgonometria bez u cia tablic i kalkulatora Propozcja na kółko matematczne i nie tlko Trgonometria to jeden z ciekawszch dzia ów w matematce Ró norodnoêç zadaƒ z trgonometrii i jej zastosowanie w innch dzia ach matematki nie majà koƒca Tomasz Grębski W artkule tm przedstawione sà rozwiàzania zadaƒ z trgonometrii tpu: oblicz bez u cia kalkulatora i tablic cz udowodnij bez u cia kalkulatora Jak nale je rozwiàzaç? Jakie sztuczki zastosowaç? Zapraszam do cztania Na poczàtek przedstawiam kilkanaêcie przdatnch wzorów Niektóre z nich sà dobrze znane, a niektóre rzadziej stosowane warto przpomnieç lub nawet poznaç Obok wzorów jest numeracja, która jest wkorzstwana podczas rozwiàzania poszczególnch zadaƒ celem wskazania wkorzstanego wzoru () sin x+ cos x sin x cos () tgx cos x, ctgx sin x x () sinx sin xcos x () cosx cos x- sin x cos x- -sin x (5) sinx sin x( -sin x) (6) cosx cos x( cos x-) tgx (7) tgx - tg x (8) sin( x+ ) sin xcos + cos xsin (9) sin( x- ) sin xcos -cos xsin () cos( x+ ) cos xcos -sin xsin 6 M AT E M AT Y K A
LO () cos( x- ) cos xcos + sin xsin () sin( 9 - x) cos x () cos( 9 - x) sin x () tg( 9 - x) ctgx (5) sin xcos 6 sin( x+ ) + sin( x- ) @ (6) cos xcos 6 cos( x+ ) + cos( x- ) @ (7) sin xsin 6 cos( x- ) - cos( x+ ) @ x+ x- (8) sin x+ sin sin cos x+ x- (9) sin x- sin cos sin x+ x- () cos x+ cos cos cos x+ x- () cos x- cos -sin sin tgx+ tg () tg( x+ ) - tgx tg Przejdêm teraz do cz Êci praktcznej Na poczàtek dwa atwiejsze zadania Zadanie Oblicz bez u cia kalkulatora: sin 5 I sposób: ( 9) sin5 sin( 5 - ) sin5 cos - cos5 sin - II sposób: Zastosujem wzór na cosinus podwojonego kàta () 6- cos -sin5 -sin5 sin5 - sin 5 - /: sin 5 - / sin 5 - - - 8- ^ 6- h 6-6- m a j/c ze r w i e c 6 7
Zadanie Oblicz bez u cia kalkulatora: cos 75 ( ) 6- cos75 cos( 5 + ) cos5 cos - sin5 sin - Teraz zajmiem si mniej tpowmi kàtami: 8, 6, 7 Zadanie Oblicz bez u cia kalkulatora i tablic dok adnà wartoêç sin 8 Metoda algebraiczna: Niech a 8, zatem 5a 9 5a a+ a 9 & a 9 -a Zatem: ( ) sina sin( 9 - a) cosa sina cosa Korzstam teraz ze wzorów na sinus podwojonego () i kosinus potrojonego kàta (5) sinacosa cos a-cosa sinacosa- cos a+ cosa cosa^sina- cosa+ h cosa sina- cosa+ Poniewa za o liêm, e a 8, to pierwsze równanie jest sprzeczne Zatem: sina- cosa+ Korzstam z jednki trgonometrcznej () sina- ( - sina) + sin a + sin a - Podstawiam nowà zmiennà wraz z odpowiednim za o eniem: sina t, t! -, t + t - Po rozwiàzaniu pow szego równania otrzmujem: 5 5 t - - t - + 5- ' / t! -, / t> & t / t sina sin8, czli sin8 5-8 M AT E M AT Y K A
LO Metoda geometrczna (wkorzstanie trójkàta prostokàtnego): Rsujem trójkàt prostokàtn ABC Oznaczam miar kàtów ostrch jako: + ABC 8 oraz + ACB 7 Prowadzim Êrodkowà AD, a nast pnie na odcinku CD zaznaczam taki punkt E, e AE AC Otrzmujem trz trójkàt równoramienne: DABD, DAEC, D ADE W trójkàcie AEC prowadzim wsokoêç AH Wprowadêm teraz wartoêci kàtów Korzstajàc z tego, e suma kàtów wewn trznch trójkàta wnosi 8 oraz z kàtów przleg ch otrzmujem nast pujàce wartoêci: + ABC 8 + ADB + ADE 6 + AED 8 + AEC 7 + CAH 8 + HAE 8 Przjmijm (bez strat na jakoêci rozwiàzania), e: AC AE ( DAEC jest równoramienn) CH HE x ( DAEC jest równoramienn) AE ED ( DAED jest równoramienn) Zatem: CD AD DB x + Z DAHC i twierdzenia Pitagorasa mam: AH Z - x DABC i twierdzenia, e kwadrat d ugoêci wsokoêci opuszczonej z wierzcho ka kàta prostego równ jest ilocznowi d ugoêci odcinków, na jakie podzieli a ona przeciwprostokàtnà, mam: AH CH HB ^ - x h x ( x+ ) - x x + x x + x - D, D 5 ' 5 5 x - - x - + / x& x 5- m a j/c ze r w i e c 6 9
Zatem z DAHC mam: CH x 5- sin8 x AC t Rsunek do zadania Uwaga sin 8 jest wjêciowà wartoêcià, za pomocà której mo em obliczç dowolnà wielokrotnoêç kàta 8, co pokazujà kolejne zadania Prz okazji warto wspomnieç, e cos 8 obliczam, wkorzstujàc jednk trgonometrcznà (): cos 8 - sin8 -c 5- m + 5 6 + 5 Zadanie Oblicz sin 6 bez u cia kalkulatora i tablic W zadaniu pokazano, jak obliczç sin 8 WartoÊç tà wkorzstam prz cosinusie podwojonego kàta ( ) cos6 -sin8 5 6 5 5 cos6 - c - m - + - 8 sin 6 obliczm teraz, wkorzstujàc jednk trgonometrcznà () i pami tajàc, e sin6 > sin6 - cos6 -c 5+ m - 5 M AT E M AT Y K A
LO Zadanie 5 Oblicz sin 5 bez u cia kalkulatora i tablic ( ) sin5 sin( 9-6 ) cos6 W zadaniu pokazano, jak obliczç cos 6 Zatem sin5 cos6 5+ Zadanie 6 Oblicz sin 7 bez u cia kalkulatora i tablic Wiem ju, jak obliczç sin 8 (zadanie ), zatem: ( ) sin7 sin( 9-8 ) cos8 + 5 Zadanie 7 Wka bez u cia tablic i kalkulatora, e cos6 cos7 L cos6 cos7 Mno m i dzielim wra enie przez sin6 w celu uzskania wzoru na sinus podwojonego kàta sin6 cos6 cos7 sin7 cos7 sin7 cos7 sin sin6 sin6 sin6 sin6 sin( 8-6 ) sin6 sin6 sin6 P Zadanie 8 Wka bez u cia tablic i kalkulatora, e tg5 + ctg5 sin5 cos tg ctg sin cos L 5 5 cos5 sin5 5 ( ) 5 + 5 + + sin5 cos5 sin5 cos5 sin P m a j/c ze r w i e c 6
Zadanie 9 Wka bez u cia tablic i kalkulatora, e ctg5 -tg5 cos ctg tg sin sin cos sin 5 5 L 5 5 5 5-5 - - cos5 sin5 cos5 ( ) ctg P cos5 -sin5 sin5 cos5 cos sin ( ) ( ),( ) ( ) Zadanie Wka bez u cia tablic i kalkulatora, e cos cos cos8 L cos cos cos8 8 Mno m i dzielim wra enie przez sin w celu uzskania wzoru na sinus podwojonego kàta sin cos cos cos8 sin cos cos8 sin sin sin cos cos8 sin8 cos8 sin6 sin sin 8sin sin^8 - h ^h sin 8sin 8sin 8 P Zadanie Wiedzàc, e sin m, oblicz sin 5 ( 8) sin5 sin( 5 - ) sin5 cos - cos5 sin cos - sin ( ) ^ cos - sin h ^ -sin - sin h ^ - m - mh M AT E M AT Y K A
LO Zadanie Oblicz bez u cia tablic i kalkulatora sin5 sin5 sin5 sin5 sin5 cos5 cos5 cos5 cos5 sin5 sin5 sin5 sin5 sin5 cos5 cos5 cos5 cos5 sin5 % cos5 % sin5 % cos5 % sin5 % cos5 % sin5 % cos5 % sin5 % Mno m i dzielim wra enie przez 6 sin5 cos5 sin5 cos5 sin5 cos5 sin5 cos5 sin5 6 sin sin sin5 sin7 sin5 sin sin5 sin7 6 6 6 sin sin5 sin7 Mno m i dzielim wra enie przez cos w celu uzskania wzoru na sinus podwojonego kàta sin cos 6 cos sin5 sin( 9 - ) sin sin cos 8cos sin5 cos 8 cos sin5 sin sin cos sin8 56cos sin( 9-5 ) 56 cos 5cos cos 5cos 5 5 sin( 9-8 ) cos Zadanie Udowodnij to samoêç (bez u cia tablic i kalkulatora): cos5 sin5 sin5 sin5 sin5 cos5 cos5 cos5 cos5 sin5 sin5 sin5 sin5 cos5 cos5 cos5 m a j/c ze r w i e c 6
Korzstam ze wzorów: (5), (6) i (7) ( sin + sin ) ( cos - cos6 ) ( sin - sin ) ( cos + cos6 ) Mno m obustronnie przez ( sin + sin )( cos - cos6 ) ( sin - sin )( cos + cos6 ) sin cos - sin cos6 + sin cos - sin cos6 sin cos + sin cos6 - sin cos + sin cos6 Po uporzàdkowaniu mam: sin cos sin cos6 sin sin cos6 /: sin cos6 Zatem przeprowadzajàc to samoêciowe działania, uzskaliêm równanie zawsze prawdziwe To samoêç została udowodniona Zadanie Udowodnij bez u cia tablic i kalkulatora nast pujàcà równoêç: sin - sin7 Wkorzstam wzór (5): sinx sin x( -sin x) sin sin ( -sin ) Przegrupowujàc wraz po prawej stronie, otrzmujem: sin sin ( - sin ) + sin Wkorzstujàc wzór (), otrzmujem: sin cos + sin / sin cos + sin - sin sin7 sin /: sin, sin - sin7 M AT E M AT Y K A
LO Zadanie 5 Udowodnij bez u cia tablic i kalkulatora: sin77 - sin + sin + sin5 cos L sin77 - sin + sin + sin5 sin77 + sin5 + sin - sin ( 8),( 9) sin cos6 - sin5 cos6 cos6 ^sin - sin5 h ( 9) cos6 sin8 cos cos6 sin8 cos sin6 Wiedzàc, e sin6 sin8 cos8, mo em wznaczç sin8 cos8 Zatem kontnuujem nasze obliczenia: sin6 cos6 sin6 % sin7 cos6 cos8 cos cos8 cos cos8 cos sin( 9-8 ) ( ) cos8 cos8 cos cos8 cos cos P Zadanie 6 Udowodnij bez u cia tablic i kalkulatora, e tg jest liczbà niewmiernà Teza: tg! NW Przeprowadzim dowód nie wprost Załó m, e tg jest liczbà wmiernà Wkorzstujem wzór: tgx tg (7) tgx, czli tg - tg x - tg Zało liêm, e tg jest liczbà wmiernà, wi c tg te jest liczbà wmiernà Wkorzstajm teraz wzór: tga+ tgb tg( a+ b) - tga tgb do rozpisania tg 6 tg + tg tg6 tg( + ) - tg tg m a j/c ze r w i e c 6 5
tg + tg Zgodnie z naszm zało eniem, wra enie -tg tg nale do liczb wmiernch Wiem jednak, e tg 6, czli nale do liczb niewmiernch Zatem otrzmaliêm sprzecznoêç z naszm zało eniem Zgodnie z zasadà dowodu nie wprost: nasze zało enie okazało si fałszwe, zatem tg jest liczbà niewmiernà (dodatkowo mo na jeszcze wkazaç, e jest liczbà niewmiernà, ale to ju pozostawiam Cztelnikowi) Na zakoƒczenie naszch rozwa aƒ nale wspomnieç, e niestet, nie dla wszstkich wartoêci kàtów mo na obliczç dokładne wartoêci funkcji trgonometrcznch, np zobaczm, co si dzieje, gd chcem wznaczç dokładnà wartoêç sin Pozornie wglàda na to, e doêç szbko obliczm t wartoêç, wkorzstujàc wzór: sinx sin x( -sin x) sin sin ( -sin ) Mo em podstawiç nowà zmiennà: sin t t( -t ) Po uporzàdkowaniu mam: 8t - 6t + OtrzmaliÊm doêç adne równanie trzeciego stopnia Niestet, równanie to nie ma pierwiastków wmiernch i eb je rozwiàzaç, trzeba si gnàç np do wzorów Cardano i liczb zespolonch lub do przbli onch metod rozwiàzwania równaƒ Ale to ju zupe nie odr bne zagadnienie Mam nadziej, e przedstawione rozwiàzania problemów zawartch w zadaniach niejednokrotnie b dà przdatne w ró nch zastosowaniach Tomasz Grębski Nauczciel matematki w Zespole Szkół Nr im M Reja w Kraśniku, autor portalu: wwwtomaszgrebskipl 6 M AT E M AT Y K A