1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy jedynie informacje o zbiorze możliwych wyników tego doświadczenia. Wynik doświadczenia losowego wykluczaj acy inne możliwe wyniki nazywamy zdarzeniem elementarnym. UWAGA: Zak lada siȩ, że w wyniku doświadczenia losowego zachodzi dok ladnie jedno zdarzenie elementarne. Zbiór wszystkich zdarzeń losowych nazywamy przestrzeni a zdarzeń elementarnych i oznaczamy przez Ω. Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny wynik doświadczenia losowego. Każde zdarzenie losowe jest zbiorem zdarzeń elementarnych UWAGA: Jeżeli Ω jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, to zdarzeniem losowym jest dowolny podzbiór zbioru Ω Zdarzenie nazywamy zdarzeniem niemożliwym. Zdarzenie Ω nazywamy zdarzeniem pewnym. Zdarzenie A = Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli dla dwóch zdarzeń A i B zachodzi A B =, to mówimy, że zdarzenia te wykluczaj a siȩ (s a roz l aczne). Przyk lady. Zdarzenie A = miesi ac kwiecień ma 31 dni jest zdarzeniem niemożliwym. Zdarzenie B = miesi ac kwiecień ma 30 dni jest zdarzeniem pewnym. Zdarzeniem przeciwnym do C = dzisiaj jest niedziela jest zdarzenie C = dzisiaj jest inny dzień tygodnia niż niedziela. Rozważmy teraz przyk lad bardzo prostego doświadczenia losowego. Przyk lad. Rozważmy doświadczenie losowe polegaj ace na jednokrotnym rzucie monet a. Przestrzeń zdarzeń elementarnych sk lada sie z dwóch elementów, zdarzenia ω O polegajacego na wypadniȩciu or la i ω O, które oznacza wypadniȩcie reszki. Wypiszmy wszystkie możliwe podzbiory zbioru Ω (zdarzenia losowe): A 1 = Ω = {ω O, ω R }, A 2 = {ω O }, A 3 = {ω R }, A 4 =. Zdarzenie A 1 polega na wypadniȩciu or la lub reszki. Jest to zdarzenie pewne. Zdarzenie A 4 polegaj ace na niewypadniȩciu ani or la ani reszki nie może zajść w wyniku naszego doświadczenia losowego. Jest to zdarzenie niemożliwe. Zdarzeniem przeciwnym do A 2 - wypad l orze l jest zdarzenie A 3 - wypad la reszka. Zwróćmy uwagȩ na to, że A 2 A 3 = Ω (w wyniku rzutu monet a wypadnie orze l lub reszka) oraz A 2 A 3 = (nie może wypaść jednocześnie orze l i reszka). 2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω bȩdzie zbiorem skończonym, to znaczy Ω = {ω 1, ω 2..., ω N }. Dla dowolnego zdarzenia
2 A Ω takiego, że A = {ω i1, ω i2,..., ω ik }, gdzie i 1, i 2,..., i k prawdopodobieństwa w nastȩpuj acy sposób: {1, 2,... N}, definiuje siȩ funkcjȩ P (A) = P ({ω i1 }) + P ({ω i2 }) +... + P ({ω ik }). W przypadku, gdy zdarzenia elementarne s a jednakowo prawdopodobne, to znaczy P (ω 1 ) = P (ω 2 ) =... = P (ω N ) = 1, otrzymujemy nastȩpuj acy wzór: N P (A) = A Ω = k N liczba zdarzeń elementarnych sprzyjaj acych zdarzeniu A =. liczba wszystkich zdarzeń elementarnych Powyższa definicja prawdopodobieństwa nie jest poprawna w ogólności, gdyż zbiór Ω nie musi być skończony a zdarzenia elementarne nie musz a byċ jednakowo prawdopodobne. 3. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech Ω bȩdzie przestrzeni a zdarzeń elementarnych, Z 2 Ω = P(Ω) zbiorem zdarzeń losowych. Funkcj a prawdopodobieństwa nazywamy funkcjȩ: spe lniaj ac a nastȩpuj ace trzy aksjomaty: P : Z [0, 1] P 1) P (A) 0 dla każdego A Z, P 2) P (Ω) = 1 P 3) jeżeli A 1, A 2,..., A n jest ci agiem zdarzeń roz l acznych (to znaczy A i A j = dla i j), to P ( + i=1 A i ) = + i=1 P (A i ). Wartość funckji P na zbiorze A nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A W lasności prawdopodobieństwa: 1. P ( ) = 0. 2. Jeśli A B, to P (A) P (B). 3. Dla dowolnego A Ω P (A) 1. 4. Jeśli A B, to P (B \ A) = P (B) P (A). 5. Dla dowolnego A Ω P (A) + P (A) = 1. 6. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 7. Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,..., A n s a parami roz l aczne, to P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )+P (A 2 )+... + P (A n ).
3 Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zasz lo zdarzenie B: P (A B) = P (A B) P (B) albo Doświadczenia niezależne = dowolny wynik jednego z nich nie wpywa na wynik drugiego. Zdarzenia niezależne = zdarzenia A, B, dla których: P (A B) = P (A) P (B) P (A B) = P (A) lub P (B A) = P (B) Informacja o zajściu jednego z nich nie zmienia szans wyst apienia drugiego.
4 ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA Intuicyjnie: zmienna, która przyjmuje pewn a wartość liczbow a w wyniku doświadczenia losowego. Formalnie: Funkcja X : Ω R przyporz adkowuj aca każdemu zdarzeniu losowemu pewn a wartość liczbow a Dystrybuanta zmiennej losowej X - funkcja F X : R R zdefiniowana nastȩpuj aco: F (x) = P (X < x) dla każdego x R Zmienna losowa typu skokowego Zmienna X, dla której zbiór wartości przyjmowanych przez t a zmienn a jest skończony lub przeliczalny, tzn W X = {x 1, x 2,..., x n } albo W X = {x 1, x 2,..., x n,...} Rozk lad prawdopodobieństwa: funkcja P, która każdemu punktowi skokowemu x i W X przyporz adkowuje skok prawdopodobieństwa p i = P (X = x i ) w taki sposób, że: 1) dla każdego i : p i > 0 oraz. 2) i p i = 1 Zmienna losowa typu ci ag lego Zmienna X, dla której zbiór wartości przyjmowanych przez t a zmienn a jest przedzia lem liczbowym lub sum a przedzia lów. Rozk lad prawdopodobieństwa: funkcja f zwana gȩstości a prawdopodobieństwa taka, że. 1) dla każdego x R : f(x) 0 oraz 2) + f(x)dx = 1 Podstawowe parametry zmiennej losowej 1. Wartość oczekiwana zmiennej losowej X = liczba E(X) bȩd aca średnia ważon a rozk ladu prawdopodobieństwa przy za lożeniu, że wag a jest prawdopodobieństwo (dla zmiennej losowej typu skokowego) albo środkiem ciȩżkości rozk ladu prawdopodobieństwa przy za lożeniu, że gȩstości a jest funkcja gȩstości prawdopodobieństwa (dla zmiennej losowej typu ci ag lego). 2. Wariancja zmiennej losowej X= D 2 (X) = wartość oczekiwana kwadratu odchylenia zmiennej od jej wartości oczekiwanej - miara średniego odchylenia kwadratowego. 3. Odchylenie standardowe zmiennej losowej X = D(X)= pierwiastek z wariancji - miara średniego odchylenia zmiennej od jej wartości oczekiwanej. 4. Kwantyl rzȩdu p = x p = punkt, w którym skumulowane prawdopodobieństwo (dystrybuanta) osi aga (przekracza) wartość p. mediana=me=kwantyl rzȩdu 1 2
5 kwartyl dolny=q 1 =kwantyl rzȩdu 1 4 kwartyl dolny=q 3 =kwantyl rzedu 3 4 i-ty decyl= przedzia l miȩdzy kwantylem rzȩdu (i 1) 0.1 a kwantylem rzȩdu i 0.1 i-ty percentyl= przedzia l miȩdzy kwantylem rzȩdu (i 1) 0.01 a kwantylem rzȩdu i 0.01 5. Moda (dominanta; wartośċ modalna) = punkt, w którym funkcja prawdopodobieństwa osi aga najwiȩksz a wartośċ. Podstawowe teoretyczne rozk lady prawdopodobieństwa zmiennej losowej jednowymiarowej Typu skokowego 1. Rozk lad jednopunktowy. Funkcja prawdopodobieństwa : P (X = c) = 1 dla pewnej sta lej c Wartośċ oczekiwana: E(X) = c Wariancja: D 2 (X) = 0 Interpretacja: Rozk lad dowolnej sta lej liczbowej X. 2. Rozk lad dwupunktowy (zerojedynkowy). Funkcja prawdopodobieństwa : P (X = 1) = p, P (X = 0) = q = 1 p Wartośċ oczekiwana: E(X) = p Wariancja: D 2 (X) = p q = p (1 p) Interpretacja: Rozk lad dowolnej zmiennej X, która odpowiada na pewne pytanie albo TAK (X = 1- sukces ) albo NIE (X = 0- porażka ), rozk lad dowolnej cechy zero-jedynkowej (obiekt albo j a posiada (X = 1) albo nie posiada (X = 0). 3. Rozk lad Bernoulliego (dwumianowy) - B(n, p) Schemat doświadczeń Bernoulliego: - n niezależnych doświadczeń, - w każdym doświadczeniu albo sukces z prawdopodobieństwem p albo porażka (z prawdopodobieństwem q = 1 p); Interpretacja: Zmienna losowa X ma rozk lad B(n, p) jeśli mówi o liczbie sukcesów w schemacie n niezależnych doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p w każdym z nich. Jest sum a n niezależnych zmiennych losowych o rozk ladzie zerojedynkowym. ) pk q n k dla k = 0, 1, 2,..., n, q = 1 p. Funkcja prawdopodobieństwa : P (X = k) = ( n k Wartośċ oczekiwana: E(X) = np Wariancja: D 2 (X) = n p q 4. Rozk lad Poissona - Po(λ) Funkcja prawdopodobieństwa : P (X = k) = e λ λk k! dla k = 0, 1, 2,... Wartośċ oczekiwana: E(X) = λ Wariancja: D 2 (X) = λ Interpretacja: Rozk lad graniczny dla rozk laadu B(n, p) przy n +. Dla dostatecznie dużych n, zmienna losowa o rozk ladzie B(n, p) ma w przybliżeniu rozk lad Poissona z parametrem λ = n p. Typu ci ag lego
1. Rozk lad jednostajny na przedziale (a; b) - U(a, b) Funkcja gȩstości prawdopodobieństwa : f(x) = { 1 b a, dla a < x < b 0, dla pozosta lych x Wartośċ oczekiwana: E(X) = a+b 2 Wariancja: D 2 (X) = (b a)2 12 Interpretacja Zmienna losowa X ma rozk lad U(a, b) jeśli przyjȩcie przez t a zmienn a dowolnej wartości z przedzia lu (a; b) jest jednakowo prawdopodobne. 2. Rozk lad normalny (Gaussa) - N(m, σ) Funkcja gȩstości prawdopodobieństwa : f(x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2 dla x R Wartośċ oczekiwana: E(X) = m Wariancja: D 2 (X) = σ 2 Wykresem powyższej funkcji gȩstości prawdopodobieństwa jest krzywa Gaussa Zmienna losowa standaryzowa dla zmiennej losowej o rozk ladzie N(m, σ): X = X m σ ma rozk lad normalny standardowy N(0, 1). Dystrybuanta rozk ladu normalnego standardowego N(0, 1): x 1 Φ(x) = e t2 2 dt dla x R 2π Z parzystości funkcji gȩstości prawdopodobieństwa rozk ladu N(0, 1) wynika, że: Φ( x) = 1 Φ(x). u α - kwantyl rzȩdu α zmiennej losowej o rozk ladzie N(0, 1) (tzn. Φ(u α ) = α) 6 3. Rozk lad chi kwadrat o n stopniach swobody Zmienna losowa χ 2 = X 2 1 + X 2 2 +... + X 2 n, gdzie X 1, X 2,... X n zmienne o rozk ladzie N(0, 1) ma rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody Wartośċ oczekiwana: E(χ 2 ) = n Wariancja: D 2 (χ 2 ) = 2n Dla dużych n (n > 40) rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody można przybliżaċ rozk ladem N(n, 2n). χ 2 (α, n) = kwantyl rzȩdu 1 α zmiennej o rozk ladzie chi-kwadrat o n stopniach swobody 4. Rozk lad t-studenta o n stopniach swobody. Zmienna losowa T = X, gdzie X zmienna losowa o rozk ladzie N(0, 1) a zmienna χ 2 ma rozk lad χ 2 n chi-kwadrat o n stopniach swobody. Wartośċ oczekiwana: E(T ) = 0. Wariancja: D 2 (T ) = n. n 2 Dla dużych n (n > 40) rozk lad t-studenta o n stopniach swobody można przybliżaċ rozk ladem N(0, 1). t(α, n) = kwantyl rzȩdu 1 α zmiennej o rozk ladzie t-studenta o n stopniach swobody. 2