Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze <= x <=. Skorzystaj z warunku normalizacji do obliczenia stałej A n. Warunek normalizacji mówi o tym, że całka kwadratu modułu funkcji falowej po całej przestrzeni jest równa 1. Tutaj warunek będzie miał postać następującą. πn A n sin x dx = 1 πn A n sin x dx = 1 wykonamy zamianę zmiennych niech u = πnx wtedy A n Obliczając całkę dostajemy 1 πn πn πn sin (u)du = 1 sin (u)du = [ 1 sin u cos u + 1 ] πn u = πn Podstawiając wynik do warunku normalizacji otrzymamy co daje ostatecznie A n = 1 A n = 1 Całkę można spisać z tablic lub, jeśli ktoś chce, obliczyć metodą przez części. 1
Zadanie Udowodnij, że Ψ(x, t) = A exp [ i h (px Et)] jest rozwiązaniem równania Schrödingera. Czy funkcja ψ + ψ jest też rozwiązaniem? warto zauważyć, że czyli Ψ(x, t) = Ae ī h (px Et) Ψ(x, t) = Ae ī h px e ī h Et Ψ(x, t) = ψ(x)e ī h Et Funkcja falowa dała się rozłożyć na dwia czynniki, z których jeden zależy wyłącznie od położenia a drugi tylko od czasu. Jeśli wykonamy teraz podstawienie do równania Schrödingera więc i m e h h Ψ(x, t) m Ψ(x, t) + UΨ(x, t) = i h t h Et ψ(x) + Uψ(x)e ī h Et = i hψ(x) dzieląc stronami przez e ī h Et otrzymamy h m ψ(x) + Uψ(x) = Eψ(x) ( i Ē ) e ī h Et h Równanie to jest nazywane równaniem Schrödingera bez czasu i dotyczy przypadków stacjonarnych tzn. takich gdzie potencjał U nie zależy od czasu. Dajej pisząc o równaniu Schrödingera będę miał na myśli właśnie równanie S. bez czasu. Podstawiając do tego równania jawnie funkcję dostajemy p ψ(x) = Ae ī h px ψ + Uψ = Eψ m Wtedy funkcję falowoą daje się rozłożyć na dwa czynniki, z których jeden zależy tylko od położenia a drugi tylko od czasu.
Pomiędzy energią kinetyczną i pędem w fizyce nierelatywistycznej zachodzi związek E k = mv = p m więc Równanie ma sens, dostaliśmy sumę energii potencjalnej i kinetycznej równą całkowitej energii cząstki, co jest prawdą. Jak łatwo obliczyć funkcja ζ = ψ + ψ ma postać po obliczeniach dostajemy ζ = A cos 1 h (px Et) h m ζ = p m ζ co, podobnie jak poprzednio, można podstawić do równania Schrödingera. Otrzymamy wtedy p m + U ζ = Eζ ewa strona jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej a prawa jest całkowitą energią cząstki. Wynika z tego, że lewa strona jest równa prawej czyli funkcja ζ = ψ + ψ również spełnia równanie Schrödingera. Zadanie Zbadaj, czy ψ(x, t) = A sin(kx ωt) jest rozwiązaniem równania Schrödingera? Funkcję ψ można wyrazić też wykorzystując związki oraz E = hω p = hk Wtedy ψ przybierze postać ψ = A sin 1 h (px Et) Pozostało już tylko podstawienie do równania h m ψ + Uψ = Eψ
i, podobnie jak w poprzednim zadaniu otrzymamy ( p m + U ) ψ = Eψ Ostatecznie możemy więc stwierdzić, że funkcja ψ spełnia równanie Schrödingera. Zadanie 4 Wyznacz dozwolone wartości energii i funkcje falowe cząstki o masie m znajdującej się w nieskończenie głębokiej, prostokątnej studni potencjału o szerokości. Sposobów rozwiązania jest kilka. Przedstawię najprostszy. Aby dotyczył też pozostałych zadań przyjmijmy, że potencjał jest następujący + x < V = < x < + x > Tam gdzie potencjał jest nieskończenie duży funkcja falowa nie istnieje. W przedziale zerowego potencjału mogą występować funkcje falowe odpowiadające cząstce swobodnej poruszającej się w prawo oraz cząstce swobodnej poruszającej się w lewo. Dodatkowo na brzegach studni funkcja falowa musi znikać. Potencjał nie zależy od czasu więc zrezygnujemy z pisania członów funkcji falowej zależnych od czasu. Uwzględniając to można napisać: ψ(x) = ψ(x) + ψ(x) ψ() = ψ() = czyli ψ(x) = Ae ikx + Be ikx Ae ik + Be ik = Ae ik + Be ik = wynika z tego, że A + B = więc B = A. Można już zapisać ψ jako ψ(x) = A ( e ikx e ikx) 4
Przechodząc do zapisu trygonometrycznego ψ ma postać ψ(x) = Ai sin(kx) W sposób naturalny dla ψ() = ale trzeba też pamiętać o tym, że ψ() = Ai sin(k) = k = π n gdzie n = 1,,, 4... Funkcję falową trzeba jeszcze unormować: po obliczeniu całki 4A 1 k 4A sin (kx)dx = 1 [ 1 sin(kx) cos(kx) + 1 kx ] A = 1 1 A = Po uwzględnieniu wartości A oraz k funkcja ψ przybiera postać nπ ψ(x) = i sin x Co po uwzględnieniu czynnika zależnego od czasu daje pełną funkcję falową Ψ(x, t) nπ Ψ(x, t) = i sin x e iωt Działając hamiltonianem na funkcję falową ψ dostajemy wartości energii dla stanów własnych prostokątnej nieskończonej studni kwantowej. Ĥψ = Eψ E jest wartością własną hamiltonianu, czyli energią cząstki. Po podstawieniu funkcji falowej otrzymamy czyli = 1 h m Ai sin(kx) = h m k Ai sin(kx) Ĥψ = h m k ψ Energia cząstki po uwzględnieniu wartości k wyraża się wzorem E = h π m n gdzie n = 1,,,... Warto zauważyć, że cząstka w studni potencjału nie może przyjmować dowolnej energii. Poziomy energetyczne są skwantowane. 5
Zadanie 5 Cząstka znajduje się w stanie podstawowym w prostokątnej studni potencjału o szerokości i całkowicie nieprzepuszczalnych ściankach ( < x < ). Oblicz prawdopodobieństwo znalezienia tej cząstki w obszarze 1 < x <. W tym zadaniu można wykorzystać obliczenia z zadania poprzedniego. Należy kwadrat modułu unormowanej funkcji falowej ψ(x) przecałkować od 1 do. / π P = / sin x dx [ sin( π x) cos( π x) + π ] x co po obliczeniu daje Zadanie 6 P = 1 π P =.61 Przyjmując, że cząsteczka tlenu porusza się ze średnia prędkością termiczną w temperaturze T = K między dwoma kolejnymi zderzeniami najduje się w prostokątnej studni potencjału o szerokości = 6 1 8 m. Oszacuj liczbę możliwych poziomów energetycznych tej cząstki. Zadanie jest trochę dziwnie sformułowane i mało fizyczne, ale spróbujemy je rozwiązać następująco. Zakładając, że tlen w temperaturze pokojowej zachowuje się jak gaz doskonały (co jest właściwie prawdą przy ciśnieniu normalnym i niższym niż normalne). Wtedy średnia energia kinetyczna cząsteczki wyraża się wzorem < E kśr >= k BT Porównując to ze wzorem na energię cząstki w prostokątnej studni potencjału dostajemy k BT = h π m n 6
więc n = hπ k B T m Po podstawieniu otrzymamy wynik: cząsteczka o której mowa w zadaniu znajduje się w stanie kwantowym n = 77. Zadanie 7 Jaka jest szerokość jednowymiarowej studni potencjału z nieskończenie wysokimi ścianami, jeżeli przy przejściu elektronu z drugiego na pierwszy poziom kwantowy wysyłana jest energia E = 1 ev. Należy wykorzystać wzór na poziomy energetyczne w takiej studni, wyprowadzony w zadaniu 1 i rozwiązać równanie więc po podstawieniu dostajemy E E 1 = E h π n m n 1 = E = h (n n 1) 8 Em = 1.6 1 9 m 7