Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur
Pojęcie mcierzy Mcierz to prostokątn tblic, w której moŝn wyróŝnić wiersze i kolumny. Przykłd zpisu mcierzy: 2 3 kolumny 3, 5 2 wiersze Mcierze zpisuje się w nwisch kwdrtowych. Ann Rjfur 2
Pojęcie mcierzy cd. N przecięciu wiersz i kolumny zpisny jest element mcierzy. Przykłd: 2 3, 5 Elementmi mcierzy mogą być np.: liczby, funkcje, inne mcierze. N kŝdym przecięciu wiersz i kolumny zpisny jest pewien element mcierzy. Ann Rjfur 3
Wymir mcierzy Jeśli mcierz m m wierszy i n kolumn, to mówimy, Ŝe jest wymiru m x n (czyt.: m n n). Przykłd: 4 wiersze, 2 kolumny wymir mcierzy: 4 x 2 (czyt.: cztery n dw) 2 3, 3 π 4, 5 5, 2 4 x 2 Ann Rjfur 4
Przykłd Zpisz wymiry dnych mcierzy. 3 2 3 x 2 5, 7 3 2, 5 8 5 x (wektor kolumnowy) [ 2 4, 2 3] [ ] x 4 (wektor wierszowy) x Ann Rjfur 5
Oznczeni mcierzy Mcierze ozncz się duŝymi litermi: A, B,... lub A, A 2,... lub [ ij ], i =,..., m, j =,..., n Ann Rjfur 6
Identyfikownie elementów mcierzy A mcierz wymiru m x n, ij element mcierzy A leŝący n przecięciu i-tego wiersz z j-tą kolumną, gdzie i =,..., m, j =,..., n. ij numer wiersz numer kolumny Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur 7
Wybrne postcie mcierzy Jeśli w mcierzy A m x n liczb wierszy m jest równ liczbie kolumn n, to mcierz A nzywmy kwdrtową stopni n; ozn.: A n Przykłdy mcierzy kwdrtowych: 2 2 2 stopni 2 stopni 3 Ann Rjfur 8
Przykłd Zpisz mcierz kwdrtową A n. Zpis mcierzy A n n tblicy. Ann Rjfur 9
Przekątn mcierzy kwdrtowej W mcierzy kwdrtowej stopni n elementy ii, i =,, n tworzą główną przekątną. A n = 2 M n 2 22 M n2 K K O K n 2n nn M przekątn (główn) mcierzy A n Ann Rjfur
Ann Rjfur Postcie mcierzy kwdrtowych Mcierz trójkątn górn: Przykłdy: 2 2 2 3 4 2 2 2 = nn n n n A K M M M K K 2 22 2 wszystkie elementy pod przekątną główną są zermi, ij = dl i > j.
Ann Rjfur 2 Postcie mcierzy kwdrtowych cd. Mcierz trójkątn doln: Przykłdy: 2 3 5 4 2 2 5 3 2 wszystkie elementy nd przekątną główną są zermi, ij = dl i < j. = nn n n n A K M M M K K 2 22 2
Ann Rjfur 3 Postcie mcierzy kwdrtowych cd. Mcierz digonln: Przykłdy: 2 2 4 2 wszystkie elementy poz przekątną główną są zermi, ij = dl i j. = nn n A K M M M K K 22
Postcie mcierzy kwdrtowych cd. Mcierz jednostkow stopni n, ozn. I n : mcierz digonln z jedynkmi n przekątnej głównej, ii = dl i =, 2,..., n, ij = dl i j. A n = M M K K O K M Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur 4
Równość mcierzy Mcierze A m x n orz B p x q są równe, gdy ich wymiry są jednkowe orz odpowidjące elementy są równe, czyli m = p i n = q orz ij = b ij dl i =,..., m, j =,..., n. Ann Rjfur 5
Ann Rjfur 6 Przykłd Dne są mcierze A, B, C, D. Podj wrunki, przy których zchodzą równości: A = B, C = D. = 5 2, A = 5, z y x B = 4 3 C = 4 3 2 x x x x D
Dziłni n mcierzch Dodwnie, odejmownie MnoŜenie mcierzy przez liczbę Trnsponownie MnoŜenie mcierzy przez mcierz Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur 7
Dodwnie mcierzy A m x n + B m x n = C m x n c ij = ij + b ij i =,, m, j =,, n krótszy zpis: [ ij ] + [b ij ] = [ ij + b ij ] i =,, m, j =,, n Ann Rjfur 8
Odejmownie mcierzy A m x n B m x n = C m x n c ij = ij - b ij i =,, m, j =,, n krótszy zpis: [ ij ] - [b ij ] = [ ij - b ij ] i =,, m, j =,, n Ann Rjfur 9
MnoŜenie mcierzy przez liczbę k A m x n = C m x n c ij = k ij i =,, m, j =,, n krótszy zpis: k [ ij ] = [k ij ] i =,, m, j =,, n Ann Rjfur 2
Trnsponownie mcierzy (A m x n ) T = C n x m c ij = T ij = ji i =,, n, j =,, m krótszy zpis: [ ij ] T = [ T ji] i =,, m, j =,, n Ann Rjfur 2
MnoŜenie mcierzy przez mcierz n A m x n B n x p = C m x p c ij = k = ik b kj i =,, m, j =,, p krótszy zpis: b [ ij ] [b ij ] = [ ik kj n k = i =,, m, j =,, p ] Ann Rjfur 22
Włsność mcierzy I Dl dowolnej mcierzy A m x n zchodzą równości: A m x n I n = A m x n I m A m x n =A m x n Ztem mcierz I jest elementem obojętnym mnoŝeni mcierzy. Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur 23
Oznczeni W odniesieniu do mcierzy kwdrtowej A stosuje się oznczeni: A A = A 2, A A A = A 3, A A... A = A n n czynników Ann Rjfur 24
Kolejność dziłń MnoŜenie przed dodwniem i odejmowniem. Trnsponownie przed innymi dziłnimi. Njpierw dziłni w nwisch. Przykłd n tblicy. Ann Rjfur 25
Prw dziłń n mcierzch Ozn.: A, B, C, D mcierze, k liczb rzeczywist. Prwo łączności dodwni: (A + B) + C = A + (B + C) Prwo łączności mnoŝeni: (A B) C = A (B C) Ann Rjfur 26
Prw dziłń n mcierzch cd. Prwo przemienności dodwni: A +B = B + A Uwg. MnoŜenie mcierzy nie jest przemienne. MnoŜenie iloczynu mcierzy przez liczbę: k (A B) = (k A) B = A (k B) Ann Rjfur 27
Prw dziłń n mcierzch cd. Prw rozdzielności mnoŝeni względem dodwni: k (A + B) = k A + k B C (A + B) = C A + C B (A + B) D = A D + B D Ann Rjfur 28
Prw dziłń n mcierzch cd. Prwo trnsponowni sumy: (A + B) T = A T + B T Prwo trnsponowni iloczynu: (A B) T = B T A T Prwo podwójnej trnspozycji: (A T ) T = A Ann Rjfur 29
Zdni Zdni w pliku Zdni_mcierze_dzilni.pdf Uwg Do dziłń n mcierzch moŝn wykorzystć funkcję rkusz EXCEL: orz opcję MACIERZ.ILOCZYN MENU Edycj - Wklej specjlnie - Trnspozycj Ann Rjfur 3