Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2014/2015 Etap II - rejonowy

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2014/2015 Etap II - rejonowy"

Henryk Cybulski
7 lat temu
Przeglądów:

1 Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2014/2015 Etap II - rejonowy W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeo otrzymuje maksymalną liczbę punktów. Do kolejnego etapu kwalifikuje się uczeo, który uzyskał co najmniej 14 punktów. Zadanie 1 [3 pkt.] Marta przygotowała wodny roztwór cukru o stężeniu 10%. Jej młodszy brat wylał pół kilograma tego roztworu i do pozostałej części roztworu dolał pół kilograma wody otrzymując roztwór o stężeniu %. Oblicz, ile wody, a ile cukru było na początku w roztworze Marty. Zapisz obliczenia. Przykładowe rozwiązanie: x masa roztworu 0,1 x 1 2 = x 10% 4 = 0,4 0,1x 0,05 = x 40x 20 = 35x x = 4 Odpowiedź: W roztworze Marty było 3,6 kg wody i 0,4 kg cukru. : zapisze poprawne równanie wynikające z treści zadania. poprawnie rozwiąże równanie. Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy obliczy, że roztwór składa się z 3,6 kg wody i 0,4 kg cukru. Jeżeli uczeo zapisze błędne równanie, to otrzymuje 0 punktów.

2 Zadanie 2 [2pkt.] Suma dwóch liczb jest równa 7, a różnica kwadratów tych liczb jest równa 21. O jakich liczbach mowa? Zapisz obliczenia. Przykładowe rozwiązanie: x +y = 7 x 2 - y 2 =21 (7 y) 2 y 2 = y + y 2 y 2 = = 14y 28 = 14y y = 2 x = 5 Odpowiedź: Liczby, o których mowa, to 5 i 2. zapisze dwa równania: x 2 - y 2 =21 i x+y = 7. obliczy liczby, o których mowa w zadaniu (5 i 2).

3 Zadanie 3 [5pkt.] Jacek wyciął z prostokątnego kawałka tektury romb (taki jak na rysunku poniżej) o przekątnych 40cm i 20 cm. Jakie pole powierzchni miał ten prostokątny kawałek tektury? Zapisz obliczenia. Przykładowe rozwiązania: I sposób: a - długośd boku rombu x różnica długości boku prostokąta i długości boku rombu P r = = = a 2 a = 10 5 P r = a h h = P r a = = 8 5 a 2 h 2 = x = x = x 2 x = 6 5 P = a + x h = = 640 Odpowiedź:Prostokątny kawałek tektury miał pole 640 cm 2. : obliczy pole lub długośd boku rombu. obliczy pole i długośd boku rombu. Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy obliczy długośd wysokości rombu. Uczeo otrzymuje 4 punkty, gdy obliczy różnicę długości boku prostokąta i rombu (x). Uczeo otrzymuje 5 punktów, gdy obliczy pole prostokąta. Jeśli uczeo prawidłowo rozwiąże zadanie, ale wynik poda bez jednostki, to przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

4 II sposób: b a x a - długośd boku rombu x różnica długości boku prostokąta i długości boku rombu = a 2 a = 10 5 x 2 + b 2 = x 2 + b 2 = 1600 x 2 + b 2 = x + x 2 + b 2 = 1600 b 2 = 500 x x + x x 2 = 1600 b 2 = 500 x x = 600 x = 6 5 b 2 = x = 6 5 b = 8 5 P = a + x b = = 640 Odpowiedź: Prostokątny kawałek tektury miał pole 640 cm 2. : obliczy długośd boku rombu. : zastosuje twierdzenie Pitagorasa do dwóch trójkątów i zapisze układ równao x 2 + b 2 = x 2 + b 2 = 1600 Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy: poprawnie zastosuje wzór skróconego mnożenia. Uczeo otrzymuje 4 punkty, gdy: poprawnie rozwiąże układ równao. Uczeo otrzymuje 5 punktów, gdy: obliczy pole prostokąta P = 640 cm 2. Jeśli uczeo prawidłowo rozwiąże zadanie, ale wynik poda bez jednostki, to przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

5 Zadanie 4 [3 pkt.] Na pytanie: Ile masz lat?, Janek odpowiedział następująco: Moja siostra jest ode mnie młodsza o 3 lata. Ja mam obecnie dwa razy tyle lat, ile miała siostra wtedy, kiedy ja miałem tyle lat, ile siostra ma teraz. Oblicz, ile lat ma Janek. Zapisz obliczenia. Przykładowe rozwiązanie: teraz 3 lata temu wiek Janka x +3 x wiek siostry Janka x x -3 Odpowiedź: Janek ma 12 lat. : x +3 = 2(x 3) x+3 = 2x 6 x = 9 zauważy, że sytuacja, kiedy Janek miał tyle lat, ile siostra ma teraz, miała miejsce 3 lata temu. zapisze równanie wynikające z treści zadania, np. x+3 = 2(x 3). Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy obliczy wiek Janka.

6 Zadanie 5 [4 pkt.] Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej długości 8. W trójkącie poprowadzono dwusieczną jednego z kątów ostrych. Oblicz długości odcinków, na jakie ta dwusieczna podzieliła przyprostokątną. Przykładowe rozwiązania: I sposób: C E A D B AC 2 = 8 AC = 4 2 CAD CDE AD = DE AC = CE = 4 2 EB = CB CE = DB = AB 2 = = AD = EB = Odpowiedź: Dwusieczna podzieliła przyprostokątną na odcinki o długościach: i II sposób: AC 2 = 8 AC = 4 2 CAD CDE AD = DE DB = AD 2 AD + DB = 4 2 AD + AD 2 = 4 2 AD = 4 2 AD = = DB = AD 2 = Odpowiedź: Dwusieczna podzieliła przyprostokątną na odcinki o długościach: i

7 korzystając z faktu, że trójkąty ADC i DEC są przystające (własnośd nie musi byd zapisana) zauważy równośd odcinków AC = EC lub DA = DE lub obliczy długośd przyprostokątnej. korzystając z faktu, że trójkąty ADC i DEC są przystające (własnośd nie musi byd zapisana) zauważy równośd odcinków AC = EC lub DA = DE i obliczy długośd przyprostokątnej. Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy obliczy długośd odcinka AD lub DB. Uczeo otrzymuje 4 punkty, gdy obliczy długośd odcinka AD i DB AD = i DB = Jeśli uczeo, poda rozwiązanie w postaci: AD = 4 2 DB = to otrzymuje maksymalną liczbę punktów

8 Zadanie 6 [1 pkt.] Zaznacz krzyżykiem prawidłową odpowiedź. Liczba 2-5 jest równa: A. 2-5 B. 5 2 C D E wskaże poprawną odpowiedź. Zadanie 7 [1 pkt.] Wyznacz x ze wzoru: y = 5 x 2x 1 y 2x 1 = 5 x 2xy y = 5 x 2xy + x = 5 + y x 2y + 1 = 5 + y x = 5 + y 2y + 1 y 1 2 poprawnie wyznaczy x ze wzoru. Braku założenia y 1 nie traktujemy jako błąd. 2 Zadanie 8 [1 pkt.] Wyznacz 2014 cyfrę po przecinku liczby 2,014(512). Odpowiedź: 2014 cyfrą po przecinku liczby 2,014(512) jest 5. poprawnie wyznaczy 2014 cyfrę po przecinku liczby 2,014(512).

Podobne dokumenty

Zadanie 1 [2 punkty] Podaj trzy różne liczby pierwsze, których suma również jest liczbą pierwszą. Kryteria oceniania

Zadanie 1 [2 punkty] Podaj trzy różne liczby pierwsze, których suma również jest liczbą pierwszą. Kryteria oceniania Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2014/2015 Etap I - szkolny W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania